11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem

11.1.Teorem:
Bu durumda
(
)
1.Ö.:
{
11.Gram-Schmidt metodu
11.1. Ortonormal baz
}, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun.
{
olmak üzere
.
},
de bir ortonormal baz olsun. Burada
.
[ ]
[ ]
birleşimi olarak yazınız.
(
)
(
[ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer
[ ]
)
(
)
olduğuna göre
11.2. Gram-Schmidt metodu
11.2.Teorem (Gram-Schmidt metodu): V bir iççarpım uzayı ve
{ } bir
V’nin m-boyutlu bir altuzayı olsun. Bu taktirde W için bir
{
}
ortonormal bazı vardır.
İspat: İlkiönce W için bir
{
} ortogonal bazını buluruz. W için
herhangi bir baz
{
} olsun. S’ deki vektörlerden herhangi birini
seçerek başlayalım. Örneğin bu
olsun ve ile gösterelim. Böylece
dir. {
} tarafından gerilen W’nın
altuzayında ’e ortogonal olan bir
vektörü arıyoruz.
olduğundan
altuzayı {
} tarafından da gerilir.
)
Böylece
dir. (
olacak şekilde katasıları
bulmalıyız. Buradan
(
)
(
)
(
)
olduğundan
(
)
(
)
dir. ’ye sıfırdan farklı keyfi bir değer verebiliriz. Böylece
alnırsa
(
)
(
)
elde edilir. Buradan
(
)
(
)
Bu noktada W’nın bir dik {
} altkümesine sahip oluruz.
Şimdi, {
} tarafından gerilen W’nın
altuzayında
ve
vektörlerinin her birine ortogonal olan bir
vektörü arıyoruz. Elbette
{
} sistemi tarafından gerilen bir altuzaydır.
1
Böylece
dir. (
şekilde katasıları bulmalıyız. Buradan
(
) (
(
) (
olduğundan
(
(
)
,
)
(
)
(
)
)
)
)
ve (
)
olacak
)
)
(
(
)
)
(
(
’e sıfırdan farklı keyfi bir değer verebiliriz. Böylece
alnırsa
(
)
(
)
(
)
(
)
Şimdi, {
} tarafından gerilen W’nın
altuzayında ,
vektörlerinin
her birine ortogonal olan bir vektörü bulacağız.
altuzayı {
} sistemi
tarafından da gerilir. Benzer metotla
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
elde edilir.
Bu işleme
{
}
ortogonal sistemini bulana kadar devam edilir.
W için bir baz olur. Eğer
için
alırsak, o zaman
‖ ‖
dir.
{
} W için bir ortonormal baz olur.
2.Ö.: Üzerinde standart iç çarpım tanımlı
{
} olsun. Burada
[ ]
dönüştürünüz.
Çözüm:
[
]
[
uzayının altuzayı W ve W’nın bir bazı
{
]. S bazını
} ortonormal bazına
alalım. Bu taktirde
(
(
)
)
[
]
(
)[ ]
[
Kesirlerden kurtulmak için
Bunu şimdi
yi 3 ile çarparsak, [
olarak kullanabiliriz.
] elde edilir.
vektörünü hesaplarsak
2
]
(
(
)
)
(
(
)
)
[
]
(
)[ ]
(
)[
]
[
Kesirlerden kurtulmak için
{
}
{[ ] [
i 5 ile çarparsak, [
] [
]
] elde edilir. Böylece,
]} W için bir ortogonal bazdır. S deki her bir
vektörü uzunluğuna bölmek suretiyle W için
√
{
}
√
√
√
√
√
√
√
ortonormal bazını elde ederiz.
√
{[ ] [ √ ] [ √ ]}
{
3.Ö.: V, iç çarpım uzayı olsun. W, bir
W için bir ortonormal baz bulunuz.
Çözüm:
alalım.
. O zaman
(
)
(
)
Burada
(
)
∫
(
)
∫
(
)
∫(
} bazına sahip
ün altuzayı olsun.
)
{√
olduğundan, W için bir ortonormal baz
3
√
(
)} olur.
11.3.Teorem: V , n boyutlu Öklid uzayı ve
{
} de V için bir
ortonormal baz olsun. Eğer
ve
ise, o zaman
(
)
olur.
İspat:
İlk önce, sıralı S bazına göre verilen
[ ] matrisini hesaplamalıyız.
(
)
Böylece
. Teoreme göre
(
)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
][
{
[ ] [ ]
]
11.3 QR-Ayrışımı
11.4.Teorem: A , mxn tipinde lineer baqğımsız sütun vektörlerine sahip ise, o
zaman A=QR olarak ifade edebiliriz. Burada Q, A nın sütun uzayı için bir
ortonormal bazdan elde edilen sütun vektörlerine sahip mxn tipinde bir matris ve
R de singüler olmayan olmayan üst üçgen matristir.
İspat:
ler A’nın sütun uzayı için bir baz olan lineer bağımsız sütun vektörlerini
göstersin. G-Schmidt metodunu kullanarak A nın sütun uzayı için bir ortonormal
bazını elde edebiliriz.
için
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
elde edilir.
Sonuçta,
için
‖ ‖
olur.
Şimdi her bir u vektörü
lerin linee birleşimi olarak yazılabilir.
…
(
)
{
} uzayina dik olduğundan ye de diktir. Böylece bu halde
j>i için
. Q, sütun matrisleri
olan bir matris olsun.
4
[
].
O zaman matris formunda
[
] [
şeklinde yazabiliriz. Böylece,
[
]
]
Şimdi R nin singüler olmadığını gösterebiliriz.
lineer sisteminin bir çözümü olsun.
( ) ( )
Buna göre Ax=0 homojen sistemi
şekilde yazabiliriz. , x vektörünün bileşenleridir.
A matrisinin sütun vektörlerinin lineer bağımsız olduğundan
elde edilir.
4.Ö.:
[
] matrisinin QR ayırışımını bulunuz.
Çözüm:
√
√
[
√
√
√
[
√
√
]
[ √
√
√
√
√
,
[
]
√
√
√
√
O zaman
√
√
√
√
]
5
√
]
[ √
]
(
√
√
√
[
Kısaca A=QR.
)
√
√
]
√
11.KONU: Ödevler
1.
Öklid uzayında verilen {[ ] [
]} bazını Gram-Schmidt metodunu kullanarak
bir ortonormal baza dönüştürünüz.
2.
Öklid uzayının W altuzayı için {[ ] [
]} bazını Gram-Schmidt metodunu
kullanarak bir ortonormal baza dönüştürünüz.
3.
Öklid uzayında verilen
{[ ] [ ] [ ]} bazını Gram-Schmidt metodunu
kullanarak bir ortonormal baza dönüştürünüz.
{
}
4.
Öklid uzayının bir W altuzayı için bir ortonormal baz
bulunuz.
5. Öklid uzayı için
ortonormal baz bulunuz.
{
} bazına Gram-Schmidt metodunu kullanarak bir
6.
[
] matrisinin QR ayırışımını bulunuz.
7.
[
] matrisinin QR ayırışımını bulunuz.
8.
[
9.
[
10.
Öklid uzayının [
] matrisinin QR ayırışımını bulunuz.
] matrisinin QR ayırışımını bulunuz.
] formundaki tüm vektörlerini içeren altuzayı için bir
ortonormal baz bulunuz.
6