X - SABİS

1.5. T3 –Uzayları
Tanım 1.5.1. (X,  ) bir topolojik uzay, F  X bir kapalı küme x  X, F ye ait olmayan
bir nokta olsun. Eğer F kümesi ile x noktasının birbirinden ayrık birer komşulukları
varsa (X,  ) uzayına regüler uzay denir.
Uyarı 1.5.1. i. Ayrık komşuluklar yerine ayrık açık komşuluklar alınabilir.
ii. Herhangi bir regüler uzayı T1 -uzayı olması gerekmez.
Örnek 1.5.1. X  a, b, c üzerinde   , X , a , b, c topolojisi verilsin. Bu
taktirde (X,  ) bir regüler uzaydır fakat T1 -uzayı değildir.
Çözüm. X in kapalı kümelerinin sınıfı    X , , b, c , a olur. F  b, c kapalı
a  F ve F  b, c  , a a 
(veya F  a kapalı b  F (c  F ) ve F  a ve b  b, c )
b, c  a  
olduğundan (X,  ) bir regüler uzaydır. Diğer taraftan b  X için b
tek nokta kümesi (ve  x tek nokta kümesi) kapalı değildir. O halde (X, ) T1 -uzayı
değildir.
Tanım 1.5.2. (X,  ) uzayı hem regüler hem de T1 -uzayı ise X uzayına T3 -uzayı denir.
Teorem 1.5.1. Her T3 -uzayı bir T2 -uzayıdır.
İspat. (X,  ) bir T3 -uzayı olsun. x  y
ile x,y X alalım. X, T1 -uzayı olduğundan  y
tek nokta kümesi kapalıdır ve x   y olur. X regüler olduğundan x U , y  V
olacak şekilde açık ve ayrık kümeler vardır. O halde (X,  ) bir T2 -uzayıdır.(X regüler
olduğundan aşağıdaki teoremden x  V  V  X  y olacak şekilde bir V  N ( x)
vardır. Buradan  y  X  V  ( X  V )0 olur. Ayrıca V  ( X  V )0   olur. O halde
(X,  ) bir T2 -uzayıdır.)
Teorem 1.5.2. (X,  ) uzayının regüler. olması için gerek ve yeter şart her x X ve x in
herhangi bir U komşuluğu verildiğinde x V  V  U olacak şekilde X in bir V
komşuluğunun var olmasıdır.
İspat.  : (X, ) bir regüler uzay olsun. U  N ( x) alalım. Komşuluk tanımından
x T  U olacak şekilde bir T  vardır. Buradan X-T kapalıdır ve x X-T dir. X
regüler olduğundan W V   olacak şekilde bir W  N ( X  T ) ve V  N ( x)
komşuluğu
vardır.
Buradan
V  X W
olur.
Dolayısıyla
x V  V  X  W  T  U olur.
 : x  X ve x F ile F kapalı kümesi verilsin. Bu durumda X-F, x noktasının bir açık
komşuluğudur. Hipotezden V  X  F olacak şekilde V  N ( x) vardır. Buradan
( X  V )  ( X  V )0 , F kümesini kapsayan bir açık kümedir. W  V olduğundan
V  ( X  V )   olur. O halde (X,  ) regülerdir.
Teorem 1.5.3. Regüler uzay ( T3 -uzayı) olma özelliği hem kalıtsal hem de topolojik
özelliktir.
İspat. (X,  ) regüler uzay ve A  X olsun. ( A, A ) nın regüler olduğunu göstereceğiz. F
 A herhangi bir kapalı küme ve bir x  A (x F) alalım. F,  A ya göre kapalı
olduğundan K kümesi X de kapalı olmak üzere F  A  K olur. X regüler olduğundan
U  , x  U ve bir V  , K  V  U  V   olacak şekilde U,V açık kümeleri
vardır. Buradan ( A U )  ( A V )  A  (U V )   dir. O halde ( A, A ) bir regüler
uzaydır. T1 -uzayının her alt uzayı T1 -uzayı olduğundan T3 -uzayı kalıcı özelliğe
sahiptir.
f:  X ,1   (Y , 2 ) bir homeomorfizm  X ,1  bir regüler olsun. (Y , 2 ) nin regüler
olduğunu göstereceğiz. Herhangi bir F  Y kapalı kümesi ve y  Y ( y  F ) noktasını
alalım. f homeomorfizm olduğundan f 1 ( y )  x  X ve
f 1 ( F )  X kapalıdır.
Ayrıca x  f 1 ( F ) dir. (X,  ) regüler olduğundan U V   olacak şekilde x U 
ve
f 1 ( F )  V 
f (U )  2 , y  f (U )
açık
ve
kümeleri
vardır.
f
açık
fonksiyon
f (V )  2 , F  f (V )  f (U  V )  
olur.
olduğundan
f
birebir
olduğundan f (U V )  f (U )  f (V )   olur. Böylece (Y , 2 ) bir regüler uzaydır.
T1 –uzayı olma özelliği topolojik özellik olduğundan T3 –uzayı olma özelliği de
topolojik özelliktir.
Teorem 1.5.4. X   X i çarpım uzayının regüler olması için gerek ve yeter şart her
i
bir ( xi , i )i çarpan uzayının regüler olmasıdır.
İspat.  : X çarpım uzayı, regüler ve boştan farklı her i  için xi çarpan uzayı (X,G)
çarpım herhangi bir alt uzayına homeomorf olur. Regüler uzayın her alt uzayıda
regüler olduğundan xi çarpan uzayı regülerdir.
 : Her i  için ( X i , i )i çarpan uzayı regüler olsun. x  X seçelim ve x noktasının
n
 i 1 (Gk ) komşuluğunu alalım. O halde k=1,2,3,…,n için Gk kümesi X ik noktasının
k 1
k
bir Fk kapalı komşuluğunu kapsar. ( x V  V  U olduğu için ) Buradan
n
 i 1 ( Fk )
k 1
k
kümesi X uzayında x noktasının bir kapalı komşuluğudur ve
n
 i 1 ( Fk ) 
k 1
k
n
 i 1 (Gk ) dır. X çarpım uzayında x noktasının kapalı komşulukları, x
k 1
k
noktasının bir komşuluk tabanı oluşturduğundan ( x V  V  U olduğundan ) X
çarpım uzayı bir regüler uzaydır.
Sonuç 1.5.1. Bir çarpım uzayının T3 –uzayı olması için gerek ve yeter şart her bir
çarpan uzayının T3 –uzayı olmasıdır.
Uyarı 1.5.2. Bir regüler uzayın bölüm uzayının regüler olması gerekmez.
Tanım 1.5.3. (X,  ) bir topolojik uzay olsun. X üzerinde tanımlı sınırlı, sürekli reel
değerli bütün fonksiyonların ailesini CB ( X , R) ile gösterelim. Eğer her x,y  X
(x  y) için CB ( X , R) de f ( x)  f ( y) şartını sağlayan bir f fonksiyonu varsa,
CB ( X , R) nin noktaları ayrılabilirdir.
Örnek 1.5.2. CB ( X , R) noktaları ayrılabilir ve (X,  ) bir T2 -uzayıdır. Gösteriniz?
Çözüm. Gerçekten f ( x)  f ( y) olduğundan f ( x)  f ( y) ve r  R olmak üzere
f ( x)  r  f ( y) olsun. Bu durumda z : f ( z)  r ve z : f ( z)  r kümeleri x veya y
nin ayrık komşuluklarıdır. O halde (X,  ) bir T2 -uzayıdır.
Uyarı 1.5.3. Noktalardan birini X in keyfi kapalı bir alt kümesi alarak bu ayırma
özelliğini kuvvetlendirmek mümkündür.
Tanım 1.5.4. (X,  ) topolojik uzay, kapalı bir F  X alt kümesi ve bir x  X (x F)
noktası verilsin. (R,U) alışılmış uzayın bir
0,1
alt uzayı verilsin. Eğer bir
f : X  0,1 , f ( x)  0, f ( F )  1 sürekli fonksiyonu varsa (X,  ) uzayına tam
regüler uzay denir. f, fonksiyonuna F kümesi ile x noktasını ayırıyor denir.
Tanım 1.5.5. (X,  ) uzayı tam regüler ve T1 -uzayı ise (X,  ) uzayına Tychonoff uzayı
veya T 1  uzayı denir.
3
2
Teorem 1.5.5. Her tam regüler uzay bir regüler uzaydır.
İspat. (X,  ) uzayı tam regüler olsun. Kapalı bir F  X kümesi ve bir x  X (xF)
noktası alalım. Bu durumda bir sürekli f : X  R , f ( x)  0, f ( F )  1 fonksiyonu
vardır. (R,U) alışılmış uzayın  0,1 alt uzayı T2 -uzayı olduğundan U V   olacak
şekilde bir U  N (0) ve bir V  N (1) vardır. f sürekli olduğundan f 1 (U )  N ( x) ve
f 1 (V )  N ( F ) olur. Ayrıca f 1 (U )  f 1 (V )   olur. O halde (X,  ) bir regüler
uzaydır.
Sonuç 1.5.2. Her T 1 –uzayı bir T3 -uzayıdır.
3
2
Teorem 1.5.6. Tam regüler olma özelliği hem kalıtsal hem de topolojik özelliktir.
İspat. (X,  ) bir tam regüler uzay ve A  X alt uzay olsun. A da kapalı bir F kümesi ve
bir x  A ( x  F ) noktasını alalım. A bir alt uzay olduğundan F  A  K olacak
şekilde K  X kapalı kümesi vardır ve x  K olur. X tam regüler olduğundan
f ( x)  0, f ( K )  1
olacak şekilde
f : X  0,1
sürekli fonksiyonu vardır.
Dolayısıyla f A : A  0,1 kısıtlanmış fonksiyonu da süreklidir. Ayrıca f A ( x)  0
ve
f A ( F )  1 olur. O halde ( A, A ) alt uzayı bir tam regüler uzaydır.
g :  X ,1   Y , 2  bir homeomorfizm ve  X ,1  tam regüler olsun. Y , 2  nin tam
regüler olduğunu gösterelim. Herhangi bir F  Y kapalı kümesi ve bir y V ( y  F )
noktası alalım. g homeomorfizm olduğundan g 1 ( y )  x  X ve g 1 ( F )  X
kapalıdır. Ayrıca x  g 1 ( F ) dir. g 1 ( F )  K diyelim.  X ,1  tam regüler olduğundan
f ( x)  0, f ( K )  f ( g 1 ( F ))  ( fog 1 )( F )  1 koşulunu sağlayan bir f : X  0,1
sürekli fonksiyonu vardır.
g
X 
Y
f 
h  fog 1
0,1
olduğundan h  Y  0,1 fonksiyonu süreklidir. Ayrıca
h( y )  ( fog 1 )( y )  f ( g 1 ( y ))  f ( x)  0 ,
h( F )  ( fog 1 )( F )  f ( g 1 ( F ))  f ( K )  1
olur. O halde Y , 2  tam regüler uzaydır.
Sonuç 1.5.3. Tychnoff uzayı olma özelliği hem kalıtsal hem de topolojik özelliktir.
Teorem 1.5.7. X   X i uzayının tam regüler olması için gerek ve yeter şart her i  I
i
için X i çarpan uzayının tam regüler olmasıdır.
İspat.  : X çarpım uzayı tam regüler ve boştan farklı ise, her i   için X i çarpan
uzayı (X,G) uzayının bir alt uzayına homeomorf olduğundan, her i  için X i uzayı
tam regülerdir.
 : Her i   için X i tam regüler olsun. Bir F  X kapalı kümesi ve x  X ( x  F )
noktası verilsin. k=1,2,…,n için Gik kümeleri, X ik çarpan uzayında açık alt kümeler ve
i : X  Xi
k
noktasının
k
izdüşüm fonksiyonları olmak üzere
n
 i 1 (Gi ) kümesi, X uzayında x
k 1
F
kümesiyle
kesişmeyen
bir
k
k
komşuluğudur.
f k ( X ik )  0
ve
f k ( X ik  Gik )  1 olacak şekilde f k : X ik  0,1 sürekli fonksiyonu vardır. Çünkü
X ik tam regülerdir. Şimdi g : X  0,1 fonksiyonu g ( x)  min  f k ( X ik ); k  1,..., n
şeklinde tanımlarsak g sürekli olur. Çünkü g fonksiyonu f k o ik fonksiyonlarının
infimumuna eşittir.
f k o ik
fonksiyonları süreklidir ve sonlu sayıda sürekli
fonksiyonunun infimumuda süreklidir. Ayrıca g ( x)  0 , g ( F )  1 dir. O halde X
çarpım uzayı tam regülerdir.
Sonuç 1.5.4. Bir çarpım uzayının Tychnoff uzayı olması için gerek ve yeter şart her
bir çarpan uzayının Tychonoff uzayı olmasıdır.
Örnek 1.5.3. A   f1 ( x)  sin x, f 2 ( x)  sin 2 x,..., R üzerinde tanımlı reel-değerli
fonksiyonların sınıfı olsun. Her
fn  A
fonksiyonları için
f n (a)  f n (ıı)  0
olduğundan A noktaları ayıramaz.
Teorem 1.5.8. C(X,R), bir X tam regüler T1 -uzayı üzerinde tanımlı reel değerli sürekli
fonksiyonların sınıfı noktaları ayırır.
İspat. a ve b X içinde farklı noktalar olsun. X bir T1 -uzayı olduğundan {b} bir kapalı
kümedir. a  b olduğundan a  {b} dir. X tam regüler olduğundan X üzerinde bir reel
değerli sürekli f fonksiyonu vardır. Öyle ki f (a)  0 ve f
f (a)  f (b) dir.
b  1
olur. Buna göre