Soru 4- Koni üzerindeki bir parçacığın klasik ve kuantum mekaniksel

Soru 4- Koni üzerindeki bir parçacığın klasik ve kuantum mekaniksel özellikleri.
M kütleli bir parçacık yere dik olarak konumlanmış 𝜽 tepe açılı bir düzgün koninin yüzeyinde sürtünmesiz
olarak hareket edebilmektedir. Yerçekimi ivmesi g olarak verilmiştir. (Sürtünmesiz dondurma külahının
içinde bir noktasal parçacık hayal edebilirsiniz.)
z
g
𝜃
A1) Merkez eksenden R kadar uzaktaki noktalardan oluşan bir çember
çizecek şekilde hareket eden parçacığın hızı nedir? Koninin en alt
noktasındaki yerçekimi potansiyel enerjisine sıfır dersek böyle bir
yörüngeye sahip parçacığın toplam enerjisi nedir?
A2) İlk anda merkez eksenden 𝑹𝟎 kadar uzaktaki bir noktadan z
yönündeki bileşeni sıfır olacak şekilde bir 𝒗𝟎 hızı ile atılan cisim
genelde karmaşık bir yörünge çizecektir. Bu karmaşık hareketi
boyunca eksene en yakın gelebileceği uzaklık ve yer seviyesinden
(koninin uç noktasının seviyesi) yükselebileceği en büyük uzaklık ne
olur. (İlk hızı ve konumunun dairesel olmayan bir yörünge verdiğini
kabul edin.)
A3) Bu parçacık koni üzerinde R yarıçaplı dairesel yörüngesinde
dönerken koninin açısı çok yavaş bir şekilde arttırılıyor. Açı 𝜷 olduğunda parçacığın üzerinde ne
kadar iş yapılmıştır? (Yörüngenin değişim boyunca hep dairesel kaldığını kabul ediniz)
B) Bu parçacık yeterince küçükse kuantum mekaniğini hesaba katmamız gerekir. Cevaplarınızı
semiklasik Bohr yaklaşımı ve/veya Heisenberg belirsizlik ilkesi çerçevesinde verebilirsiniz:
B1) Parçacığın enerji seviyeleri nelerdir? Parçacığın yerden yüksekliği en az ne kadar olabilir?
B2) Elektron için ve g=9.82 𝑚/𝑠 2 kullanarak 30 derece tepe açılı bir koni için bu yüksekliği hesaplayın.
𝑚𝑒 = 9.11 10−31 𝑘𝑔, ℏ = 1.05 10−34 𝐽𝑠, 𝑒 = 1.60 10−19 𝐶
B3) Parçacığın yükü q ise ve z yönünde bir B manyetik alanı uygulanırsa yeni enerji seviyeleri ne olur?
Açısal momentumu ℏ ve −ℏ olan seviyeler arasındaki enerji farkı ne kadardır. Bu enerji farkını elektron
için ve bir önceki şıktakı parametlerle 1 teslalık manyetik alan altında bulup elektronvolt olarak ifade
edin.