Sürekli rasgele değişkenler, sürekli kümülatif dağılım fonksiyonu

1
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli)
• X sürekli bir rastgele değişken olsun. Bu durumda kümülatif
dağılım fonksiyonu şu şekilde tanımlanır.
FX ( x) = Pr[ X ≤ x]
• Tipik bir KDF şu şekilde görünür:
FX(x)
1.0
x
0
1
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (kdf), FX(x)
FX ( x) = Pr[ X ≤ x]
FX(x)
1.0
Özellikler
1. 00≤FFXX( (xx) )≤11
1.
2. lim
F
lim F
FXX ((xx))=1;1; xlim
lim
FXX ((xx))=00
2.
xx

→∞
x →−∞
0
3. Herhangi
bir x  0increasing
için monotonik
artan fonksiyon
3.
Monotonically
function:
FX ∆x
( x >x0,
) FFXX(x+
( x ) ∆x) ≥ FX(x)
For any
4. Pr
Pr[[aa < X
−XF(Xa)( a )
X ≤bb] ]=FFX X(b()b) F
4.
5. h  0 için FX ( x) sağdan süreklidir
5.
FX(x) is continuous from the right
FX (a )  lim FX (a  h)  FX (a  )
FX ( a + h ) = FX ( a + )
for h > 0, FX ( ah)0= lim
h →0
6. lim Pr[a  X  a  x]  lim[ FX (a  x)  FX (a )]  0
x 0
x 0
Pr [ a < X ≤ a + ∆x ] = lim FX ( a + ∆x ) − FX ( a ) = 0
6. ∆xlim
∆x →0
→0
x
2
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (oyf), fX(x)
dFXX( x()x)
dF
f Xf X((x)
x) =

dx
dx
x
x
x) =
 Pr[
FFXX((x)
Pr[XX≤x]x] = f∫X (fzX)dz
( z) dz

b
−∞
Pr[a  X  b]   f X ( x)dx
b
Pr[a < X ≤ b] =a ∫ f X ( x) dx
a
Özellikler:
ff XX (( xx)) ≥ 00
fX(x)
∞

∫
 1= 1
f X ( xx))dxdx
∆x

−∞
x1
a+∆x
Pr[a < X ≤ a + ∆x] =
∫
f X ( x) dx ≈ f X (a) ⋅ ∆x
a
Dikkat
lim Pr[a < X ≤ a + ∆x] = 0
∆x→0
x
3
Sürekli ve Kesikli Rastgele Değişkenler
• Sürekli rastgele değişken X gibi bir girişe sahip olan bir analog
sayısal çeviriciyi düşünün:
X
ADC
K
– Bu durumda çıkış, K, girişe karşılık gelen ve sonlu değerlerde
örneklenmiş kesikli rastgele değişken olur.
k
A
L-4
L-3-3
L-2-2 LL-1-1
0
-1
-2
-3
∆
-4
3
2
1
x
L0
L1
L2
B
4
OYF ve OKF:
• OKF yaklaşık olarak şu şekilde yazılabilir:
Lk  Lk + ∆
ffKK[k
Pr[L
< X ≤Lk Lk +
( x) dx
Pr[K
[k] = Pr[
K =kk] ]=Pr[
Lk k X
] ∆]= f X∫ (fxX)dx
Lk
Lk
• Küçük pozitif  için
f K [k ] ≈ f X ( x) ∆
– Sonuç olarak, fK[k] ≤ 1 için, fX(x) 1’den büyük değerler alabilir;
ancak, her ikisi için de hala aşağıdaki eşitlikler sağlanmalıdır:

∞
( x)dx
1 =1
 f ∫ (fx)dx
X
X
 −∞
∞

f [fk ] [k
 1] = 1
∑
k k
3-22
Lk
∆
K
fK[k]
=−∞
fX(x)
A
K
B
-3
-2 -1
0
1
2
3
© M. Tummala & C. W. Therrien 2004
6
Bazı Sürekli Rastgele Değişkenler
Birbiçim Rastgele Değişken: parametreler a, b
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:
 ⎪⎧ 1 1 , a ≤ x ≤ b
ff XX ((xx))= b⎨ b a−,a a  x  b
diğer
otherwise.
 ⎪
⎩ 0, 0,
∫
bb
aa
fX(x)
1/(b−a)
)dxdx 1= 1
f XX ((xx)
a
b
xx
Kümülatif Dağılım Foksiyonu:
x x
xx
11
F
(
x)
=
≤
x]
=
f
(
z)
dz
Pr[
X
=
X
FX ( x)  Pr[ X  x] ∫−∞ Xf x ( z )dz ∫a
dz
dz

a b
b −aa

xa
 0,
⎪ xx −aa

FX ( x)  
, a xb
b
−
a
ba
⎪1,
x≥b
xb
⎩ 1,

FX(x)
1
a
b
x
7
Örnek: a = 0, b = 10 ise Pr[2 < X ≤ 6] nedir?
fX(x)
1/10
x
0 2
6
10
11 dx  44
Pr[2

X

6]

f
(
x
)
dx

Pr [ 2 < X ≤ 6] =∫2 f XX ( x ) dx = ∫2
=
2
2 10
10
10
10
66
66
Alternatif olarak,
Pr [ 2 < X ≤ 6] = FX ( 6 ) − FX ( 2 ) = 0.6 − 0.2 = 0.4
8
Üstel Rastgele Değişken: parametre 
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:
xx < 00
0
⎧ 0,
ffXX (( x )) 
= ⎨ −λx
⎩λe , xx≥00
∞
∫
00
fX(x)
λe−λx
∞
 x
ffXX (( x))dx
dx = λ∫0 ee − λ xdx
dx=11
x
0
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu:
xx
xx
−λ zz
00
FFXX ((xx))= Pr[
Pr [XX ≤ x]] 
= ∫ f XX (( z ))dz
dz = 
λ ∫ ee
−∞
x0
 0,
x<0
FX ( x)  ⎧ 0 x
FX ( x ) =1⎨ e − λ,x x  0
x≥0
⎩1 − e
dz
e
dz = 
−e
x

−
λ zz x
0
0
 x
=11−ee− λ x
FX(x)
1−e−λx
x
Dikkat :
−λ x
Pr[ X > x] = 1 − Pr[ X ≤ x] = e
9
Örnek:
Yazıcı kuyruğunda bekleme süresi üstel bir rastgele değişkendir.
X =ˆ bekleme zamanı
f X ( x ) = e− λ x
x≥0
fX(x)
(a) Pr [T < X ≤ 2T ]
λe−λx
− λT
−2 λT
= ∫ λ e − λu du = e − e
2T
x
T
(b) Pr[T < X ≤ 2T ] = FX (2T ) − FX (T )
=1− e
−2λT
−1 + e
−λT
= e −λT − e −2λT
1
λ = . ise
T
Pr [T < X ≤ 2T ] = e−1 − e−2 ≅ 0.233
FX(x)
1−e−λx
x
10
Hafızasızlık Özelliği
t saniyesinde çalışır durumda olan bir sistem için bu
zamandan sonra h saniye daha çalışır durumda olması
olasılığı toplam h saniye çalışır durumda olması olasılığı ile
aynıdır.
•
Sıralama (queuing) teorisinin uygulamaları; habelerşme ve
bilgisayar ağları
Pr  X  t  h   X  t Pr  X  t  h
Pr  X  t  h | X  t   Pr { X > t + h} ⋅ { X > t} Pr { X > t + h}
Pr X > t + h X > t ⎤⎦ =
=Pr  X  t
Pr  X  t
Pr { X > t}
Pr { X > t}
)
e −(tλ(ht +h
) h
= e t 
e − λ
h Pr  X  h 
= e − λt = e = Pr [ X > h ]
e
11
Gausyen Rastgele Değişken: parametreler m, 
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:
2
((xx−m
 m))2
−
1
1
f fX ( x)
=
ee
(
x
)
X
2π
σ
2
2
2σ
2 2
−∞
<∞

 < xx 

,,
fX(x)
1
2 
0.607
2
x
m−σ m
m+σ
12
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu:
FX ( x ) = Pr [ X ≤ x ] = ∫
xx
−∞
=
1
∫
2π σ
−
x
−∞
f X ( z ) dz
( z −m )2
e
2σ 2
dz
FX(x)
1
0.841
0.682
0.500
0.159
x
m−σ m m+σ
13
Gausyen Rastgele Değişkenler İçin Olasılıkların Bulunması
İlişki:
 xm
 xm
FX ( x)  Pr[ X  x]    ⎛ x − 
m1⎞  Q  ⎛ x − m⎞
FX ( x ) = Pr [ X ≤ x] = Φ
⎪  ⎪ = 1 −Q ⎪  ⎪
⎝ σ

z2
dz
2
1
( y )
e 1


Φ
2( y ) =
2π
y
⎠
⎝ σ
⎠


z2
dz
2
z2
1
Q( y )  1   ( y )   ( y )
e ∞ −
y

1
y
Q ( y ) = 1 − Φ ( y )2=
e 2 dz
∫
∫−∞ e dz
2π y
z2
−
2
Gausyen yoğunluk simetrik olduğundan:

Φ (
− yy)) =QQ((yy))
()z=) 1−1Q(Q
QQ
z )(.z).
( −z
Bu fonksiyonlar tablolar halinde
sunulmuştur.
Yaklaştırma: y ≥ 2 olduğunda
Q fonksiyonu söyle yazılabilir
2

∞ 1
1 − y 2 /2y
1
1
z 2
−
z
/
2
Q( y) = Q( y)  e ydze ≈ dz  e e
∫ 2
2
2 y2 y
2
2
2
14
Tablolar
15
Örnek:
X, ortalama değeri m, standart sapması  olan Gausyen bir
rastgele değişkendir.
a)
Pr [ m − 2 < X ≤ m + 2 ]=?
Pr[
Pr[[ X
Pr
X ≤ m
m − 22σ]]−Pr[
Pr [XX >mm+22σ]]
[ mm−22σ <XX ≤ mm + 22σ ]] = 11− Pr
 m  2  m 
= 1  2 Pr[ X  m  2 ]  1  2Q ⎛ m + 2σ − m ⎞
= 1 − 2 Pr [ X > m + 2σ ] = 1 − 2Q ⎪

⎪
σ
⎝
⎠
2
2Q((2)
10 −2  0.9544
==11−2Q
2) 
= 11 
− 4.56
4.56 
×10
= 0.9544.
b) m = 5 and variance 2 = 64 ise Pr[m –  < X ≤ m + ]=?
m = 5 and  = 8 için
Pr [ −3 < X ≤ 13] = 1 − Pr [ X ≤ −3] − Pr [ X > 13] = 1 − 2 Pr [ X > 13]
− 5⎞5 
⎛ 13
 13
= 1−12Q
 2⎪Q 
 2(Q1(1)
0.159=0.682.
0.682
) = 1 −1 2 ×2 0.159
⎪ =1−12Q
⎝ 8 8⎠ 
16
Örnek:
α = 10−2
V
Hab.
Sistemi
Y = αV + N
N Gaussian r.d.
mN = 0
Ν = 2
(a) V = 500 ise Pr[Y ≤ 0]=?
PrY[Y≤0]0]=Pr[
Pr
Pr [NN ≤−5
[αVV+NN ≤0]0]=Pr[
Pr[
5]]
⎛−5
5 ⎞
= 
(2.5)  Q(2.5)
 =
Φ
( −2.5 ) = Q ( 2.5 )
N 
= Φ⎪
⎪
⎝σN ⎠
Q-fonksiyon tablosundan:
Q ( 2.5 ) = 6.21×10−3.
17
(b) Pr[Y ≤ 0] = 10–6 yapacak V nedir?
Pr [Y ≤ 0] = Pr [αV + N ≤ 0] = Pr [ N ≤ − αV ] = 10 −6
 ⎛V−αV ⎞  V⎛αV ⎞ 6 10 −6

  Q  Q   10


= Φ ⎪N  ⎪ = N⎪ ⎪ =
⎝ σN ⎠
⎝ σN ⎠
Ters Q-fonksiyonu tablosundan:
α
V 10
102VV
αV
V ⎞
⎛ 

V

6
⇒
4.7535
Q
Q
10−6 
=
=4.7535
 = 10
N
2
⎪  N ⎪
σN
2
 ⎝Vσ N ⎠950.70
∴ V = 950.70
18
Gausyen r.d. ler İçin “Hata Fonksiyonu” nu Kullanarak
Olasılıkların Belirlenmesi
İlişkiler:
x
FF ((xx))=
X

x
−∞

burada
( z 2−m ) 2
e
e
2πσ
2 2
1
2
y
erf ( y)  2  −ez dz
erf ( y ) = ∫ e0 dz
π 0
y
 z2
2
⎛
⎛
⎞⎞
1= 1
 x  mx− m
dz
dz  12 erf
1 + erf

2  ⎝  2⎝ 2 σ ⎠ ⎠
( z−
m) 2
2σ
2 2
2

1
ve erf ( y)  erf ( y)
and
erf ( − y ) = −erf ( y )
Zaman zaman kullanılan başka bir hata fonksiyonu tanımı:
∞
2
1
− z2
erfc ( y ) =
e dz =
− erf ( y )
∫
2
πy
Bu tanım Q fonksiyonu ile ilgilidir:
1
⎛ y 1⎞
 y 
Q( y) = erfc⎪
⎪
2 Q( y⎝ ) 22⎠ erfc  2 
Both “erf” and “erfc” are available in MATLAB.
Hem “erf” hem de “erfc” MATLAB da komut olarak mevcuttur
19
Örnek:
X, ortalama değeri m=1, varyansı 2=6.25 olan Gausyen bir
rastgele değişkendir.
(a) Pr [ X ≤ 1.7 ] (b) Pr [ X ≤ 0.2] (c) Pr [ X > 3.5]
1 ⎡1 
−1⎞1⎤ 
⎛ 1.7
1.7

1
+
erf
(a) (a)Pr [Pr[
X ≤X1.7
=
f
(
x)dx
=
0.6103
] ∫ X f X ( x)dx  ⎪ 1  erf⎪ 
⎪⎪= 
 1.7]
0.6103
2.5
2
2 ⎣2 
⎝  2.5 ⎠2⎦ 
−∞ 
0.2
1
 0.2  1  
0.2
(b) Pr[ X  0.2]   f X ( x) dx 1⎡ 1  erf
 −1 ⎞ ⎤  
⎛ 0.2
(b) Pr [ X ≤ 0.2] = ∫ fX ( x)dx = ⎪21 + erf ⎪  2.5 ⎪2⎪  
2⎣
⎝ 2.5 2 ⎠ ⎦
−∞
1
 1  0.2  

1

erf
1 ⎡ 2  ⎛ 1 − 2.5
0.2 ⎞2⎤    0.3745
 0.3745
=
= ⎪1 −erf ⎪ 
⎪⎪
2⎣
⎝ 2.5 2 ⎠ ⎦
1
 3.5  1  
(c) Pr[ X  3.5]  1  Pr[ X  3.5]  1  1  erf 

⎤
1 2⎡ 
1
−
⎛ 3.5
⎞
2.5
2

(c) Pr [ X > 3.5] = 1 − Pr [ X ≤ 3.5] = 1 − ⎪1 + erf ⎪ 
⎪⎪
2
2.5
2
⎝
⎠
⎣
⎦


1
 3.5  1 
 1  erf 
   0.1587
2  1 ⎡  2.5 ⎛ 23.5
 − 1 ⎞⎤
= ⎪1 − erf ⎪  ⎪⎪ = 0.1587
2⎣
⎝ 2.5 2 ⎠ ⎦
1.7
1.7
20
Kesikli Rastgele Değişken Gösterimi
δ(x) impalsları sıfır kalınlık sonlu olasılıkl sağlar
fX(x)
p
1−p
0
1
x
FX(x)
1
p
x
0
1
21
Karışık Rastgele Değişken
oyf de impalslar vardır ve oyf bir ya da birden fazla zaman
aralığında süreklidir.