YÜKSEK BOYUTLU, STATİK, SİLİNDİRSEL SİMETRİK UZAY

YÜKSEK BOYUTLU, STATİK, SİLİNDİRSEL
SİMETRİK UZAY-ZAMANLARDA EINSTEINMAXWELL ÇÖZÜMLERİ
Pınar KİREZLİ
Yüksek Lisans Tezi
Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Dilek Kazıcı
Eş Danışman: Doç. Dr. Özgür Delice
Haziran 2011
T.C.
NAMIK KEMAL ÜNVERSTES
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
YÜKSEK LSANS TEZ
YÜKSEK BOYUTLU, STATK, SLNDRSEL SMETRK
UZAY-ZAMANLARDA EINSTEIN-MAXWELL ÇÖZÜMLER
Pnar KREZL
FZK ANABLM DALI
DANI“MAN: Yrd. Doç. Dr. DLEK KAZICI
E“ DANI“MAN: Doç. Dr. ÖZGÜR DELCE
TEKRDA‡-2011
Her hakk sakldr.
Doç. Dr. Özgür DELCE ve Yrd. Doç. Dr. Dilek KAZICI dan³manl§nda, Pnar KREZL
tarafndan hazrlanan bu çal³ma a³a§daki jüri tarafndan. Fizik Anabilim Dal'nda yüksek
lisans tezi olarak kabul edilmi³tir.
Juri Ba³kan : Yrd. Doç. Dr. Dilek KAZICI
mza :
Üye
: Doç. Dr. Özgür DELCE
mza :
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Vedat Nefer “ENO‡UZ
mza :
Üye
: Doç. Dr. Serbülent YILDIRIM
mza :
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Beyhan TATAR
mza :
Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulunun _____ tarih ve _____ sayl kararyla
onaylanm³tr.
Doç. Dr. Fatih KONUKÇU
Enstitü Müdürü
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
YÜKSEK BOYUTLU, STATK, SLNDRSEL SMETRK
UZAY-ZAMANLARDA EINSTEIN-MAXWELL ÇÖZÜMLER
Pnar KREZL
Namk Kemal Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dal
Dan³man: Yrd. Doç. Dr. DLEK KAZICI
E³ Dan³man: Doç. Dr. ÖZGÜR DELCE
Bu tezde, N boyutlu, statik, silindirsel simetrik uzay-zaman için baz yeni Einstein-Maxwell
çözümleri bulundu. Bulunan çözümler, bu uzay-zamanda radyal yöndeki bir elektrik alan
tanmlayan genel bir çizgi-eleman ile Maxwell alann tanmlamaktadr. Bu çözümlere ait
çe³itli skaler de§i³mezler incelenerek tekillik yaps tart³ld. Ayrca, bu uzay-zaman için nötr
ve yüklü test parçacklarnn hareket denklemleri ve bu denklemlerin ilk integralleri hesapland. Baz özel yörüngeler için elektrik alann parçac§n hareketini nasl etkiledi§i tart³ld.
Özellikle vakum çözümünün aksine, elektrik alan mevcut iken yüklü ve yüksüz parçacklarnn dairesel yörüngeler izleyemedi§i bulundu. Ayn zamanda, elektrik alann varl§nn
test parçac§ üzerine etkiyen radyal yöndeki kuvvetin karakterini de§i³tirdi§i belirlendi.
Anahtar Kelimeler: Einstein alan denklemleri, silindirsel simetri,
jeodezik denklemleri
2011, 55 sayfa
i
N -boyutlu
uzay-zaman,
ABSTRACT
MSc. Thesis
EINSTEIN-MAXWELL SOLUTIONS IN HIGHER DIMENSIONAL, STATIC,
CYLINDRICALLY SYMMETRIC SPACE-TIMES
Pnar KREZL
Namk Kemal University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Physics
Supervisor: Assist. Prof. Dr. DLEK KAZICI
Supervisor: Assist. Prof. Dr. ÖZGÜR DELCE
In this thesis, we found some new Einstein-Maxwell solutions for
N -dimensional, static, cylin-
drically symmetric space-time. These solutions describe a general line element and Maxwell
eld for radially oriented electrical eld. Some scalar invariants are investigated to determine
the singularity structure of this space-time. Moreover, the geodesic equations and their rst
integrals for charged and uncharged test particles are calculated. The eect of the electrical
eld on the motion of test particles for some special trajectories are discussed. Especially,
it is found that, in contrast to vacuum solution, in the presence of the electrical eld, the
particles cannot follow circular geodesics. Furthermore, it is determined that, the existence
of the electrical eld changes the behavior of radial force acting on the test particle.
Keywords: Einstein eld equations, cylindrical symmetry,
geodesic equations
2011, 55 pages
ii
N -dimensional
spacetime,
TE“EKKÜR
Yüksek lisans çal³malarm ve tez hazrlama srasnda bilgi ve tecrübeleriyle bana her konuda
yardmc olan ve beni cesaretlendiren dan³manm Yrd. Doç. Dr. Dilek KAZICI'ya sonsuz
te³ekkürlerimi sunarm.
E³ dan³manm Doç. Dr. Özgür DELCE'ye sabrla, bu tezi bitirebilmemi sa§lad§, bilgi
ve birikimiyle her zaman yanmda oldu§u için minettarm.
Ayrca çal³malarmda beni destekleyen aileme de te³ekkür ederim.
iii
ÇNDEKLER
ÖZET
i
ABSTRACT
ii
TE“EKKÜR
iii
ÇNDEKLER
v
ǝZELGELER DZN
vi
SEMBOLLER VE KISALTMALAR DZN
I
vii
GR“
1
II KURAMSAL TEMELLER
2.1
4
Einstein Alan Denklemleri
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1
Ortonormal Taban
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.2
Einstein-Maxwell Denklemleri
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III MATERYAL ve YÖNTEM
3.1
9
4 Boyutlu Silindirsel Simetrik Uzay-Zaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
9
3.1.1
Vakum Çözümleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.1.2
Einstein-Maxwell Çözümleri
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV ARA“TIRMA BULGULARI ve TARTI“MA
4.1
7
5 Boyutlu Statik Silindirsel Simetrik Uzay-Zaman
16
. . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.1.1
Alan Denklemleri
4.1.2
Einstein-Maxwell Çözümleri
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.1.3
Vakum Çözümleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Boyutlu Statik Silindirsel Simetrik Uzay-Zaman . . . . . . . . . . . . . . . .
25
N
iv
4.3
V
4.2.1
Vakum Çözümleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2.2
Einstein-Maxwell Çözümleri
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Yüklü-Yüksüz Parçack Hareketleri
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.3.1
4-Boyutlu Uzay-Zamanda Parçack Hareketleri . . . . . . . . . . . . . .
30
4.3.2
N -boyutlu
40
uzay-zamanda parçack hareketleri
SONUÇ
. . . . . . . . . . . . . .
50
KAYNAKÇA
52
ÖZGEÇM“
52
v
ǝZELGELER DZN
4.1
4-boyutlu uzay-zamanda test parçac§nn zaman-tipi jeodezikleri ve radyal
kuvvet
4.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N -boyutlu
kuvvet
39
uzay-zamanda test parçac§nn zaman-tipi jeodezikleri ve radyal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
49
SEMBOLLER VE KISALTMALAR DZN
g
Metrik Tensörünün Determinant
gab
Metrik Tensörünün Kovaryant Bile³enleri
g ab
Metrik Tensörünün Kontravaryant Bile³enleri
ηµν
Ortonormal/null Tabana Göre Minkowski Metrik Tensörü Bile³enleri
η µν
Ortonormal/null Tabana Göre Minkowski Metrik Tensörü Bile³enleri
θµ
Ortonormal/Null Taban 1-Form Vektörleri
eµ
Ortonormal/Null Taban Kontravaryant Vektörleri
xµ
Koordinat
dxµ
Koordinat Taban 1-Form Vektörleri
⊗
Tensör Çarpm
∧
Anti-simetrik Tensör Çarpm
ω µν
Ortonormal/Null Tabana Göre Ba§nt 1-Formu
ω µνλ
Ba§nt 1-Form Katsaylar
Ωµν
Ortonormal/Null Tabana Göre E§rilik 2-Formu
Gµν
Einstein Tensörü Bile³enleri
∗
Hodge Dual
Tµν
Madde Enerji-Momentum Tensörü Bile³enleri
R
Ricci Skaleri
Rµν
Ricci Tensörü Bile³enleri
Rµνλκ
Riemann Tensörü Bile³enleri
Γabc
Koordinat Taban Chrisstoel Sembolleri Bile³enleri
K
Kretcshmann Skaleri
vii
Fµν
Faraday Tensörü Bile³enleri
Aµ
Eletromanyetik 1-formu
G
Newton Kütle Çekimi Sabiti
d
D³ Türev
D
Kovaryant D³ Türev
N
Uzay-zaman Boyutu
LC
Levi-Civita
ADD
Nima Arkani-Hamed, Savas Dimopoulos and Georgi Dvali modeli
RS
Lisa Randall and Raman Sundrum modeli
viii
I
GR“
Do§adaki dört temel kuvvetten birisi olan kütle-çekim etkile³mesi Einstein'n genel görelilik
kuram ile açklanmaktadr. Bu kuram uzay-zamandaki madde ve enerji da§lmn, uzayzamann geometrisiyle ili³kilendirmektedir. Genel görelili§in dü³ük hz, zayf alan, durgun
uzay-zaman limiti bize Newton kütle-çekimi denklemlerini vermektedir. Bu kuramn öngörüleri Güne³ sisteminde Newton kütle-çekiminin açklayamad§, Merkür'ün yörüngesindeki
yalpalanmas, ³§n Güne³ tarafndan saptrlmas ve küresel konumlama uydu (GPS) verilerindeki düzeltmeler gibi bir takm astroziksel olaylar ba³ar ile açklayabilmektedir. Ayrca
kuvvetli kütle-çekim alanlar için verdi§i sonuçlar yldzlarn evrimi ve karadelikler ile evrenin
dinami§ini anlamamza ³k tutmu³tur.
Genel görelilik kuramnn temellerini olu³turan Einstein alan denklemleri 4-boyutlu uzayzamanda lineer olmayan 10 denklemden olu³maktadr (Einstein 1915). Birbirine ba§l ve
karma³k olan bu denklemlerin özellikle simetri özellikleri kullanlarak birçok çözümü elde
edilmi³tir (Stephani ve ark. 2003). Einstein denklemlerinin ilk çözümü Karl Schwarzchild
tarafndan küresel simetri için elde edilmi³tir (Schwarzchild 1916). Bu çözüm Newton mekani§inin
açklayamad§, Merkür'ün yörüngesindeki yalpalanmas ve Güne³'in ³§ bükmesi gibi durumlara ³k tutmu³tur. Bunun yannda biraz daha karma³k olan statik, silindirsel simetrik
vakum çözüm Levi-Civita tarafndan yaynlanm³tr (Levi-Civita 1919). Ancak küresel simetrik
vakum çözümünden farkl olarak silindirsel simetrik metrik için dura§an ve statik olmayan
çözümlerde mevcuttur. lk önce Beck (Beck 1925) ve daha sonra Einstein ve Rosen tarafndan
silindirsel simetriye sahip, gerçek kütle-çekim dalga çözümlerinin mevcut oldu§u (EinsteinRosen dalgalar) gösterilmi³tir (Einstein ve ark. 1937). Ayrca, son yllarda silindirsel simetrik
uzay-zamanlar, evrenin erken dönemlerindeki faz geçi³leri srasnda meydana gelmi³ olabilecekleri dü³ünülen kozmik sicimlerin geometrisi (Vilenkin ve ark. 1994) ve kütle-çekimsel
çökü³ler (Pereira ve ark. 2000) gibi konulara açklk getirdi§i için çok çal³lan alanlardan
biri olmu³tur. Bu tezde statik, silindirsel simetrik uzay-zamanlarda radyal yönde elektrik
alan için çözümler ele alnacaktr.
Einstein denklemlerinde ifade edilen madde ve enerji da§lmna kaynak olarak bir elektromanyetik alan gözönüne alnd§nda elde edilen denklemlere Einstein-Maxwell denklemleri
denir. Örne§in, yüklü, küresel simetrik bir madde da§lmnn elektromanyetik ve kütle-çekim
alan, Einstein-Maxwell denklemlerin çözülmesi sonucu Reissner-Nordström tarafndan ver-
1
ilmi³tir (Reissner 1916, Nordström 1918). Benzer ³ekilde silindirsel simetriye sahip elektrik ve
manyetik alan da§lmlarnn Einstein-Maxwell çözümleri 1950'lerden sonra elde edilmi³tir.
lk olarak Bonnor (Bonnor 1953) simetri ekseni boyunca uzanan bir manyetik alan da§lmn
tanmlayan genel çözümü daha sonra da Raychaudhuri (Raychaudhuri 1960) radyal bir elektrik alana ait genel çözümü vermi³lerdir. Ayrca bu çözümlere ait çe³itli özellikler Witten
(Witten 1960), Miguelote ve arkada³larnn (Miguelote ve ark. 2001) çal³malarnda ve BransDicke kuramndaki çözümler (Baykal ve ark. 2009) çal³masnda incelenmi³tir. Silindirsel
simetrik vakum ve elektromanyetik alan çözümleri özellikle yük veya akm ta³yan kozmik
sicimlerin (Witten 1985) d³ elektromanyetik ve kütle-çekim alann (Moss ve ark. 1987, Linet
1989, Peter 1993) tanmladklarndan dolay dikkat çekmi³lerdir. Kozmik sicimlerin evrendeki
galaksi olu³umunda önemli rol oynadklar 1980'lerden sonra dü³ünülmekteydi (Vilenkin ve
ark. 1994). Ancak son yllarda kozmik arka alan ³masn inceleyen gözlemler, kozmik sicimlerin evrendeki yap olu³umundaki katksnn
%10'dan
daha fazla olamayaca§n göstermi³tir
(Pogosian ve ark. 2003, Bevis ve ark. 2004). Bu durum, bu konudaki ilgiyi azaltmasna ra§men kozmik sicimler, gözlemlerle uyumlu olan tek topolojik kirlilik cinsidirler. Bu bakmdan
Einstein-Maxwell denklemlerinin silindirsel simetrik çözümlerini incelemek önemlidir.
Di§er taraftan yüksek boyutlu uzay-zamanlar son yllarda en çok ilgi çeken ve çal³lan
konulardan biridir. Yüksek boyutlu uzay-zaman kri do§ada bulunan temel kuvvetleri birle³tirmek amacyla do§mu³tur. lk olarak 1914 ylnda Gunnar Nordström dördüncü bir boyut
kullanarak elektromagnetizmay ve kütle-çekimini birle³tirilebilece§ini göstermi³tir (Nordström, 1914). Ancak bu çal³mann öngörüleri genel görelilik kuram ile çeli³mektedir. Theodor
Kaluza ve Oscar Klein yapm³ olduklar çal³malarda 4 boyutlu uzay-zamana çok küçük, kapal (kompakt) bir uzaysal boyut daha ekleyerek, 5 boyutlu uzay-zamanda vakum çözümünün
4 boyutlu uzay-zamann Einstein-Maxwell denklemlerini verdi§ini ve dolaysyla bu iki kuramn sadece bir boyut ekleyerek birle³tirilebilece§ini göstermi³lerdir (Kaluza 1921, Klein
1926). Fakat ksa bir süre sonra bu teorinin geçerlili§i kantlanm³ teorilerle birle³tirilemedi§i
farkedilmi³ ve bu nedenle yüksek boyutlu kuramlara ilgi azalm³tr.
Ancak bu durum 1960'lardan sonra de§i³mi³tir. Temel etkile³meleri birle³tirmek ve dolaysyla
kütle-çekimi kuramn elde edebilmek ümidiyle ortaya atlan sicim kuramnn tutarl çözümleri, uzay-zaman boyut saysnn dörtten fazla olmasn gerektirmektedir. Örne§in, bozonik
sicim kuram
N = 26 boyuta, süpersicim kuram ise N = 10 boyuta ihtiyaç duymaktadr. Petr
Horáva and Edward Witten'n ortaya att§ M-teorisine göre ise evren 11 boyutlu olmaldr
(Horáva ve ark. 1996).
2
Yüksek boyutlu kuramlarn öneminin artmasnda önemli rol oynayan ve son yllarda Nima
Arkani-Hamed, Savas Dimopoulos and Georgi Dvali tarafndan ortaya atlan ADD modeli
(Arkani-Hamed ve ark. 1998) ve Lisa Randall and Raman Sundrum'un RS modelleri (Randall
ve ark. 1999-a, 1999-b) gibi yeni kirler fazla boyutlarn küçük olamayabilece§ini öngörmektedirler. Örne§in, ADD modeli, Kaluza-Klein fazla boyutunun büyüklü§ünün Planck uzunlu§una göre çok büyük (
∼ 1mm)
3 + 1)
içerisine gömülmü³ (
olabilece§ini ve içinde ya³ad§mz evrenin bu uzay-zaman
boyutlu bir zar olabilece§ini iddia etmektedir. Daha sonra ortaya
atlan RS modeli ise benzer fakat sonsuz büyüklükte fazla boyuta sahip iki farkl model ortaya
atm³tr. Ayrca Einstein'n kütle-çekim kuramnn matematiksel yapsn daha iyi anlamak
için de yüksek boyutlu çözümler incelenmi³tir. Bu ba§lamda yüksek boyutlu, silindirsel vakum
çözümü 2009'da Ponce de Leon tarafndan bulunmu³tur (Ponce de Leon 2009).
Tüm bunlardan hareketle, bu tezde 4-boyutlu çözümleri
N -boyuta
genelleyen silindirsel
simetrik, statik Einstein-Maxwell çözümleri elde edilecek ve bunlarn çe³itli özellikleri incelenecektir. Bu tezde elde edilecek sonuçlarn yukarda bahsetti§imiz konulara katk saylayabilece§ine inanyoruz.
Tezin içeri§i ise ³u ³ekildedir:
Bölüm 2'de, bu tezde kullancak olan Einstein alan denklemleri, Einstein-Maxwell denklemleri ve uzay-zamanlarda parçack hareketleri ile Cartan denklemleri hakknda bilgiler
verilmi³ ve kullanlacak olan notasyondan da bahsedilmi³tir. Bölüm 3'te, silindirsel simetri,
4-boyutlu uzay-zamanda statik, silindirsel simetrik vakum ve radyal bir elektrik alana kar³lk
gelen bilinen genel ve özel Einstein-Maxwell denklem çözümleri yeniden ele alnarak incelenmi³tir. Bu çözümlerde bulunan parametrelerin ziksel anlamlar irdelenmi³ ve bu metriklerin
tekillik yaps tart³lm³tr. Bölüm 4 tezin orijinal çözümlerinin elde edildi§i bölümüdür. Bu
bölümde ilk olarak 5-boyutlu statik, silindirsel simetrik uzay-zamanda radyal do§rultuda
bir elektrik alan için Einstein-Maxwell çözümleri genel ve özel durumlar için bulunmu³, genel
çözümün vakum çözümü ile olan ili³kisi incelenmi³ ve tekillik yaps tart³lm³tr. Daha sonra,
elde edilen bu çözümler göz önünde bulundurularak
N -boyutlu
statik, silindirsel simetrik
uzay-zaman için genelle³tirme yaplm³tr. Bu bölümde ayrca tezde tart³lan 4 ve
N -boyutlu
uzay zaman geometrileri için genel hareket denklemleri ve bu denklemlerin ilk integralleri elde
edilmi³tir. Bu sonuçlar kullanlarak test parçacklarnn baz özel yörüngelerdeki hareketleri
incelenmi³tir.
3
II
KURAMSAL TEMELLER
2.1
Einstein Alan Denklemleri
Bu tezde
N -boyutlu (N ≥ 4)
ve
(−, +, +, . . . , +)
i³aretine sahip Pseudo-Riemann tipi bir
manifold göz önüne alnacaktr. Bu manifold üzerinde
ds2 = gab dxa dxb
(2.1)
³eklinde bir çizgi eleman ve bu metrik tensörü ile uyumlu bir ba§lant
1
Γabc = g ad (gbd,c + gdc,b − gcb,d )
2
(Levi-Civita ba§lants) göz önüne alalm. Burada
Γabc
(2.2)
katsaylarna Christoel sembolleri
denir. Bu manifold için Riemann tensörü ,
Rabcd = ∂b Γacd − ∂c Γabd + Γabe Γe cd − Γace Γe bd
(2.3)
ifadesi ile tanmlanr. Bu tensör kullanlarak Ricci tensörü
Rab = Rc acb
(2.4)
R = Raa
(2.5)
1
Gab = Rab − gab R
2
(2.6)
ve Ricci skaleri
ile
Einstein tensörünü elde etmek mümkündür.
Einstein'n çekim kuramn tanmlayan alan denklemlerini;
Z
S = SG + Smadde =
√
L −gd4 x
Einstein-Hilbert eyleminden elde etmek mümkündür. Burada
L = LG + Lmadde
4
(2.7)
L
Lagrange yo§unlu§u
(2.8)
³eklinde kütle-çekim Lagrange yo§unlu§u ve uzay-zamandaki di§er alanlarn Lagrange yo§unluklarnn toplam olarak yazabiliriz. Burada
LG = κ1 R
ve
κ=
8πG
ile verilir. Bu Lagrange
c4
yo§unlu§unun bu eylemin bir maksimumu olma ³art, eylemin varyasyonunun sfr olmasdr.
Bu eylemin metri§e göre varyasyonu sonucu Einstein denklemleri elde edilmekte, eylemin
di§er alanlara göre varyasyonu da o alanlarn (örne§in Maxwell alan) sa§lamas gereken
alan denklemlerini (örne§in Maxwell denklemlerini) vermektedir. Einstein çekim kuramnn
temel varsaymlar,
3+1
boyutlu bir kar³t-Riemann (Pseudo-Riemann) uzay-zamannda
ya³ad§mz ve bu uzay-zamandaki toplam madde ve enerji ile uzay-zamann geometrisinin
Einstein denklemleri;
Gab =
8πG
Tab
c4
(2.9)
aracl§yla belirlendi§idir. Bu kuramn di§er bir sonucu da bir d³ alann mevcut olmad§
durumlarda test parçacklarnn herhangi bir kuvvet hissetmeyecekleri ve kendi do§al yollar
olan
u̇a + Γabc ub uc = 0
(2.10)
ile tanmlanan jeodezikler boyunca hareket edecekleridir. Burada
ua =
dxa
dτ
(2.11)
parçac§n dörtlü hzdr. Yukardaki ifadede nokta mutlak zaman
mektedir ve
τ 'ya
göre türevi ifade et-
dτ 2 = −ds2 'dir. E§er bir d³ alan mevcut ise, bu test parçacklar bu d³ alandan
kaynaklanan kuvvetlerden dolay jeodeziklerden sapacaklardr. Örne§in bir elektromanyetik
alan mevcut ise
e
yüküne ve
m
kütlesine sahip test parçacklar
u̇a + Γabc ub uc =
e a b
F u
m b
(2.12)
denklemlerinin sa§layaca§ yörüngelerde hareket edeceklerdir. Bu denklem klasik elektromagnetizmadaki Lorentz kuvvetinin e§ri uzaylara genelle³tirilmesidir. Bu tezde uzay-zamanda
kaynak olarak elektromanyetik alan yani Maxwell alan gözönüne alaca§z. Bu alana ait Lagrange yo§unlu§u
1
Lmadde = − √ Fab F ab
4 κ
(2.13)
ve bu alana ait enerji momentum tensörü
1
Tab =
κ
1
c
c
cd
F a F b − gab Fcd F
4
(2.14)
ile verilmektedir. Bu alandaki yüklü test parçacklar ise (2.12) denklemi ile tanmlanan
hareket denklemlerinin belirleyece§i yörüngeleri izleyeceklerdir.
5
2.1.1
Ortonormal Taban
Bu tezde özellikle e§rilikle ilgili tensörlerin hesaplanmasnda geleneksel koordinat yöntemleri
yerine modern dieransiyel geometrik yöntemler kullanaca§z. Koordinat tabanda indisler için
a, b, c, ....)
kullanlan Latin harer (
koordinat tabanda (
srasyla
t, r, z, φ, xi )
(0, 1, 2, 3, ...)
µ, ν, λ, ....)
yerine, ortonormal tabanda Yunan hareri (
ve
olarak kullanlan koordinatlar yerine ortonormal tabanda
saylar kullanlacaktr.
θµ , (µ = 0, 1, 2, 3, ..., d − 1)
bir-formlarn temsil etsin. Buna dual olan ortonormal vektör alann ise
ortonormal taban
eµ
ile verilsin. Bu
büyüklükler için iç çarpm,
< θµ , eν >= δνµ
(2.15)
e³itli§ini sa§lamaktadr. Ortonormal taban vektörleri ile koordinat taban vektörleri arasnda
θµ = θµa dxa
(2.16)
∂
∂xa
(2.17)
ve
eµ = eµa
ili³kisi vardr. Ortonormal tabanda uzay-zaman metri§i
ds2 = ηµν θµ ⊗ θν
(2.18)
ile verilir. Bu taban bir-formlarnn metrik ile uyumlu olduklarn yani
D = d+ω d³ kovaryant
türev operatörü olmak üzere
Dθµ = dθµ + ω µν ∧ θν = 0
(2.19)
oldu§unu göz önüne alalm. Bu ko³ul bize Cartan'n birinci yap denklemi olan;
dθµ + ω µν ∧ θν = 0
e³itli§ini vermektedir. Burada ba§lant bir-formlar
ωµν + ωνµ = 0.
ω µν
(2.20)
antisimetriktir, yani
(2.21)
Bu ba§lant bir formlarn ortonormal tabanda
ω µν = ω µνλ θλ
6
(2.22)
³eklinde açmak mümkündür.
Cartan'n ikinci yap denklemi ise
Ωµν = dω µν + ω µλ ∧ ω λν
³eklindedir. Burada
Ωµν
(2.23)
e§rilik iki-formlar olup bunlarla Riemann tensörü arasnda
Ωµ
ν
1
= Rµνλκ θλ ∧ θκ
2
(2.24)
ba§nts mevcuttur. Bu ba§nt yardmyla (ortonormal tabanda) Riemann tensörünün bile³enleri, Ricci tensörü ve Ricci skaleri ile
1
Gµν = Rµν − ηµν R
2
(2.25)
Einstein tensörünü ortonormal tabanda elde edebiliriz (Carroll 2004).
2.1.2
Einstein-Maxwell Denklemleri
Elektromanyetik alana sahip bir madde da§lmn tanmlayan Einstein-Maxwell denklemleri;
Gµν = κTµν ,
dF = 0,
d*F =
*J
(2.26)
olarak ifade edilir. Burada F Faraday iki-formu, *F Faraday iki-formunun Hodge duali ve *J
ise yük-akm bir-formu J'nin Hodge duali olarak tanmlanr.
∗
n-p)-forma
dual operatörü ( ), p-formunu (
n-boyutlu uzay-zamanda, Hodge
götüren lineer bir operatördür ve
α p-formunun
Hodge duali;
∗α =
1
ν ...ν
p!(n − p)! 1 p
olarak ifade edilmektedir. Burada
µ1 ...µn−p α
ν1 ...νp µ1
θ
∧ ... ∧ θµn−p
(2.27)
hacim formudur ve metrik tensörünün determinantnn
karekökü ve Levi-civita sembolü ile;
=
1p
|g|εµ1 ...µn θµ1 ∧ ... ∧ θµn
n!
(2.28)
³eklinde gösterilmektedir (Grøn ve ark. 2007).
Yük yo§unlu§u
j µ ∂µ 'nün
ρ
ve akm yo§unluklar
bile³enleri J
= (ρ, j 1 , j 2 , j 3 )
F
ji
(i=1,2,3) olmak üzere dörtlü akm vektörü
J =
³eklindedir. Faraday iki-formu ortonormal tabanda
1
= Fµν θµ ∧ θν
2
7
(2.29)
³eklinde yazlmaktadr. Burada Faraday 2-formunun bile³enleri olan
Fµν 'ye
Faraday tensörü
denir. Bu tensörün bile³enleri, içinde bulunulan elektromanyetik alan tanmlamaktadr. Düz
Minkowski uzay için Faraday tensörünün bile³enleri

Fµν
³eklinde ifade edilir. Buradaki
0


 E1
=

 E2

E3
Ei
ve
Bi
−E1
−E2
−E3
0
B3
−B2
−B3
0
B1
B2
−B1
0
büyüklükleri








(2.30)
i yönündeki elektrik ve manyetik alanlar
d = 0)
temsil etmektedir. Ayn zamanda, Faraday 2-formunun d³ türevi ( F
sfr oldu§undan,
bu tensör kapaldr. Bu durumda Poincaré lemmasna göre Faraday iki-formu F
yazlabilir. Burada A elektromanyetik bir-formudur.
= dA ³eklinde
φ skaler elektrik alan potansiyeli, Ai vek-
törel manyetik alan potansiyeli olmak üzere, lokal tabanda A
= Ai dxi
ve A
= (φ, A1 , A2 , A3 )
³eklinde ifade edilir.
Uzay-zamanda verilen herhangi bir elektromanyetik alanlara ait enerji-momentum tensörü
ortonormal tabanda
Tµν
1
=
κ
1
αβ
α
F µ Fαν − ηµν Fαβ F
4
(2.31)
olarak ifade edilir. Bu tezde radyal yönde elektrik alan içeren silindirsel simetriye sahip uzayzaman için (2.31)'de verilen enerji-momentum tensörü elde edilerek, Einstein-Maxwell denklemleri çözülecektir.
8
III
MATERYAL ve YÖNTEM
3.1
4 Boyutlu Silindirsel Simetrik Uzay-Zaman
Einstein denklemlerinin silindirsel simetriye sahip uzay-zaman çözümleri genel görelilik alannda
çok yaygn olarak çal³lmaktadr. Bu çözümler, kütle-çekim dalgalar, kozmolo jik modeller,
küresel kütle da§lmna sahip olmayan cisimlerin kütle-çekimsel çökü³ü gibi baz ziksel
olaylarn açklanmasnda rol oynamaktadr. Statik, silindirsel simetrik vakum çözümleri LeviCivita (LC) tarafndan (Levi-Civita 1919), dura§an çözüm ise Lewis tarafndan bulunmu³tur
(Lewis 1932). Bu metri§in statik olmayan çözümleri ise Einstein-Rosen tipi dalga çözümlerine kar³lk gelmektedir (Beck 1925, Einstein ve ark. 1937). Einstein denklemlerinin silindirsel
simetrik çözümleri için, öncelikle silindirsel simetriye sahip yeterince genel bir uzay-zaman
ζ = ∂z ) eksen boyunca öteleme simetri-
metri§i belirlenmelidir. Silindirsel simetri, bir tanesi (
η = ∂φ )
sine, di§eri de (
eksen etrafndaki dönme simetrisine kar³lk gelen iki Killing vektörü
ile tanmlanabilir. Bu durumda en genel silindirsel simetrik çizgi eleman;
ds2 = e−2U (γM N dxM dxN + W 2 dφ2 ) + e2U (dz + Adφ)2
olarak yazlabilir (Stephani ve ark. 2003). Burada
edilebilir koordinatlar olan
z
ve
U, W, A, γM N
(3.1)
metrik fonksiyonlar, ihmal
φ d³ndaki koordinatlarn birer fonksiyonlardr. γM N
metri§i
2 boyutta ;
γM N dxM dxN = e2K (dr2 − dt2 )
(3.2)
³eklinde seçilebilir ( Kompaneets 1958, Stephani ve ark. 2003). Ayn zamanda, düzenli bir
eksene sahip, silindirsel simetrik uzay-zaman tanmlayan metrik, eksen boyunca
e−2U W 2 + e2U A2 = 0
η a ηa =
³artn sa§lamaldr.
En genel durumda silindirsel simetrik çizgi eleman radyal koordinat
r ve zaman koordinat
t'ye ba§ldr. E§er üçüncü bir Killing vektör olarak ξ = ∂t alnrsa, dura§an silindirsel simetrik
uzay zaman elde edilir. Bu durumda çizgi eleman;
ds2 = e−2U [e2K (dr2 − dt2 ) + W 2 dφ2 ] + e2U (dz + Adφ)2 ,
(3.3)
³eklinde yazlabilir ve metrik sadece radyal koordinata ba§ldr. Silindirsel simetrik vakum
çözümünü
t → iz, z → it, A → iA
kompleks dönü³ümleriyle;
ds2 = e−2U [e2K (dr2 + dz 2 ) + W 2 dφ2 ] − e2U (dt + Adφ)2
9
(3.4)
A=0
³eklinde de yazmak mümkündür. Statik, silindirsel simetrik metrik
durumuna kar³lk
gelmektedir ve bu durumda çizgi eleman
ds2 = e−2U [e2K (dr2 + dz 2 ) + W 2 dφ2 ] − e2U dt2
(3.5)
olarak kö³egen hale gelir. Tezimizde, ilk olarak 4 boyutlu uzay-zamanda bu metri§in vakum ve
Einstein-Maxwell çözümlerini elde ederek daha sonraki bölümlerde bu çözümleri
N
boyutlara
genelleyece§iz.
3.1.1
Vakum Çözümleri
Levi-Civita Çözümü
Silindirsel simetrik, statik, vakum çözümü 1919 ylnda Levi-Civita tarafndan bulunmu³tur.
Küresel simetriden farkl olarak, silindirsel simetri için Birkho teoremi bulunmad§ndan,
dura§an ve zamana ba§l vakum çözümleri de mevcuttur (Lewis 1932, Einstein ve ark. 1937).
Öte yandan, LC metri§i silindirsel simetrik, statik tek vakum çözümüdür.
t, r, z, φ)
Denklem (3.5)'teki statik, silindirsel simetrik çizgi elemannda (
natlar
−∞ < t < ∞, −∞ < z < ∞ , r ≥ 0 , 0 ≤ φ ≤ 2π
Ortonormal tabanda çizgi eleman
ds2 = ηµν θµ ⊗ θν
ve
silindirik koordi-
aralklarnda tanmldrlar.
ηµν = diag(−1, 1, 1, 1)'dir.
Yukardaki
(3.5) metri§i için Einstein tensörünün sfrdan farkl bile³enleri;
G00 =
G11 =
G22 =
G33 =
W 00 (r)
U 0 (r)W 0 (r)
00
00
0
2
−e
+ K (r) − 2U (r) +
U (r) − 2
,
W (r)
W (r)
K 0 (r)W 0 (r)
2(U (r)−K(r))
0
2
−e
,
U (r) −
W (r)
K 0 (r)W 0 (r) W 00 (r)
2(U (r)−K(r))
0
2
e
U (r) −
+
,
W (r)
W (r)
e2(U (r)−K(r)) U 0 (r)2 + K 00 (r)
2(U (r)−K(r))
0
³eklindedir. Burada kesme i³areti ( )
Vakum Einstein denklemi
r'ye
(3.6)
göre türevi ifade etmektedir.
Gµν = 0'dan
W 00 (r) = 0,
(3.7)
rK 00 (r) + K 0 (r) = 2[rU 0 (r) + U 00 (r)],
U 0 (r)
=0
U 00 (r) +
r
(3.8)
(3.9)
dierensiyel denklemleri elde edilir. Bu denklemler çözülürse, integrasyon sabitleri uygun
10
³ekilde seçilerek, metrik fonksiyonlar
W (r) = W0 r,
K(r) = 4σ 2 ln r,
U (r) = 2σ ln r
(3.10)
³eklinde bulunur. Bu durumda statik, silindirsel simetrik vakum LC çözümü ,
ds2 = −r4σ dt2 + r4σ(2σ−1) (dr2 + dz 2 ) + W02 r2−4σ dφ2
(3.11)
³eklinde yazlr (Levi-Civita 1919, Bonnor 1979).
Parametrelerin Fiziksel Anlam
Elde edilen bir vakum çözümünün ziksel anlamlarn belirlemenin bir yolu bu çözümü ziksel
olarak anlaml iç çözümler ile e³le³tirmektir. Bu yöntem sayesinde iç çözümün ziksel parametreleri (kütle, yük, vs.) yardm ile d³ çözümün parametrelerini yorumlamak mümkündür.
Bu amaçla çe³itli mükemmel ak³kan (Gautreau ve ark. 1969, Bonnor 1992, Philbin 1996)
ve ince kabuk tipi (Wang ve ark. 1997, Bçak ve ark. 2002, Ark ve ark. 2003, 2005) çözümler gözönüne alnm³tr. Marder, statik, silindirsel simetrik vakum çözümünün iki ba§msz
parametreye sahip oldu§unu göstermi³tir (Marder 1958). Bu parametrelerden birincisi olan
σ,
uzunluk ba³na kütle miktaryla ilgili iken, ikincisi olan
W0
koniklik parametresi olarak
tanmlanr ve uzay-zamann global topolo jisi ile ilgilidir (Bonnor 1979).
σ 'nn
hangi de§er-
lerde LC için anlaml bir çözüm olaca§ tart³lagelen bir konudur. Gautreau ve Homan
mükemmel ak³kan ³eklindeki bir iç çözümü LC vakum çözümüyle düzgünce e³le³tirerek,
parametresinin
0≤σ≤
σ
1
aral§nda, birim uzunluk ba³na dü³en kütle olarak yorumlanabile4
ce§ini göstermi³lerdir (Gautreau ve ark. 1969). Ayn yöntem ile Bonnor ve Philbin çal³malar
σ 'nn 0 ≤ σ ≤
1
aral§ için geni³letilebilece§ini göstermi³tir (Bonnor ve ark. 1992, Philbin
2
1996). Wang ve arkada³lar
aral§nda olabilece§ini ve
σ 'y
kütle parametresi olarak tanmlam³lar, de§erinin
0≤σ≤1
σ = 1/2'de birim uzunluk ba³na dü³en kütle miktarnn maximum
olaca§n göstermi³lerdir (Wang ve ark. 1997).
Baz özel
• σ=0
σ
de§erleri için LC metri§ine baklrsa;
oldu§u durumda (3.11) metri§i;
ds2 = −dt2 + dr2 + dz 2 + W02 r2 dφ2
11
(3.12)
düz uzay-zamana kar³lk gelmektedir. E§er
larda Minkowski uzay zamanna indirgenir,
W0 = 1
W0 6= 1
olursa metrik silindirik koordinatiçin düz sonsuz uzun kozmik sicim
metri§idir (Vilenkin ve ark 1994).
• σ = 1/2
oldu§u durumda LC metri§i;
ds2 = −r2 dt2 + dr2 + dz 2 + W02 dφ2
Rindler metri§ine dönü³mektedir (Rindler 1977).
z
(3.13)
t̄ = r sinh t, x̄ = r cosh t, ȳ = W0 φ, z̄ =
dönü³ümleri yaplarak, bu metrik
ds2 = −dt̄2 + dx̄2 + dȳ 2 + dz̄ 2
(3.14)
³eklinde Minkowski koordinatlarnda yazlabilir. Gautreau, Homan ve Bonnor, bu düz
uzayn,
ȳ , −∞, ∞ aral§nda kabul edildi§inde, pozitif kütle yo§unluklu, sonsuz düzlem-
sel bir tabakann, kütleçekimsel alannn metri§i oldu§unu ifade etmi³lerdir (Gautreau
ve ark. 1969, Bonnor ve ark. 1992, Philbin 1996).
Tekillikler
Einstein denklemlerinin herhangi çözümüne kar³lk gelen uzay-zaman metri§inin tekilliklerini
bulabilmek için, metri§in e§rilik bile³enlerinden olu³an baz skaler büyüklüklere baklmaldr.
R),
Bu skalerlerden bazlar, Ricci Skaleri (
Rµν
Ricci tensörünün kendisiyle kontraksiyonu (
Rµν ) ve Riemann tensörünün kendisiyle kontraksiyonudur (Rµνλκ Rµνλκ ). Ele ald§mz çözüm
bir vakum çözümü oldu§u için, bunlarn ilk ikisi sfrdr. Bu durumda Kretcshmann skaleri
yani Riemann tensörünün kendisiyle kontraksiyonu hesaplanrsa
K = Rµνλκ Rµνλκ = 64σ 2 (4σ 2 − 2σ + 1)(2σ − 1)2 r−16σ
2 +8σ−4
(3.15)
elde edilir (Richterek ve ark. 2000). Kretcshmann skalerinden açkça görüldü§ü gibi metri§in
r = 0'da
bir uzay-zaman tekilli§i vardr. Ancak
σ 'nn 0
ve
1/2
de§erlerinde Kretcshmann
skaleri sfr olmakta, yani bu de§erlerde metrikte herhangi bir tekillik bulunmamaktadr. Bu
özel de§erlerin düz uzaya kar³lk geldi§i önceki bölümde belirtilmi³ti.
3.1.2
Einstein-Maxwell Çözümleri
Bir yük ve akm yo§unlu§unun çevresinde olu³turdu§u elektromanyetik alan için Maxwell denklemleri
dF = 0
ve
d∗F = 0
olmaktadr. Elektromanyetik alan, yüklü bir statik, silindirsel
kaynak tarafndan üretiliyorsa, elektromanyetik bir-formu
12
A = f (r)dt = f (r)e−U (r) θ0
olarak
yazlabilir ve bu durumda elektromanyetik alan tensörünün ve enerji-momentum tensörünün
ortonormal tabanda sfrdan farkl bile³enleri
T00 = −T11
F01 = −F10 = −e−K(r) f 0 (r),
1
= T22 = T33 = e−2K(r) f 02 (r)
2
(3.16)
olarak elde edilir. Bu elektromanyetik alana sahip uzay-zaman metri§ini ve dolaysyla
Gµν = κTµν )
belirlemek için Einstein ve Maxwell denklemleri (
A'y
çözülmelidir. Einstein tensörü
bile³enleri (3.6) ve enerji-momentum tensörü bile³enleri (3.16) denklemlerinden
W (r)00 = 0
olmas gerekti§i görülür. W(r)'nin radyal yönde lineer olarak artt§ ve sabit kald§ durumlar
için iki farkl çözüm elde edilir.
•
Birinci durum için
W (r) = w0 r
yazlr ve uygun integrasyon sabitleri seçilerek, metrik
fonksiyonlar
r2σ
U (r) = ln
a + br4σ
K(r) = 4σ 2 ln r
,
(3.17)
olarak bulunur. Böylece (3.5)'teki çizgi eleman
ds2 = −
4σ(2σ−1) 2
r4σ
2
4σ 2
2
2 2(1−2σ)
2
dt
+
(a
+
br
)
r
(dr
+
dz
)
+
w
r
dφ
,
0
(a + br4σ )2
(3.18)
ve
r
f (r) =
³eklinde elde edilir. Enerji yo§unlu§u
√
−a
2
b (a + br4σ )
T00 'n
(3.19)
pozitif olmas gereklili§i sonucu
ab < 0
(3.20)
olmaldr. Bu durumu daha iyi görebilmek için koordinatlar
dz̃,
³eklinde yeniden ölçeklendirilip
ds2 = −
b
a
= −C 2
ve
aw0 = w̃0
dt
a
= dt̃, adr = dr̃, adz =
seçildi§inde çizgi eleman;
r4σ
dt̃2 + (1 − C 2 r4σ )2 r4σ(2σ−1) (dr̃2 + dz̃ 2 ) + w̃0 2 r2(1−2σ) dφ2 ,(3.21)
2
4σ
2
(1 − C r )
olarak elde edilmektedir. Bu durumda;
√
2
dt,
C(1 − C 2 r4σ )
√
2
4 2Cr−(1−2σ) σ
=−
(1 − C 2 r4σ )2
A=
F01 = −F10
sonuçlar elde edilir.
13
(3.22)
(3.23)
•
kinci durum daha özel bir çözüm içermektedir ve
W (r) = w0
(sabit) seçilerek metrik
fonksiyonlar;
U (r) = − ln(r − u0 ),
K(r) = k0 r
(3.24)
³eklinde bulunur. Sonuç olarak, çizgi eleman
ds2 = −dt2
1
+ (r − u0 )2 [e2k0 r (dr + dz)2 + w02 dφ2 ]
(r − u0 )2
(3.25)
elektromanyetik potansiyel
√
2
A =
dt
r − u0
(3.26)
olarak elde edilir.
Tekillikler
Göz önüne ald§mz genel çözümün (3.21) metri§inin elektromanyetik alan tensörünün sfrdan farkl bile³enleri e³itlik (3.23) ³eklindedir. Bunlar kullanarak elektromanyetik de§i³mez
olarak adlandrlan elektromanyetik alan tensörünün kendisi ile kontraksiyonlarn hesaplayabiliriz:
2
Fµν F
µν
64C 2 σ 2 r2(−1+4σ−4σ )
=−
≤ 0,
(1 − C 2 r4σ )4
Fµν ∗ F µν = 0.
(3.27)
(3.28)
(3.27) e³itli§inin beklenildi§i gibi sfrdan küçük olmas elektromanyetik alannn elektriksel
tipte oldu§unu gösterir.
(3.21) metri§inin tekillikleri için baklmas gereken skaler büyüklüklerden birisi Ricci tensörünün kendisiyle kontraksiyonudur ve
Rµν Rµν =
1024C 4 σ 4
r4(1−2σ)2 (1 − C 2 r4σ )8
(3.29)
olarak elde edilir. Öte yandan tekilliklerin belirlenmesi için önemli bir büyüklük olan Kreschtman skaleri;
64σ 2
K = 4−8σ+16σ2
r
(1 − C 2 r4σ )8
(1 − 2σ)2 (1 − 2σ + 4σ 2 ) − 12σC 2 r4σ (1 − 2σ)2 − 2C 4 r8σ (1 − 48σ 2 + 16σ 4 )
6 12σ
2
8 16σ
2
2
+ 12σC r (1 + 2σ) + C r (1 + 2σ) (1 + 2σ + 4σ )
(3.30)
14
olarak bulunur. Bu üç skalerden de görüldü§ü gibi
r=0
ve
r=
1
C 1/2σ
= rs 'de
olmak üzere
iki tekillik mevcuttur. Bu tekillikler ziksel olup koordinat dönü³ümleri ile yok edilemezler.
Ancak,
σ = 0 ve σ =
1
de§erlerinde
2
r = 0'daki tekillik yok olmaktadr. r > rs için uzay-zaman
ve elektromanyetik alan düzgün davranmaktadr. Bu durum, söz konusu elektromanyetik
alann
r = rs
yarçapl, silindirsel yük da§lmndan kaynakland§ ³eklinde yorumlanabilir.
Önceki bölümde daha özel durum olan (3.24) metrik fonksiyonlar kullanlarak;
√
f (r) =
2
,
r − u0
F01 = −F10 =
(3.31)
√
2e−k0 r
(r − u0 )2
(3.32)
olarak bulunur. Bu durum için elektromanyetik de§i³mez skaleri;
Fµν F µν = −
4e−2k0 r
(r − u0 )4
(3.33)
olarak elde edilirken, Kreschtmann skaleri ve Ricci tensörünün kendisiyle kontraksiyonu;
8e−4k0 r
{7 + 2k0 (r − u0 ) [3 + k0 (r − u0 )]} ,
K =
(r − u0 )8
4e−4k0 r
Rµν Rµν =
(r − u0 )8
olur. Bu skalerlerden, (3.25) metri§inin
genel çözüme benzer olarak
r = u0
(3.34)
(3.35)
r = u0 'da bir tekilli§e sahip oldu§u görülür. Bu durum
yarçapl bir silindirsel yük da§lmnn elektromanyetik
alan kayna§ oldu§u ³eklinde dü³ünülebilir.
15
IV
ARA“TIRMA BULGULARI ve TARTI“MA
4.1
5 Boyutlu Statik Silindirsel Simetrik Uzay-Zaman
z
Bölüm 3'de 4-boyutlu uzay-zamanda simetri ekseni ( ) boyunca öteleme simetrisine ve bu
eksen etrafnda dönme simetrisi ile zaman içerisinde dura§anlk simetrisine sahip olan, statik,
silindirsel simetrik çe³itli bilinen çözümleri incelemi³tik. Bu ksmda, Bölüm 3'te göz önüne alnan (3.5) metri§ine bir ekstra uzaysal boyut daha ekleyerek ve metri§in bu yönde bir simetriye
sahip yani bu fazla boyuttan ba§msz oldu§unu dü³ünerek, 5-boyutlu uzay-zamanda statik,
silindirsel simetrik uzay-zaman metri§ini
ds2 = −e2U dt2 + e2K−2U (dr2 + dz 2 ) + e−2U W 2 dφ2 + X 2 dx2
³eklinde yazabilece§imizi varsayyoruz. Ksaca burada metrik fonksiyonlar
radyal koordinat
4.1.1
r'ye
(4.1)
U, K, W, X
sadece
ba§ldr.
Alan Denklemleri
Einstein alan denklemleri
Gµν = κTµν
olarak verilmektedir. (4.1) metri§i için Einstein ten-
sörünü Bölüm 2'de verilen Cartan'n yap denklemleri kullanarak hesaplayayaca§z. Bu metri§in
ortonormal taban bir-formlar
θ0 = eU (r) dt, θ1 = eK(r)−U (r) dr, θ2 = eK(r)−U (r) dz, θ3 = W (r)e−U (r) dφ, θ4 = X(r)dx,
³eklinde seçilerek ve (2.20)'de verilen Cartan'n 1. yap denklemi kullanlarak,
ω0
1
ω1
2
ω1
3
ω1
4
= U 0 (r)eU (r)−K(r) θ0 ,
= [U 0 (r) − K 0 (r)] eU (r)−K(r) θ2 ,
W 0 (r) U (r)−K(r) 3
0
= U (r) −
e
θ ,
W (r)
X 0 (r) U (r)−K(r) 4
= −
e
θ
X(r)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
³eklinde ba§lant bir-formlarnn sfrdan farkl bile³enleri elde edilir. (2.23)'de verilen Cartan'n 2. yap denklemi kullanlarak e§rilik 2-formlarnn sfrdan farkl bile³enleri a³a§daki
gibi elde edilir:
16
Ω0
1
=
Ω0
2
=
Ω0
3
=
Ω0
4
=
Ω1
2
=
Ω1
3
=
+
Ω1
4
=
Ω2
3
=
Ω2
4
=
Ω3
4
=
U 00 (r) + 2U 0 (r)2 − U 0 (r)K 0 (r) e2[U (r)−K(r)] θ1 ∧ θ0 ,
0 2
U (r) − U 0 (r)K 0 (r) e2[U (r)−K(r)] θ0 ∧ θ2 ,
U 0 (r)W 0 (r) 2[U (r)−K(r)] 0
0
2
U (r) −
e
θ ∧ θ3 ,
W (r)
X 0 (r)U 0 (r) 2[U (r)−K(r)] 0
e
θ ∧ θ4 ,
−
X(r)
00
[U (r) − K 00 (r)] e2[U (r)−K(r)] θ1 ∧ θ2 ,
h
W 0 (r)U 0 (r) W 00 (r)
−
U 00 (r) − U 0 (r)K 0 (r) +
W (r)
W (r)
i
0
0
W (r)K (r) 2[U (r)−K(r)] 1
e
θ ∧ θ3 ,
W (r)
X 00 (r) X 0 (r)U 0 (r) X 0 (r)K 0 (r) 2[U (r)−K(r)] 1
−
+
e
θ ∧ θ4 ,
−
X(r)
X(r)
X(r)
W 0 (r)U 0 (r) 2[U (r)−K(r)] 2
W 0 (r)K 0 (r)
0
2
0
0
θ ∧ θ3 ,
− U (r) +
e
U (r)K (r) −
W (r)
W (r)
0
0
0
0
X (r)U (r) X (r)K (r) 2[U (r)−K(r)] 2
−
e
θ ∧ θ4 ,
X(r)
X(r)
0
0
0
X (r)U (r) W (r)X 0 (r) 2[U (r)−K(r)] 3
−
e
θ ∧ θ4 .
X(r)
W (r)X(r)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
Ayrca (2.24) denkleminden yararlanarak Riemann tensörünün sfrdan farkl bile³enleri
R0
101
=
R0
202
=
R0
303
=
R0
404
=
R1
212
=
R1
313
=
R1
414
=
R2
323
=
R2
424
=
R3
434
=
−U 00 (r) − 2U 0 (r)2 + U 0 (r)K 0 (r) e2[U (r)−K(r)] ,
0 2
U (r) − U 0 (r)K 0 (r) e2[U (r)−K(r)] ,
U 0 (r)W 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
0
2
U (r) −
e
,
W (r)
X 0 (r)U 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
−
e
,
X(r)
[U 00 (r) − K 00 (r)] e2[U (r)−K(r)] ,
W 0 (r)U 0 (r) W 00 (r) W 0 (r)K 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
00
0
0
U (r) − U (r)K (r) +
−
+
e
,
W (r)
W (r)
W (r)
X 00 (r) X 0 (r)U 0 (r) X 0 (r)K 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
−
−
+
e
,
X(r)
X(r)
X(r)
W 0 (r)K 0 (r)
W 0 (r)U 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
0
0
0
2
U (r)K (r) −
− U (r) +
e
,
W (r)
W (r)
0
X (r)U 0 (r) X 0 (r)K 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
−
e
,
X(r)
X(r)
0
X (r)U 0 (r) W 0 (r)X 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
−
e
X(r)
W (r)X(r)
olarak bulunur. Ricci tensörünün sfrdan farkl bile³enleri
17
Rµν = Rαµαν
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
(4.20)
(4.21)
(4.22)
(4.23)
(4.24)
(4.25)
e³itli§i kullanlarak;
W 0 (r)U 0 (r) X 0 (r)U 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
U (r) +
+
e
,
W (r)
X(r)
W 0 (r)U 0 (r) W 00 (r)
U 00 (r) − 2U 00 (r)2 − K 00 (r) +
−
W (r)
W (r)
00
0
0
0
0
0
W (r)K (r) X (r) X (r)U (r) X (r)K 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
−
−
+
e
,
W (r)
X(r)
X(r)
X(r)
W 0 (r)U 0 (r) W 0 (r)K 0 (r) X 0 (r)U 0 (r)
U 00 (r) − K 00 (r) +
−
+
W (r)
W (r)
X(r)
0
0
X (r)K (r) 2[U (r)−K(r)]
e
,
X(r)
h
W 0 (r)U 0 (r) W 00 (r) W 0 (r)X 0 (r) X 0 (r)U 0 (r) i 2[U (r)−K(r)]
00
U (r) +
−
+
+
e
,
W (r)
W (r)
W (r)X(r)
X(r)
X 00 (r) X 0 (r)W 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
−
−
e
X(r)
X(r)W (r)
R00 =
R11 =
+
R22 =
−
R33 =
R44 =
00
(4.26)
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
³eklindedir. Ricci skaleri ise
W 00 (r) X 00 (r) W 0 (r)U 0 (r)
R = 2 U 00 (r) − U 0 (r)2 − K 00 (r) −
−
+
W (r)
X(r)
W (r)
0
0
W (r)X (r) 2[U (r)−K(r)]
−
e
W (r)X(r)
(4.31)
olarak elde edilir. Sonuç olarak (4.1) metri§i için sfrdan farkl Einstein tensörü bile³enleri;
G00 =
G11 =
G22 =
G33 =
G44 =
00
W 0 (r)X 0 (r) 2W 0 (r)U 0 (r) W (r) X 0 (r)U 0 (r)
0
00
−
+
−
+ U (r)2 + K (r)
−
W (r)X(r)
W (r)
W (r)
X(r)
00
X (r) 2[U (r)−K(r)]
00
−2U (r) +
e
,
X(r)
W 0 (r)K 0 (r) X 0 (r)K 0 (r) X 0 (r)U 0 (r) W 0 (r)X 0 (r) 2[U (r)−K(r)]
0
2
− U (r) +
+
−
+
e
,
W (r)
X(r)
X(r)
W (r)X(r)
W 0 (r)K 0 (r) W 00 (r) X 0 (r)K 0 (r) X 0 (r)U 0 (r) W 0 (r)X 0 (r)
U 0 (r)2 −
+
−
+
+
W (r)
W (r)
X(r)
X(r)
W (r)X(r)
00
X (r) 2[U (r)−K(r)]
+
e
,
X(r)
00
X 0 (r)U 0 (r) X (r) 2[U (r)−K(r)]
0
2
00
U (r) + K (r) +
+
e
,
X(r)
X(r)
W 0 (r)U 0 (r)
W 00 (r) 2[U (r)−K(r)]
0
2
00
00
U (r) + K (r) −
− U (r) +
e
(4.32)
W (r)
W (r)
³eklinde bulunur.
4.1.2
Einstein-Maxwell Çözümleri
Bölüm 3'de 4-boyutlu uzay-zamanda bir yük ve akm da§lmnn çevresinde olu³an elektromanyetik alan için Maxwell denklemleri
dF = 0
ve
d∗F = 0
manyetik alan bir-formunu 5-boyutlu uzay zaman için
18
olarak verilmi³ti. Elektro-
A = f (r)dt = f (r)e−U (r) θ0
olarak
seçiyoruz. Bu durumda elektromanyetik alan ve enerji-momentum tensörünün sfrdan farkl
bile³enleri
F01 = F10 = −e−K(r) f 0 (r)
(4.33)
1
T00 = −T11 = T22 = T33 = T44 = e−2K(r) f 0 (r)2
2
(4.34)
olmaktadr. Ayn zamanda ilk Maxwell denklemi;
dF = d[f 0 (r)dr ∧ dt] = 0
do§rudan sa§lanmaktadr. Di§er Maxwell denklemi
d ∗ F = 0;
d f 0 (r)W (r)X(r)e−2U (r) = 0
dieransiyel denklemini vermektedir. Einstein alan denklemleri i³lem kolayl§ açsndan
κTµν = 0
(4.35)
(4.36)
Gµν −
olarak ifade edilirse
0
00
W (r)X 0 (r) 2U 0 (r)W 0 (r) W (r) U 0 (r)X 0 (r)
0
00
−e
−
+
−
+ U (r)2 + K (r)
W (r)X(r)
W (r)
W (r)
X(r)
00
X (r)
1
00
−2U (r) +
− e−2K(r) f 0 (r)2 = 0,
(4.37)
X(r)
2
0
0
K (r)W (r) K 0 (r)X 0 (r) U 0 (r)X 0 (r) W 0 (r)X 0 (r)
0
2U (r)−2K(r)
2
+
−
+
e
− U (r) +
W (r)
X(r)
X(r)
W (r)X(r)
1
+ e−2K(r) f 0 (r)2 = 0,
(4.38)
2
0
0
00
K (r)W (r) W (r) K 0 (r)X 0 (r) U 0 (r)X 0 (r) W 0 (r)X 0 (r)
0
e2U (r)−2K(r) U (r)2 −
+
−
+
+
W (r)
W (r)
X(r)
X(r)
W (r)X(r)
00
X (r)
1
+
(4.39)
− e−2K(r) f 0 (r)2 = 0,
X(r)
2
00
U 0 (r)X 0 (r) X (r)
1
0
00
2U (r)−2K(r)
2
e
U (r) + K (r) +
+
− e−2K(r) f 0 (r)2 = 0,
(4.40)
X(r)
X(r)
2
00
U 0 (r)W 0 (r)
W (r)
1
0
00
00
2U (r)−2K(r)
2
e
U (r) + K (r) −
− U (r) +
− e−2K(r) f 0 (r)2 = 0 (4.41)
W (r)
W (r)
2
2U (r)−2K(r)
e³itlikleri elde edilir. Bu e³itliklerden yararlanarak (4.38) ve (4.39) e³itliklerinin toplamndan
e−2K(r)+U (r)
bulunur ve bu sonuçtan
2W 0 (r)X 0 (r) + X(r)W 00 (r) + W (r)X 00 (r)
=0
X(r)W (r)
(4.42)
[W (r)X(r)]00 = 0 oldu§u kolayca görülebilir. Bu dieransiyel denklem
için üç farkl çözüm önerilebilir.
1. En genel halde çözüm
W (r) =
w0 r + w1
X(r)
19
dir.
(4.43)
2. (4.43) denkleminin özel bir durumu olarak
w0 = 0
durumunda genel çözümden farkl
bir özel çözüm elde ediyoruz
w1
.
X(r)
W (r) =
3. Ayrca
W (r) = w0
(sabit),
X(r) = x0
(4.44)
(sabit) durumunda da bu denklem sa§lanmak-
tadr.
Bu 3 farkl sonuç için Einstein-Maxwell denklemlerinin çözümleri ve bu çözümlerin ziksel
olarak ifade ettikleri srasyla tart³lacaktr.
• W (r)X(r) = w0 r + w1
durumu
Bu durumda, genelli§i bozmadan
w1 = 0
seçebiliriz. Einstein alan denklemlerini (4.37-
4.41) kullanlarak metrik fonksiyonlarn belirleyece§iz. (4.40) ve (4.41) e³itliklerinin
fark;
−2K(r)+2U (r)
e
−2rX 0 (r)2 + X(r)2 [U 0 (r) + rU 00 (r)] + 2X(r) [X 0 (r) + rX 00 (r)]
rX(r)2
=0
(4.45)
e³itli§ini ve dolaysyla
X 0 (r)
[rU 0 (r)]0 = −2[r X(r) ]0
edilerek metrik fonksiyonu
sonucunu verir. Bu sonuç 2 kez integre
X(r)'
X(r) = e
−U (r)
2
r x0
(4.46)
olarak buluruz. (4.38) ve (4.40) e³itliklerini toplarsak
1 −2K(r)+2U (r)
e
[2K 0 (r) − U 0 (r) + 2rK 00 (r) − rU 00 (r)] = 0,
2r
yani
2[rK 0 (r)]0 = [rU 0 (r)]0
(4.47)
elde edilir ve bu e³itlikten
K(r) =
U (r)
+ k0 ln r
2
(4.48)
olarak bulunur. (4.37) ve (4.38) e³itlikleri toplanarak
U (r) = ln
sonucuna ula³lr. Burada
3σ 2 + x0 − x20
2σ =
√2
3
r2σ
a + br4σ
p
k0 + x0 − x20
de§eri bulunur. Ayrca
p 1 = x0 − σ
olarak seçilmi³tir. Bu e³itlikten
k0 =
seçerek metrik fonksiyonlarn
√
X(r) = rp1 a + br4σ ,
r1−p1
W (r) = w0 √
,
a + br4σ
2
r4σ −p1 (1−2σ−p1 )
K(r) = ln √
,
a + br4σ
r2σ
U (r) = ln
a + br4σ
20
(4.49)
(4.50)
olarak elde etmek mümkündür. Bu metrik fonksiyonlar için çizgi eleman
ds
2
r4σ
2
4σ
= −
dt + (a + br ) r2[2σ(2σ−1)−p1 (1−2σ−p1 )] (dr2 + dz 2 )
(a + br4σ )2
2
2
2p1
2 2(1−p1 −2σ)
dφ + r dx
+w0 r
(4.51)
³eklinde yazlr. (4.37-4.41) e³itliklerinde metrik fonksiyonlarn yazarak;
−24r8σ abσ 2 − r2 (a + br4σ )4 f 0 (r)2 = 0
(4.52)
denklemi elde edilir ve buradan
q
f (r) =
−3a
2b
(4.53)
(a + br4σ )
ve elektromanyetik potansiyel bir formu
q
A=
−3a
2b
(a + br4σ )
dt
(4.54)
olarak bulunur. Ayn zamanda elektromanyetik alan ve enerji-momentum tensörlerinin
sfrdan farkl bile³enleri
F01 = −F10 =
T00 = −T11 = T22 = T33 = T44
√
2σ −6 a b r−1−4σ(σ−1)+p1 (1−2σ−p1 )
,
3
(a + br4σ ) 2
12σ 2 a b r2[−1−4σ(σ−1)+p1 (1−2σ−p1 )]
=−
(a + br4σ )3
(4.55)
(4.56)
olur. Enerji yo§unlu§unun pozitif olmas
ab<0
(4.57)
³artn getirmektedir.
Tekillikler
5-boyutlu uzay-zamanda statik, silindirsel simetrik, elektromanyetik yük da§lmnnn
çevresinde metrik fonksiyonu
W (r) =
w0 r
olarak seçildi§inde çizgi eleman e³itlik (4.51)
X(r)
³eklinde elde edilir. Bu durumda elektromanyetik de§i³mez skaleri ve Ricci tensörünün
kendisiyle kontraksiyonu;
Fµν F µν = 48
a b r−2[1+4σ(σ−1)−p1 (1−2σ−p1 )] σ 2
,
(a + br4σ )3
(4.58)
Fµν ∗ F µν = 0,
Rµν Rµν = 704
(4.59)
r
−4[1+4σ(σ−1)−p1 (1−2σ−p1 )] 4
2
σ a b
(a +
21
br4σ )6
2
,
(4.60)
olarak elde edilir. Öte yandan, Kretschman skaleri ;
16
n
(a + br4σ )4 p21 (a + br4σ )(p1 − 1)2 (1 − p1 + p21 )
4[1+2σ(2σ−1)−p1 (1−2σ−p1 )]
K =
(a + br4σ )6 r
+ σ x1 (a + br4σ )4 (2 − 9p1 + 16p21 − 15p31 + 6p41 )
2
4σ 2
+ 2σ (a + br ) a2 (2 − 9p1 + 21p21 − 24p31 + 12p41 )
4σ
2
9p41 )
18p31
12p21
8σ
21p21
24p31
12p41 )
−
+
+ b r (2 − 9p1 +
+
−
+ 2 a b r (−1 − 3p1 +
3
4σ
+ 4σ (a + br ) 2a3 (−3 + 8p1 − 12p21 + 7p31 ) + 3a2 br4σ (3 + 3p1 − 11p21 + 10p31 )
2 8σ
2
3
3 12σ
2
+ 3 a b r (−5 + 11p1 − 19p1 + 10p1 ) + 2b r p1 (5 − 9p1 + 7p1 )
4
+ 4σ 2a4 (8 − 15p1 + 12p21 ) + 2a3 b r4σ (−10 − 21p1 + 30p21 )
+ a2 b2 r8σ (79 − 72p1 + 72p21 ) + 2 a b3 r12σ (−1 − 39p1 + 30p21 )
4 16σ
2
+ 2 b r (5 − 9p1 + 12p1 )
5
4σ
3
2
4σ
2 8σ
3 12σ
+ 48σ (a + br ) 2a (p1 − 1) + a b r (3 + 2p1 ) + a b r (2p1 − 5) + 2b r p1
o
+ 64σ 6 (a + br4σ )2 (a2 − a b r4σ + b2 r8σ )
(4.61)
olmaktadr. (4.58), (4.60) ve (4.61) skalerlerine baklarak (4.51) metri§inin
1
r = (− ab ) 4σ 'te
ve
σ =
tekilliklere sahip oldu§u görülmektedir. Ancak,
1
de§erlerinde
2
a b < 0
r = 0'daki
olmaldr. E§er
p1 = 0
r = 0
oldu§unda
ve
σ=0
tekillik yok olmaktadr. Daha önce belirtildi§i gibi
a < 0, b > 0
ise 5-boyutta (4.51) uzay-zaman, 4-boyutlu
1
uzay-zamandaki duruma benzer olarak,
r = (− ab ) 4σ
yarçapl silindirsel yük kayna§nn
a > 0, b < 0
sadece d³nda düzgün davranr. Ancak
oldu§u durumda (4.51) çizgi
1
elemannn uzay-zamannda
r = (− ab ) 4σ
yarçapl silindirin sadece iç ksmnda düzgün
davranr.
• W(r)X(r) = w1
durumu
Bu durum için di§er integral sabitlerine göre 2 farkl sonuç elde edilir.
i. Metrik fonksiyonlarn;
U (r) = −2 ln X(r) + u0 r,
K(r) = − ln X(r) + k0 r
(4.62)
olarak seçildi§i durumda
s
X(r) = e
u0 r
2
22
u0 (2r − 3x0 )
√
cos
2 3
(4.63)
³eklinde elde edilir ve çizgi eleman;
ds
2
2
u0 (2r − 3x0 )
√
dt2
= − sec
2 3
i
u0 (2r − 3x0 ) h r(2k0 −u0 ) 2
√
+ cos
e
(dr + dz 2 ) + w12 e−ru0 dφ2 + eru0 dx2 (4.64)
2 3
olarak elde edilir. Bu durumda elektromanyetik alan bir formu
√
3
u0 (2r − 3x0 )
√
A = √ sin
dt
2
2 3
(4.65)
olur. Ancak bu tezde bu ³ekildeki özel çözüm daha fazla incelenmeyecektir.
ii. Metrik fonksiyonlar ,
U (r) = −2 ln X(r) + u0 ,
K(r) = − ln X(r) + k0 ,
(4.66)
olarak belirlendi§inde ise
X(r) =
√
r − x0
(4.67)
olmaktadr. Bu durumda çizgi eleman;
2(k0 −u0 ) 2
e2u0
2
2
−2u0 2
2
2
ds = −
dt
+
(r
−
x
)
e
(dr
+
dz
)
+
e
w
dφ
+
dx
0
1
(r − x0 )2
2
(4.68)
olarak elde edilir. Buradan elektromanyetik alan bir formu;
r
A=
3 eu0
dt
2 r − x0
(4.69)
olmaktadr. Ayn zamanda Kretschman skaleri ise;
K = 508
de§erine sahip olur ve metri§in
• W(r) = w0 /x0
e−4(k0 −u0 )
(r − x0 )6
(4.70)
r = x0 'da bir tekilli§e sahip oldu§u görülmektedir.
durumu
E³itlik (4.42)'ten elde edilen ifade de metrik fonksiyonlarndan
W (r)
ve
X(r)
sabit
olarak seçildi§inde, di§er metrik fonksiyonlar;
U (r) = u0 ,
(4.71)
K(r) = k0 + k1 r,
(4.72)
olarak elde edilmektedir. Bu durum için, çizgi eleman;
−e2u1 dt2 + e2(k1 +k0 r−u1 ) (dr2 + dz 2 ) + e−2u1 w02 dφ2 + x20 dx2 ,
(4.73)
³eklinde olur. Bu metrik için Riemann tensörünün tüm bile³enleri sfr olmakta ve
dolaysyla bu metrik 5-boyutlu Minkowski uzayn vermektedir.
23
4.1.3
Vakum Çözümleri
Elde edilen (4.32) Einstein tensörünün bile³enleri kullanlarak vakum Einstein alan denklemleri çözüldü§ünde, metrik fonksiyonlar uygun integrasyon sabitleri seçilerek;
U (r) = ln r2σ
(4.74)
K(r) = ln rp1 (p1 −1)+2σ(p1 +2σ)
(4.75)
W (r) = w0 r1−p1
(4.76)
X(r) = rp1
(4.77)
olarak elde edilir. Bu durumda çizgi eleman;
ds2 = −r4σ dt2 + r2[2σ(2σ−1)−p1 (1−2σ−p1 )] (dr2 + dz 2 ) + w02 r2(1−p1 −2σ) dφ2 + r2p1 dx2
olur. Elde edilen çizgi elemannn zaman ksmn
1
ile, uzaysal ksmn ise
(a+br4σ )2
(4.78)
(a + br4σ )
ile çarplarak, elektromanyetik alan çizgi eleman (4.51) elde edilebilece§i görülmektedir.
Bu metri§in sahip oldu§u tekillikleri belirlemek için baklmas gereken Kretschman skaleri
K =
16
p2 (p1 − 1)2 (1 − p1 + p21 ) + σp1 (2 − 9p1 + 16p21 − 15p31 )
r4[2σ(2σ−1)−p1 (1−2σ−p1 )] 1
+2σ 2 (2 − 9p1 + 21p21 − 24p31 + 12p41 ) + 8σ 3 (−3 + 8p1 − 12p21 + 7p31 )
4
2
5
6
+8σ (8 − 15p1 + 12p1 ) + 96σ (p1 − 1) + 64σ
(4.79)
olarak elde edilir. Bu durumda
oldu§unda
σ=0
ve
σ=
r = 0'da uzay-zamann gerçek tekilli§e sahiptir. Ancak, p1 = 0
1
de§erlerinde bu tekillik yok olmaktadr.
2
24
4.2
N
Boyutlu Statik Silindirsel Simetrik Uzay-Zaman
Önceki ksmda statik, silindirsel simetrik 5-boyutlu uzay-zaman için çizgi elemann e³itlik
(4.1) olarak varsaym³tk. Bu bölümde,
N -boyutlu
uzay-zaman için, 4-boyutlu uzay-zaman
metri§i (3.5)'e ekstra uzaysal boyutlar eklenerek ve metri§in bu koordinatlardan ba§msz
oldu§u varsaylarak, çizgi eleman;
ds2 = −e2U dt2 + e2K−2U (dr2 + dz 2 ) + e−2U W 2 dφ2 +
n
X
Xi2 dx2i
(4.80)
i
³eklinde seçilmi³tir. Böylece
U, K, W, Xi
metrik fonksiyonlar radyal koordinat
tüm koordinatlardan ba§mszdr. Burada
N = n+4
ve
n
r
d³ndaki
ekstra boyut olmak üzere, Car-
tan'n yap denklemleri ve Einstein alan denklemleri kullanlarak ortonormal tabanda Einstein
tensörünün sfrdan farkl bile³enleri;
G00 =
(4)
G00
+e
n 0
X
U (r)X 0 (r)
i
2[U (r)−K(r)]
i,j=1
j6=i
Xi (r)
−
W 0 (r)Xi0 (r) 1 Xi0 (r)Xj0 (r)
−
W (r)Xi (r)
2 Xi (r)Xj (r)
Xi00 (r)
−
,
Xi (r)
G11 =
(4)
G11
+e
(4.81)
n X
2[U (r)−K(r)]
i,j=1
j6=i
U 0 (r)Xi0 (r) W 0 (r)Xi0 (r) 1 Xi0 (r)Xj0 (r)
+
−
−
Xi (r)
W (r)Xi (r)
2 Xi (r)Xj (r)
K 0 (r)Xi0 (r)
+
,
Xi (r)
G22 =
(4)
G22
+e
(4.82)
n 0
X
U (r)X 0 (r)
i
2[U (r)−K(r)]
i,j=1
j6=i
G33
Xi (r)
W 0 (r)Xi0 (r) 1 Xi0 (r)Xj0 (r)
+
+
W (r)Xi (r)
2 Xi (r)Xj (r)
K 0 (r)Xi0 (r) Xi00 (r)
+
−
,
Xi (r)
Xi (r)
n 0
X
U (r)Xi0 (r) 1 Xi0 (r)Xj0 (r) Xi00 (r)
(4)
2[U (r)−K(r)]
+
+
,
= G33 + e
Xi (r)
2 Xi (r)Xj (r)
Xi (r)
i,j=1
(4.83)
(4.84)
j6=i
Gii
U 0 (r)W 0 (r)
W 00 (r)
00
00
= e
U (r) −
+ K (r) − U (r) +
W (r)
W (r)
0
n
0
0
0
00
X
W (r)Xj (r) 1 Xk (r)Xj (r) Xj (r)
+
+
+
W
(r)X
2
X
Xj (r)
j (r)
k (r)Xj (r)
i,j,k=1
2[U (r)−K(r)]
0
2
(4.85)
i6=j6=k
olarak bulunur. Burada küçük latin hareri
tanmlamaktadr ve
(4)
Gµν
i, j, k = {1, 2, 3, ....n}
ekstra uzaysal boyutlar
ise 4-boyutlu uzay zamanda elde edilen (3.6) e³itlikleridir.
25
4.2.1
Vakum Çözümleri
N -boyutlu
uzay-zaman için en genel haliyle (4.81-4.85) denklemlerinde ifade edilen Einstein
tensör bile³enleri vakum için çözüldü§ünde metrik fonksiyonlar;
W (r) = w0 r1−p ,
(4.86)
4σ 2 − p + p0 + p2 + 2σp ln r,
K(r) =
(4.87)
U (r) = 2σ ln r,
(4.88)
Xi (r) = rpi
olmaktadr. Burada;
durumda vakum
p =
Pn
i
N -boyutlu
pi , p0 =
(4.89)
Pn
1
i,j 2 pi pj ve
i6=j
Pn
p2 =
i
p2i
olarak ksaltlm³tr. Bu
uzay-zaman metri§i;
ds2 = −r4σ dt2 + r2(4σ
) (dr2 + dz 2 )
2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
+w02 r2(1−2σ−p) dφ2
+
n
X
rpi dx2i
(4.90)
i
haline gelir. Burada
4.2.2
σ , w0
ve
pi
metri§in
N −2
tane ba§msz parametresidir.
Einstein-Maxwell Çözümleri
N -boyutlu
uzay-zamanda radyal do§rultuda bir elektrik alan için elektromanyetik bir formu
A = f (r)dt = f (r)e−U (r) θ0
olarak seçildi§inde, elektromanyetik alan ve enerji-momentum
tensörünün sfrdan farkl bile³enleri;
F01 = F10 = −e−K(r) f 0 (r),
(4.91)
1
T00 = −T11 = T22 = T33 = Tii = e−2K(r) f 0 (r)2 ,
2
(4.92)
olmaktadr. Maxwell denklemi
dF = 0
için
d[f 0 (r)e−K(r) ] = 0,
olurken di§er Maxwell denklemi
d∗F =0
(4.93)
için ise
n
Y
0
−U (r)
d f (r)e
W (r)
Xi (r) = 0,
(4.94)
i
e³itli§i elde edilir. Einstein alan denklemleri (4.81-4.85) ve (4.92) e³itlikleri kullanlarak çözüldü§ünde
uygun integral sabitleri seçilerek metrik fonksiyonlar;
26
4−N
W (r) = w0 r1−p (a + br4σ ) N −3 ,
K(r) =
(4.95)
N −4
4σ 2 − p + p0 + p2 + 2σp ln r − ln a + br4σ N −3 ,
U (r) = 2σ ln r − ln(a + br4σ ),
(4.96)
(4.97)
1
X(r) = rpi (a + br4σ ) N −3
(4.98)
olarak bulunur. Bu durumda (4.80) metri§i a³a§daki gibi yazlr;
r4σ
dt2
4σ
2
(a + br )
2
0
2
4σ N 2−3
r2(4σ −2σ−p+p +p +2σp) (dr2 + dz 2 )
+(a + br )
ds2 = −
+w02 r2(1−2σ−p) dφ2
+
n
X
r
2pi
dx2i
.
(4.99)
i
Ayn zamanda;
r
f (r) =
√
N −2
−a
√
N − 3 b(a + br4σ )
(4.100)
ve elektromanyetik alan bir formu
r
A=
√
N −2
−a
√
dt
N − 3 b(a + br4σ )
olarak Einstein-Maxwell denklemlerinden elde edilir.
(4.101)
N -boyutlu uzay-zamanda (4.91) ve (4.92)
elektromanyetik alan ve enerji momentum tensörleri en genel olarak
√
N − 2 4σ −a b −(1−4σ+4σ2 −p+p0 +p2 +2σp)
=
r
N − 3 (a + br4σ ) NN −2
−3
N −2
8 σ2 a b
= T33 = Tii = −
−2
N − 3 (a + br4σ )2 NN −3
r
F01 = −F10
T00 = −T11 = T22
r−2(1−4σ+4σ
)
2 −p+p0 +p2 +2σp
³eklinde elde edilir. Burada yine, enerji yo§unlu§u
(4.103)
ρ = T00 'n pozitif olmas gereklili§i a b < 0
olmas gerekti§ini gösterir. Ayn zamanda (4.99) çizgi eleman
D³ çözüm;
ç çözüm;
σ>0
ise
a < 0, b > 0,
σ<0
ise
a > 0, b < 0,
σ>0
ise
a > 0, b < 0,
σ<0
ise
a < 0, b > 0,
27
(4.102)
durumlarnda düzgün davranmaktadr. Bu tezde d³ çözümler üzerinde durulmaktadr. Bununla
birlikte
N -boyutlu
uzay-zamanda Ricci skaleri;
R=
16 σ 2 a b
N −4
N −3
(a + br4σ )
−2
2N
N −3
r−2(1−4σ+4σ
2 −p+p0 +p2 +2σp)
(4.104)
olarak ve elektromanyetik de§i³mez skaleri ise;
Fµν F
µν
=
N −2
N −3
32 σ 2 a b
N −2
2N
−3
r−2(1−4σ+4σ
2 −p+p0 +p2 +2σp)
(4.105)
(a + br4σ )
³eklinde genelle³tirilebilir. Bu skalerlerden (4.99) metri§i, 4 ve 5-boyutlu uzay-zamanlara benzer ³ekilde
ve
r=0
ve
1/(4σ)
r = rs = − ab
1
oldu§u durumlarda
2
r = 0'daki
'da uzay-zaman tekilliklerine sahiptir. Ancak
σ 'nn 0
tekillik yok olmaktadr.
Birim Uzunluk Ba³na Yük ve Kütle Yo§unlu§u
N -boyutlu statik, silindirsel simetrik uzay-zamann çizgi eleman (4.99) uzay-zamannda sabit
yarçapta birim koordinat uzunlu§undan geçen elektrik aksn veren Gauss Yasas;
2π
Z
0
³eklindedir. Burada
g
1
Z
√
F tr −g dzdφ = 4πλ
(4.106)
0
metrik tensörünün determinant ve
λ birim uzunluk ba³na yük yo§un-
lu§udur. Metrik tensörünün determinant
4
g = −w02 (a + br4σ ) N −3 r2+16σ
2 −8σ−4p+4p0 +4p2 +8σ
p
(4.107)
olarak elde edilir. Elektromanyetik alan tensörünün bile³eni ise;
F
tr
4σ
q
=−
N −2
(−a b) N
−3
(a + br4σ )
2
N −3
r−1−2(4σ
)
2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
(4.108)
olmaktadr. Bu e³itlikler kullanlarak birim uzunluk ba³na dü³en yük yo§unlu§u
r
λ = −2wo σ
olarak
(−ab)
N −2
N −3
(4.109)
N -boyutlu uzay-zamanda elde edilir. 4-boyutlu uzay-zamanda ise birim uzunluk ba³na
dü³en yük yo§unlu§u
√
λ(4) = −2 2Cσw0
(4.110)
olmaktadr.
Bu uzay-zamanda kütle-çekimsel aky veren Gauss yasas;
Z
2π
Z
−
0
0
1
d2 r √
−g dzdφ = 4πµ(r)
dτ 2
28
(4.111)
ile ifade edilir. Burada
d2 r
bu uzay-zamana sabit bir yarçapta serbest halde braklan yüksüz
dτ 2
bir test parçac§na etkiyen radyal kuvvettir ve
d2 r
(a − br4σ ) −1−8σ2 +4σ+2p−2p0 −2p2 −4σp
=
−2σ
N −1 r
dτ 2
(a + br4σ ) N −3
(4.112)
olmaktadr. (Bir sonraki bölümde daha ayrntl olarak gösterilecektir.) Bu durumda
N-
boyutlu uzay-zamanda birim uzunluk ba³na kütle miktar;
µ(r) =
w0 σ(a − br4σ )
a + br4σ
olarak elde edilir. Elde edilen bu sonuçlar Bonnor'un
uyu³maktadr (Bonnor 2007).
29
(4.113)
N = 4
için buldu§u sonuçlar ile de
4.3
4.3.1
Yüklü-Yüksüz Parçack Hareketleri
4-Boyutlu Uzay-Zamanda Parçack Hareketleri
Herhangi bir uzay-zamanda hareket eden parçacklar için jeodezik denklemleri (2.12) e³itli§inden elde edilir. Bu denklemleri elde etmek için gerekli olan Christoel sembollerinin 4-boyutlu
uzay-zamanda statik, silindirsel simetrik çizgi eleman için, sfrdan farkl bile³enleri
Γtrt = U 0 (r),
(4.114)
Γrtt = e−2K(r)+4U (r) U 0 (r),
(4.115)
Γrrr = K 0 (r) − U 0 (r),
(4.116)
Γrzz = −K 0 (r) + U 0 (r),
(4.117)
Γrφφ = e−2K(r) W (r) (W (r)U 0 (r) − W 0 (r)) ,
(4.118)
Γzrz = K 0 (r) − U 0 (r),
W 0 (r)
Γφrφ = −U 0 (r) +
W (r)
(4.119)
(4.120)
³eklindedir. Yüksüz parçacklar için jeodezik denklemleri;
d2 t
dt dr
+ 2Γtrt
= 0,
2
dτ
dτ dτ
2
2
2
d2 r
dz
dφ
dr
r
r
r dt 2
r
+ Γzz
+ Γφφ
= 0,
+ Γtt ( ) + Γrr
2
dτ
dτ
dτ
dτ
dτ
d2 z
dr dz
+ 2Γzrz
= 0,
2
dτ
dτ dτ
dr dφ
d2 φ
+ 2Γφrφ
=0
2
dτ
dτ dτ
(4.121)
(4.122)
(4.123)
(4.124)
olurken (4.114-4.120) Christoel sembolleri kullanlarak (4.121-4.122) denklemlerinin ilk integralleri;
dt
= Ee−2U (r) ,
dτ
dz
= z0 e2[U (r)−K(r)] ,
dτ
dφ
φ0 2U (r)
=
e
dτ
W (r)2
³eklinde elde edilir. Burada
E, z0 , φ0
(4.125)
(4.126)
(4.127)
integral sabitleridir. Ancak (4.122) e³itli§i karma³k
oldu§undan onun yerine (3.5) çizgi elemanndan
dr
dτ
2
= e2[U (r)−K(r)] + E 2 e−2K(r) − z02 e4[U (r)−K(r)] −
30
φ20 4U (r)−2K(r)
e
W (r)2
(4.128)
ifadesini kullanabiliriz. Burada
ds 2
= ( dτ
)
büyüklü§ünü ifade eder ve
−1, 0, 1
de§erlerini alr
ve bu de§erler uzay-zamann srasyla uzay-tipi, ³k-tipi ve zaman-tipi oldu§unu gösterir.
Elektromanyetik alan içinde
e
elektrik yükü ve
m
kütlesine sahip parçacklarn jeodezik
denklemi (2.12)'den
d2 t
dr
dt dr
e
= F tr
+ 2Γtrt
2
dτ
dτ dτ
m
dτ
2
2
2
2
2
dr
dr
dz
dφ
e
dt
dt
r
r
r
r
+ Γrr
+ Γzz
+ Γφφ
= F rt
+ Γtt
2
dτ
dτ
dτ
dτ
dτ
m
dτ
2
dz
dr dz
=0
+ 2Γzrz
2
dτ
dτ dτ
d2 φ
dr dφ
=0
+ 2Γφrφ
2
dτ
dτ dτ
(4.129)
(4.130)
(4.131)
(4.132)
olarak yazlr. Burada elektromanyetik alan tensörünün bile³enleri;
F tr = e2U (r) f 0 (r),
(4.133)
F rt = e2U (r)−2K(r) f 0 (r)
(4.134)
³eklindedir. Jeodezik denklemlerin ilk integrallerinden,
e
dt
=
f (r)e−2U (r) − Ee−2U (r) = Ẽ(r),
dτ
m
dz
= Z0 e−2[K(r)−U (r)] ,
dτ
φ0 2U (r)
dφ
=
e
dτ
W 2 (r)
olarak elde edilir. Burada
(4.135)
(4.136)
(4.137)
E, φ0 , z0 integral sabitleri olarak seçilmi³tir. Ancak (4.130) e³itli§inin
integralini karma³k oldu§undan (3.5) çizgi elemanndan
dr
dτ
2
= e−2K(r)
e
2
φ2
f (r) − E − e−4[K(r)−U (r)] Z02 − e−2K(r)+4U (r) 20
m
W (r)
e−2[K(r)−U (r)]
(4.138)
ifadesini kullanabiliriz.
Elde edilen bu jeodezik denklemlerden dairesel, radyal ve simetri ekseni boyunca hareket
eden yüklü ve yüksüz test parçac§nn davran³n ayrntl olarak inceleyelim.
31
Dairesel Jeodezikler
A. Vakumda Yüksüz Parçack
Bölüm 3'de vakum alanlar için elde edilen çizgi eleman (3.11)'in uzay-zamannda hareket
eden nötr bir test parçac§nn jeodezik denklemlerini elde etmek için (3.10) metrik fonksiyonlar (4.125-4.128) e³itliklerinde yerine koyularak;
dt
= Er−4σ ,
dτ
dz
= z0 r4σ(1−2σ) ,
dτ
dφ
φ0 −2+4σ
=
r
,
dτ
w02
2
φ2
dr
2
2
2
= r−4σ(2σ−1) + E 2 r−8σ − z02 r8σ−16σ − 02 r−2+8σ−8σ .
dτ
w0
(4.139)
(4.140)
(4.141)
(4.142)
z
elde edilir. Test parçac§nn simetri ekseni boyunca sabit bir noktada ( =sabit) ve sabit bir
r
yarçapta ( =sabit) dairesel hareket etti§ini varsayarsak,
dr
dτ
2
d r
dz
= 0, dτ
2 = 0, dτ = 0
durumlar
göz önünde bulundurmaldr. Bu durumda,
dφ
dτ
2
=
2σ E 2 −2
r
1 − 2σ w02
(4.143)
denklemi (4.122) e³itli§inden elde edilir ve (3.11) çizgi eleman;
olur. Burada
W2 =
ds
dt
2
= r4σ (W 2 − 1)
(4.144)
2σ
'dr. Böylece nötr test parçac§nn dairesel jeodezikleri
1−2σ
W < 1
W > 1
W = 1
1
(0 ≤ σ < )
4
1
(σ > )
4
1
(σ = )
4
olurlar (da Silva 1995). Yani kütleli parçacklar
edibilir iken fotonlar sadece
σ=
zaman-tipi
uzay-tipi
³k-tipi
0 ≤ σ <
1
dairesel jeodeziklerde hareket
4
1
durumunda hareket edebilirler.
4
σ>
1
de§erlerinde dairesel
4
jeodezik hareketi mevcut de§ildir.
B. Elektromanyetik Alanda Yüksüz Parçack
Nötr test parçac§ radyal yönde elektrik alann oldu§u durumda elde edilen (3.21) çizgi
elemannn uzay-zamannda hareket etti§i durumda (4.125-4.128) denklemlerinden;
32
dt
= Er−4σ (1 − C 2 r4σ )2 ,
dτ
dz
r4σ(1−2σ)
= z0
,
dτ
(1 − C 2 r4σ )2
dφ
φ0
=
r−2+4σ ,
2
dτ
w0 (1 − C 2 r4σ )2
2
2
dr
r4σ(1−2σ)
r8σ(1−2σ)
φ2o r−2(1−2σ)
2 −8σ 2
2
= +E r
− z0
−
dτ
(1 − C 2 r4σ )2
(1 − C 2 r4σ )4 w02 (1 − C 2 r4σ )4
(4.145)
(4.146)
(4.147)
(4.148)
elde edilir. Nötr test parçac§n (3.21) çizgi elemannn uzay-zamanndaki dairesel jeodeziklerini elde etmek için
dr
dτ
2
d r
dz
= 0, dτ
2 = 0, dτ = 0 olarak seçilmelidir. Bu durumda (4.122) e³itli§in-
den;
dφ
dτ
2
2σr−2+8σ (1 + C 2 r4σ )
=
(1 − C 2 r4σ )4 [1 − 2σ − C 2 r4σ (1 + 2σ)] w02
dt
dτ
2
(4.149)
elde edilerek (3.21) çizgi elemannda kullanld§nda,
ds
dt
2
r4σ
=
(1 − C 2 r4σ )2
2σ(1 + C 2 r4σ )
−1+
[1 − 2σ − C 2 r4σ (1 + 2σ)]
(4.150)
sonucuna ula³lr. Bu e³itlikten parçac§n dairesel jeodeziklerinin
r
>
rs
r
=
rs
r
<
rs
1 − 4σ
1 + 4σ
4σ1
1 − 4σ
1 + 4σ
4σ1
1 − 4σ
1 + 4σ
4σ1
için uzay-tipi,
için ³k-tipi,
için zaman-tipi
1
oldu§u söylenir. Burada
olaca§ndan
r
rs
> 1
0<σ<
rs = f rac1C 2σ
silindirsel yük kayna§nn yarçapdr.
r
de§eri pozitif
rs
1
olmas gerekir. Ayn zamanda, burada d³ çözümler incelendi§inden
4
olmaldr. Fakat parçack hareketlerinde herzaman
1−4σ
1+4σ
< 1
olaca§ndan elektro-
manyetik alanda yüksüz parçack hareketi mevcut de§ildir.
C. Elektromanyetik Alanda Yüklü Parçack
Yüklü bir test parçac§ (3.21) çizgi elemannn uzay-zamannda hareket etti§i dü³ünülürse
jeodezik denklemler
dt
e
=
dτ
m
√
2r−4σ (1 − C 2 r4σ )
− Er−4σ (1 − C 2 r4σ )2 = Ẽ(r),
C
(4.151)
(4.152)
33
2
2
2
d2 r 2σr−1+8σ−8σ (1 + C 2 r4σ ) dt
2σ [1 − 2σ + C 2 r4σ (1 + 2σ)] dr
−
+
dτ 2
(1 − C 2 r4σ )5
dτ
r(1 − C 2 r4σ )
dτ
2
2 4σ
2σ [1 − 2σ + C r (1 + 2σ)] dz
+
r(1 − C 2 r4σ )
dτ
√
2
2 4σ
dφ
e 4Cσ 2
2 dt
1−8σ 2 2 [−1 + 2σ + C r (1 + 2σ)]
=
,
r−1+8σ−8σ
+r
w0
2
4σ
2
4σ
4
(1 − C r )
dτ
m (1 − C r )
dτ
dz
Z0
=
r4σ(1−2σ) ,
dτ
(1 − C 2 r4σ )2
dφ
φ0
= 2
r−2+4σ
dτ
w0 (1 − C 2 r4σ )2
olmaktadr.
e
elektrik yüküne ve
m
(4.153)
(4.154)
(4.155)
kütlesine sahip parçac§n (3.21) çizgi elemannn uzay-
zamannda dairesel hareket edebilmesi için,
dr
dτ
2
d r
dz
= 0, dτ
2 = 0, dτ = 0 olmaldr. (4.153) e³itli§in-
den;
dφ
dτ
2
2
=
2σ Ẽ(r)
− C 2 r4σ )4
1 + C 2 r4σ − 2√2 e C(1 − C 2 r4σ ) Ẽ(r)m
w02 (1
1 − 2σ −
C 2 r4σ (1
+ 2σ)
r−2+8σ
(4.156)
elde edilerek ve (3.21) çizgi eleman kullanlarak
ds
dt
2
r4σ
=
(1 − C 2 r4σ )2
"
− 1 + 2σ
√ e
#
(1 − C 2 r4σ )
1 + C 2 r4σ − 2C 2 E(r)m
1 − 2σ − C 2 r4σ (1 + 2σ)
(4.157)
olarak bulunur. Bu durumda parçac§n dairesel jeodezikleri;
r
rs
r
rs
r
rs
√ e # 4σ1
)
1 − 4σ(1 + C 2 E(r)m
√ e
>
1 + 4σ(1 − C 2 Ẽ(r)m )
√ e # 4σ1
"
1 − 4σ(1 + C 2 E(r)m
)
√ e
=
1 + 4σ(1 − C 2 Ẽ(r)m )
√ e # 4σ1
"
1 − 4σ(1 + C 2 E(r)m
)
√ e
<
1 + 4σ(1 − C 2 Ẽ(r)m )
"
olmaktadr. Yüksüz parçack hareketlerine benzer ³ekilde
için uzay-tipi,
için ³k-tipi,
için zaman-tipi,
r
orannn herzaman birden büyük
rs
olmas gerekti§i için parçac§n zaman-tipi hareketi söz konusu olamaz bu nedenle dairesel jeodezikler mevcut de§ildir. Ayrca do§rulu§unun test edilmesi açsndan
e = 0
sfr
seçildi§inde bu denklemlerin yüksüz parçack hareket denklemlerine indirgendi§i kolayca
görülür.
34
Simetri Ekseni Boyunca Jeodezikler
A. Vakumda Yüksüz Parçack
Nötr test parçac§nn (3.11) çizgi elemannn uzay-zamannda, sabit bir aç ve yarçapta,
simetri ekseni boyunca hareket edebilmesi için
dr
dτ
= 0,
dφ
dτ
= 0
ve
d2 r
dτ 2
= 0
olmaldr. Bu
durumda (4.122) ve (4.139) e³itliklerinden ;
dz
dτ
2
2
r−8σ
= −E
1 − 2σ
2
(4.158)
elde edilmektedir. Buna göre (3.11) çizgi eleman;
ds
dt
2
=r
4σ
−1 +
1
2σ − 1
(4.159)
haline gelmektedir. Böylece, nötr test parçac§nn simetri ekseni boyunca jeodezik denklemleri;
1
> 1
2σ − 1
1
= 1
2σ − 1
1
< 1
2σ − 1
ise uzay-tipi
ise ³k-tipi
σ
,
ise zaman-tipidir.
Zaman-tipi jeodezikler ancak kütle parametresi
gerçekle³ir. Ancak,
,
σ 'nn
parametresinin yaplan çal³malar ile
1'den büyük oldu§u durumlarda
0 ≤ σ ≤ 1 aral§nda de§erler
ala-
bilece§i gösterilmi³ oldu§undan (Wang ve ark. 1997), nötr test parçac§nn bu uzay-zamanda
simetri ekseni boyunca zaman-tipi hareketinin mevcut olmad§ sonucu elde edilir. I³k-tipi
parçacklar için ise
σ=1
de§erinde bu tip hareket mümkündür.
B. Elektromanyetik Alanda Yüksüz Parçack
Nötr test parçac§nn (3.21) çizgi elemannn uzay-zamannda simetri ekseni boyunca
jeodezikleri için
dr
dτ
= 0,
dφ
dτ
= 0 ve
dz
dτ
2
d2 r
dτ 2
= 0 olarak yazlabilir. Bu durumda (4.122) e³itli§inden;
= E 2 r−8σ
2
1 + C 2 r4σ
2σ − 1 − C 2 r4σ (1 + 2σ)
(4.160)
yazlr. (3.21) çizgi elemanndan ise;
ds
dt
2
r4σ
1 + C 2 r4σ
=
−1 +
(1 − C 2 r4σ )
−1 + 2σ − C 2 r4σ (1 + 2σ)
35
(4.161)
e³itli§i elde edilir. Buradan test parçac§nn simetri ekseni boyunca jeodeziklerinin
r
>
rs
r
=
rs
r
<
rs
σ−1
σ+1
4σ1
σ−1
σ+1
4σ1
σ−1
σ+1
4σ1
ise uzay-tipi
ise ³k-tipi
,
,
ise zaman-tipi
,
oldu§u söylenir. Buna göre; ele ald§mz çözüm d³ çözüm oldu§undan
Ancak e³itli§in sa§ taraf her zaman
1'den
r
rs
> 1
olmaldr.
küçüktür. Bu nedenle nötr bir test parçac§ için
simetri ekseni boyunca zaman-tipi jeodezik mevcut de§ildir.
C. Elektromanyetik Alanda Yüklü Parçack
Elektrik yüküne ve kütleye sahip bir test parçac§nn (3.21) çizgi elemannn uzay-zamannda,
simetri ekseni boyunca hareket edebilmesi için
dr
dτ
= 0,
dφ
dτ
=0
ve
d2 r
dτ 2
=0
olmaldr. Buna
göre (4.153) e³itli§inden;
dz
dτ
2
2 −8σ(σ−1)
=

Ẽ(r) r

(1 − C 2 r4σ )4
√
−2 2eC
(1
mẼ(r)
− C 2 r4σ ) + 1 + C 2 r4σ

(4.162)

2σ − 1 − C 2 r4σ (1 + 2σ)
elde edilirken (3.21)çizgi elemanndan;
ds
dt
2
4σ
=

r
−1 +
(1 − C 2 r4σ )2
√
−2 2eC
(1
mẼ(r)
− C 2 r4σ ) + 1 + C 2 r4σ


2σ − 1 − C 2 r4σ (1 + 2σ)
(4.163)
sonucuna ula³lr. Bu durumda, test parçac§nn simetri ekseni boyunca jeodezikleri

σ−1+
r
> 
rs
σ+1+

σ−1+
r
= 
rs
σ+1+

σ−1+
r
< 
rs
σ+1+
√  1
4σ
eC 2
mẼ(r)
√ 
eC 2
mẼ(r)
√  1
4σ
eC 2
mẼ(r)
√ 
eC 2
mẼ(r)
√  1
4σ
eC 2
mẼ(r)
√ 
eC 2
mẼ(r)
ise uzay-tipi
ise ³k-tipi
,
,
,
ise zaman-tipi
olmaktadr. Bu durumda da d³ çözümler için, yüklü test parçac§nn zaman-tipi jeodezikleri
mevcut de§ildir.
36
Radyal Kuvvet
A. Vakumda Yüksüz Parçack
Nötr test parçac§nn durgun halde (3.11) çizgi elemannn uzay-zamanna brakld§n
varsayalm. Bu durumda ba³langç ko³ullar
dr
dτ
= 0,
dz
dτ
=0
ve
dφ
dτ
=0
olmaktadr. Buna göre
(4.122) e³itli§i
d2 r
= −E 2 U 0 (r)e−2K(r)
dτ 2
olur. Bununla birlikte çizgi elemanndan
ds2 = −dτ 2
(4.164)
e³itli§i yazlarak
E = eU (r)
olmas
gerekti§i görülür. (3.10) metrik fonksiyonlar kullanlarak;
d2 r
2
= −2σr−1+4σ−8σ
2
dτ
elde edilir. Bu e³itli§e göre
r'nin
(4.165)
tüm de§erleri için;
σ > 0
için parçack kütle-çekimsel kuvvet tarafndan çekilir,
σ < 0
için parçack kütle-çekimsel kuvvet tarafndan itilir.
B. Elektromanyetik Alanda Yüksüz Parçack
(3.21) çizgi elemannn uzay-zamanna herhangi bir
test parçac§ için ba³langç ko³ullar
dr
dτ
= 0,
dz
dτ
=0
t
annda durgun halde braklan nötr
ve
dφ
dτ
=0
³eklindedir. Bu parçac§n
üzerine etki eden radyal kuvveti belirlemek için, (4.122) e³itli§inden;
d2 r
= −Γr tt
dτ 2
elde edilir. Ayn zamanda
ds2 = −dτ 2
dt
dτ
2
= −E 2 U 0 (r)e−2K(r)
(4.166)
E = eU (r)
olmas gerekir. Metrik fonksiy-
d2 r
2σ(1 + C 2 r4σ ) −1+4σ−8σ2
=
−
r
dτ 2
(1 − C 2 r4σ )3
(4.167)
oldu§undan
onlar kullanlarak e³itlik;
olmaktadr. Ayn zamanda bu ifade;
4σ 2σ 1 + rrs
d2 r
−1+4σ−8σ 2
=− 3 r
2
4σ
dτ
1 − rrs
olarak yazlabilir. Bu durumda;
σ>0
σ<0
ise
ise
r
rs
r
rs
r
rs
r
rs
< 1
oldu§unda kütle-çekimsel kuvvet parçac§ çeker,
> 1
oldu§unda kütle-çekimsel kuvvet parçac§ iter,
< 1
oldu§unda kütle-çekimsel kuvvet parçac§ çeker,
> 1
oldu§unda kütle-çekimsel kuvvet parçac§ iter.
37
(4.168)
Yaplan elektromanyetik çözümde elde edilen sonuç
r
rs
>1
r > rs
içindir. Bu nedenle her zaman
durumuna bakyoruz. Buna göre elektromanyetik alanda, yüksüz parçack silindirsel
yük da§lmnn d³nda kütle çekimsel kuvvet tarafndan her zaman itilir (Bonnor 2007).
C. Elektromanyetik Alanda Yüklü Parçack
Elektrik yükü
e
ve kütlesi
m
olan bir test parçac§nn (3.21) çizgi elemannn uzay-
zamanna durgun halde brakld§n varsayarsak,
dr
dτ
dz
dτ
= 0,
= 0 ve
dφ
dτ
= 0 ³eklinde alabiliriz.
dt
dτ
2
Bu durumda (4.130) e³itli§i
dt
d2 r
e
− U 0 (r)e−2K(r)+4U (r)
= f 0 (r)e−2K(r)+2U (r)
2
dτ
m
dτ
olmaktadr. (3.21) çizgi eleman için
ds2 = −dτ 2
yazld§nda
dt 2
( dτ
) = e−2U (r)
(4.169)
olarak elde
edilir. Böylece;
" √
#
2σ
2 2 C e r2σ
d2 r
2 4σ
−1+4σ−8σ 2
=
−
(1
+
C
r
)
r
dτ 2
(1 − C 2 r4σ )3
m
(4.170)
olur. Ayn zamanda (4.110) e³itli§inde 4-boyutlu uzay-zaman için elde edilen birim uzunluk
ba³na yük yo§unlu kullanlarak
(4)
d2 r
2
λ e r2σ
2 4σ
−1+4σ−8σ 2
=
−
+
σ(1
+
C
r
)
r
dτ 2
(1 − C 2 r4σ )3
m w0
(4.171)
elde edilir. Bu e³itli§in sa§ tarafndaki ikinci terim nötr test parçac§nn elektromanyetik alandaki radyal kuvveti için bulunan sonucu vermektedir. Bu kuvvetin herzaman itici olaca§n bir
önceki bölümde elde etmi³tik. Buradaki birinci terim ise yüklü parçack ile elektromanyetik
alan etkile³mesidir ve parçac§n elektrik yükü
ba³na yük yo§unlu§u
E§er
eλ(4)
λ(4) 'ün
e
ile elektromanyetik alann birim uzunluk
çarpmlarnn i³aretine göre farkl davran³ göstermektedir.
çarpm pozitif ise parçac§a etkiyen kuvvet itici, bu çarpm negatif oldu§unda ise
etki eden kuvvet çekici olur. Parçac§a elektromanyetik alandan dolay etkiyen kuvvetin çekici oldu§u yani
eλ(4)
çarpmnn negatif oldu§u durum için, parçac§a etki eden net kuvvetin
sfra e³it olaca§ özel de§erleri mevcuttur. Bu noktalarda
d2 r
dτ 2
=0
oldu§unda parçack nötr
denge durumundadr. Bu durum ancak (4.170) denkleminde;
√
2 2|e C|r2σ
= 1 + C 2 r4σ
m
(4.172)
e³itli§i sa§land§ zaman gerçekle³ir. Buna göre
√
r = rs
2|e|
±
m
r
−1 +
38
2e2
m2
! 2σ1
(4.173)
oldu§u durumda parçack üzerine etki eden kuvvetler dengededir. Bu ifadenin ziksel an-
√
lamnn olmas için kök içindeki ifadelerin pozitif olmas gerekmektedir. Bu durumda
m
2|e| >
olmaldr (Bonnor 2007).
Bu bölümde bahsedilen 4-boyutlu uzay-zamanda test parçac§nn dairesel ve simetri ek-
seni boyunca hareketlerini ve radyal yöndeki kuvvetin davran³n ksaca a³a§daki tablodaki
gibi ifade edebiliriz.
Jeodezikler
Vakumda Yüksüz
Elektromanyetik Alanda
Elektromanyetik Alanda
Parçack
Yüksüz Parçack
Yüklü Parçack
Var
Yok
Yok
Yok
Yok
Yok
Çekici
tici
Çekici
Dairesel
0<σ<
(
Simetri Ekseni
1
)
4
Boyunca
Radyal Kuvvet
veya itici
Çizelge
4.1:
4-boyutlu
uzay-zamanda
test
parçac§nn
kuvvet
39
zaman-tipi
jeodezikleri
ve
radyal
4.3.2
N -boyutlu
N -boyutlu
uzay-zamanda parçack hareketleri
uzay-zamanda yüklü ve yüksüz parçack hareketlerini belirlemek için (2.12) kul-
lanlarak;
d2 t
e
dr
dt dr
= F tr ,
+ 2Γtrt
2
dτ
dτ dτ
m
dτ
n
2
dφ 2 X r
dxi 2
e
dt
dr
r dr 2
r dz 2
r
r dt 2
Γxi xi (
) = F rt ,
+ Γtt ( ) + Γrr ( ) + Γzz ( ) + Γφφ ( ) +
2
dτ
dτ
dτ
dτ
dτ
dτ
m
dτ
i
d2 z
dr dz
= 0,
+ 2Γzrz
2
dτ
dτ dτ
d2 φ
φ dr dφ
= 0,
+
2Γ
rφ
dτ 2
dτ dτ
d 2 xi
dr dxi
=0
+ 2Γxrxi i
2
dτ
dτ dτ
(4.174)
(4.175)
(4.176)
(4.177)
(4.178)
elde edilir. Bu jeodezik denklem çözümleri için gerekli
N -boyutlu uzay-zamanda statik silindirsel
simetrik çizgi eleman için Christoel sembollerinin sfrdan farkl bile³enleri;
Γtrt = U 0 (r),
(4.179)
Γrtt = e−2K(r)+4U (r) U 0 (r),
(4.180)
Γrrr = K 0 (r) − U 0 (r),
(4.181)
Γrzz = −K 0 (r) + U 0 (r),
(4.182)
Γrφφ = e−2K(r) W (r) [W (r)U 0 (r) − W 0 (r)] ,
(4.183)
Γzrz = K 0 (r) − U 0 (r),
W 0 (r)
Γφrφ = −U 0 (r) +
W (r)
0
Xi (r)
Γxrxi i =
Xi (r)
r
Γxi xi = −e−2K(r)+2U (r) Xi0 (r)Xi (r)
(4.184)
(4.185)
(4.186)
(4.187)
³eklindedir. Elektromanyetik alan tensörünün bile³enleri;
F tr = e2U (r) f 0 (r),
(4.188)
F rt = e2U (r)−2K(r) f 0 (r)
(4.189)
olmaktadr.
40
E§er parçack elektrik yüküne sahip de§ilse (
dt
dτ
dz
dτ
dφ
dτ
dxi
dτ
e = 0);
= Ee−2U (r) ,
(4.190)
= z0 e2[U (r)−K(r)] ,
(4.191)
φ0 2U (r)
e
W (r)2
qi
=
Xi (r)2
=
(4.192)
(4.193)
olarak (4.179-4.187) Christoel sembolleri kullanlarak jeodezik denklemlerinin ilk integralleri
elde edilir. Burada
E, z0 , φ0 , qi
integrasyon sabitleridir. Ancak radyal yönde de§i³imi ifade
eden (4.175) e³itli§i yerine, statik, silindirsel simetrik
N -boyutlu
uzay-zaman çizgi eleman
(4.80) kullanlarak;
dr
dτ
2
= e2U (r)−2K(r) + E 2 e−2K(r) − z02 e4U (r)−4K(r) −
−
n
X
i
yazlabilir. Burada
=
φ20 4U (r)−2K(r)
e
W (r)2
qi2
e2U (r)−2K(r)
2
Xi (r)
(4.194)
ds2
'dir.
dτ 2
e 6= 0)
Öte taraftan e§er parçack bir elektrik yüküne sahip ise (
jeodezik denklemlerinin
ilk integralleri ³u ³ekilde olur;
dt
dτ
dz
dτ
dφ
dτ
dxi
dτ
=
e
f (r)e−2U (r) − Ee−2U (r) = Ẽ(r),
m
(4.195)
= z0 e2U (r)−2K(r) ,
(4.196)
φ0 2U (r)
e
,
W (r)2
qi
=
.
Xi (r)2
=
(4.197)
(4.198)
Ancak (4.175) e³itli§inin çözümü karma³k oldu§undan (4.99) çizgi elemanndan;
dr
dτ
2
= e2U (r)−2K(r) +
e
2
f (r) − E e−2K(r)
m
n
−z02 e4U (r)−2K(r)
olarak bulunur. Bu denklemlerde
φ20 4U (r)−2K(r) X qi
−
e
−
e2U (r)−2K(r)
2
W (r)2
X
(r)
i
i
E, z0 , φ0 , qi
integral sabitleri ve
=
(4.199)
ds2
olarak seçilmi³tir.
dτ 2
Bu jeodezik denklemlere göz önünde bulundurularak parçac§n baz özel hareketlerini inceleyelim.
41
Dairesel Hareket
A. Vakumda Yüksüz Parçack
Nötr test parçac§nn (4.90) çizgi elemannn uzay-zamannda hareket etti§ini varsaylrsa
(4.86-4.89) metrik fonksiyonlar kullanlarak jeodezik denklemleri;
dt
dτ
dz
dτ
dφ
dτ
dxi
dτ
dr
dτ
2
= r−2(4σ
= Er−4σ ,
(4.200)
= z0 r−2(4σ
=
),
2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
(4.201)
φ0 4σ−2+p
r
,
w02
(4.202)
= qi r−2pi ,
(4.203)
) + E 2 r−2(4σ2 −p+p0 +p2 +2σp)
2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
2
) − φ0 r−2(1+4σ2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp)
w02
2
0
2
− qi2 r−2(4σ −2σ−p+p +p +2σp)
− z02 r−4(4σ
2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
(4.204)
olarak elde edilir. Parçac§n simetri ekseni etrafnda dairesel hareket etti§i dü³ünüldü§ünde
dr
dτ
= 0,
d2 r
dτ 2
= 0,
dz
dτ
=0
ve
dxi
dτ
dφ
dτ
=0
2
olmaktadr. Böylece e³itlik (4.175)'dan
2σ
r8σ−2+2p
= 2
w0 (1 − 2σ − p)
dt
dτ
2
(4.205)
elde edilmektedir. (4.99) metri§i;
ds
dt
2
=r
4σ
2σ
−1
1 − 2σ − p
(4.206)
haline gelir. Bu durumda nötr test parçac§nn dairesel jeodezikleri
p
1
<
4
4
p
1
σ+
>
4
4
p
1
=
σ+
4
4
0<σ+
için zaman-tipi
için uzay-tipi
,
,
için ³k-tipi
olmaktadr. Bu sonuçlarn 4-boyutlu vakum çözümünden fark, ekstra boyutlara ait parametrelerin (
pi )
de bu jeodeziklerin davran³larn etkilemesidir.
42
B. Elektromanyetik Alanda Yüksüz Parçack
Nötr test parçac§nn elektromanyetik alan çizgi eleman (4.99)'in uzay-zamannda hareket
etti§i dü³ünüldü§ünde (4.190-4.194) jeodezik denklemleri;
dt
dτ
dz
dτ
dφ
dτ
dxi
dτ
2
dr
dτ
= Er−4σ (a + br4σ )2 ,
= z0 r−2(4σ
=
(4.207)
) (a + br4σ ) N−2
−3 ,
2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
(4.208)
−2
φ0 −2(1−2σ−p)
r
(a + br4σ ) N −3 ,
2
w0
(4.209)
−2
= qi r−2pi (a + br4σ ) N −3 ,
= r−2(4σ
(4.210)
) (a + br4σ ) N−2
−3
2 −2σ+−p+p0 +p2 +2σp
+ E 2 r−2(4σ
−4)
) (a + br4σ ) 2(N
N −3
2 −p+p0 +p2 +2σp
−4
− z02 r−4(4σ −2σ−p+p +p +2σp) (a + br4σ ) N −3
−4
φ20 −2(1+4σ2 −4σ−p+p0 +p2 +2σp)
−
r
(a + br4σ ) N −3
2
w0
n
X
−6
2
0
2
−
qi2 r−2(4σ −2σ−p+p +p +2σp) (a + br4σ ) N −3
0
2
2
(4.211)
i
olarak elde edilmektedir. Bu parçac§n simetri ekseni etrafnda dairesel hareket etti§i du-
dr
dτ
rumda,
= 0,
d2 r
dτ 2
= 0,
dz
dτ
=0
ve
dxi
dτ
=0
olmaktadr. Bu e³itlikler göz önünde tutularak
(4.175) jeodezik denklemi tekrar incelendi§inde;
dφ
dτ
2
N −4
2σ(a − br4σ )(a + br4σ )−4+2 N −3
r2(−1+4σ+p)
= − 2
−4
w0 a (−1 + 2σ + p) + br4σ −1 + p − 2σ(1 − 2 N
)
N −3
dt
dτ
2
(4.212)
elde edilir. Bu e³itlik kullanlarak (4.99) çizgi eleman tekrar düzenlendi§inde;
ds
dt
2
r4σ
=
(a + br4σ )2
(
2σ(br4σ − a)
−1 +
−4
a(−1 + 2σ + p) + br4σ [−1 + p − 2σ(1 − 2 N
)]
N −3
olmaktadr. Buradan yüksüz test parçac§nn dairesel jeodezikleri
r
>
rs
1 − 4σ − p
−4
)−p
1 + 4σ(1 − N
N −3
r
=
rs
1 − 4σ − p
−4
1 + 4σ(1 − N
)−p
N −3
r
<
rs
1 − 4σ − p
−4
1 + 4σ(1 − N
)−p
N −3
! 4σ1
için uzay-tipidir,
! 4σ1
için ³k-tipidir,
! 4σ1
43
için zaman-tipidir.
)
(4.213)
r = rs
Burada
r
rs
>1
yarçapl silindirsel yük kayna§nn d³ndaki çözümleri ele ald§mzdan
olmaldr. Bu durum için yukarda elde edilen sonuçlara göre elektromanyetik alanda
yüksüz parçacklar için dairesel jeodezikler mevcut de§ildir.
C. Elektromanyetik Alanda Yüklü Parçack
Yüklü bir test parçac§n
N -boyutlu
elektromanyetik alan çizgi eleman (4.99)'in uzay-
zamannda hareket etti§i varsayld§nda (4.86-4.89) metrik fonksiyonlar kullanlarak jeodezik
denklemler;
dt
dτ
dz
dτ
dφ
dτ
dxi
dτ
=
N −2
N −3
= z0 r−2(4σ
e
m
r
a
− (a + br4σ )r−4σ − E(a + br4σ )r−4σ = Ẽ(r),
b
(4.214)
) (a + br4σ ) N−2
−3 ,
2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
(4.215)
−2
φ0 −2(1−2σ−p)
r
(a + br4σ ) N −3 ,
2
w0
=
(4.216)
−2
= qi r−2pi (a + br4σ ) N −3
(4.217)
³eklinde elde edilmektedir. Ancak (4.175) e³itli§i yerine (4.99) çizgi elemanndan;
dr
dτ
2
= r−2(4σ
) (a + br4σ ) N−2
−3
2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
+ Ẽ(r)2 r−2(4σ
−4)
) (a + br4σ ) 2(N
N −3
2 −p+p0 +p2 +2σp
−4
2
0
2
− z02 r−4(4σ −2σ−p+p +p +2σp) (a + br4σ ) N −3
φ20 −2(1+4σ2 −4σ−p+p0 +p2 +2σp)
4σ N−4
−
r
(a
+
br
) −3
w02
n
X
−6
2
0
2
−
qi2 r−2(4σ −2σ−p+p +p +2σp) (a + br4σ ) N −3
(4.218)
i
ifadesi kullanlabilir. Bu denklemlerde
E, z0 , φ0 , qi
seçilmi³tir. Bu uzay-zamanda dairesel hareket yapan
için,
dr
dτ
dφ
dτ
= 0,
2
dz
dτ
= 0,
d2 r
dτ 2
,
dxi
dτ
=0
2 −2+8σ+2p
=
−2σ Ẽ(r) r
N −2
w02 (a + br4σ )2 N −3
e
integral sabitleri ve
yükü
m
=
ds2
olarak
dτ 2
kütlesine sahip test parçac§
olur. Bu durumda (4.175) jeodezik denkleminden;


q

−2
4σ
4σ

(−a b)( N
)(a
+
br
)
+
(a
−
br
)
N −3
 a(−1 + 2σ + p) + br4σ −1 − 2σ(1 − N2−3 ) + p 
e
2
Ẽ(r)m
(4.219)
elde edilerek (4.99) çizgi elemannda yerine koyulursa;
ds
dt
2
q

N −2
4σ
4σ

4σ
(−a
b)(
)(a
+
br
)
+
(a
−
br
)
N −3
r


=
−1 − 2σ
(4.220)
(a + br4σ )2 
a(−1 + 2σ + p) + br4σ −1 − 2σ(1 − N2−3 ) + p 


olarak bulunur. Bu e³itlikten

e
2
Ẽ(r)m
N -boyutlu
uzay-zamanda elektromangetik alan çizgi eleman
44
(4.99)'in uzay-zamannda yüklü parçac§n dairesel jeodezikleri;
q
e
N −2
4σ1
1 − 4σ 1 − mẼ(r)
−p
(−ab) N
−3
q
>
N −4
e
N −2
1 + 4σ 1 − N −3 + mẼ(r) (−ab) N −3 − p
q
e
N −2
4σ1
−p
1 − 4σ 1 − mẼ(r)
(−ab) N
−3
q
=
e
N −4
N −2
1 + 4σ 1 − N −3 + mẼ(r) (−ab) N −3 − p
q
e
N −2
4σ1
1 − 4σ 1 − mẼ(r)
(−ab) N
−p
−3
q
<
N −4
N −2
e
1 + 4σ 1 − N −3 + mẼ(r) (−ab) N −3 − p
r
rs
r
rs
r
rs
ise uzay-tipi,
ise ³k-tipi,
ise zaman-tipidir.
Bu e³itlikler daha önceki elde etti§imiz sonuçlar do§rulamakta ve parçac§n dairesel hareketinin
N -boyutlu
uzay-zamanda da mevcut olmad§n desteklemektedir.
Simetri Ekseni Boyunca Jeodezikler
A. Vakumda Yüksüz Parçack
Nötr test parçac§nn (4.90) çizgi elemannn uzay-zamannda simetri ekseni boyunca
hareket etmesi için
dr
dτ
= 0,
dφ
dτ
= 0,
d2 r
dτ 2
= 0
ve
dxi
dτ
= 0
olmaldr. Bu durumda (4.175)
e³itli§inden;
dz
dτ
2
2σ
−2(4σ 2 −4σ−p+p0 +p2 +2σp)
= 2
r
4σ − 2σ − p + p0 + p2 + 2σp
dt
dτ
2
(4.221)
elde edilir. (4.90) çizgi elemanndan ise
ds
dt
2
=r
4σ
−1 +
2σ
2
4σ − 2σ − p + p0 + p2 + 2σp
(4.222)
e³itli§ine ula³lr. Bu denklemden test parçac§nn simetri ekseni boyunca jeodeziklerinin
2σ
> 1
− 2σ − p + p0 + p2 + 2σp
2σ
= 1
2
4σ − 2σ − p + p0 + p2 + 2σp
2σ
< 1
2
4σ − 2σ − p + p0 + p2 + 2σp
4σ 2
ise uzay-tipi
ise ³k-tipi
,
,
ise zaman-tipi
olduklar söylenir. Bu e³itliklerden yüksüz parçac§n vakum,
,
N -boyutlu uzay-zamanda zaman-
tipi jeodeziklerinin
2σ (2σ − 2 + p) − p + p0 + p2 > 0
de§erini sa§lad§nda olaca§ görülmektedir.
45
(4.223)
B. Elektromanyetik Alanda Yüksüz Parçack
Nötr test parçac§nn elektromanyetik alan çizgi eleman (4.99)'in uzay-zamannda hareket
etti§inde simetri ekseni boyunca sabit bir yarçap ve açdaki jeodezikleri için
d2 r
dτ 2
dr
dτ
= 0,
dφ
dτ
= 0,
i
= 0 ve dx
= 0 olmaldr. (4.175) e³itli§inden;
dτ
2
dz
2
0
2
= r−2(4σ −4σ−p+p +p +2σp)
dτ
2
2σ(a − br4σ )(a + br4σ )−2− N −3
2σ(N −5)
2
0
2
4σ
2
0
2
a (4σ − 2σ − p + p + p + 2σp) + br
4σ − N −3 − p + p + p + 2σp
dt
dτ
2
(4.224)
elde edilir. (4.99) çizgi eleman ise;
ds
dt
2
r4σ
=
−1
(a + br4σ )2
2σ(a + br4σ )
+
a (4σ 2 − 2σ − p + p0 + p2 + 2σp) + br4σ 4σ 2 −
2σ(N −5)
N −3
− p + p0 + p2 + 2σp
(4.225)
haline gelir. Bu durumda nötr test parçac§nn simetri ekseni boyunca jeodezikleri;
r
>
rs
"
r
=
rs
"
r
<
rs
"
4σ 2 − 4σ − p + p0 + p2 + 2σp
−5
4σ 2 + 2σ 1 − N
− p + p0 + p2 + 2σp
N −3
4σ 2 − 4σ − p + p0 + p2 + 2σp
−5
4σ 2 + 2σ 1 − N
− p + p0 + p2 + 2σp
N −3
4σ 2 − 4σ − p + p0 + p2 + 2σp
−5
4σ 2 + 2σ 1 − N
− p + p0 + p2 + 2σp
N −3
Bu e³itlikler radyal yönde elektrik alana sahip
# 4σ1
ise uzay-tipi
,
# 4σ1
ise ³k-tipi
,
# 4σ1
ise zaman-tipidir
N -boyutlu uzay-zamanda yüksüz test parçac§nn
simetri ekseni boyunca zaman-tipi jeodeziklere sahip olmad§n göstermektedir.
C. Elektromanyetik Alanda Yüklü Parçack
Yüklü bir test parçac§nn (4.99) çizgi elemannn uzay-zamannda simetri ekseni boyunca
sabit aç ve yarçapta jeodezikleri için
dr
dτ
dφ
dτ
= 0,
= 0,
d2 r
dτ 2
=0
ve
dxi
dτ
=0
olmaldr. (4.175)
e³itli§inden;
dz
dτ
2
=


2σ Ẽ(r)2 r−2(4σ
)
2 −4σ−p+p0 +p2 +2σp
2
(a + br4σ )2+ N −3
q
2e
−2
(−a b) N
(a + br4σ ) + (a − br4σ )
N −3
mẼ(r)


N −5
0 + p2 + 2σp
a (4σ 2 − 2σ − p + p0 + p2 + 2σp) + br4σ 4σ 2 − 2σ N
−
p
+
p
−3
(4.226)
elde edilirken çizgi elemannda yerine kondu§unda
+
ds
dt
2
r4σ
=
−1
(a + br4σ )2
q
4σe
N −2
(−a b) N
(a + br4σ ) + 2σ(a − br4σ )
−3
mẼ(r)
−5
0 + p2 + 2σp
a (4σ 2 − 2σ − p + p0 + p2 + 2σp) + br4σ 4σ 2 − 2σ N
−
p
+
p
N −3
46
(4.227)
denklemine ula³lr. Yüklü test parçac§nn simetri ekseni boyunca olan jeodeziklerinin
q
 4σ1
N −2
0
2
−
p
+
p
+
p
+
2σp
(−a b) N
−3

q
> 
4σe
N −5
N −2
0
2
2
4σ + 2σ 1 − N −3 − mẼ(r) (−a b) N −3 − p + p + p + 2σp

r
rs
4σ 2 − 4σ −
4σe
mẼ(r)
 4σ1
−2
0
2
(−a b) N
−
p
+
p
+
p
+
2σp
N −3

q
= 
4σe
N −5
N −2
2
0
2
4σ + 2σ 1 − N −3 − mẼ(r) (−a b) N −3 − p + p + p + 2σp
q
 4σ1

N −2
0
2
−
p
+
p
+
p
+
2σp
4σ 2 − 4σ − m4σe
(−a
b)
N −3
Ẽ(r)

q
< 
4σe
N −5
N −2
0
2
2
4σ + 2σ 1 − N −3 − mẼ(r) (−a b) N −3 − p + p + p + 2σp

r
rs
r
rs
4σe
mẼ(r)
4σ 2 − 4σ −
ise uzay-tipi
q
oldu§u söylenir. Bu e³itlikler test parçac§nn
N -boyutlu,
ise ³k-tipi
,
ise zaman-tipi
radyal yönde elektrik alana sahip
uzay-zamanda simetri ekseni boyunca zaman-tipi jeodeziklerinin olmad§n göstermektedir.
Radyal Kuvvet
A. Vakumda Yüksüz Parçack
N -boyutlu
uzay-zamanda (4.90) çizgi elemannn uzay-zamanna durgun halde nötr bir
test parçac§ brakld§nda, ba³langç ko³ullarndan
dr
dτ
= 0,
dz
dτ
= 0,
dφ
dτ
= 0
ve
dxi
dτ
= 0
olmaktadr. Bu durumda (4.175) e³itli§i kullanarak;
d2 r
= −Γrtt E 2 e−4U (r) = −U 0 (r)E 2 e−2K(r)
dτ 2
yazlr.
(4.228)
ds2 = −dτ 2 denkleminden E = eU (r) olarak elde edilir. Bu durumda (4.86-4.89) metrik
fonksiyonlar kullanlarak;
d2 r
= −2σr−1−2
dτ 2
haline gelir. Bu e³itli§e göre
r'nin
4σ 2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
(4.229)
tüm de§erleri için
σ > 0
ise kütle-çekimsel kuvvet parçac§ çeker,
σ < 0
ise kütle-çekimsel kuvvet parçac§ iter.
B. Elektromanyetik Alanda Yüksüz Parçack
Nötr bir test parçac§ (4.99) uzay-zamanna durgun halde brakld§nda ba³langç ko³ullarna
göre
dr
dτ
= 0,
dz
dτ
= 0, dφ
=0
dτ
ve
dxi
dτ
=0
d2 r
= −Γrtt
dτ 2
olur. Bu durum için (4.175) jeodezik denkleminden;
dt
dτ
2
= −E 2 U 0 (r)e−2K(r)
47
(4.230)
E = eU (r)
ve (4.99) çizgi elemanndan
elde edilir. Bu durumda metrik fonksiyonlar kul-
lanlarak e³itlik;
d2 r
−2σ(a − br4σ ) −1−2
=
N −1 r
dτ 2
(a + br4σ ) N −3
4σ 2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
(4.231)
haline gelir. Bu ifadeyi ;










4σ
r
1 + rs
d2 r
= −2σ a
r−1−2
N −1
2


dτ
4σ N −3 
N −1



 (−a) N −3 −1 + rr

4σ 2 −2σ−p+p0 +p2 +2σp
(4.232)
s
³eklinde yazmak mümkündür. Bu durumda;
r
rs
r
rs
r
rs
r
rs
σ > 0,
σ < 0,
> 1 (d³
< 1 (iç
)
)
çözüm
,
radyal kuvvet parçac§ iter
,
çözüm
> 1 (d³
< 1 (iç
çözüm
radyal kuvvet parçac§ çeker
)
)
,
radyal kuvvet parçac§ iter
.
çözüm
radyal kuvvet parçac§ çeker
Elde edilen bu sonuca göre, silindirsel yük kayna§nn d³ ksm için
tüm
σ
r
rs
>1
olan çözümlerde
de§erleri için parçack radyal kuvvet tarafndan itilir. Bu durum (4.113) e³itli§inde
elde edilen birim uzunluk ba³na kütle miktaryla da uyu³maktadr. Elektromanyetik alana
sahip uzay-zamanda kütle negatif de§er almaktadr.
C. Elektromanyetik Alanda Yüklü Parçack
N
boyutlu elektromanyetik alan çizgi eleman (4.99)'in uzay-zamanna durgun halde
braklan yüklü test parçac§ için ba³langç ko³ullar
dr
dτ
= 0,
dz
dτ
= 0,
dφ
dτ
= 0
ve
dxi
dτ
= 0
oldu§undan;
d2 r
e
dt
= F rt
− Γrtt
2
dτ
m
dτ
dt
dτ
olur. (4.99) çizgi eleman için
2
=
e 0
f (r)e2U (r)−K(r) E(r) − E(r)2 U 0 (r)e4U (r)−2K(r)
m
ds2 = −dτ 2
yazld§nda
E(r)2 = e−2U (r)
(4.233)
olarak elde edilir. Bu
durumda metrik fonksiyonlar kullanlarak e³itlik;
d2 r
−2σ
=
N −1
2
dτ
(a + br4σ ) N −3
"
#
r
er2σ
N −2
2
0
2
2
(−a b) + (a − br4σ ) r−1−2(4σ −2σ−p+p +p +2σp)
m
N −3
(4.234)
haline gelir. Bu e³itli§i (4.109) birim uzunluk ba³na yük yo§unlu§u ile
2
0
2
d2 r
2r−1−2(4σ −2σ−p+p +p +2σp)
= 4σ NN −1
dτ 2
−3
−a −1 + rrs
(
48
"
4σ #)
eλr2σ
r
− σa 1 +
mw0
rs
(4.235)
³eklinde yazmak mümkündür. Bu e³itlik için parantez içindeki ikinci terim bir önceki ksmda
elde edilen yüksüz parçac§a etki eden kuvveti ifade etmektedir ve bu nedenle bu terim
itici kuvvettir. Bununla birlikte ilk terimin itici ve çekici olmas
e
ba³na yük yo§unlu§unun çarpmna ba§l olarak de§i³ir. E§er
λe
parçac§ radyal kuvvet tarafndan itilir. Ancak
tarafndan çekilir.
λe
λ
yükü ve
birim uzunluk
çarpm pozitif ise test
λe çarpm negatif ise parçack radyal kuvvet
çarpmnn negatif oldu§u durumda parçac§a etki eden kütle-çekimsel
ve elektromanyetik kuvvetlerin toplamnn sfr olmas durumu olu³abilir. Bu durumda
d2 r
dτ 2
=0
olur ve (4.234) e³itli§inden,
"
r = rs
|e|
m
r
N −2
±
N −3
r
# 2σ1
e2 N − 2
−1
m2 N − 3
(4.236)
elde edilir. Buna göre parçac§n konumunun (4.236) oldu§u durumda üzerine etkiyen net
kuvvet sfrdr. Yani bu konumda bu elektromanyetik alana durgun braklan cisim kütleçekimsel ve elektromanyetik kuvvetler birbirini yok etti§i için hareketsiz kalr. Ayn zamanda,
q
(4.236) e³itli§inde karaköklü ifadenin sfrdan büyük olmas gerekti§inden
N −2
|e|
N −3
≥ m
olmaldr.
N -boyutlu
uzay-zamanda parçac§n hareketinin mümkün olan ve olmayan yörüngelerini
ve radyal kuvvetin davran³n ksaca a³a§daki tablodaki gibi gösterebiliriz.
Jeodezikler
Vakumda Yüksüz
Elektromanyetik Alanda
Elektromanyetik Alanda
Parçack
Yüksüz Parçack
Yüklü Parçack
Var
Yok
Yok
Dairesel
0<σ+
(
Simetri Ekseni
p
4
<
1
)
4
Var
Boyunca
2σ (2σ − 2 + p)
−p + p0 + p2 > 0
Yok
Yok
Radyal Kuvvet
Çekici
tici
Çekici
σ>0
Çizelge 4.2:
N -boyutlu
veya itici
uzay-zamanda test parçac§nn zaman-tipi jeodezikleri ve radyal
kuvvet
49
V
SONUÇ
Bu tezde,
N -boyutlu,
statik, silindirsel simetriye sahip, radyal bir elektrik alana kar³lk ge-
len Einstein-Maxwell denklemleri elde edilip genel ve özel çözümleri bulunmu³tur. Bulunan
bu çözümler, 4-boyutta bilinen bu çözümlerin yüksek boyutlara genelle³tirilmesine olanak
sa§lam³tr. Ayrca, elde edilen bu çözümler için test parçacklarnn hareketleri de dahil olmak üzere çe³itli özellikleri incelenmi³tir.
Tezin giri³ bölümünde literatür özeti ve bu çal³mann öneminden bahsedildikten sonra ikinci bölümde tezin üzerine oturdu§u kuramsal temeller ele alnm³tr. Tezin üçüncü bölümü bu
konuda daha önce ilk olarak Bonnor (Bonnor 1953) tarafndan bulunmu³ olan 3+1 boyutta
silindirsel simetrik durgun bir yük ve madde da§lmn tanmlayan ve radyal yönde elektrik alana sahip genel ve özel uzay-zaman çözümleri kulland§mz notasyona uygun ³ekilde
yeniden elde edilmi³, çözüm parametrelerinin ziksel anlamlar ve uzay-zaman çizgi eleman
ile elektromanyetik alann tekillik yaps tart³lm³tr. Bu çözümleri incelemek, daha sonraki
bölümde elde edilecek olan çözümlerin özelliklerini anlamak açsndan önemlidir.
Tezde yüksek boyutlu yeni çözümleri elde etti§imiz ksm olan dördüncü bölümde ilk
olarak
N = 5 için Einstein-Maxwell denklemlerini elde etmek için gerekli olan e§rilik bile³en-
leri ortonormal tabanda Cartan yöntemi kullanlarak hesaplanm³tr. Daha sonra bu denklemlerin genel ve özel çözümleri bulunmu³tur. Elde edilen 5-boyutlu genel çözüm için e§rilik
ve Faraday tensörlerinden elde edilen skaler büyüklüklerin incelenmesi sonucu, birisi simetri
ekseni üzerinde di§eri de
görülmü³tür.
r > rs
r = rs = − ab
4σ1
olmak üzere iki adet tekilli§in mevcut oldu§u
b=0
için uzay-zaman düzgün davranmaktadr. Bu çözümler
limitinde
vakum çözümünü vermektedir.
Tezin Einstein-Maxwell çözümlerinin elde edildi§i son bölümde
N -boyutlu statik, silindirsel
simetriye sahip çözümü ele alnm³tr. Bu çözümlerin bulunabilmesi için gerekli olan e§rilik tensör bile³enleri ve enerji-momentum tensörü ortonormal tabanda hesaplanp EinsteinMaxwell denklemleri elde edilerek genel çözüm bulunmu³tur. Metri§in ve elektromanyetik
alann boyut says
olmak üzere
N −1
N
ile olan ili³kileri belirlenmi³tir. Bu çözümler
parametreye sahiptir. Burada
simetrik çözüme ait parametre ve
w0
σ, pi , w0 ,
koniklik parametresi,
ve
σ
a, b'den
ve
pi
birisi
silindirsel
a, b de yük da§lm ile ilgili parametredir. σ = 0 oldu§unda
elektromanyetik alan da sfr olmaktadr.
N -boyutlu
tekillik özelli§ine sahiptir.
50
çözüm, 4 ve 5 boyutlu çözümler ile ayn
Yeni çözümler elde edilip özellikleri tart³ldktan sonra son olarak elde edilen 4 ve
N
boyutlu uzay-zaman geometrileri için test parçacklarnn hareketleri incelenmi³tir. Bu durumlar için genel hareket denklemleri elde edilerek ilk integralleri bulunmu³tur. 4-boyutlu
statik, silindirsel simetrik vakum uzay-zamannda hareket eden nötr test parçac§nn
0≤σ≤
1
aral§nda dairesel jeodeziklerinin oldu§u bilinmektedir. Elektromanyetik alanda
4
nötr ve yüklü test parçacklar için ise dairesel jeodeziklerin mevcut olmad§ gösterilmi³tir.
Bununla birlikte, yüklü ve yüksüz test parçacklarnn vakumda ve elektromanyetik alanda
simetri ekseni boyunca jeodeziklerinin olmad§ bulunmu³tur. Test parçacklarnn üzerine
etki eden radyal kuvvetin ise, nötr test parçac§ için sadece kütle-çekimsel kuvvet oldu§unda
çekici, hem kütle-çekimsel hem de elektromanyetik kuvvet oldu§unda itici oldu§u daha önceki
çal³malarda elde edilmi³tir. Yüklü parçac§a etkiyen radyal kuvvetin ise yüklü parçack ile
elektromanyetik alann etkile³mesi sonucu olu³an bir kuvvet ve kütle-çekimsel kuvvet olarak
iki kuvvetten olu³tu§u gösterilmi³tir.
N -boyutlu
uzay-zaman için elde edilen jeodezik denklemler biraz karma³k ve bir çok
parametreye ba§l oldu§undan, sadece jeodeziklerin hangi durumlarda uzay-tipi, ³k-tipi
ve zaman-tipi olduklar belirtilmi³tir. Bununla birlikte 4-boyutlu uzay-zamandaki dairesel
ve simetri ekseni boyunca jeodezikler ile benzer sonuçlar elde edilmi³tir.
zamanda da nötr test parçac§nn vakumda
0<σ+
p
4
<
N -boyutlu
uzay-
1
aral§nda dairesel jeodeziklerin
4
oldu§u, elektromanyetik alanda yüksüz ve yüklü parçacklar için ise dairesel jeodeziklerin olmad§ bulunmu³tur. Vakumda yüksüz test parçac§nn simetri ekseni boyunca hareket edebilmesi için,
2σ(2σ−2+p)−p+p0 +p2 > 0 olmal iken, elektormanyetik alanda yüksüz ve yüklü
parçacklar için simetri ekseni boyunca hareketin mümkün olmad§ gösterilmi³tir.
N -boyutlu
uzay-zamanda test parçacklar üzerine etki eden radyal kuvvet ise, yüksüz parçack için
vakumda çekici, elektromanyetik alanda iticidir. Elektromanyetik alanda bulunan yüklü test
parçac§ üzerine etki eden radyal kuvvet kütle-çekimsel ve parçack ile elektromanyetik alan
etkile³me kuvvetlerinden olu³maktadr. Elektromanyetik alan etkile³mesiyle olu³an kuvvetin
parçack ve elektromanyetik alann yüklerinin i³aretlerinin ayn ya da zt olmasna göre çekici
veya itici davran³ gösterdi§i belirlenmi³tir.
Bu tezde,
N -boyutlu,
statik, silindirsel simetrik radyal do§rultuda elektrik alana sahip
bir uzay-zamann d³ ksm için çözümler elde edilmi³tir. Di§er taraftan, ele alnan elektromanyetik alann, çe³itli yönlerdeki manyetik alanlar içerdi§i veya elektrik alann simetri ekseni
boyunca oldu§u gibi de§i³ik durumlarda göz önüne alnabilir. Ayrca, çal³lan uzay-zamann
dura§an ve statik olmayan çözümleri ya da bu d³ alana kaynak olabilecek yüklü ak³kan-
51
lar gibi iç çözümler ara³trlabilir. Bu konulardaki çal³malarmz devam etmektedir. Yüksek
boyutlu silindirsel simetrik Einstein-Maxwell çözümleri ile ilgili bildi§imiz tek çal³ma Gibbons ve arkada³lar tarafndan yaplm³tr (Gibbons ve ark. 1987). Burada
düz alt uzay-zamann
N
N −2
boyutlu bir
boyutlu bir Melvin evrenine gömülebilece§i gösterilmi³tir. Melvin
manyetik evreni, silindirsel, statik ve simetri ekseni boyunca bir manyetik alana sahip genel
çözümün, bu çözüm parametrelerinin özel bir de§erine kar³lk gelmektedir. Bu çözüm, bu
tip çözümler arasnda herhangi bir tekillik içermeyen tek çözümdür. Bizim tezimizde elde etti§imiz çözümlerin bir uygulamas olarak, herhangi bir Minkowski alt uzaynn bu
N -boyutlu
evrene gömülüp gömülemeyece§i ve bu durumun ziksel etkileri incelenilmeye devam edilmektedir. Bulunan sonuçlar ayrca, yük ta³yan kozmik sicimlerin yüksek boyutlu çe³itli kuramlar
kapsamnda genelle³tirilmeleri konusunda yararl olabilece§ine inanyoruz.
52
KAYNAKÇA
Arik, M. and Delice, Ö. (2003). Trapping photons by a line singularity. Int. J. Mod. Phys. D12:
1095-1112
Arik, M. and Delice, Ö. (2005). Static cylindrical matter shells. Gen. Rel. Grav., 37: 1395-1403.
Arkani-Hamed N., Dimopoulos S. and Dvali G., (1998). The Hierarchy Problem and New
Dimensions at a Millimeters. Phys. Lett. B, 429: 263-272.
Baykal A. and Delice Ö. (2009). Cylindrically Symmetric Brans-Dicke-Maxwell Solutions, Gen.
Rel. Grav., 41: 267-285.
Beck, G., (1925). Zur Theorie Binärer Gravitationsfelder.Zeitschrift für Physik A Hadrons and
Nuclei, 33: 713-728.
Bevis N., Hindmarsh M. and Kunz M., (2004). WMAP constraints on Inflationary Models with
Global Defects. Phys. Rev. D, 70: Issue 4.
Bicak, J. and M. Zofka, (2002). Notes on Static Cylindrical Shells Classical. Quan. Grav.,
19:3653-3664.
Bonnor W. B. (1953). Certain Exact Solutions of the Equations of General Relativity with an
Electrostatic Field. Proc. Physc. Soc. A, 66: 145.
Bonnor W. B. (1979). Solution of Einstein's Equations for a Line-mass of Perfect Fluid. Journal
of Physiscs A: Math. and Gen. Rel., 12: 847-851.
Bonnor W. B. (1992). Physical interpretation of vacuum solutions of Einstein's equations. Part I.
Time-independent solutions. Gen. Rel. Grav., 24: 551-573.
Bonnor W. B. (2007). The charged line-mass in general relativity. Gen. Rel. Grav. , 39:257–265.
Bonnor W. B. and Davidson W. (1992). Interpreting the Levi-Civita Vacuum Metric. Class. and
Quan. Grav., 9: 2065-2068.
Carroll S. M. (2004). An Intoruction to General Relativity Spacetime and Geometry. University
of Chicago Addison Wesley, 513, San Francisco, USA.
da Silva, M. F. A., Herrera L., Paiva F. M., ve Santos N. O. , (1995). The Levi-Civita Spacetime. Jour. of Math. Phys., 36: 3625-3631.
Einstein A., (1915). The Field Equations of Gravitation. König. Preuss. Akad. Wiss., 844.
Einstein, A. ve Rosen N. J., (1937). On Gravitational Waves. Journal of the Franklin Institute
Vol. 223: 43-54.
Gautreau R and Hoffman R B (1969). Nuovo Cimento B 61: 411.
Gibbons G.W. and Wiltshire D. L. (1987). Spacetime a Membrane in Higher Dimensions. Nucl.
Phys., B287: 717-742.
Grøn Ø. and Hervik S. (2007). Einstein's General Theory of Relativity. Springer Science
Business Media, LLC.
53
Horáva P. and Witten E.(1996). Heterotic and Type I string Dynamics from Eleven Dimensions.
Nucl. Phys., B 460: 506-524.
Kaluza, T. (1921). Zum Unitätsproblem in der Physik. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin.
(Math. Phys.): 966-972.
Klein, O.(1926). Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeitschrift für Physik
a Hadrons and Nuclei, 37 (12): 895-906.
Kompaneets, A. S., (1958). Strong Gravitational Waves in Vacuum. Zhurnal Eksperi- mental'noi
i Teoreticheskoi Fiziki, 34: 953.
Levi-Civita, (1919) T. Rend. Acc. Lincei, 28, 101.
Lewis, T. (1932) Some Special Solutions of the Equations of Axially Symmetric Gravi- tational
Fields. Proceedings of the Royal Society of London Series A- Containing Papers of a
Mathematical and Physical Character, 136: 176-192 .
Linet B. (1989). Weak gravitational field of an infinite straight superconducting cosmic string,
Clas. Quan. Grav., 6:435.
Marder, L., (1958) Gravitational Waves in General Relativity. 1. Cylindrical Waves, Proceedings
of the Royal Society of London Series A-Mathematical and Physical Sciences, 244: 524537.
Miguelote A. Y. , da Silva M. F. A. ,Wang A. Z. and Santos N. O. (2001). Levi-Civita Solutions
Coupled with Electromagnetic Fields, Class. Quan. Grav., 18: 4569-4588.
Moss I. Poletti S. (1987). The gravitational field of a superconducting cosmic string. Phys. Let.
B, 199: 34-36.
Nordström G. (1914). Uber die Möglichkeit, das elektromagnetische Feld und das
Gravitationsfeld zu vereinigen (On the possibility of a unification of the electromagnetic
and gravitational fields). Physik. Zeitschr., 15: 504-506.
Nordström, G. (1918). On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory. Verhandl.
Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam, 26: 1201-1208.
Pereira P. R. C. T. ve Wang A. Z. (2000). Gravitational Collapse of Cylindrical Shells Made of
Counter-Rotating Dust Particles. Phys. Rev. D 62: 124001.
Peter P. and Puy D. (1993). Gravitational field around space-like and time-like current-carrying
cosmic strings. Phys.Rev. D, 48:5546-5561.
Philbin, T. G. (1996). Perfect-Fluid Cylinders and Walls Sources for the Levi-Civita Spacetime.
Class. and Quan. Grav., 13: 1217-1232.
Pogosian L. , Henry Tye S.H., Wasserman I. and Wyman M.,(2003). Observational Constraints
on Cosmic String Production during Brane Inflation. Phys. Rev. D, 68, Issue 2.
Ponce de Leon J. (2009). Levi-Civita Spacetimes in Multidimensional Theories. Mod. Phys. Let.
A, 24: 1659-1667.
Randall L. and Sundrum R. (1999-a). A Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension.
Phys. Rev. Lett., 83: 3370-3373.
54
Randall L. and Sundrum R. (1999-b). An Alternative to Compactification. Phys. Rev. Lett., 83:
4690-4693.
Raychaudhuri, A. K. (1960). Static Electromagnetic Fields in General Relativity, Ann.
Phys.(USA), Vol. 11: pp. 501.
Reissner, H (1916). Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen
Theorie. Annalen der Physik 50: 106-120.
Richterek L. , Novotný J., Horský J., (2000). Czech. J. Phys., 50: 925-948.
Rindler, W. (1977). Essential Relativity. Springer, Berlin.
Schwarzschild, K., (1916). Über das Gravitationsfeld Eines Massenpunktes nach der
Einsteinschen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der
Wissenschaften zu Berlin, Phys.Math. Klasse pp. 189-196. (Reprinted in: On the
Gravitational Field of a Mass Point According to Einstein's Theory. General Relativity and
Gravitation, (2003), 35: 951-959).
Stephani, H., Kramer D., MacCallum M. A. H., Hoensalers C., and Hertl E. (2003). Exact
Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge University Press, Cambridge.
Vilenkin, A. and Shellard, E. P. S. (1994). Cosmic Strings and other Topological Defects.
Cambridge University Press, Cambridge.
Wang, A. Z., da Silva M. F. A. , and Santos N. O.(1997). On Parameters of the Levi- Civita
solution. Class. and Quan. Grav., 14: 2417-2423.
Witten E.(1985). Superconducting strings. Nucl. Physics, B, 249:557-592.
Witten L., (1960). Gravitation: an Introduction to Current Research, pp. 49-101, Wiley, New
York and London.
55
ÖZGEÇMİŞ
Pınar Kirezli 1986 yılında Tekirdağ'da dünyaya gelmiştir. Lise öğrenimini İstanbul Çapa
Anadolu
Öğretmen
Lisesi'nde
tamamlayıp
Boğaziçi Üniversitesi
Fizik
Öğretmenliği
Bölümünden 2009 yılında mezun olmuştur. 2009 yılında Namık Kemal Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü'nde fizik anabilim dalında yüksek lisans eğitimine ve yine aynı yıl Namık
Kemal Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü'nde araştırma görevlisi olarak
çalışmaya başlamıştır.
56