kuvvet çifti

MOMENT; Kapıyı ya da pencereyi açıp kaparken,şişelerin kapağını
açarken,musluğu
açıp
kapatırken,arabaların
direksiyonunu
çevirirken,anahtarla kapıyı açıp kapatırken vb. olaylarda,kuvvetin
döndürme etkisinden faydalanırız.
İki nokta ya da en az bir noktası sabit olan cisimlere bir kuvvet
uygulandığında,cisim sabit bir eksen ya da nokta etrafında dönme
hareketi yapar.Cismin iki noktası sabit ise,cisim bu iki sabit noktadan
geçen eksen etrafında döner.Bu eksene dönme ekseni denir.Kapı ve
pencerelerde olduğu gibi.Eğer sabit nokta bir tane ise,cisim o noktadan
geçen dik eksen etrafında döner.Kuvvetin bu döndürme etkisine moment
denir.
Bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin büyüklüğü,o
noktadan kuvvetin etki çizgisine dik olan uzaklık ile kuvvetin
büyüklüğünün
çarpımına
eşittir.
Moment M ile gösterilir ve vektörel bir büyüklüktür.Şekilde F
kuvvetinin O noktasına göre büyüklüğü M=F*d ifadesinden bulunur.
Birimi,Newton*metre dir.
Burada, F uygulanan kuvvetin büyüklüğünü,d ise dönme
noktasından kuvvet doğrultusuna inilen dikmenin uzunlığunu yani kuvvet
kolunu belirtir.Burada d uzunluğunun,çubuğun l boyuna eşit olduğuna
dikkat edilmelidir.
Burada,F ile d her zaman birbirine dik alınmak zorundadır.d
uzaklığı,kuvvetin etki çizgisine dönme noktasından inilen dik uzaklıktır.
→ →
Şekilde O noktasından sabitlenmiş çubuğa F1 ve F2 kuvvetleri
uygulanmıştır. Bu kuvvetlerin,etki doğrultusu dönme noktasından
geçtiğinden döndürücü etkisi yoktur.Yani momentleri sıfırdır.
M1=F1*0=0
M2=F2*0=0
→
F kuvveti, çubuğun L ucuna şekildeki gibi etki ederse bu kuvvetin O
dönme eksenine göre momentinin büyüklüğü iki ayrı yoldan bulunur.
1.YOL;
Birinci yol olarak ,kuvveti şekildeki gibi bileşenlerine ayırırız ve ayrı ayrı
bileşenlerin O noktasına göre momentini bulup dönme yönünü de dikkate
alacak şekilde toplama işlemi yaparız.
→
Fx bileşeninin,O noktasına göre momentinin büyüklüğü sıfırdır.Çünkü
kuvvetin uzantısı O noktasından geçmektedir.
Mx=0
Buna göre toplam moment Fy bileşeninin oluşturduğu momentttir.
M=Fy*ℓ (Fy=F*sin )
M=F* ℓ* sin olur.
2.YOL;
İkinci yol olarak, kuvvetin şekildeki gibi doğrultusunu çizeriz.O
noktasından kuvvet doğrultusuna dikme indirerek kuvvet kolunu
buluruz(d).
Dik üçgenden
d=* ℓ* sin dır.
→
F kuvvetinin momentinin büyüklüğü
M=F*d
M= F* ℓ* sin olur.
ÖRNEK;
→→ →
Birim kare bölmelere ayrılmış yatay düzlemdeki F1,F2 ve F3
kuvvetlerinin O noktasına göre momentlerinini büyüklükleri M1,M2,M3
arasındaki ilişki nedir?
ÇÖZÜM;
→ →
Şekildeki F2 ve F3 kuvvetleri O noktası üzerinden geçen dik eksen
üzerindedir.Bir başka deyişle kuvvetler etki çizgisi üzerindedir.Bu yüzden
her ikisinin momenti de sıfırdır.
M2=0 M3=0
→
F1 kuvvetini ise doğrultusunu değiştirmeden paralel kaydırarak K
noktasına taşınırsa,O noktasına dik doğrultuda olur.Bu durumda birirm
karede köşegen uzunluğu
birim olduğundan F1 kuvvetinin büyüklüğü
ve OK uzunluğu
M1=F1*|OK|
M1=
*
birim olur.Moment alınacak olursa
=2 birim olarak bulunur.
Bu durumda
M1>M2=M3 dür.
İkinci bir yol da;
Kuvveti bileşenlerine ayırarak O noktasına dik bileşeni tespit etmektir.
→
F1x kuvvetinin O noktasına göre momenti,uzantısının O noktasından
geçmesi nedeniyle,dik uzaklığı sıfır,bu nedenle momenti sıfırdır.
→
F1y kuvvetinin momenti ise
M1y=F1y*d=1*2=2 bulunur.
M1y=M1’dir.
BİLEŞKE MOMENT;
Şekildeki gibi kuvvetlerin moment değerleri bulunurken
önce kuvvetlerin döndürme yönleri belirlenir.
Bunu anlamak için sabit nokta göz önüne alınarak F kuvveti
yönünde çubuk çekildiğinde dönme yönü belli olur.Daha sonra eğik
kuvvetler var ise çubuğa dik bileşenleri bulunur ve momenti
hesaplanır.(Çubuk ile aynı doğrultulu bileşenin döndürücü etkisi yoktur.)
Msağ pozitif alınırsa,Msol negatif alınacaktır.Eğer cebirsel
toplam pozitif çıkarsa sistem seçilen pozitif yönde,negatif çıkarsa sistem
seçilen negatif yönde çıkan değer kadarlık bir bileşke momentle dönüyor
demektir.
Cebirsel toplamın sıfır çıkması yani bileşke momentin sıfır
olması
sistemin
dengede
olması
anlamına
gelir.Yukarıdaki
şekilde kuvvetlerin O noktasına göre,momentlerinin cebirsel toplamı sıfır
ise, sistem dengededir.Yani sistem ya duruyordur ya da sabit
dönüyordur.Sistem dengede ise aynı yönlü döndüren kuvvetlerin
momentleri toplamının büyüklüğü,zıt yönlü dödüren kuvvetlerin
momentleri toplamının büyüklüğüne eşittir.
∑M=∑Msağ-∑sol=0
Çubuğa birden fazla kuvvet etki ederse ve herhangi bir noktaya göre
toplam isteniyorsa,kuvvetlerin dönme yönü tespit edilip o noktaya göre
momentleri ayrı ayrı bulunur ve toplanır.
Adam çocuktan daha büyük kuvvet uygulamasına rağmen kapı
dönmüyor.Adam ve çocuğun momentleri eşit ve zıt yönlü olduğu için kapı
dönmüyor.Dönme eksenine olan dik uzaklık küçük ise kuvvet büyük,dik
uzaklık büyük ise kuvvet küçük olur.
ÖRNEK;
K noktasından geçen ve sayfa düzlemine dik eksen etrafında dönebilen
80 cm uzunluğundaki çubuğun ucuna dik olacak şekilde 2,5N luk kuvvet
uygulanıyor.
Buna göre çubuğa uygulanan kuvvetin döndürücü etkisi ne kadardır?
ÇÖZÜM;
Çubuğa uygulanan kuvvetin dödürücü etkisi yani momenti M=F*d
bağıntısı ile hesaplanır.Burada F newton,d metre cinsinden alındığından
verilen değerlere göre,
D=80cm=0,8m olur.
Burada moment,
M=2,5*0,8
M=2N*m olur.
Çubuğa uygulanan kuvvetin dödürücü etkisi 2N*m dir denilir.
ÖRNEK;
Sayfa düzlemine dik O noktası etrafında serbestçe dönebilen çubuğun X
ve Y noktalarına ölçekli F’ ve 2F kuvvetleri uygulanmıştır.Bu kuvvetlerin
momentleri,Mx,My olduğuna göre,bu momentlerin büyüklüklerinni oranı
kaçtır?
ÇÖZÜM;
Çubuğun X noktasına uygulanan F’kuvvetinin bileşenlerine göre momenti
alınır.Şekilde F’ kuvvetlerinin bileşenleri gösterilmiştir.Dikkat edildiğinde
bu bileşenlerden F nin momenti sıfırdır.Çünlü uzantısı dönme noktası
olan O noktasından geçiyor.Diğer bileşenin momenti ise her aralığa d
denilirse,
MX=2F*2d=4F*d olur.
Y noktasına uygulanan 2F kuvvetinin momenti ise,dik uzaklığı şekildeki
gibi 2d’dir.
Buradan My=2F*2d=4F*d olur.
Momentlerin büyüklükleri oranı,
Mx/My=4F*d/4F*d=1 dir.
ÖRNEK;
→→→
Eş kenar üçgen şeklindeki levhaya şekildeki gibi F1,F2,F3 kuvvetleri
uygulanmıştır.Levha,kenarortayların kesim noktası olan O noktasından
geçen dik eksen etrafında 1 yönünde 3F*d kadarlık bir momentle
dönebilmektedir.
→
F1=2F,F2=5F olduğuna göre,F3 kuvvetinin büyüklüğü ne olmalıdır?
ÇÖZÜM;
Kuvvetlerin O noktasına göre döndürme yönleri ve dik uzaklıkları
şekildeki gibidir.2 yönü(+),1 yönü(-) seçilirse,toplam momentin(-) yönde
3F*d olduğu verilmiştir.
Eşkenar üçgende,O noktasının kenarın orta noktasına olan uzaklığı d
kadar olur.
Yani d1=d2=d3=d dir.
∑M=F1*d1+F2*d2-F3*d3
-3F*d=2F*d+5Fd-F3*d
-3F=7F-F3
F3=10F dir.
ÖRNEK;
O noktasından geçen dik eksen etrafında dönebilen yatay düzlemdeki
eşit bölmeli ve 5d uzunluklu çubuğa yatay
→→→→
F1,F2,F3,F4 kuvvetleri şekildeki gibi uygulanmıştır.Kuvvetlerin
büyüklükleri sırayla F,2F,4F ve 3F olduğuna göre,hangi yönde ne
kadarlık bir momentle döner?
ÇÖZÜM;
→
F1 kuvvetinin etkime çizgisi O dönme ekseninden geçtiği için dik uzaklık
sıfırdır. →
→ →
Dolayısıyla F1 kuvvetinin döndürme etkisi yani momenti sıfırdır.F2 ve F4
kuvvetlerinin O noktasına göre döndürme yönü(-) yönde,
→
F3ünki ise(+) yöndedir.Çubuğun her bir bölmesi d kadar olduğuna
göre,toplam moment,
∑M=F3*d-(F2*2d+F4*3d)
∑M=4F*D-(F*2d+3F*3d)
∑M=4F*d-11Fd
∑M=-7F*d
Buna göre çubuk(-) yönde 7F*d büyüklüğündeki momentle döner.
ÖRNEK;
Ağırlığı önemsenmeyen eşit bölmeli çubuk K noktasından geçen dik
eksen üzerinde serbestçe dönebilmektedir.Çubuk F1 ve 2F kuvvetlerinin
etkisinde şekildeki gibi dengededir.
Buna göre F1 kuvvetinin büyüklüğü kaç F tir?(sin30=1/2)
ÇÖZÜM;
Çubuğun dengede kalabilmesi için K noktasına göre toplam momentin
sıfır olması gerekir.Kuvvetlerin K noktasına göre momentleri birbirine
eşitlenirse
2F*sin30*4=F1*2
2F1/2*4=2F1
F1=2F olur.
KUVVET ÇİFTİ;
Şekildeki gibi aynı düzlemde olup, aynı doğru üzerinde olmayan,değerce
eşit fakat zıt yönlü paralel iki kuvvetin oluşturduğu sisteme kuvvet
çifti denir.
Kuvvet çiftinin denge noktası yoktur.M=2F*d kadarlık bir
momentle dönme sağlar.Muslukların dönmesi,sulamalarda kullanılan
fiskiyelerin dönmesi,araba direksiyonlarının çevrilmesi kuvvet çiftine birer
örnektir.
Direksiyon çevrilirken kuvvet çifti uygulanır.
DENGE;
Şekildeki gibi zemin üzerinde duran bir cisim,zemine ağırlığı kadar bir
etki yapar.Cismin dengede kalabilmesi için,zemininde cismin ağırlığına
eşit ve zıt yönlü bir kuvvet uygulaması gerekir.Buna aynı zamanda etki
tepki prensibi denir.
→ →
Fetki=-Ftepki
Bir cismin dengede kalabilmesi için cisim üzerine
uygulanan kuvvetlerden dengelenmemiş kuvvet kalmaması gerekir.
→ →
Şekilde F1 ve F2 kuvvetlerinin etkisinde kalan cisim dengelenebilmesi
için,bileşke kuvvet eşit büyüklükte,bileşkenin uygulama noktasına
uygulanan ve zıt yönlü olan kuvvete dengeleyici kuvvet denir.
Bir cismin dengede olması için,durması,sabit hızla doğrusal
hareket ya da sabit hızla dönme hareketi yapması gerekir.
Cisim bir kuvvetin etkisinde iken duruyorsa,yani öteleme ve
dönme hareketi yapmıyorsa statik dengede demektir.
Cismin statik dengede olması için iki şartın sağlanması gerekir.
DENGENİN BİRİNCİ ŞARTI;
Cismin öteleme hareketi yapmaması için cisme
uygulanan bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfır olamlıdır.
→
∑F=0 olmalıdır.
Kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olması demek,her eksen
üzerindeki bileşenlerin cebirsel toplamının ayrı ayrı sıfıra eşit olması
demektir.
Yani yukarı yönlü bileşenlerin toplamı aşağı yönlü
bileşenlerin toplamına eşit olmalıdır.Sağa doğru bileşenlerin toplamı,sola
doğru bileşenlerin toplamına eşit olamalıdır.
→
∑Fx=0
→
∑Fy=0 olmalıdır.
Bu şart sağlandığında cisim ya duruyor ya da sabit hızla hareket
ediyordur.Bir cismin dengede kalabilmesi için bu şart gerekli,fakat bazen
yeterli değildir.
Çocuk dengede olduğuna göre uygulanan tüm kuvvetlerin toplamı
sıfırdır.
DENGENİN İKİNCİ ŞARTI;
Dengenin birinci şartının sağlanması cismin her zaman
dengede kalması anlamına gelmez.Örneğin kuvvet çiftinde
→
∑F=0 olmalıdır.Fakat toplam moment sıfır olmadığı için cisim dönme
hareketi yapar.Cismin dönmeden dengede kalabilmesi için,cisim üzerine
etki eden kuvvetlerin dönme noktasına ya da dönme eksenine göre
toplam momentinin sıfır olması gerekir.
→
∑M=0 olmalıdır.
Toplam momentin sıfır olması demek,herhangi bir yönde
döndürmek isteyen kuvvetlerin momentleri toplamı,ters yönde
döndürmek isteyen kuvvetlerin momentleri toplamına eşit olması
demektir.
Cismin statik olarak dengede kalabilmesi için yukarıda belirtilen iki
şartın sağlanması gerekir.
Eğer sistemin dengede olduğu söylenirse bu iki şart sağlanıyor
demektir.Bu şartlara göre denklemler yazılarak istenilen değerler
bulunur.
Bir cisim şekildeki gibi uygulama noktaları farklı olan kuvvetlerin etkisinde
dengede kalıyorsa iki şartın gerçekleşmesi gerekir.
Bunlardan birinicisi ,
→
→
∑F=0 olmalıdır.İkincisi ise toplam moment sıfır olmalıdır. ∑M=0
Dengede kalan cisimlerde,dönme noktası hangi nokta seçilirse seçilsin
toplam moment daima sıfır çıkar.Toplam momentin sıfır olması demek
cisim ya dönmüyor ya da sabit hızla dönüyor demektir.
Bu iki şarta göre ;F1+F2=F3 olur.
K noktasına göre moment alındığında F1 kuvvetinin momenti
sıfır olur.F2 ile F3 kuvvetlerinin momentlerinin büyüklükleri ise birbirine
eşit olur.O halde
F2*|KL|=F3*|KO| olur.
O noktasına göre moment alındığında F3 kuvvetinin momenti
sıfır olur.F1 ile F2 kuvvetlerinin momentlerinin büyüklükleri ise birbirine
eşit olur.O halde;
F1*|KO|=F3*|LO| olur.
L noktasına göre moment alındığında F2 kuvvetinin momenti
sıfır olur.F1 ile F3 kuvvetlerinin momentlerinin büyüklükleri ise birbirine
eşit olur. O halde;
F1*|KL|=F3*|OL| olur.
1-KESİŞEN KUVVETLERİN DENGESİ;
Doğrultuları birbirini kesen kuvvetlere kesişen kuvvetler
denir.Şekildeki cisim kesişen üç kuvvetin etkisinde dengede ise,herhangi
iki kuvvetin bileşkesi ters yöndeki üçüncü kuvvete eşit büyüklükte ve zıt
yöndedir.
Şekikdeki üç kuvvetin bileşkesi sıfır ise,
→ → →
F1+F2=-F3
→ → →
F1+F3=-F2
→ → →
F2+F3=-F1 dir.
LAMİ TEOREMİ
Keşişen üç kuvvet dengede ise,kuvvetlerin,karşılarındaki açıların
sinüslerine oranı sabittir.
Buna göre;
F1/sin 1=F2/ sin 2= F3/sin 3=sabit
Bu bağıntıya göre,kesişen üç kuvvet dengede ise,küçük açının
karşısındaki kuvvet büyük,büyük açının karşısındaki kuvvet ise küçüktür.
Örneğin 3< 2< 1 ise F1<F2<F3 tür.
1= 2 ise, F1=F2’dir.