8. HAFTA

8. HAFTA
3.4.1. TEK-PARÇACIK KABUK MODELİ
Schrödinger denkleminin, küresel simetrik merkezi kuvvet alanı, yani parçacık potansiyeli V(
r ) ‘nin radyal uzaklık r’ye bağlı olduğu bir çözümü tüm kabuk modelleri için bir başlangıç
noktasıdır. Üç boyutta çözüm:
ψ = R nl ( r )Yl m (θ, φ)
küresel harmonikler genel uygulamaları içerir fakat Rnl( r ) , V( r ) ‘nin belirlenmesi ile
elde edilebilir. Kütlesi M olan bir nükleonun , statik , küresel simetrik bir V( r ) alanı içinde
lh açısal momentumu ile hareketi için schrödinger denkleminin radyal kısmı :
d 2 (rRn l) 2M 
l(l + 1)h 2 
+
E
−
V
(
r
)
−
 nl
(rRnl ) = 0
dr 2
h2 
2Mr 2 
burada (nl) toplam ve açısal momentum kuantum numaralarına bağımlılığı gösterir. Nükleer
alanın radyal şekli saçılma deneylerinden çok iyi bilinmektedir. Fakat V( r ) ‘nin şekli basit
bir çözüm için uygun değildir. Bununla beraber kabuk modeli öncelikle toplam bağlanma
enerjileri ile değil , nükleonların hareket durumları ile ilgili düzeylerle ilgili olduğundan
sadece basit potansiyel şekillerini ele almak yeterlidir. :
3.4.1.1 KARE KUYU POTANSİYELİ
Burada verilen herhangi bir toplam (ara) kuantum sayısı için, yüksek l durumlarındaki
durumlar düşük l durumlarındakilerden daha güçlü bağlanmışlardır. Burada radyal dalga
fonksiyonları analitik olarak :
A
1
Rnl (r ) =
J l + ( Kr )
2
Kr
ile verilir. Burada A bir sabit j 1 bir Bessel fonksiyonu ve K dalga numarası olup;
l+
2
2M
( E nl − V )
h2
şeklindedir. Enl toplam (negatif) enerjiyi ve V(= -u ) kuyu derinliğini gösterir. Enerjiler
kuyunun tabanından itibaren ölçülür. E’nl pozitif olmak kaydıyla ,
K2 =
2M
E ' nl
h2
K’nın müsaade edilen değerleri bir sınır şart ile seçilir. Sonsuz derinlikte bir kuyu için dalga
fonksiyonu r)R’de yani nükleer sınırda biter, yani
Rnl / R) = 0
K2 =
dir. l = 1 için J
l+
1
2
( KR ) aşağıdaki şekilde görüldüğü gibidir.
Bessel fonksiyonu J3/2(x) in x’e göre değişimi burada x=KR dir.
KR=Xnl olduğunda n=1,2,3..... ile sayılandırılan ve farklı l değerleri için değişen , birbirini
takip eden sıfırlar vardır. Verilen bir nükleer yarıçap R için K o şekilde seçilebilir ki 1,2,...
Bessel fonksiyonunun salınımları R yakınlığında meydana gelir. Ne kadar çok salınım
içeriğine müsaade edilirse , K daha büyük olur, enerji de daha büyük olur.. Düzey enerjileri
:
KR = X nl
2
E ' nl l
K 2 R 2 X nl h 2
=
=
2M
2 MR 2
2
ile bulunur. R=8x10-3 cm için h
, o.34 MeV değerini alır. İlk birkaç kare kuyu
2MR 2
potansiyelini belirleyen Xnl değeri aşağıdaki tabloda görülmektedir.
X nl
l
1.sıfır
n=1
2.sıfır
n=2
3.sıfır
n=3
0
3.14
6.28
9.42
1
4.49
7.72
10.90
2
5.76
9.09
12.32
3
6.98
10.41
Düzeyler aşağıdaki şekilde görülmektedir. Tabandan itibaren düzey sırası ,
1s
1p
1d
2s
1f
2p
1g
2d
1h
3s...........
şeklindedir. Örneğin burada 1f 3 yörüngesel momentumun ilk düzeyidir, yani Bessel
fonksiyonu J7/2 deki ilk sıfır. Bu durumların her birini iki nükleon doldurursa (ters spinli)
doldurma numaraları 2(2l+1) toplam parçacık (nötron veya proton) sayılarındaki kapalı
kabukları gösterir:
2,
8,
18,
20,
34,
40,
58,.......
bunlar nükleer sihirli sayılar değildir. Durum sonsuz kuyu yerine sonlu kuyu için
çözülsebile benzer olan uyarma enerjileri değişsede düzey sıralaması değişmez
2-) Harmonik salıcı potansiyeli :
Bu kuyu için potansiyel enerji :
1
Mw 2 r 2
2
şeklinde yazılabilir. Burada w parçacığın basit harmonik titreşimlerinin frekansıdır.
Schrödinger denkleminin çözümü Hermit polinomları ile verilir. Bir boyutlu durumda (kuyu
tabanından itibaren ölçülen ) enerji düzeyleri
1
E ' n = (n + )hw
2
ile verilir. Genel üç boyutlu durumunda ise;
3
E ' n1, n 2,n 3 = (n1 + n2 + n3 + )hw
2
veya
3
E ' N = ( N + )hw
2
ile verilir. Burada n1,n2,n3 dalga fonksiyonlarını belirleyen tam sayılar , N=n1+n2+n3 ( ≥ 0 )
salınıcı kuantum sayısıdır. Dalga fonksiyonunun açısal bağımlılığı incelendiğinde , her N
değeri için l ≤ N ve çift (tek) N , çift (tek) l ye ilişkili dejenere düzey grupları bulunur.
Böylece N=2 için hem s hem de d durumları aynı enerjide bir arada bulunur. Düzeylerde
bulunabilen nükleonların sayısı salınıcı numarası N’ye bağlı olarak (N+1)(N+2) şeklinde
bulunur. Bunların düzeninin
1s;
1p;
1d,
2s;
1f,
2p;.......
sırasında olduğu ve aşağıdaki tablo ve şekilde özelliklerinin bulunduğu anlaşılmıştır.
V (r ) = −u +
N
E’N
l değerleri
(N+1)(N+2)
0
3
hw
2
0
2
1
5
hw
2
1
6
2
7
hw
2
0.2
12
3
9
h
2
1.3
20
4
11
h
2
0,2,4
30
sonsuz osilatör kuyusundaki parçacık durumları
kapalı kabuklar aşağıdaki parçacık numaralarında bulunur:
2,
8,
20,
40,
70,
112,.........
yine bunlar nükleer sihirli sayılar değildir. Nükleonların bir potansiyel kuyusundaki düzey
sıralaması, şeklinde düzeylerin spektroskopik sınıflandırması, gösterilen uyarmaya kadar
bulunabilen toplam nükleon sayısı belirtilmiştir.
(i)
Sonsuz kuyu potansiyeli, yarıçap 8x10-13 cm
(ii)
Salınım potansiyel kuyusu düzeyler oranı düzenli uzaklık görünmektedir.
Düzeylerin pariteleri çift (tek) N nin çift (tek ) olması ile belirlenir.