İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

2.Diskiriminant (  ) ını Bularak Denklem
Çözme
ax 2  bx  c  0 ve a  0
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
a,b,c reel sayı ve a  0 olmak üzere
ax 2  bx  c  0
biçimindeki açık önermelere ikinci dereceden bir
bilinmeyenli denklem denir.
Denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökleri
denir.
  b 2  4ac
  0 ise reel kök yok
  0 ise çakışık iki kök var(Tam kareli ifade)
  0 ise farklı iki kök var
Denklemin kökleri x1 ve x2 olmak üzere
ÖRNEK:
2 x n3  2 x  n  1  0 denklemi ikinci dereceden bir
x1 
bilinmeyenli denklem ise n kaçtır?
ÖRNEK:
(m  2) x3  2 x n1  nx  2 denklemi ikinci
ÖRNEK:
x 2  2 x  15  0
( x  5)( x  3)  0
x  5 veya x  -3
Denklem Çözme
x2  9  0
( x  3)( x  3)  0
x  3 veya x  -3
x2 
b  
2a
bulunuz?
MATEMATİK’İM
1.Çarpanlara Ayırarak
,
ÖRNEK:
x 2  2 x  2  0 denkleminin varsa reel köklerini
dereceden bir bilinmeyenli denklem ise m.n kaçtır?
İKİNCİ DERECEDN DENKLEMLERİN ÇÖZÜM
KÜMESİNİN BULUNUŞU
b  
2a
ÖRNEK:
x 2  2 x  4  0 denkleminin reel köklerini bulunuz?
ÖRNEK:
4 x  2 x 2  m  0 denkleminin reel kökleri olmadığına
göre m’in çözüm kümesini bulunuz?
ÖRNEK:
x 2  (m  2) x  2m  0
( x  m)( x  2)  0
x  m veya x  -2
ÖRNEK:
mx 2  (2m  1) x  m  1  0 denkleminin çakışık iki
kökü olduğuna göre m’in çözüm kümesini bulunuz?
1
ÖRNEK:
(m  2) x 2  2 x  1  0 denkleminin iki reel kökü
ÖRNEK:
x 2  (n  m) x  mn  0 denkleminin çözüm kümesini
olduğuna göre m’in çözüm kümesini bulunuz?
bulunuz.
ÖRNEK:
3 x  x 2  4  0 denkleminin diskiriminantını bulunuz.
ÖRNEK:
(m  2) x 2  2 x  1  0 denkleminin köklerinden biri
1 olduğuna göre m kaçtır?
ÖRNEK:
4 x  2 x 2  4  0 denkleminin çözüm kümesini
SIRA SİZDE
bilinmeyenli denklem ise köklerini bulunuz?
MATEMATİK’İM
ÖRNEK:
x n1  2 x  n  1  0 denklemi ikinci dereceden bir
bulunuz.
ÖRNEK:
x 2  6 x  m  1  0 denkleminin reel kökleri
olmadığına göre m’in çözüm kümesini bulunuz?
ÖRNEK:
(m  2) x3  2 x n2  3x  5 denklemi ikinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem ise m.n kaçtır?
ÖRNEK:
(m  1) x 2  8x  2  0 denkleminin çakışık iki kökü
olduğuna göre m’in çözüm kümesini bulunuz?
ÖRNEK:
x 2  3x  10  0 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
ÖRNEK:
2 x 2  2 x  m  1  0 denkleminin iki reel kökü
olduğuna göre m’in çözüm kümesini bulunuz?
2
ÖRNEK:
2 x 2  (m  1) x  5  0 denkleminin kökler toplamı
kökler çarpımının 2 katına eşitse m kaçtır?
ÖRNEK:
3x 2  (3m  1) x  3  0 denkleminin köklerinden biri
m olduğuna göre m kaçtır?
ÖRNEK:
x 2  3 x  4  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dır
x12  x2 2 ifadesinin değeri kaçtır?
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
DENKLEMİN KÖKLERİYLE KATSAYILARI
ARASINDAKİ BAĞINTI
b
1) x1  x2  
a
c
2) x1.x2 
a
3)
x1  x2 

a
MATEMATİK’İM
ax 2  bx  c  0 denkleminin kökleri
b  
b  
x1 
x2 
,
2a
2a
ÖRNEK:
3 x 2  x  2  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dır
1 1

ifadesinin değeri kaçtır?
x1 x2
Not:Denklemin simetrik iki kökü varsa
x1  x2  0 olur.
ÖRNEK:
x 2  4 x  1  0 denkleminin kökler toplamını ve
kökler çarpımını bulunuz.
ÖRNEK:
6 x  2 x 2  5  0 denkleminin kökler toplamını ve
kökler çarpımını bulunuz.
ÖRNEK:
x 2  2 x  m  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dır
x1  x2  2 ise m kaçtır?
ÖRNEK:
x 2  (m  2) x  7  0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 dır . x12 x2  x1 x2 2  14 ise m kaçtır?
3
ÖRNEK:
x 2  (3m  2) x  m  1  0 denkleminin simetrik iki
ÖRNEK:
3x 2  x  2  m  0 denkleminin kökleri x1 ve x2
kökü olduğuna göre m kaçtır?
dır
1 1
  2 ise m kaçtır?
x1 x2
ÖRNEK:
x 2  2 x  m  1  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dır
ÖRNEK:
x 2  2 x  6  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dır
x1  x2  3 ise m kaçtır?
SIRA SİZDE
ÖRNEK:
3x 2  6 x  1  0 denkleminin kökler toplamını ve
kökler çarpımını bulunuz.
MATEMATİK’İM
x1  x2 ifadesinin değeri kaçtır?
ÖRNEK:
x 2  2 x  4  0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 dır . x13 x2  x1 x23 ifadesinin değeri kaçtır?
ÖRNEK:
x 2  (m  1) x  3  m  0 denkleminin kökler
toplamı ve kökler çarpımı eşitse m kaçtır?
ÖRNEK:
a 2  6ab  b2
 2 eşitliğini sağlayan a değerlerinin
b2
toplamının b türünden değerini bulunuz
ÖRNEK:
4 x  2 x 2  2  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dır
x12  x2 2 ifadesinin değeri kaçtır?
4
ÖRNEK:
mx 2  (2  m) x  m  1  0 denkleminin simetrik iki
ÖRNEK:
x 2  x  5  0 denkleminin kökleri x1 ve x2
olsun.Kökleri x1 +2 ve x2  2 olan ikinci dereceden
kökü olduğuna göre m kaçtır?
denklemini bulunuz.
KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİDERECEDEN
DENKLEMİN YAZILMASI
SIRA SİZDE
Kökleri
ÖRNEK:
x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
x 2  ( x1  x2 ) x  x1.x2  0 yada
ÖRNEK:
Kökleri -2 ve 3 olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
MATEMATİK’İM
( x  x1 ( x  x2 )  0 olur
Kökleri -5 ve 7 olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
ÖRNEK:
Köklerinden biri 2 
denklemi bulunuz.
3 olan ikinci dereceden
ÖRNEK:
Köklerinden biri
denklemi bulunuz.
5  2 olan ikinci dereceden
ÖRNEK:
2 x 2  3x  1  0 denkleminin kökleri x1 ve x2
olsun.Kökleri x1 -3 ve x2  3 olan ikinci dereceden
ÖRNEK:
x 2  ( x1  3) x  6  0 denkleminin kökleri x1 ve x2
dır. Buna göre
denklemini bulunuz.
x1 kaçtır?
5
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİİLİNMEYENLİ
DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLE BİLEN
DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ
ÖRNEK:
x2  x  12  0 denkleminin çözüm kümesini bulalım
1.Değişken Değiştirerek Çözülebilen Denklemler
ÖRNEK:
x 4  5 x 2  6  0 denkleminin çözüm kümesini bulalım
ÖRNEK:
x  3  2 x  1 denkleminin çözüm kümesini bulalım
bulalım
MATEMATİK’İM
ÖRNEK:
4 x  3.2 x  2  0 denkleminin çözüm kümesini
SIRA SİZDE
ÖRNEK:
x 4  2 x 2  8  0 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
ÖRNEK:
x  x  1  1 denkleminin çözüm kümesini bulalım
ÖRNEK:
9 x  12.3x  27  0 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
ÖRNEK:
x  1  x  4  1 denkleminin çözüm kümesini
bulalım
ÖRNEK:
x  2 x  1  1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
6
ÖRNEK:
x  3  4 x  1  2 denkleminin çözüm kümesini
ÖRNEK:
x  2 x 2  m  1  0 denkleminin iki farklı reel kökü
olduğına göre m’in çözüm kümesini bulunuz?
bulalım
ÖRNEK:
x 2  2(m  1) x  3  m  0 denkleminin kökler
toplamı ve kökler çarpımının 2 katına eşitse m kaçtır?
MATEMATİK’İM
ÖRNEK:
x2  x  6  0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÖRNEK:
x  2  2 x  11 denkleminin çözüm kümesini
ÖRNEK:
x 2  ( x1  2) x  6  0 denkleminin kökleri x1 ve x2
dır. Buna göre x1 kaçtır?
bulunuz.
ÖRNEK:
(m  2) x3  x n2  2 x  m.n  0 denklemi ikinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem ise köklerini
bulunuz.
ÖRNEK:
x 2  (m  1) x  2  m  0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 dır
1 1
  2 ise m kaçtır?
x1 x2
7

ÇÖZÜMLÜ TEST

8
1. 2 y3n5  2 y  2n  1  0 denklemi ikinci dereceden
bir bilinmeyenli denklem ise n kaçtır?
ÇÖZÜM
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
x1  x2  
b
8
8

 2
a
2.(2) 4
ÇÖZÜM
3n  5  2  3n  3
YANIT “C”
n  1
5. 3x2  (3m  1) x  m  5  0 denkleminin kökler
toplamı ve kökler çarpımına oranı -2 ise m kaçtır?
YANIT “A”
2. x 2  4 x  m  2  0 denkleminin reel kökleri
A)
olmadığına göre m aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) -5
B) -4
C)- 3
D) 1
11
5
B)
x1  x2  
ÇÖZÜM
  0 olmalı
a  1, b  4, c  m  2
MATEMATİK’İM
  (4)  4.1(m  2)  16  4m  8  0
8  4m  2  m .
2
YANIT “E”
3. 2a  2ab  b  3  0 denkleminin köklerinden
biri b  1olduğuna göre b kaçtır?
2
B) -4
C) 1
D) 2
C)
7
5
3
5
D)
E) 11
E) 2
ÇÖZÜM
A) -5
9
5
x1  x2

x1.x2

(3m  1)
m5
, x1.x2 
3
3
(3m  1)
3
 2
m5
3
x1  x2 3m  1 3

.
2
x1.x2
3
m5
3m  1
 2  3m  1  2m  10
m5
11
5m  11  m 
5
E) 5
YANIT “A”
ÇÖZÜM
2(b  1)2  2(b  1)b  b  3  0
2b2  4b  2  2b 2  2b  b  3  0
b  5  0  b  5
6. 3x 2  6 x  1  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dır
x13  x23 ifadesinin değeri kaçtır?
YANIT “A”
A) -10
B) -6
C) 2
D) 4
E) 6
4. 8 x  2 x 2  1  0
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 2
D) 4
E) 8
ÇÖZÜM
x13  x23  ( x1  x2 )3  3x1x2 ( x1  x2 )
9
x2  x  3  0
6
1
 2, x1x2 
3
3
1
x13  x23  23  3 .2  8  2  6
3
x1  x2  
YANIT “E”
MATEMATİK’İM
YANIT “D”
7. x 2  ( x1  2) x  x2  6  0 denkleminin kökleri
9. x 2  (m  1) x  2  n  0 denkleminin kökleri
m ve n dır
1 1
 ifadesinin değeri kaçtır?
m n
x1 ve x2 dır. Buna göre x1 kaçtır?
A) -1
A) -2
B) 0
C) 1
D) 2
B) 0
C) 1
D) 2
E)
E) 3
1
2
ÇÖZÜM
m  n  m 1  n  1
m.n  2  n  m.1  2 1
m 1
1 1 1 1
   2
m n 1 1
ÇÖZÜM
x1  x2  x1  2  x2  2
x1x2  x2  6  x1.(2)  2  6
2 x1  4  x1  2
YANIT “D”
YANIT “A”
10. x 2  2 x  3  m  0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 dır.
2 x1 - x2  4 ise m kaçtır?
8. 4 x 2  2 x  3  0 denkleminin kökleri x1 ve x2
olsun.Kökleri 2 x1 -1 ve 2x2  1 olan ikinci dereceden
A) 1
B) 0
C) 2
D) 3
E) 5
denklemini bulunuz.
B) x  x  3
D) x 2  x  3
2
22  2.2  3  m  0
m3
3x1  6  x1  2
MATEMATİK’İM
A) x  x  2
C) x 2  x  2
E) x 2  x  2
2
ÇÖZÜM
x1  x2  2
+ 2 x1 - x2  4
YANIT “D”
11. Köklerinden biri 3  7 olan ikinci dereceden
ÇÖZÜM
x yerine 2x  1 nin tersi
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x 1
yazılır
2
x 1 2
x 1
) 2
3  0
2
2
x2  2x  1
4.
 x 1  3  0
4
x2  2x  1  x  1  3  0
4(
A) x 2  3 x  2
C) x 2  6 x  2
E) x 2  6 x  2
B) x 2  6 x  3
D) x 2  6 x  3
ÇÖZÜM
10
Köklerinden biri 3 
7 ise diğeri 3  7
A) -2
x1  x2  3  7  3  7  6
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
x1.x2  (3  7)(3  7)  9  7  2
YANIT “C”
12. ( x  2)2  2( x  2)  15  0 denkleminin çözüm
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {-5,3}
3,1}
B) {-3,5}
D) {-5,1}
E) {-1,3}
C) {-
YANIT “E”
ÇÖZÜM
( x  2)2  2( x  2)  15  0
x  2  t dersek
t 2  2t  15  0
(t  5)(t  3)  0
t  5  x  2  5  x  3
t  3  x  2  3  x 1
15. x2  x  3  5  0 denkleminin çözüm kümesini
kaç elemanlıdır?
A) 0
YANIT “C”
13. x  4 x  1  2 denkleminin çözüm kümesini
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B)
C) 
ÇÖZÜM
4 x  2.2 x  8  0
2 x  t dönüşümü yaparsak
t 2  2t  8  0
(t  4)(t  2)  0
t  4 veya t  2
2x  4  x  2
2 x  2 sağlayan x değeri yoktur
D)

E) 2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
ÇÖZÜM
x2  x  3  5  0
x  3  0 ise
x2  x  3  5  0  x2  x  2  0
x 2  x  2  0  ( x  2)( x  1)  0
x  2 veya x  1 denklemde yerine yazdığımızda
hiçbiri sağlamaz
x  3  0 ise
x2  x  3  5  0  x2  x  8  0
x 2  x  8  0 için
  0 olduğundan iki reel kökü vardır.
YANIT “C”
16. x  (m  1) x  3x  m  0 denkleminin simetrik
2
ÇÖZÜM
x  4 x  1  2  x  2  4 x  1
Her iki tarafın karesi alınırsa
x2  4 x  4  4 x  1
x 2  3 dolayısıyla Ç.k boş küme olur
14. 4 x  2 x1  8  0 denkleminin kökler toplamı
kaçtır?
iki kökü olduğuna göre m kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
ÇÖZÜM
x 2  (m  1) x  3x  m  0 denkleminin simetrik iki
kökü olduğuna göre kökler toplamı sıfır olur yani
11
b0
m  1  3  0  m  2 olur
x 2  (2 x  1) x  2 x  1  0
x2  2x2  x  2x 1  0
YANIT “E”
3x 2  3x  1  0
x1  x2  1
m  2x olduğundan m1  m2  2 olur.
YANIT “A”
17. x  (m  1) x  m  1  0
2
4
 5 ise x in alabileceği değerler
x2
x 2  (m  1) x  2m  1  0
20. x  2 
denklemlerinin birer köü eşit olduğuna göre m’in
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
toplamı kaçtır?
A) -5
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
B) 1
C) 5
ÇÖZÜM
İki denklemi birbirine eşitlersek
x 2  (m  1) x  m  1  x 2  (m  1) x  2m  1
mx  x  m 1  mx  x  2 m 1
2x  m olur.
x 2  (2 x  1) x  2 x  1  0
x2  2x2  x  2x 1  0
3x 2  3x  1  0
x1  x2  1
E) 9
ÇÖZÜM
x2  a
4
a 5
a
2
a  4  5a  a 2  5a  4  0
(a  1)(a  4)  0
a 1 x  2 1 x  3
a  4 x2  4 x  6
3  6  9 olur
YANIT “E”
m  2x olduğundan m1  m2  2 olur.
YANIT “A”
18.
D) 7
E) 2
21. x 2  2 xy  y  3  0
x y 2
A) -1
x  (m  1) x  m  1  0
2
B) 
1
2
C) 1
D) 2
E)
1
2
x 2  (m  1) x  2m  1  0
denklemlerinin birer kökü eşit olduğuna göre m’in
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
x y  2 x  2 y
A) -2
(2  y)2  2(2  y) y  y  3  0
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
ÇÖZÜM
İki denklemi birbirine eşitlersek
x 2  (m  1) x  m  1  x 2  (m  1) x  2m  1
mx  x  m 1  mx  x  2 m 1
2x  m olur.
2  2 y  y2  4 y  y2  y  3  0
2 y2  5 y 1  0
1
y1. y2 
2
YANIT “B”
12

CEVAPLI TEST

13
1. (n  1) y n2  2 y  2n  1  0 denklemi ikinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem ise kökler
çarpımı kaçtır?
A) 1
B) 0
C)-1
D)-2
6. x 2  3 x  m  1  0
denkleminin kökleri
E)-3
x1 ve x2 dır
x  x2  5 ise m kaçtır?
2
1
A) -1
2
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
2. x 2  6 x  3  m  0 denkleminin çözüm
kümesi bir
elemanlı olduğuna göre m kaçtır?
A) -6
B) -4
C)- 3
D) 1
E)
2
7. x 2  5 x  m  6  0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dır.
3x1 =2x2 ise m kaçtır?
A) -2
E) 3
3. 2a 2 x 2  2abx  b  3  0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dır.
a
x1  x2  3 ise ifadesinin değeri kaçtır?
b
A) -
1
3
B) -
1
2
C)
1
3
B) 0
C) 1
D) 2
8. Kökleri x 2  x  3  0 denkleminin
köklerinden 2 eksik olan ikinci dereceden
denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
D) 2
A) x 2  3 x  2
x 2  3x  1
D) x 2  3x  1
E) 3
B) x 2  x  1
C)
E) x 2  3 x  1
4. 8 x  2 x 2  1  0
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 2
D) 4
E) 8
9. x 2  (m  1) x  2  n  0 denkleminin
kökleri
m ve n dır
1 1
 ifadesinin değeri kaçtır?
m n
A) -1
5. 3x 2  (m  1) x  m  5  0 denkleminin
çakışık
iki kökü olduğuna göre m’in alabileceği değerler
toplamı kaçtır?
A) -14
14
B)-7
C) -6
D) 7
E)
B) 0
C) 1
D) 2
1
E)
2
10. x 2  2 x  3  m  0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 dır.
14
2 x1 - x2  4 ise m kaçtır?
A) 1
B) 0
C) 2
D) 3
E) 5
11. Köklerinden biri 3  7 olan ikinci dereceden
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 2  3 x  2
x2  6 x  3
C) x 2  6 x  2
D) x 2  6 x  3
E) x 2  6 x  2
kümesini
kaç elemanlıdır?
B)
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E)
4
çözüm
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
MATEMATİK’İM
16. x 2  mx  m  7  0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 dır
1
1
3

  ise m kaçtır?
x1  1 x2  1
4
12. ( x  2)2  2( x  2)  15  0 denkleminin
A) {-5,3}
{-3,1}
D) {-5,1}
15. x2  x  3  5  0 denkleminin çözüm
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E)
2
B) {-3,5}
C)
E) {-1,3}
17. x 2  8 x  m  0
denkleminin kökleri
x1 ve x2 dır
x1  x2  2 ise m kaçtır?
A) -2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
13. x  4 x  1  2 denkleminin çözüm
kümesini
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B)
C) 
D)

E) 2
18.
a bx  1
 2  2 denklemini sağlayan x
x
x
değerlerin
çarpımı kaçtır?
14. 4  2
x
x1
 8  0 denkleminin kökler toplamı
kaçtır?
A) -2
A) -2
B) -1
C) 
1
2
D)
1
2
E) 1
B) -1
C) 0
D) 1
E)
2
15
19. (m  2) x 2  2mx  m  1  0 denkleminin
reel
iki kökü olduğuna göre m’in çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2, )
B) (2, )
C)
(, 2)
D)
20. x 2 
 {2}
E) ( 2,  )  {2}
2
 2 denkleminin çözüm kümesi
x 1
2
kaç
elemanlıdır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E)
4
16