türevin uygulamaları

TÜREVİN UYGULAMALARI
1) TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI:
teğet
f(x)
a
x0
normal
Şekilde f(x) eğrisine x0 noktasında teğet olan d1 doğrusu (teğet) ve d1 doğrusuna dik olan d2
normali çizilmiştir.
Dikkat edilmesi gereken noktalar:
1) x0 noktası eğri üzerinde o halde ordinatı f(x0) olur. Koordinatları (x0, f(x0))
2) Teğetin eğitim tana idi (Hatırlayalım). f'(x) alınıp x yerine belirtilen nokta yazılınca doğrunun
eğimi bulunur. Türevin kullanıldığı tek yer eğim bulmak. f’(0)=tana= eğim
3) Teğet denklemini yazarken kullanılacak formül, eğimi m olan ve (x0, y0) noktasından geçen
doğru denklemi
y-y0=m.(x-x0)
m=f’(x0) ve y0 =f(x0) idi.
O halde teğet denklem
y-f(x0)=f’(x0).(x-x0) olur.
4) Normal ve teğet birbirine dik. O zaman eğimler çarpımı (-1) olur.
mT .mN  1 Buradan
Normal denklemi
1
y-f(x0)=
.(x-x0)
f ' ( x0 )
5) Doğrunun teğet olduğu nokta hem eğrinin, hem teğetin, hem de normalin ortak noktası
olduğuna dikkat edelim.
Örnek1: y=2x2 - 3x + 2 eğrisinin x=1 noktasındaki teğet ve normal denklemlerini bulunuz.
Örnek2: x2 + y2 - 2x + 3y - 9=0 çemberine üzerindeki (1, 2) noktasından çizilen teğet ve normal
denklemlerini bulunuz.
1
Örnek3:
f(x)
d
2
3
-2
Şekildeki f(x) doğrusu x=3 noktasında d doğrusuna teğettir.
h(x)=x2.f(x) olduğuna göre h’(3) kaçtır?
Örnek4: f(x)= 2x3 - 4ax + b eğrisi (1, 3) noktasında y=2x-5 doğrusuna teğet ise b kaçtır?
Örnek5: y= 3x2 – x + 1 eğrisinin y=5x-1 doğrusuna en yakın olduğu noktanın koordinatlarını bulunuz.
Örnek6: f(x)= x2 - 2x – 1 eğrisinin x=a noktasındaki teğeti (0, -5) noktasından geçtiğine göre a’nın pozitif
değeri kaçtır?
2) L’HOSPITAL KURALI
f(x) ve g(x) türevlenebilir birer fonksiyon olmak üzere;
0

f ( x) f ( a )
limitinin sonucu
veya
ise

lim
0

g (a)
x  a g ( x)
f ' ( x) f ' (a )
bize cevabı verir.

lim
g ' (a)
x  a g ' ( x)
0

Eğer sonuç yine
veya
ise bir kez daha L’HOSPITAL uygulanır.
0

f ' ' ( x) f ' ' ( a )
cevap olur.

lim
g ' ' (a)
x  a g ' ' ( x)
0

Yani sonucu
veya
olan limitlerin payı ve paydası ayrı ayır türevleri alınır.
0

Dikkat bölüm türevi almıyoruz.
x 4  x3  2
limitinin sonucu kaçtır?
x 1 x 2  x  2
Örnek7: lim
2
2x  2
limitin sonucu kaçtır?
x 1 x 2  1
Örnek8: lim
Örnek9: lim
x 
log( 2 x  7)
limitinin sonucu kaçtır?
4x  9
Örnek10: lim (sin 3x. cot x) limitinin sonucu kaçtır?
x 0
Örnek11: lim
x 0
2 x.sin 5 x. cos 6 x
limitinin sonucu kaçtır?
tan 2 3 x
Örnek12: lim (
x2
1
1

) limitinin sonucu kaçtır?(iki kere L’HOSPITAL)
x  2 ln( x  1)
2
Örnek13: lim  
x  x
 
3 x 1
limitinin sonucu kaçtır?
NOT: 0  , 1 , 00 , 0 belirsizliklerinde her iki tarafın (ln)’i alınır.
Örnek14: lim 3x 
4x
x 0
limitinin sonucu kaçtır?
3) ARTAN – AZALAN FONKSİYONLAR
(a, b)  A ve A  R
f : A  R fonksiyonu türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
x1 ve x2  (a, b) iken
a) x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise yani fonksiyonun değerleri artıyor ise fonksiyona artan fonksiyon denir ve
f’>0 olur.
3
f(x)
d
d
f(x)
x1
x1
Grafikte x1 noktasından çizilen teğetin eğimi pozitif yani doğru sağ tarafa yatık ise fonksiyon artandır ve
f’>0 olur.
b) x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise yani fonksiyonun değerleri azalıyor ise fonksiyona azalan fonksiyon denir
ve f’<0 olur.
d
d
f(x)
f(x)
x1
x1
Grafikte istenen noktadan çizilen teğetlerin eğimi negatif yani doğrular sol tarafa yatık ise fonksiyon
azalandır.
c) x1 < x2 iken f(x1) = f(x2) fonksiyon değerleri sabit ise sabit fonksiyondur ve f’=0 olur.
f(x)
NOT: x0 noktasında
f'(x0)>0 ise f(x) x0 noktasında artandır.
f'(x0)<0 ise f(x) x0 noktasında azalandır.
f'(x0)=0 ise f(x) x0 noktasında sabittir.
Örnek15: f(x)=
x3 x 2
  6 x  7 fonksiyonu hangi aralıkta azalandır?
3
2
Örnek16: f(x)= 4x3 - 3x2 + kx + 1 fonksiyonu daima artan olması için k hangi aralıkta olmalıdır?
4
Örnek17: f(x) fonksiyonu negatif tanımlı ve artan fonksiyon ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
azalandır?
1
A) f2(x)+f(x)
B)
C) 2f3(x) + f(x)
f ( x)
f ( x)  1
D) fof(x)
E)
f ( x)
4) EKSTREMUM NOKTALARI
Fonksiyonun türevinin işaret değiştirdiği noktaya ekstremum noktası denir. Grafik üzerindeki
tepe ve çukur noktalar ekstremum noktalarıdır. Yerel maksimum ve yerel minimum olmak üzere ikiye
ayrılır. Tepe noktalar yerel maksimum, çukur noktalar yerel minimum noktaları denir.
NOT: fonksiyonun türevini sıfıra eşitleyip köklerin tablosunu yaptığımızda
x1
+
x2
__
+
x1 yerel maksimum noktası ve f(x1) yerel maksimum değeridir.
x2 yerel minimum noktası ve f(x2) yerel minimum değeridir.
NOT: Birden fazla yerel maksimum değeri varsa, bunların en büyüğüne mutlak maksimum değeri denir.
Birden fazla yerel minimum değeri varsa, bunların en küçüğüne mutlak minimum değeri denir.
Örnek18: y= x3 + 4x2 - 3x + 4 eğrisinin yerel minimum noktasını ve yerel minimum değerini bulunuz.
Örnek19: f ( x) 
x 4 4 x3

 2 x 2  7 fonksiyonunun ekstremum noktalarını bulunuz.
4
3
Örnek20: f(x)=2x3 + ax2 + bx + 1 fonksiyonunun A(2, 1) noktası yerel minimum noktası ise a kaçtır?
5
Örnek21:
-2
-4
2
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Fonksiyon yerel minimum ve mutlak maksimum
noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
Örnek22:
f’(x)
-2
-4
5
Şekilde f’(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktası
kaçtır?
5) MAKSİMUM – MİNİMUM PROBLEMLERİ
İstenilen değerler hesaplanırken birden fazla değer çıkarsa, tek bir değişken türünden yazılır ve
türevi sıfıra eşitlenip ekstremum noktaları hesaplanır.
Örnek23: 6m. Uzunluğundaki demir bir çubuk bükülerek şekildeki gibi bir futbol kalesi yapılacaktır.
Bu kalenin kapladığı alan en fazla kaç m2 olur?
Örnek24: x TL’ye alınan bir mal y TL’ye satılmaktadır. x ile y arasında y 
varsa kârın en az olduğu durumda alış fiyat kaç TL olur?
Örnek25:
6
4 x3
 2 x 2  2 x  5 bağıntısı
3
Merkezi (0, 3) noktası üzerinde olan ve x eksenine teğet olan çemberin şekli verilmiştir. Bir kenarı
çemberin çapı üzerinde diğer köşeleri çemberin üzerinde olan dikdörtgeninin alanı en fazla kaç br2 olur?
Örnek26:
y=
4
x
A(a,b)
4
eğrisinin grafiği verilmiştir. A noktası orjine en yakın noktası ise koordinatlarını bulunuz.
x
(ip ucu 1. türevle çözülür 2. orjinden geçen normal denklemi ile çözülür?
Şekilde y=
Örnek27: Yarıçapı 4 br. Olan kürenin içine çizilebilecek en büyük hacimli silindirin taban yarıçapı kaç br.
olur?
6) DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTASI
f(x) fonksiyonunun ikinci türevinin işaret değiştirdiği noktaya denir.
f'(x) yani türevinin grafiğindeki tüm tepe ve çukur noktalar dönüm noktalarıdır.
f(x) fonksiyonunun ikinci türevini sıfır yapan tek kat kökler dönüm noktalarıdır.
f’’(x)=0 ise x0 noktası dönüm noktası olabilir
Örnek28: f(x)= (x+2)3 eğrisinin dönüm noktasını bulunuz.
Örnek29: f(x)= -2x4 + 2 eğrisinin dönüm noktasını varsa bulunuz.
Örnek30: f(x)= 2x3 - ax2 + 4x + b eğrisinin dönüm noktası A(1, 1) noktası olduğuna göre b kaçtır?
Örnek31: f(x)=2x4 - 5x3 + ax2 + b eğrisinin A(1, 1) noktasında dönüm noktası var ise bu noktadaki
teğetinin eğimi kaçtır?
7
Örnek32:
A
f(x)
-2
-4
5
B
Şekildeki A noktasının koordinatları A(-3,4) ve B noktasının koordinatları B(1, -6)’dır.
f(x) eğrisinin grafiğine göre aşağıdakilerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur?
I)
f’’(-4)<0
II)
f’’(-2)<0
III)
f’’(2)>0
IV)
f’’(1)>0
V)
x=1 noktası yerel maksimum noktasıdır.
VI)
x=0 noktası dönüm noktasıdır.
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
Örnek33:
-6
-4
1
3
2
f’(x)
Şekildeki grafik f’(x) fonksiyonuna aittir. Buna göre aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I)
f’’(-5)<0
II)
f’’(0)<0
5
III)
f’’( )<0
2
IV)
x=3 yerel maksimum noktasıdır.
V)
x=2 dönüm noktasıdır.
VI)
f'(2)>0
7) GRAFİK İNCELEMESİ VE ASİMPTOTLAR
8
Bir eğrinin sonsuzda teğet olduğu noktaya asimptot denir.
a) Düşey asimptot: Fonksiyonun x=a noktasındaki limitine denir ve grafik hiçbir zaman düşey
asimptotu kesmez.
NOT: Kesirli fonksiyonların paydasını sıfır yapan noktalar düşey asimptottur. İki durum vardır:
f ( x)
1. y 
ifadesinde n tek sayı ise asimptot
(ax  b) n
b
ax+b=0 dan x 
doğrusudur. Grafiği ise aşağıdaki grafiklerden bir tanesi olur.
a
f ( x)
ifadesinde n çift sayı ise asimptot
(ax  b) n
b
ax+b=0 dan x 
olur fakat grafiği biraz farklı olur.
a
2. y 
2
grafiğini inceleyim.
( x  3) 2
x=0 için
(x+3)=0 için
Sağdan limit
Soldan limit
Grafik
Örnek34: f ( x) 
I.
II.
III.
IV.
V.
9
2
grafiğini inceleyim.
( x  3) 2
x=0 için
(x+3)=0 için
Sağdan limit
Soldan limit
Grafik
Örnek35: f ( x) 
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
b) Yatay Asimptot: Fonksiyonun limiti yatay asimptot olur.
ax  b
NOT: f ( x) 
fonksiyonunun yatay asimptotu:
cx  d
ax  b a
 doğrusu ve
lim
c
x  cx  d
d
Düşey asimptotu cx+d=0 iken x=
doğrusudur.
c
ASİMPTOTLARIN KESİM NOKTASI
d a
,  noktasına fonksiyonun simetri ekseni denir.

 c c
2x  4
fonksiyonunun inceleyelim:
x3
düşey asimptot:
yatay asimptot:
simetri ekseni
grafik:
Örnek36: f ( x) 
I)
II)
III)
IV)
Örnek37: f ( x) 
Örnek38: y 
ax  5
eğrisinin simetri ekseni (4,3) ise f(1) kaçtır?
2x  b
3x 2  5 x  1
eğrisinin asimptotlarını bulunuz.
x2  x  6
Örnek39: f ( x) 
3x 2  4 x  11
fonksiyonunun yatay asimptotu, eğriyi hangi noktada keser?
x2  1
10
2 x 2  3x  1
grafiğini inceleyelim.
( x  1)2
I)
x=0 için
II)
y=0 için
III)
lim
IV)
düşey asimptot
V)
yatay asimptot
VI)
Grafik:
Örnek40: f ( x) 
c) Eğik veya Eğri Asimptot:
g ( x)
fonksiyonunda g(x) fonksiyonunun derecesi h(x) den büyük ise eğik veya eğri
f ( x) 
h( x )
asimptot denir. Polinom bölmesi yapılarak bulunur.
Örnek41: f ( x) 
2 x 2  3x  1
asimptotlarını bulunuz.
x2
NOT: f ( x)  ax 2  bx  c eğrisinin eğik asimptotları
b
b
y  a .( x  ) ve y   a .( x  ) olur.
2a
2a
Örnek42: y  4 x 2  8x  1 eğrisinin eğik asimptotlarını bulunuz.
Örnek43: grafiği verilen fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
x 1
x3
x3
D)
x 1
A)
x2
x 1
3x  6
E)
x 1
B)
C)
x2
x3
11
TEST
1. f(x)=2x - 4x + 1 eğrisine x=1 noktasından çizilen normalin denklemini bulunuz.
3
2. f(x)= 3x2 + 5ax + 1 eğrisiin x= -1 noktasındaki teğeti y=-x+5 doğrusuna dik ise a kaçtır?
3. y= x4 - 2x2 + ax + b eğrisinin y=3x-1 doğrusuna en yakın olduğu noktanın koordinatları (1, -1) ise b
kaçtır?
x=t2+1
y=2t2+t
eğrisine x=1 noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz.
4.
5.
d
f(x)
2
-1
2
Şekilde f(x) eğrisinin x=2 noktasındaki teğeti verilmiştir.
f ( x)
g(x)= 2
olduğuna göre g’(2) kaçtır?
x 1
6.
d1
d2
2
f(x)
Şekilde f(x) fonksiyonunun x=2 ve x=0 noktalarından çizilen teğetleri verilmiştir. d1  d2 ve
h(x)=fof(x) olduğuna göre h’(0) kaçtır?
7. f(x)= 2x - x2 olmak üzere
f ( x )  f ( 2)
lim
limitinin sonucu kaçtır?
x2
x2  4
8. lim
x2
x3  x 2  5x  6
limitinin sonucu kaçtır?
x2  x  2
12
x. sin x
limitinin sonucu kaçtır?
x
e2 x
9. lim
10. lim3
x
4
cos x  sin x
limitinin sonucu kaçtır?
1  tan x
11. lim cos x  x limitinin sonucu kaçtır?
1
x0
12. f(x)=e3x olmak üzere;
f (2 x  1)  e3
limitinin sonucu kaçtır?
lim
x0
3x
13. y= x3 + 3x2 - 9x + 1 eğrisi hangi aralıkta azalandır?
14. f(x)= x3 + 3x2 + ax - 4 fonksiyonunun daima azalan olması için a hangi aralıkta olmalıdır?
15. f ( x) 
2x  1
fonksiyonu daima artan olması için a’nın alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır?
3x  a
16. f(x) negatif tanımlı ve artan bir fonksiyon olduğuna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi aynı
aralıkta azalandır?
A)fof(x)
B)f(x3)
C) f2(x)
-2
3
D) f (x)
E)f (x)
2 x 2  10
17. f(x)=
eğrisi hangi aralıkta azalandır?
x 3
13
18.
3
1
-4
-3
-2
1
4
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) (-3, 1) noktası yerel maksimum noktasıdır.
B) (-2, 0) noktası yerel minimum noktasıdır.
C) (1, 3) noktası mutlak maksimum noktasıdır.
D) (-4, -3) aralığında azalandır.
E) (-2, 1) aralığında artandır.
19.
f'(x)
1
-2
2
-1
f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Şıklar dikkat et
A) (-  , -2) aralığında azalandır.
B) x=0 yerel maksimum noktasıdır.
C) x=2 yerel minimum noktasıdır.
D) x=1 dönüm noktasıdır.
E) x=-1 mutlak maksimumdur.
14
20.
f'(x)
-4 -2
-1
1
2
f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. buna göre aşağıdakilerden hangisi yerel
maksimum noktasının apsisidir?
A) -4
B)-2
C)-1
D)1
E)2
21. x2 + y2=8 çemberinin üzerindeki A(a,b) noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamının en az olması
için A noktasının apsisi kaç olmalıdır?
22.
y
x
y=-12
A
Şekilde y= -x2 parabolü ve y=-12 doğruları üzerine çizilen dikdörtgen verilmiştir. Bu dikdörtgenin
alanının en büyük olması için A noktasının apsisi kaç olmalıdır?
23.
D
C
E
A
B
ABCD dikdörtgen şeklindeki bahçede |BE|=|EC|’dir. [AB] ve [BE] kenarları hariç bahçenin geri kalan
kısmına tek sıra tel çekilecektir. Bu iş için 60 m. Tele ihtiyaç olduğuna göre bahçenin alanı en fazla kaç
m2 olur?
24. Yarıçapı 6br. olan yarım kürenin içine kare dik prizma yerleştiriliyor. Bu prizmanın hacmi en fazla
kaç br3 olur?
15
2 x3 5x 2

 4 x  5 eğrisinin üzerinde bir A(a,b) noktası alınıyor. a+b toplamını en küçük yapan
3
2
a sayısı kaçtır?
25. f(x)=
26. f ( x) 
x2  x  6
fonksiyonun grafiğini çiziniz.
x2 1
27. f ( x) 
ax  6
eğrisinin simetri merkezi (1, -1) olduğuna göre a kaçtır?
bx  4
x 3  3x 2  1
28. f ( x)  2
eğrisinin eğik asimptotu x eksenini hangi noktada keser?
x  x 1
29. y 
2x  1
eğrisinin asimptotlarının kesim noktası y=2x+4 doğrusu üzerinde ise a kaçtır?
4x  a
30. y  x  1 
1
eğrisinin asimptotlarının kesim noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
x 1
16