Paralel RLC Devresinin Doğal Tepkisi

Paralel RLC Devresinin Doğal
Tepkisi
Paralel RLC Devresinin Doğal Tepkisi
İkinci mertebeden Diferansiyel
Denklemlerin Genel Çözümü
Paralel RLC devresinin genel çözümü
Burada
Burada 3 olasılı durum söz konusudur.
 𝜔𝑜 2 < 𝛼 2 : Her iki kökte gerçek ve birbirinden farklıdır. Bu
gerilim tepkisine aşırı sönümlü denir.
 𝜔𝑜 2 > 𝛼 2 : Her iki kökte karmaşıktır ve birbirinin karmaşık
eşleniğidir. Bu gerilim tepkisine eksik sönümlü denir.
 𝜔𝑜 2 = 𝛼 2 : Her iki kökte gerçek ve birbirine eşittir. Bu gerilim
tepkisine kritik sönümlü denir.
Örnek 8.1
Çalışma Sorusu: Şekildeki devrede, direnç ve endüktans sırasıyla 100Ω ve
20mH dir.
A)Gerilim tepkisinin kritik sönümlü olması için C nin değerini bulunuz.
B) C, neoer frekansı 5 krad/s olacak şekilde ayarlanmışsa, C nin değerini
ve karakteristik denklemin köklerini bulunuz.
C) C, rezonans frekansı 20krad/s olacak şekilde ayarlanmışsa, C nin
değerini ve karakteristik denklemin köklerini bulunuz.
Paralel RLC Devresinin Doğal Tepkilerinin Biçimleri
Tepki denklemleri ve bilinmeyen katsayıları bulmak için kullanılan denklemler, üç
sönümleme durumu için birbirinden farklıdır.
Aşırı Sönümlü Gerilim Tepkisi
1- R, L, ve C değerlerini kullanarak, karakteristik denklemin kökleri 𝑠1 ve 𝑠2 ’yi bulunuz.
2- Devre analizini kullanarak 𝑣 0+ ve 𝑑𝑣(0+ )/𝑑𝑡’yi bulunuz.
3- Aşağıdaki eşitlikleri çözerek 𝐴1 ve 𝐴2 değerlerini bulunuz.
𝑣 0+ = 𝐴1 +𝐴2 ,
𝑑𝑣(0+ ) 𝑖𝑐 (0+ )
=
= 𝑠1 𝐴1 +𝑠2 𝐴2 .
𝑑𝑡
𝐶
4- 𝑠1 , 𝑠2 , 𝐴1 ve 𝐴2 değerlerini, 𝑡 ≥ 0 anında 𝑣(𝑡) bağıntısında denkleme yerleştiriniz.
𝑣(𝑡) = 𝐴1 𝑒 𝑠1 𝑡 + 𝐴2 𝑒 𝑠2 𝑡 .
Not: 𝑣 0+ değeri kapasitörün üzerindeki başalangıç değeridir. 𝑑𝑣/𝑑𝑡’nin başlangıç değerini kapasitör
𝑉
dalındaki akımın 𝑡 = 0+ anındaki değeriyle bulabiriz. 𝑖𝑐 0+ = − 0 − 𝐼0
𝑅
Örnek 8.2
Çalışma sorusu: Şekildeki devrede R=2kΩ, L=250mH ve C=10nF dır. İndüktördeki başlangıç
akımı -4A ve kapasitördeki başlangıç gerilimi 0 V tur. Çıkış sinyali gerilimi 𝑣 dir.
a- 𝑖𝑅 0+ , b- 𝑖𝑐 0+ , c- 𝑑𝑣(0+ )/𝑑𝑡 d- 𝐴1 ve 𝐴2 değerlerini e- 𝑡 ≥ 0 anında 𝑣(𝑡) bağıntısını
bulunuz.
Eksik Sönümlü Gerilim Tepkisi
• Eksik sönümlü tepkiyi bulmak için yöntem aşıtı sönümlü durumla aynı,
ancak tepki denklemlerini ve sabitleri bulmak için kullanılan denklemler
tamamen farklıdır.
𝜔𝑑 terimi, sönümlü radyan frekansı olarak tanımlanır. Bu durumda paralel RLC devresinin
eksik sönümlü gerilim tepkisi
şeklindedir.
Eksik sönümlü gerilim tepkisini, Euler özdeşliğini kullanarak elde ettik.
B1 ve B2 sabitleri gerçektir, karmaşık değildir çünkü gerilim gerçek bir
fonksiyondur. Eksik sönümlü durumda;
Trigonometrik fonksiyonlar bu tepkinin salınımlı olduğunu göstermektedir. Yani
gerilim artı eksi değerler arasında değişmektedir. Gerilimin salınım oranı 𝜔𝑑 ‘ ye
bağlıdır.Salınımın genliği üstel olarak azalmaktadır. Genliğin düşme oranı 𝛼 ile
belirlenir. 𝜶 salınımların ne kadar çabuk indiğini belirlediğinden; sönümlenme
faktörü veya sönümlenme katsayısı olarak adlandırılır.
Örnek 8.4
Eksik sönümlü durumda tepki son değeri etrafında salınmakta yani
yaylanmaktadır. Bu salınım çınlama olarakta adlandırılmaktadır. Aşırı
sönümlü bir sistemde tepki son değerine salınım veya çınlama yapmadan
ulaşır.
İkinci mertebeden bir sistemin istenen tepkisini belirlerken son
değerine en kısa zamanda ulaşmasını isteyebilirsiniz ve son değerin
etrafındaki küçük salınımlar önemli olamayabilir. Bu durumda eksik
sönümlü bir tepki oluşturmak için tasarım yapabilirsiniz. Öte yandan,
elemanların yanmasını önlemek için tepkinin son değerini aşmamasını
isteyebilirsiniz. Bu durumda, aşırı sönümlü tepki için tasarım yapabilirsiniz
fakat son değere ulaşmak için tepki süresinin yavaşlamasını
kabullenmelisiniz.
Kritik Sönümlü Gerilim Tepkisi
İkinci mertebeden denklem 𝜔𝑜 2 = 𝛼 2 olduğunda kritik sönümlüdür. Bir devre
kritik sönümlü olduğunda salınım yapmak üzeredir. Ayrıca,karakteristik
denklem kökleri gerçek ve birbirine eşittir;
Örnek 8.5