BTZ Kara Deliği ve Grafen
advertisement
BTZ Kara Deliği ve Grafen Ankara YEF Günleri 2015 12-14 Şubat 2015, ODTÜ Ümit Ertem ve B. S. Kandemir • BTZ Kara Deliği • Grafen ve Eğri Uzay-zamanlar • Beltrami Trompeti ve Dirac Hamiltonyeni • Enerji Değerleri ve Grafen Parametreleri • Sonuç 2 BTZ Kara Deliği • Kara Delik : • Merkezindeki büyük kütleden kaynaklanan kütleçekim alanından kaçış hızının ışık hızından büyük olduğu uzay-zaman bölgesi. • Kaçış hızının ışık hızına eşit olduğu yüzey kara deliğin olay ufku olarak adlandırılır. Olay ufkunun içinden ışık dışarı kaçamaz. 3 • Bir kara deliği betimlemek için üç fiziksel parametre yeterlidir; – Kütle (M) – Açısal momentum (J) – Yük (Q) • (3+1) boyutlu kütleçekim teorisindeki kara delik çözümleri; – Statik kara delik, M, Schwarzschild – Dönen kara delik, M+J, Kerr – Yüklü ve dönen kara delik, M+J+Q, Kerr-Newman • Kara deliklerin varlığına ilişkin (dolaylı) gözlemsel kanıtlar mevcuttur. 4 • (2+1) boyutta kütleçekim teorisi topolojik bir teoridir. Dolayısıyla lokal serbestlik dereceleri yoktur. (Çözümler, nokta tekillikler içeren düz metriklerdir) • Fakat, kozmolojik sabitin varlığında durum farklıdır. – Kozmolojik sabit, boşluğun enerji yoğunluğuna karşılık gelir. – Pozitif ya da negatif değer alabilir. • Negatif kozmolojik sabitli, (2+1) boyutlu kütleçekim teorisi bir kara delik çözümüne sahiptir. Bu çözüm BTZ kara deliğidir. (Banados, Teitelboim, Zanelli PRL 69, 1849 (1992)) 5 • BTZ kara delik metriği aşağıdaki biçimdedir dr 2 J 2 2 ds = −∆dt + + r 2 dφ − 2 dt ∆ 2r t , r , φ (2+1) boyutlu uzay-zaman koordinatları, 2 r2 J 2 ∆ = 2 + 2 −M l 4r M kara deliğin kütlesi ve J açısal momentumu, 1 Λ = − 2 kozmolojik sabit l • Bu metrik iki koordinat tekilliğine sahiptir, bunlar kara deliğin iç ve dış ufuklarına karşılık gelir M rm = l 2 • 1/ 2 2 1/ 2 J 1 m 1 − Ml r+ kara deliğin olay ufkudur ve varolması için şu koşullar sağlanmalıdır; M >0 , J ≤ Ml 6 Grafen ve Eğri Uzay-zamanlar • Grafen: Karbon atomlarının 2 boyutlu altıgen örgüsü • Enerji spektrumu: • Brillouin bölgesindeki bazı izole noktalarda değerlik ve iletim bantları birbirine dokunur. • Dolayısıyla grafen bir yarı-metaldir. 7 • Grafendeki düşük enerjili elektronik uyarılmalar efektif olarak kütlesiz Dirac denklemini sağlayan psödo-parçacıklar aracılığıyla betimlenir; H (k ) = hvF (k xσ 1τ 3 + k yσ 2 ) ( σ i altörgü için Pauli matrisleri ve τ 3 K, K’ noktaları için Pauli matrisi) • Bu Hamiltonyene karşılık gelen dispersiyon bağıntısı momentuma göre lineerdir; E (k ) = hvF k 8 • İki boyutlu grafen yüzeyi, değişik deneysel yöntemler kullanılarak farklı eğri biçimlere sokulabilir. • Dolayısıyla, eğri grafen yüzeyleri eğri bir arkaplanda hareket eden Dirac parçacıklarını betimlemek için kullanılabilir. • İki boyutlu eğri yüzeyler, eğriliği sadece uzay kısmında olan (2+1) boyutlu uzay-zaman nesneleri olarak görülebilirler. • Bu yolla, Dirac parçacıklarının bir eğri uzay-zaman kuantum alan teorisi realizasyonu, üç boyut içerisine gömülebilir iki boyutlu grafen yüzeyleri kullanılarak elde edilebilir. 9 Beltrami Trompeti ve Dirac Hamiltonyeni • BTZ metriği aşağıdaki biçimde yazılabilir 2 2 2 dr r J 2 2 ds = ∆ − dt + 2 + dφ − 2 dt ∆ ∆ 2r • Parantez içerisindeki kısım (optik BTZ metriği) Beltrami trompeti yüzeyini ifade eden metrikle aynı formdadır; − dt 2 + dρ 2 + C 2 (dφ − Wdt ) 2 C ve W , ρ koordinatının fonksiyonlarıdır. • Dolayısıyla, BTZ kara deliği Beltrami trompeti yüzeyi ile konformal olarak ilişkilidir. (Cvetic, Gibbons, Ann. Phys. 327 2617 (2012)) 10 • BTZ metriği negatif sabit eğriliğe sahip olduğundan, yalnızca olay ufkunun dış kısmı ( >r + ) 3 boyutlu uzaya 2 boyutlu yüzey olarak gömülebilir(Hilbert teoremi) • Dolayısıyla, olay ufkunun dışı 3 boyutlu uzaydaki Beltrami trompeti yüzeyi ile modellenebilir. • Kütlesiz Dirac denklemi konformal simetriye sahiptir; g~µν = Ω 2 g µν ⇒ ~ Ψ = Ω (1− D ) / 2 Ψ g metrik, Ψ Dirac çözümü, Ω 2 is konformal çarpan, D boyut • Yani, Beltrami trompeti arkaplanında Dirac denklemi yazıldığında, BTZ kara delik uzay-zamanında hareket eden Dirac parçacıklarının özelliklerine ulaşılabilir. 11 • Optik BTZ metriği arkaplanındaki Dirac denklemi aşağıdaki gibi yazılır; ∂ M J2 im J J + 3 + σ 3 ∆ − σ 2 − E + m 2 − 2 ∆ ψ (r ) = 0 σ 1 ∆ − r 2 r 4r ∂r 2r 4r σ i Pauli matrisleri ve dalga fonksiyonu Ψ = ψ (r )e −iEt +imφ biçiminde alındı. • Psödo-Hermitsel kuantum mekaniği yöntemleri kullanılarak, bu arkaplan için Hermitsel Dirac Hamiltonyeni şu şekilde elde edilir; J ∆ J ∆ ∂ ∆′ H = iσ 2 ∆ + + m 2 − σ 1 m +σ3 2r r 4r 2 ∂r 2 ∆′ = ∂∆ ∂r 12 Enerji Değerleri ve Grafen Parametreleri • Dirac Hamiltonyenlerinin spektrumu alttan sınırlı değildir (sonsuz negatif enerji özdeğerleri vardır). • Dolayısıyla, olağan varyasyonel yöntemler özdeğerleri belirlemek için kullanışlı değildir. • Ancak, Dirac Hamiltonyenlerinin özdeğerlerinin tam kümesi kesikli baz kümesi yöntemi (discrete basis set method) kullanılarak bulunabilir. (Drake and Goldman PRA 23, 2093 (1981)) 13 • Boyutsuz parametreler kullanılarak J J '= Ml , rc ~ rc = Ml rc olay ufku) optik BTZ arkaplanındaki Dirac Hamiltonyeninin enerji özdeğerleri aşağıdaki gibi bulunur ( hv F E= l −2~ −2 rc mJ ' e ± ( ) ( ) ~2 ~ 2 M J ' Q + 4mR 2 ~ J ' − 2 ~r ~ 2 ~ Q = ∫~ r − 1 + ~ e dr rc 2r ∞ 2 ~ ∞ ~2 J ' ~ −2 ~r ~ R = ∫~ r − 1 + ~ r e dr rc 2r 14 • Bu özdeğerler, elektrik (EF) ve manyetik (MF) alanların etkisi altındaki ve kütle terimine (K) sahip grafen psödoparçacıklarının enerjileri ile aynı formdadır; ( 3 a E = J 0 EF ± K 2 + ( MF ) 2 2 l 2hvF burada J 0 = 3a ) ve a grafenin örgü aralığıdır. • BTZ metriğindeki uzunluk parametresi l grafendeki doğal uzunluk parametresi olan örgü aralığı a ‘ya karşılık gelir. • Dolayısıyla, grafendeki elektrik alan, manyetik alan ve kütle terimlerini BTZ arkaplanındaki özdeğerlerle karşılaştırabiliriz. 15 • B manyetik alanı uygulanmış bir grafen örneğinin enerji özdeğerleri aşağıdaki gibidir; 2 e E B = sgn(m) 2hvF B m c • Bu ifade BTZ arkaplanı enerjisinin MF kısmı ile karşılaştırılırsa, BTZ metriğinin MF kısmının aşağıdaki uygulanmış manyetik alan ile betimlenebileceği bulunur ( Tesla biriminde ) 8hc m ~ 2 ~2 4 B= R = 8 × 3,26 × 10 m R 2 el • Benzer şekilde, EF ve K terimleri de elde edilir (eV biriminde) 3 3 ~ −2~ rc EF = × 2,7 mJ ' e , K = × 2,7 M J ' Q 2 2 • Dolayısıyla, J ' parametresi grafen örneğine uygulanmış bir elektrik alan ile betimlenebilirken, M aralık (gap) açan kütle terimi ile ilişkilidir. 16 • Özel Durumlar • Benzer analiz BTZ metriğindeki parametrelerin bazı özel halleri için de yapılabilir. • i) M = 0 , J = 0 kozmolojik sabitli vakum durumu m E1 = ±hvF Γ(3,2~ rc ) 2l • ii) M ≠ 0 , J = 0 statik BTZ kara deliği 4m ∞ ~ 2 r~ ~ −2 ~ E 2 = ± hv F r − 1 e r dr ~ ∫ r l c • iii) M = −1 , J = 0 anti de Sitter (AdS) uzay-zamanı 4m ∞ ~ 2 −2 ~ r~ ~ E3 = ±hvF r + 1 e r dr ~ ∫ r c l 17 • iv) M ≠ 0 , J = Ml E4 = hv F l ekstrem BTZ kara deliği − 2 ~rc me ± [ 1 ~ Q = − (1 + 2 )e − 4 1 ~ R = − ( 2 + 2 )e − 4 2 ( ) ( ) ~2 ~ 2 M Q + 2mR ~ − (1 + 2~ rc )e − 2 rc − Γ(2, 2 ) − 2 Ei (−2r~c ) 2 ] ~ 1 − 2~ rc (1 + ~ rc )e − 2 rc − Γ(3, 2 ) 2 • (i), (ii) and (iii) durumları grafen yüzeyine uygulanan bir manyetik alanla temsil edilebilir. • (iv) durumu grafene uygulanan manyetik ve elektrik alanlar ve aralık (gap) açan kütle terimi ile temsil edilebilir. 18 Sonuç • BTZ kara delik metriğine konformal olarak eşdeğer olan Beltrami trompeti arkaplanındaki Dirac psödoparçacıklarının enerjileri grafendeki manyetik alan, elektrik alan ve kütle terimleri ile temsil edilebilir. • Dolayısıyla, bir grafen yüzeyine uygun manyetik ve elektrik alanlar ile aralık (gap) açma prosedürü uygulanırsa, (2+1) boyutlu bir BTZ kara deliğinin laboratuvar modeli elde edilebilir. • Bu analog model, BTZ kara deliğinin fiziksel özelliklerinin anlaşılmasında kullanılabilir. 19
