beta dağılımı

BETA DAĞILIMI
1895 yılında Karl Pearson tarafından tanıtılan beta dağılımını açıklamak için bir beta
fonksiyonu tanımlanır ve bu fonksiyon sayesinde beta dağılımı bulunur.Beta dağılımı
Eularian integralinin birinci tipidir.
f  x   C  x  a  b  x 

(a,b) aralığında tanımlanan

  1
  1 .Bu
fonksiyondaki C sabit ve  ,  tamsayı olarak ifade ederiz.
 ,  >0 olmak üzere ve (a,b) tanım aralığını beta dağılımının olasılık yogunluk
fonskiyonu olarak tanımlayabileceğimiz (0,1) aralığı alırsak;
1
B  ,     x 1 1  x 
 1
dx
0
beta fonksiyonunu elde ederiz.Bu fonksiyonun değeri Gamma fonksiyonu turunden ifadesi;
B  ,   
      
 0
    
 0
İspatı:
1
B  ,     x 1 1  x 
 1
 0
dx
 0
0
du      11  x 
u  (1  x)  1
v
1

x
 2
dv  x 1dx
1
 x 1  x 
0
 1
 1
dx 
1

=
=
x 1  x 

olmak üzere;
 1
1
1
 2
  x    11  x  dx
0
0+

   1 1 x


 1  x 
2
dx
0
   1   2  ......3.2.1.0 1 x   2 dx
  1  2  ......     1 0
burada
1
x
   2
dx 
0
1
  2
x   1
0<x<1
 0
 0
olduğundan;
1
B  ,     x 1 1  x 
 1
dx 
0
=
=
      
    
1
=
   1!
  1!

   1 ......     1   1!
   1!  1!
    1!
      
    


 x 1  x 
1
1
dx
0
1
1=
1=
1
 1
x 1 1  x  dx

       0
    
    
1

x 1  x 

      
1
1
dx
0
Beta Dağılımı ve Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Bir x tesadüfi değişkeni bir beta dağılımına sahipse olasılık yoğunluk fonksiyonu
 ,   0 olmak üzere;
    
      
x 1 1  x 
 1
, 0<x<1
f  x; ,   
0
,
ew
,   0
Birikimli Beta Fonksiyonu
0
x

F(x)=
0
, x<0
    1!t
 ! !
1  t 

dt
, 0<x<1
1
, x>1
şeklinde ifade edilir.Bu dağılımın Karl Pearson tarafından tablosu çıkarılmışır.
Dağılımın Ortalaması ve Varyansı
a)Ortalama:
1
E ( x)   x
0
=
    
      
    
x 1 1  x 
1

x 1  x 

      
1
 1
dx
dx
burada
0
1



 x 1  x 
1
0
E ( x) 
    
      

   1    
     1
olduğundan;
=
=
    1!   !   1!
  1!   1!    !


dx 
   1    
     1
   
tanımından
b)Varyans:
V  x   E  x 2    E  x  
1
E  x2    x2
0

2
    
x 1 1  x 
      
    
1

x 1  x 

      
1
1
 1
dx
dx
0
1


 x 1  x 
1
0
    
E  x2  
      


1
dx 
   2     
     2 
   2     
     2 
    
  1   1!   1!
  1!   1!     1        

burdaki sadelestirme işlemleri
sonucunda
=
   1
elde edilir.
       1
V  x   E  x 2    E  x  
2
   1
2

=
       1    2
=

        1
2
ifadesi beta dağılımına ait varyansı olarak elde edilir.
Karakteristik Fonksiyon
1
E  X k    xk
0
    
      
x 1 1  x 
 1
dx
     1   k 1
 1

x
1  x  dx

       0

        k     

            k 
k=1 için yukarıdaki ifade; E(x) ‘i bize verir.
E  x 
    
      

   1   
=
     1


k=2 için yukarıdaki ifade; E(x2) yi bize verir.
E  x2  
    
      

   2     
     2 
V  x   E  x 2    E  x  
 V  x 
2

        1
2
ifadesi elde edilir.
İLGİLİ DAĞILIMLAR
1.Uniform Dağılımı
f  x 
    1! x
 ! !
1  x 

0
,0<x<1
, ew
şeklinde tanımlanan beta fonksiyonundaki alfa ve beta praemetrelerinin –1 den farklı olmak
durumunda olduğunu görüyoruz.Eğer fonksiyonun uniform dağılımı olmasını istersek ;
    0 değerlerini vererek elde edebiliriz.Böylelikle dağılım;
f ( x) 
1
0
1
E  x    xf  x  dx 
0
1
, 0<x<1
, ew
1
2
şekline dönüşür.
c=     2 ;     1 için dağılımın grafiği;
şeklindedir.
2.Digamma Dağılımı
Eğer
B  ,   
      
şeklinde tanımlanan fonksiyonun
    
türevini alırsak bu fonksiyon,
  x  in logaritmik
 ' x
d
ln   x  
şeklini alır ve buna digamma fonksiyonu ya da

dx
  x
psi fonksiyonu denir.Aynı şekilde ikinci türevini alırsak
  x 
d
d2
ortaya çıkan fonksiyona da trigamma
 '  x     x   2 ln   x 
dx
dx
fonksiyonu denir ve bunu genelleştirerek yazacak olursak;
ds
d s 1
  x   s   x   s 1 ln   x  buna da (s+2) gamma fonksiyonu denir.Bu
dx
dx
fonksiyonlara ilişkin tabloları (1993-1935) yılları arasında Davis isimli bilim adami
bulmuştur.Bu fonksiyonu ya da diğer bir deyişle digamma fonksiyonu için gamma fonksiyonu
s
  x  1    x   x1
n
  x  n     x     x  j  1
ve
j 1
Ayrıca

n

j 0

  x   lim ln  n     x  j  
n 
  
1

1 n
x

x j 0 j  x  j 

    x  1   j  1 x  j  
j 0
  mx   lm  m  
1 m1 
j
 x 

m j 0 
m
burdaki  Euler’s sabiti (  0.5772156649 ...)
1
1
n=!,2,3,...
Ve  ( x) asimptotik açılımı;
  x   ln x 
1
1
1
1



 .....
2
4
2 x 12 x 120 x 252 x 6
 ( x) değeri için çok iyi bir yaklaşım x  2 değeri için   x   ln( x  0.5)
 ( x) nın belli değerleri aşağıda verilmiştir.
 1  
 1 2     2 ln  2   1.968510