Polinom Kökleri ve Newton Raphson Yöntemi

Bir Polinomun Kökleri:
Bir polinomun kökleri polinomun yatay ekseni kestiği (fonksiyonun sıfır değerini
aldığı) yerdeki bağımsız değişkenin değeridir. 2. dereceden bir polinomun kökleri için
formül aşağıda verilmiştir.
a x bx c  0
2
 b  b2  4 a c
x1 
2a
 b  b2  4 a c
x2 
2a
3. dereceden bir polinomun kökleri için formül aşağıda verilmiştir.
a x3  b x 2  c x  d  0
Birinci kök
İkinci kök
Üçüncü kök
Bir Polinomun Kökleri:
Matlab programı n dereceli bir polinomun köklerini hesaplamak için kullanılabilir.
Örnek: Verilen polinomun köklerini bulunuz.
5 x3  8 x 2  6 x  6  0
ans =
>>p=[5 8 6 -6]; roots(p)
-1.0604 + 1.0863i
-1.0604 - 1.0863i
0.5207
Örnek: Verilen polinomun köklerini bulunuz.
x  4 x  16 x  20  0
5
3
2
>>p=[1 0 4 16 0 -20]; roots(p)
Tüm katsayılar sıfır olanlarla birlikte mutlaka belirtilmelidir.
Aksi halde polinomun derecesi azaltılmış olur.
ans =
1.0043 + 2.7517i
1.0043 - 2.7517i
-1.4940 + 0.3852i
-1.4940 - 0.3852i
0.9793
Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü :
NEWTON-RAPHSON İTERASYON YÖNTEMİ
f(x)
Newton-Raphson yöntemi veya
Newton
yöntemi
denklemlerin
sayısal çözümleri için güçlü bir
tekniktir. Diferansiyel hesaba çok
benzer olarak basit doğrusal
yaklaşımın fikrini temel almaktadır.
Bu
yöntem
gerçek
değerli
fonksiyonların
gerçek
köklerini
oldukça iyi yaklaşımla bulmak için bir
yöntemdir.
f(xi)
Teğet çizgi
f(xi)-0
0
Xi+1
xi (Başlangıç değeri) x
x i  x i 1
f(x i )  0
f (x i ) 
x i  x i1
f(x i )
x i 1  x i 
f (x i )
Bu noktadaki
eğim f'(xi)
xi  xi1  f(xi )  f(xi )
ε (hata)
f(x i )
x i 1  x i  
f (x i )
 f(xi )   f(xi )
Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:
Newton-Raphson Örnek 1:
2  4     1
f()  0
f  2  4    1
Verilen denklemi sağlayan θ değerlerinden birini
bulunuz.
f

f
1 1
f  2  
2 1
, x n1  x n  
(tet + 1)1/2 + tet2 - 4
40
f
f'
ε
1
-1.5858
2.3536
0.6738
1.6738
0.4368
3.6534
-0.1196
30
25
f(tet)
θ
35
20
15
10
1.5542
0.0139
3.4213
-0.0041
1.5501
-0.00013
3.4134
3.95e-5
5
0
-5
-1
0
1
1.55
2
3
tet
4
5
6
Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:
Newton-Raphson Örnek 2:
5u  cos(3u)  1.6
f(u)  0
f  5u  cos(3u)  1.6
f   5  3 sin(3u)
Verilen denklemi sağlayan u değerlerinden birini
bulunuz.
f

f
, x n1  x n  
5 u - cos(3 u) - 8/5
30
f
f'
ε
20
1
4.3899
5.4233
-0.8094
10
0.1905
-1.4883
6.6229
0.2247
0
0.4152
0.1569
7.8429
-0.0200
0.3952
0.00025
7.7801
-3.32e-5
f(u)
u
-10
-20
-30
-6
-4
-2
0
u
2
4
6
Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:
MATLAB KODLARI
Problemleri çözmek için programdaki (nr1.m) şu değişiklikler yapılır.
Newton-Raphson Örnek 1:
clc, clear
x=1;xe=0.001*x;
niter=20;
%---------------------------------------------for n=1:niter
%---------------------------------------------f=x^2-4+sqrt(x+1);
df=2*x+0.5/(sqrt(x+1));
%---------------------------------------------x1=x
x=x1-f/df
if abs(x-x1)<xe
kerr=0;break
end
end
kerr,x
x = fzero(@(x)x^2-4+sqrt(x+1),1)
Newton-Raphson Örnek 2:
clc, clear
x=1;xe=0.001*x;
niter=20;
%---------------------------------------------for n=1:niter
%---------------------------------------------f=5*x-cos(3*x)-1.6;
df=5+3*sin(3*x);
%---------------------------------------------x1=x
x=x1-f/df
if abs(x-x1)<xe
kerr=0;break
end
end
kerr,x
x = fzero(@(x)5*x-cos(3*x)-1.6,1)
Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:
NEWTON RAPHSON YÖNTEMİNİN TUZAKLARI
Kök civarında dönüm noktası olması durumu
Yerel maksimum ve minimumlar etrafında bu
yöntem salınma eğilimi göstermektedir
Sıfır eğime yaklaştıkça ilgilenilen kökten çok
uzaklaşılmaktadır. Sıfır eğim bu yöntem için
tam bir felakettir. Çünkü formülde sıfıra
bölmeye neden olur.
Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:
Newton-Raphson iterasyon yöntemi doğrusal olmayan denklem takımların çözümü için de
kullanılır. Birden fazla denklem ve bilinmeyen değişken olduğu için çözüm işlemlerinde
denklemlerin her bir bilinmeyen değişkene göre kısmi türevleri kullanılır.
f1(x1,x2)=0
f2(x1,x2)=0
f    f
 f1
 x
 1
 f2
 x 1
f1 
x 2  1   f1 
  
f2  2   f2 
x 2 
X1 ve x2 için gelişigüzel başlangıç değerleri atanır ve iterasyon işlemi bilgisayar
programındaki (nr.m) gerekli değişikliklerin yapılması ile başlatılır. Değişkenler program
içinde x() olarak ifade edilirler.
Newton-Raphson Örnek 3:
x  32  y  22  25
f1  x  32  y  22  25
f2  y  x 2
Merkez koordinatı (3,2) ve yarıçapı 5 olan dairenin
denklemi sol taafta verilmiştir. Bu daire ile y=x2
parabolünün kesişim noktalarını nasıl bulursunuz?
f1
f1
 2x  3,
 2y  2
x
y
f2
f2
 2x ,
1
x
y
Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:
Problemleri çözmek için programdaki (nr.m) şu değişiklikler yapılır.
y
clc, clear
x=[1 4] ;xe=0.001*x;
niter1=5;niter2=50;
9
%---------------------------------------------(2.643, 6.987)
xe=transpose(abs(xe));kerr=1;
for n=1:niter2
%---------------------------------------------4
(-1.82, 3.321)
a(1,1)=2*(x(1)-3);a(1,2)=2*(x(2)-2);
a(2,1)=-2*x(1);a(2,2)=1;
2
b(1)=-((x(1)-3)^2+(x(2)-2)^2-25);
1
b(2)=-(x(2)-x(1)^2);
1 2 3
%---------------------------------------------x
bb=transpose(b);eps=inv(a)*bb;x=x+transpose(eps)
if n>niter1
if abs(eps)<xe
kerr=0;break
end
Çizimde görüldüğü gibi iki geçerli çözüm seti vardır. Çözüm setinin değeri
end
bilinmeyen değişkenlerin başlangıç değerleri tarafından belirlenir.
end
x