Slayt 1

http://www.baskent.edu.tr/~akkol
akkol@baskent.edu.tr
0532 246 45 85
Oda: SBF B-401
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
1
SAYILAR
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
KÜMELER
Tanım: İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme
denir.
Örnekler:
Kümelerin gösterilişi: Wenn Şeması, Liste Yöntemi,
Özellik Yöntemi
Sayı kümeleri:
Doğal sayılar kümesi N  1, 2 , 3, 4 , 5,...n,...
Tam sayılar kümesi Z  ...  3, 2 , 1, 0 ,1, 2 ,3, 4 ,5,...
3
2
5


,..., 0 ,... ,...1,...
Rasyonel sayılar kümesi Q   ...  ,... 
5
371
41


Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
3


İrrasyonel sayılar kümesi İ  ...   ,...  2 ,...3 7 ,...,e,...,
Reel sayılar kümesi
RQ
3


3
2
1
5
İ   ... 
,..., 
,...,  ,...,0,..., ,...1,...,e,..., ,...
5
7
21
41


Reel sayılar kümesi yoğun bir kümedir. Yani her reel
sayıya sayı doğrusunun bir noktası, sayı doğrusunun
her noktasına da bir reel sayı karşılık gelir
R
0
NZQR
Q İ 
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
4
ARALIKLAR
a,bєR olmak üzere; [a,b] = { x : a≤x≤b, xєR}
kümesine kapalı a,b aralığı denir.
[a,b]
a
b
[a,b] = { x : a≤x≤b, xєR}
a,bєR olmak üzere; (a,b] = { x : a<x≤b, xєR}
kümesine soldan açık sağdan kapalı a,b aralığı denir.
a
(a,b]
b
(a,b] = { x : a<x≤b, xєR}
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
5
a,bєR olmak üzere; [a,b) = { x : a≤x<b, xєR}
kümesine sağdan açık soldan kapalı a,b aralığı denir.
[a,b)
a
b
[a,b) = { x : a≤x<b, xєR}
a,bєR olmak üzere; (a,b) = { x : a<x<b, xєR}
kümesine açık a,b aralığı denir.
(a,b)
a
b
(a,b) = { x : a<x<b, xєR}
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek:
[-1,2] = {x: -1≤x≤2, xєR}
(-2,2] = { x: -2<x≤2,xєR }
[-2,2) = { x: -2≤x<2,xєR }
(-2,2) = { x: -2<x<2,xєR }
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
[-1,2]
2
-1 0
(-2,2]
-2
0
2
[-2,2)
-2
0
2
(-2,2)
-2
0
2
7
Mutlak Değer:
Bir xєR sayısının mutlak değeri
 x; 0  x
olarak tanımlanır.
x 
 x; x  0
olarak tanımlanır.
x  x2
a  a , 25  5 ,
2
Örnek:
7 7
25  ( 5 ) 
2
5 5
7  ( 7 )  7
Örnek: x  3 ise. 2  x  ?
x  3  2  x  2  3  1  ( 1 )  1
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
8
Örnek: x  2  ? (mutlak değerden kurtarınız)
 x  2; x  2  0  x  2
Çözüm: x  2  
( x  2 ); x  2  0  x  2
 x  2; x  2
x2 
 2  x; x  2
Örnek: 5  2x  ? (mutlak değerden kurtarınız)
5

 5  2 x; 5  2 x  0  x  2
Çözüm: 5  2 x  
( 5  2 x )  2 x  5 ; 5  2 x  0  x  5

2
5

5  2 x; x  2
5  2x  
2 x  5; 5  x

9
2
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Üslü Sayılar:
Tanım: x  x  x  ...  x  x n olarak tanımlanır.
n tan e
1. x m  x n  x  x  ...  x  x  x  ...  x  x  x  ...  x  x m  n
m tan e
m
n tan e
m  n tan e
x  x  ...  x
x
m tan e
2. n 
 x  x  ...  x  x m  n
x
x  x  ...  x
m  n tan e
n tan e
xn
3. n  x n n  x 0  1; x  0
x
1
x0
4. n  n  x 0  n  x  n ; x  0
x
x
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
10
m tan e
5. ( x )  x  x  .....  x  x
n
m
n
n
n
mn
6. x  y  ( x  y )
n
n
n
7. ( a )2k  a 2k , ( a )2k  1 
a 2k  1 ;k  Z
Örnek:
1.
x 2 y7
x 3 y5
?
2 x 2 y5 3
2. (
) ?
3
x 2 y7
2
y
2 3 7 5
1 2
x
y
x y 
3 5
x
x y
( 2 3 x 2  3 )( y 5  3 )
33
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
( 8 x 6 )( y 15 )

27
11
3. ( 16 x 5 )2

28 x 10 2 3
210 x 10
8
8
 ? ( 16 x 5 )2

2 5
2
5
(4x )
(4x )

211 x 10
210 x 10
( 2 4 )2 ( x 5 )2 .2 3
( 2 2 )5 ( x 2 )5
 211 x 10 2 10 x 10  211  10 x 10  10  2
Köklü Sayılar:
m
m

n
olmak
üzere
x  x n olarak tanımlanır.
m,n  N ve x  R
Teorem: m,n  N ve a,b  R  olmak üzere
n
a
a
n
n
n
n
n
1. a  a 2. ab  a b 3. n  n
4. m n a  mn a
b
b
n
a n inci kuvveti a olan sayıdır. n çift sayı ve a negatif
ise n a tanımsızdır.
n tek sayı ve a negatif ise n a tanımlıdır ve n a n’inci
12
kuvveti a olan negatif bir sayıdır.
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek:
1.
3 8   2,
3
4. (
4
3
5.
 3, 3.
1

4 2
2 1
 4
1 1


4 2
3
3
3
3
(
3
)
3 3
3
3
3
2
( ( ) (
) (
) 

3
4
2
8
4
2
x2 3 x
x
3
6.
3
)2
2.
3 27
3
3
 33  3 3
3
?
x2 3 x
x

2 1
x3 x3
1
x2
1
1
1
x

 x 2  x2 
1
x2
x
7
7
1
7
1
1
3
x  x6
x 2  x6 x6  x6 x6 ( 1  x )
?


 1 x
1
1
1
1
x6
x6
x6
x6
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
13
Ortak Çarpan parantezine alma
Biden çok terimi olan bir ifadede terimler arasında
ortak çarpanları olanlar varsa bu terimler ortak
çarpan parantezine alınabilirler.
3a  ab a( 3  b )
2)

a
3b
3b
Örnek: 1 ) ab  ac  a( b  c )
14  21k 7( 2  3k )
x2 x
3)

7 4 )

2  3k
2  3k
x 2
5)
3
x2
3 x

x3
1
xx 2
1
3x2

x3

1
x2(
x( x  2 )
 x
x 2
1
x3)
 x2  x
x3
14
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Payda eşitleme:
3
1 
7
5
2 
8
2a a 5a
 
3 4 12
1
a 
2
a 2
 
2 3
1
3
1 3 x


x
x
x
x  1 x2  1


2x
x1
x1
x  1  2 x 2  2 x  x 2  3x  1
 x1

2x
2x
2x
15
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
İki Kare Farkı ve Tam Kare İfadeler
a 2  b 2  ( a  b )( a  b ) şeklindeki ifadelere iki kare
farkı ifade denir.
Örnek:
1)
x2  4 x
x2 x

( x  2 x )( x  2 x )
x2 x
 x2 x
2a 3  2a
2a( a 2  1 ) 2a( a  1 )( a  1 )
2)


 2a( a  1 )
a1
a1
a1
3)
x2 x 1
x 1

( x  1 )2
x 1

x 1
16
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek:
1.
6 x3 x  3 x
2( x
1.
6 x 3 x  3x
2( x
3
2.
5
)2

5
)2
 ? 2.
1
3x( 2 x 2 x  1 )
1
3
2( x
5
)2

7
x  x6
?
1
x6
3x( 2 x 2 x  1 )
1
2x
2
x 1
 3x
7
1
7
1
1
x 2  x6 x6  x6 x6 ( 1  x )


 1 x
1
1
1
x6
x6
x6
Ödev: x
3
x 4  3x 2
3 3 x
?
C :   x2
17
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
(a
b )2  a 2  2ab  b 2 şeklindeki ifadelere tam kare
ifade denir.
Örnek:
1 ) ( x  2 )2  x 2  4 x  4
8  8a  2a 2 2( 4  4a  a 2 ) 2( 2  a )2
2)


 2( 2  a )
a2
a2
a2
x 4  2 x 2  1 ( x 2  1 )2 ( x 2  1 )( x 2  1 )
3)


x1
x1
x1
( x  1 )( x  1 )( x 2  1 )

 ( x 2  1 )( x  1 )
x1
18
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Ödev: Üslü ve köklü sayıların özelliklerini kullanarak
aşağıdaki ifadelerin sayısal değerlerini bulunuz.
2
1


8
1. 0 , 04  ? 2. 3 (  )  ?, 3. ( 25 ) 3  ?, 4. ( 0 , 09 ) 2  ?
27
Aşağıdaki ifadeleri sadeleştirerek en sade pozitif üslü
biçimde yazınız.
( x 2 )3 ( x 3 )2
x
2 3 10
5
1.
 ?, 2. x y z  ?, 3. 4
?
3 4
(x )
16
4. 3 x 2 yz 3 3
2
2
x
y 2
2
xy  ?, 5. ( 3 2 )  ?
2y z
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
19