Elektrik Devre Denklemlerinin Hamilton ve Euler Lagrange

Elektrik Devre Denklemlerinin
Euler Lagrange ve Hamilton
Formülasyonları
Mustafa Kösem
Özkan Karabacak
İÇERİK
• Çalışma grubumuz
• Neden farklı bir formülasyon?
• Euler-Langrange(EL) ve Hamilton(H)
denklemleri
• Elektrik devrelerinin EL-H formülasyonlarıkısa tarihçe
• Ötesi…
Neden farklı bir formülasyon?
•
•
•
•
Elektromekanik sistemler
Lineer olmayan sistemler
Davranışı doğrudan görmek
Kapılar tanımlayarak enerji temelli kontrol
yapmak
• Ve diğer teorileri elektriğe taşımak
EL-H Denklemleri
(Neden Newton yetmiyor?)
Tek parçacık için Newton’un ikinci yasası:
dp
F
dt
Kuvvet korunumlu ise
 F  dx  0
Stokes
theorem
 F  0
F  V
V bir skaler fonksiyon; adı potansiyel (enerji)
EL-H Denklemleri
2
(Neden Newton yetmiyor?)
2
2
dv
W12   F  dx   m  dx  m   v  dv
dt
1
1
1
V1  V2  T2  T1 ,
Ti  m  vi / 2
2
T bir skaler fonksiyon; adı kinetik enerji
H  V1  T1  V2  T2
H bir skaler fonksiyon; adı enerji
H korunur.
EL-H Denklemleri
(Neden Newton yetmiyor?)
N parçacık için Newton’un ikinci yasası:
 Fji  Fi
(e)
 p i ,
i  1,2,, N
j
Kuvvetler korunumlu ise,
1
2
T   mi  vi
2 i
,
1
V   Vi   Vij
2 i j
i
H korunur.
EL-H Denklemleri
(Neden Newton yetmiyor?)
Çünkü sistemde etkisini bilip de kendisini bilemediğimiz kuvvetler
olabilir. Yani KISIT KUVVETLERİ
x2
θ
genelleştirilmiş
koordinat
Kısıt kuvveti
(genelde işsiz)
x1
alışıldık
koordinatlar
F
(e)
Kısıt:
f x1 , x2 ,, xN   0
EL-H Denklemleri
(Kısıt kuvvetlerinden
bağımsız bir denklem: D’Alembert Prensibi)
 F  x
i
0
i
statik
i
Fi  Fi
 Fi
(a)
kısıt kuvvetlerini ayırdık
 fi
(a)
 xi  0
statik
i
 F  p  x
i
i
 F
i
(a)
i
i
dinamik
0

dinamik
 i  xi  0
 p
i
D’Alembert Prensibi
 F  p  x
i
i
i
i
0
EL-H Denklemleri
(D’Alembert Prensibi
genelleştirilmiş koordinatlara taşınması: EL-H denklemleri )
Euler-Lagrange denklemleri
d  Lq, q   Lq, q 

 
0 ,
dt  q 
q
L  T V
L: Lagrange fonksiyonu
Korunumsuz kuvvetler var ise:
d  Lq, q   Lq, q 

 
Q ,
dt  q 
q
L  T V
EL-H Denklemleri
(D’Alembert Prensibi
genelleştirilmiş koordinatlara taşınması: EL-H denklemleri )
Hamilton denklemleri:
H(q,p)
q
, p  M q q
p
H(q,p)
p
, H  T V
q
H: Hamilton fonksiyonu
BASİT SARKAÇ
Newton denklemleri kullanılarak
Sabit uzunluklu ip cismin hareketini sınırlamaktadır.
Kısıt denklemi :
Sisteme ait dinamik denklem
Kısıt kuvveti
:
Sisteme ait kısıt denklemi
BASİT SARKAÇ
Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak
Koordinat dönüşümü
Genelleştirilmiş koordinatlara geçiş
EULER-LAGRANGE DENKLEMİ
UYARILMIŞ SARKAÇ
Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak
EULER-LAGRANGE DENKLEMİ
Elektrik devrelerinin EL-H
formülasyonları
• Application of the Lagrangian equations to electrical circuits, D. A.
Wells, 1938.
• A theory of nonlinear networks, R. K. Brayton, J. K. Moser, 1964.
• Explicit topological formulation of Lagrangian and Hamiltonian
equations for nonlinear networks, L. 0. Chua and J. D. McPherson,
1974.
• A method for obtaining a canonical hamiltonian for nonlinear LC
circuits, G. M. Bernstein and M. A. Lieberman, 1989.
• Ötesi…
Brayton-Moser Denklemleri
Devre üzerine kısıtlamalar
Kondansatör gerilimleri ve endüktans akımları tam değişkenler kümesi
oluştursun.
Denge noktası problemi çözülebilir olsun.
diL P
L  iL 

 iL , vC 
dt iL
dvC
P
C  vC 

 iL , vC 
dt
vC
P karışık potansiyel fonksiyonu (mixed potantial function)
LC DEVRELERİ
Devre topolojisi üzerine kısıtlamalar
Kondansatörler çevre, endüktanslar kesitleme oluşturmuyor.
Eleman tanım bağıntıları üzerine kısıtlamalar
Dallar
Kirişler
ENERJİ FONKSİYONLARI
Enerji :
Tümleyen Enerji :
LAGRANGE FONKSİYONU
Klasik mekanik :
LC devresi :
Genelleştirilmiş konum :
Genelleştirilmiş hız :
Problem : Kondansatör akısı ve endüktans yükü alışılagelmiş büyüklükler değil!
EULER-LAGRANGE DENKLEMLERİ
Bu denklem sağlanır.
SONUÇ :
Kirchhoff’un gerilimler yasası
Enerjinin korunumu (Euler-Lagrange denklemleri)
Kondansatör gerilimlerine dair dinamik denklem
L, C, J, R DEVRELERİ
Dallar
Kirişler
Bağımsız DC akım kaynakları akı kontrollü endüktanslar gibi düşünülür.
Dirençler denklemlere genelleştirilmiş kuvvet olarak katılır.
L, C, J devresi :
L, C, J, R devresi :
GENEL HALDE EULER-LAGRANGE DENKLEMLERİ
Yük kontrollü kapasiteler
Akı kontrollü endüktanslar
Akım kontrollü bağımsız kaynaklar Gerilim kontrollü bağımsız kaynaklar
Gerilim kontrollü kondansatörler
Akım kontrollü endüktanslar
ÖRNEK
Durum değişkenleri gösterimi
Euler-Lagrange gösterimi
HAMİLTON DENKLEMLERİ
Eleman tanım bağıntıları üzerine kısıtlamalar :
Hamilton fonksiyonu :
BİR LC DEVRESİNİN KARMAŞIKLIĞI
Devre topolojisi üzerine kısıtlamalar
Kondansatörler çevre, endüktanslar kesitleme oluşturmuyor.
Durum değişkeni sayısı
Gerçek karmaşıklık
5 kondansatör gerilimi
5-1=4 kondansatör gerilimi
6 endüktans akımı
6-2=4 endüktans akımı
ÖZELLİK :
Bağımsız kondansatör gerilimi sayısı,
bağımsız endüktans akımı sayısına eşittir.
KANONİK YAPIDA HAMİLTON DENKLEMLERİ
Bu eşitliği sağlayan M ve
N
matrisleri vardır.
Genelleştirilmiş koordinatlara geçiş :
Kanonik hamilton gösterimi
Ötesi…
• Kontrol
- enerji şekillendirme (Power shaping)
- pasiflik temelli kontrol (PBC)
- bağlantı ve sönüm atama yoluyla
pasiflik temelli kontrol (IDA-PBC)
• Diferansiyel geometri
- manifold üzerinde dinamik sistem
- simetri