MATB201 Lineer Cebir 1 İsim-Soyisim

MATB201 Lineer Cebir 1
2015-2016 Güz
Arasınav
13/11/15
Süre: 90 dakika
İsim-Soyisim:
Numara:
Sorumlu:
Ünver Çiftçi
1. (8 Puan) A ve B matrisleri
A=
1 −1
−2 −4
,B=
3 0
6
5
olmak üzere aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını yazınız.
a)
−5 −19
3A + 4B =
33 20
b) İz(A)=1
2. (10 Puan) Aşağıdaki uzayların boyutlarını karşılarına yazınız.
a) m × n boyutlu reel matrislerin kümesi Mm×n (R) olmak üzere
boy(Mm×n (R)) = mn
b) Derecesi n ve daha az olan reel katsayılı polinomların kümesi Pn (R) olmak üzere
boy(Pn (R)) = n + 1
3. (10 Puan) R2 vektör uzayı için iki farklı baz yazınız. (Sadece bu iki bazı oluşturan
vektörleri yazın, açıklamaya gerek yok.)
Paralel olmayan iki vektör bu uzay için bir baz oluşturur.
MATB201 Lineer Cebir 1
Arasınav - Sayfa 2/ 4
13/11/15
4. (12 Puan) Aşağıdaki dönüşümlerin yanlarına lineer ya da lineer değil yazınız.
a) T : R3 → R2 , T (a1 , a2 , a3 ) = (a1 − a2 , a3 + 1): Lineer değil.
b) T : P2 (R) → P3 (R), T (f (x)) = xf (x) + f 0 (x): Lineer.
R3 uzayında tanımlanan aşağıdaki altkümelerinin yanlarına altuzay ya da altuzay değil
yazınız.
c) W1 = {(a1 , a2 , a3 )| a1 + a2 + a3 = 0}: Altuzay.
d) W2 = {(a1 , a2 , a3 )| a1 + a2 + a3 = 1}: Altuzay değil.
5. (15 Puan) M = M2×2 (R) matris uzayında At = A olan simetrik matrislerin kümesi S
ve At = −A olan ters simetrik matrislerin kümesi T olsun. S ve T altuzaylardır. S, T ve
S∩
LT ’nin birer bazlarını bularak boy(S + T ) = boy(S) + boy(T ) − boy(S ∩ T ) formülünden
S
T = M olduğunu gösteriniz.
1 0
0 1
0 0
0 1
Çözüm: S’nin bir bazı {
,
,
}, T ’nin bir bazı {
} olur.
0 0
1 0
0 1
−1 0
Hem simetrik hem ters simetrik tek matris sıfır matris olduğundan S ∩ T = {0} olur.
boy(S + T ) = boy(S)
L+ boy(T ) − boy(S ∩ T ) formülünden boy(S + T ) = boy(M ) bulunur.
Dolayısıyla M = S
T elde edilir.
MATB201 Lineer Cebir 1
Arasınav - Sayfa 3/ 4
13/11/15
6. (15 Puan) R3 uzayında
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x1 − 3x2 + x3 = 0
lineer denklem sisteminin çözüm kümesinin altuzay olduğunu gösteriniz. Bu altuzay için
bir baz elde ediniz.
Çözüm: (x1 , x2 , x3 ) ve (y1 , y2 , y3 ) bu denklem sisteminin iki çözümü ise, denklem sistemini ikisi de sağlar. Yani
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x1 − 3x2 + x3 = 0
ve
y1 − 2y2 + y3 = 0
2y1 − 3y2 + y3 = 0
elde edilir. Taraf tarafa toplar ve düzenlersek,
(x1 + y1 ) − 2(x2 + y2 ) + (x3 + y3 ) = 0
2(x1 + y1 ) − 3(x2 + y3 ) + (x3 + y3 ) = 0
bulunur, yani toplamları da bu kümededir. Benzer şekilde (x1 , x2 , x3 ) bir çözüm ve c ∈ R
ise denklem sisteminin her iki tarafı c ile çarpılarak
cx1 − 2cx2 + cx3 = 0
2cx1 − 3cx2 + cx3 = 0
elde edilir yani c(x1 , x2 , x3 ) de bu kümededir. Bu altuzayın bir bazı denklem sisteminin
parametreye göre çozümünden elde edilir. Buna göre örneğin x1 = t seçilirse x2 = t ve
x3 = t elde edilir. (x1 , x2 , x3 ) = t(1, 1, 1) olduğundan {(1, 1, 1)} bu uzay için bir bazdır.
7. (15 Puan) u1 = (2, −3, 1), u2 = (1, 4, −2), u3 = (−8, 12, −4), u4 = (1, 37, −17) ve u5 =
(−3, −5, 8) vektörleri R3 vektör uzayını gerer. R3 vektör uzayının bazı olan {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }
kümesinin bir altkümesini bulunuz.
Çözüm: R3 uzayı 3 boyutlu olduğundan, üç tane lineer bağımsız vektör bulmalıyız. u1
ve u2 paralel omadığından lineer bağımsızdır. Bir diğer vektör ancak u5 seçilebilir.
MATB201 Lineer Cebir 1
Arasınav - Sayfa 4/ 4
13/11/15
8. (15 Puan) T : M2×3 (R) → M2×2 (R) lineer dönüşümü
T
a11 a12 a13
a21 a22 a23
=
2a11 − a12 a13 + 2a12
0
0
biçiminde veriliyor. Bu dönüşümün görüntü uzayı olan R(T ) ve sıfır uzayı olan N (T )
uzaylarının boyutlarını bulunuz. Bu bilgiler yardımı ile bu dönüşümünün birebirlik ve
örtenliğini inceleyiniz.
Çözüm: R(T ) uzayını bulmak için
2a11 − a12 a13 + 2a12
a b
=
0
0
c d
eşitliğini incelersek, verilen her a11 , . . . , a23 sayıları için c = d = 0 olur, a ve b ise her reel
sayı olabilir. O zaman bu uzay
a b
R(T ) = {
| a, b ∈ R}
0 0
olur. Bu uzayın bir bazı
1 0
0 1
{
,
}
0 0
0 0
olduğundan rank(T ) = 2 bulunur.
6 = boy(M2×3 (R)) = rank(T ) + sıfırlık(T )
olduğundan sıfırlık(T ) = 4 bulunur.
Bu dönüşüm sıfırlık(T ) 6= 0 olduğundan birebir değildir. Yine rank(T ) 6= boy(M2×2 ) = 4
olduğundan örten değildır.