FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR Fadhil ABBAS YÜKSEK

FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR
Fadhil ABBAS
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
OCAK 2011
ANKARA
Fadhil ABBAS tarafından hazırlanan "FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR"
adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Prof. Dr. Cemil YILDIZ
……………………………..
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında
Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Doç. Dr. Erdal GÜNER
...……………………………
Matematik Anabilim Dalı, A. Ü.
Prof. Dr. Cemil YILDIZ
.……………………………..
Matematik Anabilim Dalı, G. Ü.
Doç. Dr. Çetin VURAL
.……………………………..
Matematik Anabilim Dalı, G. Ü.
Tarih: ……./……./…….
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans /
Doktora derecesini onamıştır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
..……………………………..
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde
elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak
hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin
kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Fadhil ABBAS
iv
FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR
(Yüksek Lisans Tezi)
Fadhil ABBAS
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Ocak 2011
ÖZET
Çalışmamız dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, konunun
uygulamalarıyla ilgili genel bilgilere değindik. İkinci bölümde; ideal
tanımından
yararlanarak
ideal
topolojik
uzayını
tanımladık.
Bu
topolojiye bağlı lokal fonksiyonunu verdik. Üçüncü bölümde; fuzzy
kümelere bağlı fuzzy topolojik uzaylarına ilgili bazı bilgiler verdik.
Dördüncü bölümde; fuzzy ideal topolojik uzaylarıyla ilgili temel
kavramları verdik. Daha sonra fuzzy semi-I-regülar küme, fuzzy regülarI-kapalı küme, fuzzy *-mükemmel küme ve fuzzy τ*-kapalı küme olarak
adlandırdığımız yeni küme kavramlarını verdik. Daha sonra fuzzy AI küme, fuzzy ABI -küme, fuzzy BI -küme ve fuzzy I-local kapalı küme
olarak adlandırdığımız yeni küme kavramlarını verdik. Sonra da fuzzy
semi-I-regülar sürekli, FRIC-sürekli, fuzzy *-mükemmel sürekli ve fuzzy
contra*-sürekli fonksiyon olarak adlandırdığımız yeni sürekli fonksiyon
kavramlarını
vererek
fuzzy
regülar-I-sürekli
fonksiyonlarının
ayrışımlarını elde ettik. Son olarak fuzzy AI -sürekli, fuzzy ABI -sürekli,
fuzzy BI -sürekli ve fuzzy I-LC-sürekli fonksiyon olarak adlandırdığımız
yeni
sürekli
fonksiyon
kavramlarını
fonksiyonlarının ayrışımlarını elde ettik.
vererek
fuzzy
AI
-sürekli
v
Bilim Kodu
: 204.1.132
Anahtar Kelimeler : fuzzy semi-I-regülar küme, fuzzy regülar-I-kapalı
küme, fuzzy *- mükemmel küme, fuzzy τ*-kapalı
küme, fuzzy AI -küme, fuzzy ABI -küme, fuzzy BIküme ve fuzzy I-local kapalı küme.
Sayfa Adedi
: 94
Tez Yöneticisi
: Prof. Dr. Cemil YILDIZ
vi
FUZZY İDEAL TOPOLOGICAL SPACES
(M.Sc. Thesis)
Fadhil ABBAS
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
October 2011
ABSTRACT
This study cosist of four sections. In the first section, outlines of the
topic regarding applications are discussed. In the second section, we
defined topological space of ideal by using concept of ideal. We gave
local function depending on this topology. In the third section, we
reported some information about fuzzy topological spaces depending
on fuzzy sets. In the fourth section, we gave the basic concepts
regarding fuzzy ideal topological spaces. Then we gave new cluster
concepts that we named as fuzzy semi-I-regular set, fuzzy regular-Iclosed set, fuzzy * -perfect set and fuzzy τ* -closed set. Then we gave
new cluster concepts that we named as fuzzy A/ -set, fuzzy AB/ -set,
fuzzy B/-set and fuzzy I-local closed set. Then we obtained degradations
of fuzzy regular -I-continous function by giving new constant functions
that we named as fuzzy semi -I-regular continous, FR/C - continous,
fuzzy *- perfect continous and fuzzy contra *-continous function.
Consequently, we obtained degradations of fuzzy A/ - continous
function by giving new constant functions that we named as fuzzy A/ continous, fuzzy AB/ - continous, fuzzy B/ - continous and fuzzy I-LC continous function.
vii
Science Code : 204.1.132
Key Words
: fuzzy semi-I-regular set, fuzzy regular-I-closed set, fuzzy
*- perfect set, fuzzy τ*- closed set, fuzzy AI -set, fuzzy
ABI -set, fuzzy BI -set and fuzzy I-local closed set.
Page Number : 94
Adviser
: Prof. Dr. Cemil YILDIZ
viii
TEŞEKKÜR
Tez çalışmamı büyük bir titizlik ve sabırla takip ederek çalışmamın her bir
safhasında daima bana yol gösteren ve yardımlarını esirgemeyen değerli
hocam Prof. Dr. Cemil YILDIZ’ a sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunar,
ayrıca her zaman yanımda olan sevgili aileme, arkadaşım Sercan Güner'e
ve maddi ve manevi desteklerinden dolayı Türkmeneli Kültür Merkezi'ne
teşekkür etmeyi bir borç bilirim.
Fadhil ABBAS
ix
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ............................................................................................................. iv
ABSTRACT .................................................................................................... vi
TEŞEKKÜR ................................................................................................. viii
İÇİNDEKİLER ................................................................................................ ix
ŞEKİLLERİN LİSTESİ ..................................................................................... x
SİMGELER ................................................................................................. ..xi
1.GİRİŞ .......................................................................................................... 1
2. İDEAL TOPOLOJİK UZAYILAR VE TEMEL KAVRAMLAR ...................... 3
2.1. İdeal Topolojik Uzay İçin Temel Kavramlar ......................................... 3
2.2. Kümenin Lokal Fonksiyonu .................................................................. 7
3. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARI İÇİN TEMEL KAVRAMLAR ................. 17
3.1. Fuzzy Kümeler .................................................................................. 17
3.2. Fuzzy Kümeler Üzerinde İşlemler ..................................................... 27
3.3. Fuzzy Topolojik Uzaylar .................................................................... 31
4. FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLARI................................................. 43
4.1. Fuzzy İdeal Topolojik Uzayı İçin Temel Kavramlar ........................... 43
4.2. Fuzzy semi-I-regülar Kümeler ........................................................... 51
4.3. Fuzzy ABI -regülar Kümeler .............................................................. 69
4.4. Fuzzy regülar-I-Sürekliliğin Ayrışımı ................................................. 78
4.5. Fuzzy AI -Sürekliliğin Ayrışımı .......................................................... 84
5. SONUÇ VE ÖNERİLER ........................................................................... 90
KAYNAKLAR ............................................................................................... 91
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………………..…94
x
ŞEKİLLERİN LİSTESİ
Şekil
Sayfa
Şekil 4.1. fuzzy regülar-I-kapalı kümenin diğer kümelerle ilişkisi................... 59
Şekil 4.2. fuzzy fuzzy semi-I-regülar kümenin diğer kümelerle ilişkisi .......... 65
Şekil 4.3. Şekil.4.4. için gerekli olan şekil ...................................................... 68
Şekil 4.4. fuzzy fuzzy semi-I-regülar kümenin diğer kümelerle ilişkisi ........... 68
Şekil 4.5. fuzzy ABI -kümenin diğer kümelerle ilişkisi .................................... 74
Şekil 4.6. fuzzy ABI -kümenin diğer kümelerle ilişkisi .................................... 76
Şekil 4.7. fuzzy regülar-I-sürekliliğin ayrışımı ............................................... 83
Şekil 4.8. Şekil.4.9. için gerekli olan şekil ...................................................... 84
Şekil 4.9. fuzzy regülar-I-sürekliliğin ayrışımı ................................................ 84
Şekil 4.10. fuzzy AI -sürekliliğin ayrışımı ....................................................... 88
xi
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama

Her

Ait

Ait değil
=
Eşit
≠
Eşit değil

Gerek şart

Yeter şart

Ancak ve ancak
∅
Boş küme
X
Evrensel küme
P(X)
Güç kümesi
AB
B, A kümesini kapsar
A B
B, A kümesini kapsamaz
A B
A kesişim B
A B
A birleşim B
Ac
A-B
A kümesinin tümleyeni
A fark B
I
X kümesi üzerindeki herhangi bir ideal
τ
Topolojik yapı
(X, τ)
Topolojik uzay
xii
Simgeler
Açıklama
N(x)
(X, τ) topolojik uzayında x noktasının açık
komşuluklar ailesi
τA
A  X kümesi üzerindeki alt uzay topolojisi
(X, τA)
Alt topolojik uzay
(X, τ, I )
İdeal topolojik uzay
A'
(X, τ) topolojik uzayındaki A  X alt kümesinin
yığılma noktaların kümesi
IX
X →[0,1] e tüm fuzzy kümeler
A
A fuzzy kümesi
μA(x)
x in A ya ait olma derecesi
1x
X kümesindeki en büyük sabit fuzzy küme
0x
X kümesindeki en küçük sabit fuzzy küme
A
B
A fuzzy kümesi birleşim B fuzzy kümesi
A
B
A fuzzy kümesi kesişim B fuzzy kümesi
A≤ B
B fuzzy kümesi kapsar A fuzzy kümesini
1x-A
A fuzzy kümesinin tümleyeni
xα
fuzzy nokta
xαqA
xα fuzzy noktasi ile A fuzzy kümesi çakışığımsıdır
AqB
A fuzzy kümesi ile B fuzzy kümesi çakışığımsıdır
Nq(xα)
(X, τ) fuzzy topolojik uzayındaki xα fuzzy noktasının
q-Komşuluklar ailesi
1
1. GİRİŞ
Fuzzy küme kavramını Prof. Dr. Lütfi Asker Zadeh tarafından1965 yılında [1]
çalışması ile ortaya koymuştur. Bundan sonra, (1968) Chang tarafından
fuzzy topoloji bilgileri belirlenmiştir. (1976) fuzzy topoloji alternatif tanımı
olarak Lowen tarafından yayımlanmıştır.
İlk defa (1933) yılında Kuratowski bir topolojik uzayda ideal kavramını
kullanarak kümenin lokal fonksiyonu kavramını tanımladı ve bu fonksiyonun
sağladığı özellikleri inceledi.12 yıl sonra Vaidyanathaswamy (1945) lokal
fonksiyon kavramı yardımıyla bir kapanış işlemi tanımladı, bu işlemden yeni
bir topoloji oluşturdu ve bu topolojinin tabanını elde etti. (1964) yılında
Hayashi kendi adını verdiği Hayashi uzayını tanımladı. Daha sonra (1975)
yılında Samuels lokal fonksiyon kavramının ideallerin değiştirilmesiyle genel
topolojide de bilinen kapanış noktası, yığılma noktası, yoğunlaşma noktası ve
ikinci kategoriden nokta kavramına eşit olduğunu gösterdi. Böylece lokal
fonksiyon kavramının bu nokta kavramının bir genellemesi olduğu sonucuna
vardı. Ardından (1990) yılında Janković ve Hamlet lokal fonksiyon kavramı
ile ilgili o zamana kadar yapılan tüm çalışmaları ayrıntılı incelediler ve bu
kavramla ilgili yeni özellikler elde ettiler. İdeal topolojik uzay (1990) yıllından
günümüze kadar pek çok topolojist için önemli bir çalışma konusu oldu.
Genel topolojideki pek çok topolojik kavram, bu çalışmalarla ideal topolojik
uzaya taşındı. Bu konu ile ilgili çalışmalar günümüze kadar davem etti ve
hala da devam etmektedir.
Sarkar (1997) fuzzy topolojik uzayda genel topolojidekine benzer şekilde
fuzzy ideal kavramını vererek fuzzy lokal fonksiyonunu tanımladı ve
özelliklerini inceledi.
Ardından Sarkar (1997) fuzzy lokal fonksiyonu
kavramından yararlanarak yeni bir kapanış işlemi tanımladı ve yeni bir
2
topoloji oluşturdu. Bu konu ile ilgili günümüze kadar çeşitli çalışmalar yapıldı,
[3, 4, 6, 7, 11, 12].
Bu çalışmada; ilk olarak ideal tanımından yararlanarak ideal topolojık uzayın
tanımı ve bu topolojıye bağlı lokal fonksiyonun tanımı verilecektir. Sonra
fuzzy kümelere bağlı fuzzy topolojık uzaylarıyla ilgili bazı bilgiler verilecektir.
Daha sonra fuzzy ideal topolojik uzaylarıyla ilgili temel kavramlar verilecektir.
Sonra da fuzzy semi-I-regülar küme, fuzzy regülar-I-kapalı küme, fuzzy *mükemmel küme ve fuzzy τ*-kapalı küme olarak adlandırdığımız yeni küme
kavramları verilecektir. Daha sonra fuzzy AI -küme, fuzzy ABI -küme, fuzzy BI
-küme ve fuzzy I-lokal kapalı küme olarak adlandırdığımız yeni küme
kavramları verilecektir. Sonra da fuzzy semi-I-regülar sürekli, FRIC-sürekli,
fuzzy *-mükemmel sürekli ve fuzzy contra*-sürekli fonksiyon olarak
adlandırdığımız yeni sürekli fonksiyon kavramlarını vererek fuzzy regülar -Isürekli fonksiyonlarının ayrışımlarını elde ettik. Son olarak fuzzy AI -sürekli,
fuzzy ABI -sürekli, fuzzy BI -sürekli ve fuzzy I-LC-sürekli fonksiyon olarak
adlandırdığımız yeni sürekli fonksiyon kavramlarını vererek fuzzy A I -sürekli
fonksiyonlarının ayrışımlarını elde ettik.
3
2. İDEAL TOPOLOJİK UZAYILAR VE TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda bu çalışma için gerekli
olan temel kavramlar verilecektir. İkinci kısımda ise Kuratowski [18]
tarafından tanımlanan kümenin lokal fonksiyon kavramı ve [14] de ispatsız
olarak verilen bu fonksiyon kavramının sağladığı özellikler ispatlarıyla
verilerek yorumlanmıştır.
2.1. İdeal Topolojik Uzay İçin Temel Kavramlar
Bu kısımda konunun temelini oluşturan, kümenin lokal fonksiyonu tanımına
geçmeden önce gerekli olan bazı tanımları verelim.
2.1.1. Tanım
Boş olmayan bir X kümesi ve P(X), X' in kuvvet kümesi olmak üzere ; boş
olmayan bir I  P(X) ailesi,
(i)
Her A, B  I kümeleri için, A  B  I (sonlu toplamsallık özelliği),
(ii)
Her A  I kümesi ve B  A alt kümesi için, B  I (kalıtımsallık özelliği)
özeliklerini sağlıyorsa; bu takdirde I ailesine, X kümesi üzerinde bir ideal
denir [18].
2.1.1. Örnek
X={a,b,c} olsun. Bu takdirde I={∅, {a}, {c}, {a,c}} X kümesi üzerinde bir
idealdır. Gerçekten
(i) (1) ∅  I için, ∅  {a}={a}  I, ∅  {c}={c}  I, ∅  {a,c}={a,c}  I,
(2) {a}  I için, {a}  {c}={a,c}  I, {a}  {a,c}={a,c}  I,
4
(3) {c}  I için,{c}  {a,c}={a,c}  I
olduğundan. Sonlu toplamsallık özelliğini sağlıyor.
(ii) (1) ∅  I için, ∅  ∅  I,
(2) {a}  I için,∅  {a} ve ∅  I,
(3) {c}  I için, ∅  {c} ve ∅  I,
(4) {a,c}  I için, ∅  {a,c} ve ∅  I, {a}  {a,c} ve {a}  I, {c}  {a,c} ve {c}  I
dır. Kalıtımsallık özelliğini sağlıyor.
(i) ve (ii) den I ailesi X üzerinde bir idealdır.
2.1.2. Tanım
P(X), X' in kuvvet kümesi olmak üzere ;  : P(X)  P(X) fonksiyonu,
(i)  (∅)=∅
(ii) A  P(X)
 A   (A)
(iii) A,B  P(X)
(iv) A  P(X)
  (A  B)=  (A)
  (B)
  (  (A))=  (A)
şartlarını sağlıyorsa; bu taktirde,  küme değerli fonksiyonuna Kuratowski
Kapanış işlemi denir. K={ A  P(X) : A=  (A)} ailesine, X kümesi üzerinde
oluşturulan topolojiye göre Kapalılar ailesi denir [18].
2.1.2. Örnek
P(X) kümesi, X' in kuvvet kümesi olmak üzere ; d: P(X)  P(X) fonksiyonu,
(a) d(∅)=∅
(b) d(A  B) = d(A)  d(B)
5
(c) d(d(A))  d(A)
şartlarını sağlıyorsa; bu takdirde,  (A)=A  d(A)
şeklinde tanımlanan
 : P(X)  P(X) fonksiyonu, P(X) kuvvet kümesi üzerinde bir Kuratowski
kapanış işlemidir [14].
İspat.(i)  (A)=A  d(A) ifadesinde A=∅ alırsak  (∅)=∅  d(∅) olur.
(a) 'dan d(∅)=∅ olduğundan  (∅)=∅ bulunur.
(ii) Herhangi bir A  P(X) elemanı için ,  küme değerli fonksiyonu tanımından
 (A)=A  d(A) dır. Birleşim işlemi gereği, A  A  d(A)=  (A) ifadesi elde
edilir. Böylece A   (A) olur.
(iii) Herhangi bir A, B  P(X) elemanları için,  küme değerli fonksiyonu tanımı
ve (b) 'den
 (A  B)=(A  B)  d(A  B) =(A  B)  (d(A)  d(B))
=(A  d(A))  (B  d(B))
=  (A)   (B)
ifadesi bulunur. Böylece ;
 (A  B)=  (A)   (B)
olduğu elde edilir.
(iv) Herhangi bir A  P(X) elemanı için,  küme değerli fonksiyonu tanımından
 (A)=A  d(A) olur. (c) 'den,
 (  (A)) =  (A  d(A)) =  (A)   (d(A)) = (A  d(A))  (d(A)  d(d(A)))
bağıntısı bulunur. (c) 'den
d(d(A))  d(A) olur. Böylece  (  (A))=A  d(A)=  (A) olduğu görülür.
6
Sonuç olarak,  : P(X)  P(X) ,  (A) =A  d(A) şeklinde tanımlanan küme
değerli fonksiyonu
Tanım 2.1.2. 'de verilen Kuratowski kapanış işlemi
şartlarını sağlar.
2.1.3. Tanım
(X, τ) bir topolojik uzayı, A  X alt kümesi ve x  X noktası verilsin. Her
N  N(x) komşuluğu için, A  N  ∅ ise, x  X noktasına
A kümesinin bir
değme noktası denir [18].
2.1.4. Tanım
(X, τ) bir topolojik uzayı, A  X alt kümesi ve bir x  X noktası verilsin. Her
N  N(x) komşuluğu için, A  (N-{x})  ∅ ise, x  X noktasına A kümesinin bir
yığılma noktası denir. A' nın bütün yığılma noktalarının kümesi A' ile gösterilir
[18].
2.1.5. Tanım
(X ,τ) bir topolojik uzay ve A  X olsun.

A =  { U  X : U  A ve U  τ }

yukarıdaki şekilde tanımlanan A alt kümesine, A kümesinin içi denir [18].
2.1.6. Tanım
(X ,τ) bir topolojik uzay ve A  X olsun.
A =  {K  X : A  K, Kc  τ }
yukarıdaki şekilde tanımlanan A alt kümesine, A kümesinin kapanışı denir.
7
2.2. Kümenin Lokal Fonksiyonu
2.2.1. Tanım
(X, τ) topolojik uzayı ve bir A  X alt kümesi verilsin. I ailesi, X kümesi
üzerinde bir ideal olsun. Bu takdirde;
A*(I,τ) = {x  X :  N  N(x) için, (N  A)  I}
kümesine, A kümesinin I ideali ve τ topolojisine bağlı lokal fonksiyonu denir
[18].
A*(I, τ) = A*(I) sembolü yerine A* sembolünü kullanacağız.
2.2.1. Örnek
X ={a,b,c} kümesi üzerinde τ= {∅, X, {a}} topolojisi ve
I = {∅, {c}} ideal
olsun. Herhangi A ={a,c}  X olsun. Bu taktirde A kümesinin I ideali ve τ
topolojisine bağlı lokal fonksiyonu
A* = {x  X :  N  N(x) için, (N  A)  I} aşağıdaki gibi bulunur.
(1) a  X için X  N(a) ve X  A=A={a,c}  I, {a}  N(a) ve {a}  A={a}  I

a  A* dır.
(2) b  X için X  N(b) ve X  A=A={a,c}  I

b  A* dır.
(3) c  X için X  N(c) ve X  A=A={a,c}  I
 c  A* dır. Böylece
A* = {a,b,c} dır.
8
X≠ ∅ bir küme olmak üzere X kümesinde I={∅} ise minimal ideal ve I=P(X) ise
maksimal ideal olup, A* lokal fonksiyonu bu ideallerde aşağıdaki gibidir.
A*({∅}, τ) = {x  X :  N  N(x) için, (N  A)  {∅}}
= {x  X :  N  N(x) için, (N  A) ≠ ∅}
= A
A*(P(X), τ)={x  X :  N  N(x) için, (N  A)  P(X)}= ∅
2.2.1. Teorem
(X, τ) topolojik uzayı, X kümesi üzerinde I1, I2 idealleri ile birlikte verilsin.
Herhangi A, B  X olsun. Bu taktirde,
(a) Eğer A  B ise; A*  B*
(b) Eğer I1  I2 ise; A*(I2)  A*(I1)
(c)
A*= A*  A
(A* kümesi kapalı bir kümedir)
(d) (A*)*  A*
(e) (A  B)*=A*  B*
(f)
(A  B)*  A*  B*
(g) A*-B*=(A-B)*-B*  (A-B)*
(h) Eğer U  τ ise; U  A*=U  (U  A)*  (U  A)*
(i) Eğer C  I ise; (A  C)*=A*=(A-C)* [14].
9
İspat. (a) Herhangi bir x  A* noktasını alalım. Tanım 2.2.1. 'den her N  N(x)
açık komşuluğu için, A  N I olur. Eğer A  B ise, A  N  B  N olup
B  N  I elde edilir. Eğer B  N  I olsaydı I idealın kalıtımsallık özelliğinden
A  N  I olurdu. Bu ise, bir çelişkidir. O halde her N  N(x) açık komşuluğu
için, B  N  I
ise,
Tanım 2.2.1. 'den
x B* olur. Böylece alt küme
tanımından A*  B*dır.
(b) I1  I2 ise,
I2c  I1c olur.
(1)
A*( I2) = {x  X :  N  N(x) için, (N  A)  I2}
= {x  X :  N  N(x) için, (N  A)  I2c }
(2)
(1) ve (2) ifadeleri ve Tanım 2.2.1. kullanılarak,
A*(I2)  {x  X :  N  N(x) için, (N  A)  I1c}
={x  X :  N  N(x) için, (N  A)  I1}
= A*(I1)
elde edilir. Buradan,
A*(I2)  A*(I1) dır.
(c) Öncelikle A*= A* eşitliğini gösterelim. Her A  X alt kümesi için, A  A
bağıntısı her zaman sağlanır. Bu ifade A*  X alt kümesi için de
gerçekleşeceğinden
A*  A*
Şimdi de A*  A* olduğunu gösterelim. Herhangi bir x  A*
(3)
noktasını
alalım. Varsayalım ki x  A* olsun. A* =  {F  X :F kapalı küme ve A*  F}
ifadesinden ve x  A*
olduğundan A*  F olan her F kapalı kümesi için,
x  F olur. A*  F ve F kapalı küme olduğundan X-F  X-A* olup X-F açık
10
kümedir. Buradan (X-F)  A*=∅ bulunur. x A* ifadesinden x  (X-A*) elde
edilir ve x  F olduğundan F  (X-A*)≠∅ olur. (X-F)  A*=∅ ve F  (X-A*)≠∅
olması F  A* olduğunu gösterir. Bu ise bir çelişkidir. O halde,
A*  A*
(4)
A* = A*
(5)
(3) ve (4) den
A*({∅}, τ)= A , A*(P(X), τ)= ∅ dır.
(b) 'den kümenin lokal fonksiyonu en büyük değerini I={∅} minimal ideali için,
en küçük değerini de I=P(X) maksimal ideali için alır. O halde her I ideali için
∅  I  P(X) ifadesi sağlandığından,
∅  A*(I, τ)  A
(6)
(5) ve (6) ifadelerinden A*= A*  A bağıntısı elde edilir.
(d) Herhangi bir x  (A*)* noktasını alalım. Varsayalım ki x  A* olsun. Tanım
2.2.1. 'den, (A*)*={x  X:  N  N(x) için, (N  A*) I} olur. Her N  N(x) açık
komşuluğu için, N  A* I ifadesi ve idealin kalıtımsallık özelliği gereğince,
N  A*≠∅ olduğu bulunur. Kapanış noktası tanımından x  A*
elde edilir. (c)
şıkkı gereğince, A* =A* olması x  A* olduğunu gösterir. Bu ise, bir çelişkidir.
O halde x  (A*)* noktası için x  A* olduğundan
(A*)*  A* elde edilir.
(e) Tanım 2.2.1.'den A ve B kümelerinin lokal fonksiyonları,
A*={x  X :  N  N(x) için, (N  A) I}
(7)
11
B*={x  X:  N  N(x) için, (N  B)  I}
(8)
olur.(7) ve (8) ifadelerinde birleşim işlemi alırsak,
A*  B* ={x  X :  N  N(x) için, (N  A)  I veya (N  B)  I}
={x  X :  N  N(x) için, [(N  A)  (N  B)]  I}
={x  X :  N  N(x) için, [N  (A  B)]  I} =(A  B)* dır.
O halde A*  B*=(A  B)* dır.
(f) A  B  A ve (a) 'den (A  B)*  A*
A  B  B ve (a) 'den (A  B)*  B*
(9)
(10)
(9) ve (10) 'dan (A  B)*  A*  B*dır.
(g) A  B=(A-B)  B eşitliği her zaman doğrudur. Bu eşitlikte (*) işlemi
uygulanırsa, (e)' den,
(A  B)*=[(A-B)  B]*=(A-B)*  B*
eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafın B*c kümesi ile kesisim alınırsa,
(A  B)*  B*c = [(A-B)*  B* ]  B*c
(A*  B*)  B*c = [(A-B)*  B* ]  B*c
(A*  B*c)  (B*  B*c)=[(A-B)*  B*c]  (B*  B*c)
olur. B*  B*c =∅ olduğundan,
A*  B*c =(A-B)*  B*c
eşitliği elde edilir. Fark işlemi tanımı gereği,
A*-B*=(A-B)*-B*
12
eşitliği yazılır. Bu son eşitlikten
A*-B*=(A-B)*-B*  (A-B)*
bulunur.
(h) Herhangi bir x  U  A* noktasını alalım. Kesişim işlemi tanımından x  U
ve x  A* dır. Tanım 2.2.1.'den her N  N(x) açık komsuluğu için, N  A I olur.
x  U ve U  τ olduğundan komşuluk tanımından U  N(x) olur. Bir noktanın
komşulukların kesişimi yine o noktanın komşuluğu olduğundan N  U  N(x)
olur. x  A* olup,
[(N  U)  A]=[N  (U  A)]  I ifadesi elde edilir. Tanım 2.2.1.'den
x  (U  A)* bulunur. x  U  A* noktası için, x  (U  A)* olduğundan
U  A*  (U  A)*
(11)
bulunur. (11) ifadesinde her iki tarafın U kümesi ile kesişimini alırsak,
[U  (U  A*)]  [ U  (U  A)*]
(U  A*)  [U  (U  A)*]
(12)
U  A  A bağıntısı ve (a) 'dan
(U  A)*  A*
(13)
olur. (13) ifadesinin her iki tarafının U kümesi ile kesişimi alınırsa,
[U  (U  A)*]  U  A*
(14)
bulunur. (12) ve (14) ifadelerinden,
U  A*=U  (U  A)*
eşitliği yazılır. O halde (11) ve (15) ifadelerinden,
(15)
13
U  A*=U  (U  A)*  (U  A)* dır.
(ı) A  C=(A-C)  C eşitliği her zaman doğrudur. Bu eşitlikte her iki tarafın (*)
işlemi alınırsa, (A  C)*=[(A-C)  C]* olur. (e) 'dan,
(A  C)*=A*  C*=(A-C)*  C*
(16)
elde edilir. Tanım 2.2.1. ve C  I olduğundan
C*={x  X :  N  N(x) için, (N  C)  I }=∅
olur. (16) ifadesinde C*=∅ yazılırsa (A  C)*=A*=(A-C)* elde edilir.
2.2.2. Tanım
(X, τ) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Herhangi bir
A  X alt kümesi için, Cl*(A)= A  A* şeklinde tanımlanan Cl*: P(X)  P(X)
fonksiyonu, Tanım 2.1.2. deki şartları sağlıyorsa buna Kuratowski kapanış
işlemi denir [14].
Çalışma boyunca; Cl*(A) sembolü yerine, A sembolünü kullanacağız.

2.2.3. Tanım
(X, τ) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde,
τ*(I)={U  X : X-U =(X-U)}

şeklinde tanımlanan τ*(I) ailesi, X kümesi üzerinde bir topolojidir. Bu topoloji,
τ topolojisinden daha ince yapılı bir topolojidir [18].
Jankovic ve Hamlet (1990) önce; minimal ideali (I={∅}) ve maksimal ideali
(I=P(X)) kullanarak τ*(I) topolojilerini elde ettiler. Sonra; diğer idealler, bu iki
14
ideal arasında yer aldığından, onlara karşılık gelen τ*(I) topolojileri ile ilgili
sonuçları veridi:
(i) I={∅} minimal ideali için, A*({∅})= A ve A = A olduğundan;

τ*(I) = τ,
(ii) I=P(X) maksimal ideali için, A*(P(X))= ∅ ve A = A olduğundan;

τ*(I) = P(X) elde edilir.
(i) ve (ii) ifadelerinden faydalanarak, şu sonuçlar verilebilir:
(X, τ) topolojk uzayı verilsin. X kümesi üzerindeki her I
ideali için,
{∅}  I  P(X) olduğundan;
τ = τ*({∅})  τ*(I)  τ*(P(X)) = P(X) dır.
Üstelik (X, τ) topoiojik uzayı ile X kümesi üzerinde, I  J olacak şekilde I ve J
gibi iki ideal verildiğinde; τ*(I)  τ*( J ) bağıntısı vardır.
2.2.4. Tanım
(X, τ) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde;
β(I, τ)={U-V : U  τ,V  I }
ailesi τ*(I) topolojisi için, bir topoloji tabanı dır [15].
2.2.5. Tanım
(X, τ) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. I ideali ile
birlikte (X, τ) topolojik uzayına, ideal topolojik uzay denir ve (X, τ, I ) şeklinde
gösterilir [15].
15
İdeal topolojik uzaylar üzerinde süren çalışmalar, bazı özel uzayların da
tanımlanmasına imkan verir. Şimdi bu uzaylardan bazılarını ele alalım:
2.2.6. Tanım
(X, τ,I) ideal topolojik uzayı verilsin. Eğer X=X* ise, bu taktirde (X, τ, I) ideal
topolojik uzayına Hayashi uzayı denir [14].
2.2.7. Tanım
(X, τ,I) ideal topolojik uzayında τ  I ={∅} ise, bu taktirda (X, τ,I) ideal topolojik
uazyına Samuels uzayı denir [15].
2.2.1. Lemma
(X, τ) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde;
aşağıdaki özelikler denktir:
(i)
X=X*
(ii) τ  I ={∅}

(iii) Eğer U  I ise; U = ∅
(iv) Her V  τ kümesi için, V  V* [16].
İspat. (i)

(ii) X*={x  X :  N  N(x) için, (N  X)  I }=X olsun.
 N  N(x) için, (N  X) =N olduğundan  N  N(x) için N  I dır.
Böylece τ  I ={∅} dır.
(ii)

(iii) U  I olsun.
16
τ  I ={∅} olduğundan U  τ dır. Tanım 2.1.5.' den

U = ∅ dır.
(iii)

(iv) V  τ olsun. Tanım 2.2.1.' den
V* ={x  X :  N  N(x) için, (N  V)  I } dır.
τ  I ={∅} ve V  τ olduğundan N  V  V I
dır. Böylece  x  X ve N  N(x) için, N  V  I dır. Tanım 2.2.1.'den
V*= V dır. Böylece V  V*
(iv)

(i) Her zaman
X*  X
(1)
Her V  τ kümesi için,V  V* ve X  τ olduğundan
X  X*
(1) ve (2) den X=X* dır.
(2)
17
3. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARI İÇİN TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde fuzzy küme tanımını verilerek bu kümelerle ilgili cebirsel işlemler
verilecektir. Sonra da fuzzy topolojik uzay ve bu uzaya ilgili temel kavramlar
verilecektir.
3.1. Fuzzy Kümeler
3.1.1. Tanım
X boştan farklı bir küme ve I =[0,1] kapalı aralık olmak üzere X den I ya
tanımlanan bütün fonksiyonların kümesini IX ile gösterilir. IX kümesinin her
elemanına da, X kümesinde bir fuzzy kümesi denir [1].
3.1.2. Tanım
X boştan farklı bir küme ve I =[0,1] olmak üzere
μA : X  I üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen;
A={( x, μA(x)) : x  X}⊂XxI
kümesine X' in bir A fuzzy alt kümesi denir.
3.1.3. Tanım
X ve ∅ klasik kümeleri birer fuzzy kümesi olup
1x=X ={( x,1x(x) =1) : x  X}⊂XxI
0x=∅ ={( x,0∅(x) =0) : x  X}⊂XxI
şeklinde ifade edilir.
18
Alışılmış kümeler için kullanılan kapsama birleşim ve kesişim sembolleri
yerine, fuzzy kümeler için sırayla  ,  ,

sembolleri kullanılır. Bir A fuzzy
kümesinin tümleyeni de 1x - A =Ac ile gösterilir.
X kümesinin herhangi bir A fuzzy alt kümesi A  X ile gösterilir.
3.1.4. Tanım
α  [0,1] olmak üzere her x  X
için μA(x) = α olsun. Burada μA üyelik
fonksiyonu ile karakterize edilen
A fuzzy alt kümesine sabit fuzzy küme
denir [1].
3.1.5. Tanım
Herhangi A, B ≤ X fuzzy alt kümeleri ve μA ile μB de sırasıyla A ile B nin
üyelik fonksiyonları olsun;
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
 Her x  X için, μA(x) ≤ μB(x)
A= B  Her x  X için, μA(x) = μB(x)
C= A  B  Her x  X için, μC(x) =Maks { μA(x) , μB(x)}
D= A  B  Her x  X için, μD(x) =Min { μA(x) , μB(x)}
Ac =1x -A  Her x  X için, μAc(x) =1x - μA(x)
A≤B
3.1.6. Tanım
X kümesinin fuzzy alt kümelerinin bir ailesi {Aj}j∈J
aşağıdaki ifadeler sağlanır:
(i)
C=

Aj

jJ
(ii)
D=

jJ
Her x  X için, μC(x) = Sup { μAj(x) }
jJ
Aj

Her x  X için, μD(x) = Inf { μAj(x) }
jJ
olsun. Bu takdirde
19
3.1.1. Teorem
X≠∅ ve herhangi A, B ≤ X fuzzy alt kümeleri için aşağıdaki ifadeler sağlanir:
(i)
A≤B
(ii)
(A
(iii)
A
(iv)

 B)
c
=Ac
B
c
, (A
 B=∅  A ≤ B
 B)
c
= Ac
B
c
c
(  Aj)c =  Ajc
jJ
(v)
Bc ≤ Ac
jJ
(  Aj)c =  Ajc
jJ
jJ
İspat. A fuzzy alt kümesinin üyelik fonksiyonu μA , B nin üyelik fonksiyonu da
μB olsun;
(i) Her x  X için, μAc(x) = 1x- μA(x) ve μBc(x) = 1x - μB(x)
olduğu biliniyor.
A ≤ B  Her x  X için, μA(x) ≤ μB(x)

Her x  X için,1x - μB(x) ≤ 1x -μA(x)

Her x  X için, μBc(x) ≤ μAc(x)
 Bc≤Ac
olur ve ispat tamamlanır.
(ii)
μA, μB : X  [0,1] olsun. O halde A
 B=C fuzzy alt kümesinin üyelik
fonksiyonunun her x  X için, μC(x)=maks {μA(x), μB(x)} ile tanımlandığı ve
(A
 B)
c
=Cc fuzzy alt kümesinin üyelik fonksiyonunun da her x X için,
μCc(x)= 1x - maks {μA(x), μB(x)} ile tanımlandığı biliniyor.
20
Her x  X için, 1x - maks {μA(x), μB(x)} = min {1x -μA(x), 1x -μB(x)}
olduğu göz önüne alınırsa (A
 B)
c
=Ac
B
c
olduğu görülür. Benzer şekilde,
Her x  X için, 1x - min {μA(x), μB(x) }= maks {1x -μA(x), 1x -μB(x) }
olduğu göz önüne alınırsa (A
(iii) A
 B)
c
= Ac
B
c
olduğu görülür .
 B = ∅ olsun .
 Her

x  X için, min { μA(x), μB(x)}= 0x
Her x  X için, μA(x) =0 veya μB(x) = 0x
Eğer Her x  X için, μA(x) =0x ise


Bc =X
A ≤ Bc olur.
(iv) Her x  X için, μ( 
jJ

μA(x) ≤ μBc(x)
A≤ Bc olur.
Eğer Her x  X için, μB(x) =0x ise


Aj)
(x) = Sup { μAj(x) }
jJ
Her x  X için, μ( 
jJ
c
Aj)
(x)=1x- Sup { μAj(x)}
jJ

Her x  X için, μ( 
c
Aj)
(x)= Inf {1x- μAj(x)}
jJ

Her x  X için, μ( 
c
Aj)
(x)= Inf { μAjc(x)}
jJ
jJ
jJ
 (
jJ
(v) Her x  X için, μ( 
jJ
Aj)c =  Ajc dir.
jJ
Aj)
(x) = Inf { μAj(x)}
jJ
21

Her x  X için, μ( 

Her x  X için, μ( 

jJ
jJ
Her x  X için, μ( 
jJ
 (  Aj)c =  Ajc
jJ
jJ
c
Aj)
c
Aj)
(x)=1x - Inf { μAj(x)}
jJ
(x)= Sup { 1x-μAj(x)}
jJ
c
Aj)
(x)= Sup { μAjc(x)}
jJ
dir.
3.1.2. Teorem
X≠∅
ve A, B ve C X de fuzzy alt kümeler olsun. Bu takdirde aşağıdaki
ifadeler sağlanır:
(i)
A
 (B  C) =( A  B)  C , A  (B  C) =( A  B)  C
(ii)
A
 (B  C)= ( A  B)  (A  C )
(iii) A
 (B  C) = (A  B)  (A  C)
İspat . (i) (A
 B)  C = M  Her x X için,
μM(x) = min {min {μA(x), μB(x)} , μC(x)}}
=min {μA(x), μB(x), μC(x)}
A
 (B  C ) = N  Her x X için,
μN(x) = min {μA(x) , min {μB(x), μC(x)}}
= min {μA(x), μB(x), μC(x) }
 A  (B  C)= (A  B )  C olur.
A
 (B  C) = K  Her x X için,
22
μK(x) = maks {μA(x), maks {μB(x), μC(x)}}
= maks {μA(x), μB(x), μC(x)}
(A
 B)  C = K  Her x X için,
μK(x) = maks { max {μA(x), μB(x) }, μC(x)}}
= maks {μA(x), μB(x), μC(x)}

A
 (B  C)= ( A  B)  C
olur.
(ii) Her x  X icin, μA(x) ≤ μB(x) ≤ μC(x) ise ,
A
 (B  C) = K  Her x X icin ,
μK(x)= min {μA(x), maks {μB(x), μC(x)}}= μA(x) dır.
(A
 B)  (A  C) = L  Her
x  X icin ,
μL(x) = maks { min {μA(x), μB(x) } , min {μA(x), μC(x)}}
=μA(x) dır.

K= L olur.
Benzer şekilde Her x  X için ;
μA(x) ≤ μC(x) ≤ μB(x) ise, μK(x) = μL(x) = μA(x)

K= L dır.
μB(x) ≤ μA(x) ≤ μC(x) ise, μK(x) = μL(x) = μA(x)

K= L dır.
μC(x) ≤ μA(x)≤ μB(x) ise, μK(x) = μL(x) = μA(x)

K= L dır
μB(x) ≤ μC(x) ≤ μA(x) ise, μK (x)= μL(x) = μC(x)

K= L dır.
μC(x) ≤ μB(x) ≤ μA(x) ise, μK(x) = μL(x) = μB(x)

K= L dır.
23
Böylece kesişimin birleşim üzerine soldan dağılma özelliği vardır. Yani
A
 (B  C) =(A  B)  (A  C) dır.
(iii) Her x  X için, μA(x) ≤ μB(x) ≤ μC(x) ise ,
A
 (B  C) = K

Her x  X icin ,
μK(x) = maks {μA(x) , min {μB(x), μC(x) }}=μB(x)
(A
 B)  (A  C) = L  Her x X için,
μL(x) = min{maks {μA(x), μB(x) } , maks{μA(x), μC(x) }} =μB(x) dır.

K= L olur.
Benzer şekilde Her x  X için ;
μB(x) ≤ μA(x) ≤ μC(x) ise, μL(x) = μK(x) = μA(x)

L= K dır.
μB(x) ≤ μC(x) ≤ μA(x) ise, μL(x) = μK(x) = μA(x)

L= K dır.
μC(x) ≤ μA(x) ≤ μB(x) ise, μL(x) = μK(x) = μA(x)

L= K dır
μC(x) ≤ μB(x) ≤ μA(x) ise, μL(x) = μK(x) = μA(x)

L= K dır.
μA(x) ≤ μC(x) ≤ μA(x) ise, μL(x) = μK(x) =μC(x)

L= K dır.
Böylece birleşimin kesişim üzerine soldan dağılma özelliği vardır. Yani
A
 (B  C) =(A  B)  (A  C) dir.
3.1.3. Teorem
X≠∅ ve A ≤ X fuzzy alt küme olsun. A
değildir.
 A =∅ ve A  A
c
c
= X olmak zorunda
24
İspat . A, X de bir fuzzy alt küme ve A nın üyelik fonksiyonu μ A olsun Ac
fuzzy alt kümesinin üyelik fonksiyonu da 1x- μA ile tanımlıdır.
(1) A=∅ ise, B =A
A
c

Her x  X için,
μB(x) =min {μA(x) , μAc(x)} = μ∅(x) =0x

(2) A=X
B =A

A
 A =∅
c
Ac =Xc =∅ dır.
 A  Her x X için, μ (x) =min {μ (x), μ
c
B
A
A
c
(x)}
= μ∅(x) =0x

A
 A =∅
(3) ∅ ≠ A≠ X ve B =A
c
A
c
=∅ olsun .
Eğer Her x  X için, μB(x) =min {μA(x), μAc(x)} =0x = μA(x)= μ∅(x)

A=∅
Bu bir çelişkidir. O halde; A
A
c
≠∅
Eğer Her x  X için, μB(x) =min {μA(x), μAc(x)} =0x = μAc(x)= μ∅(x)

A=X
Buda bir çelişkidir. O halde; A
A
c
≠∅
Diğeri benzer şekilde yapılır.
3.1.1. Örnek
X ={a,b} olmak üzere X de bir fuzzy alt kümesi
25
A={ (a,0.2) , (b,0.9)} olarak verilsin.
(i) A
A
(ii)
A
A
c
= ∅ midir ?
c
= X midir ?
Çözüm: Ac =A-1x={ (a,0.8( , (b,0.1)}
(i) A
A
c
=B  Her x  X için, μB(x) = min {μA(x), μ Ac(x)} dır.
Böylece A
A
c
=B={ (a,0.2( , (b,0.1)}

(ii) A
A

A
c
A
A
c
≠ ∅ dır.
Ac =C  Her x  X için, μC(x) = min {μA(x), μAc(x)} dır. Böylece
=C ={ (a,0.8( , (b,0.9) }

A
A
c
≠ X dır.
3.1.4. Teorem
X ≠ ∅ ve A, B ≤ X fuzzy alt kümeler olsun. Bu takdirde aşağıdaki ifadeler
sağlanır:
(i)
A
 B fuzzy alt kümesi A ve B yi kapsayan en dar fuzzy alt kümedir.
(ii)
A
 B fuzzy alt kümesi A ve B kümelerin kapsadığı en geniş fuzzy alt
kümedir.
İspat. (i) A ve B fuzzy alt kümelerinin üyelik fonksiyonları sırasıyla μA ve μB
olsun.
A
 B =C  Her x X için, μ (x) = maks {μ (x), μ (x)}
C
A
B
26
olduğundan A ≤ C ve B ≤ C dır. Kabul edelim ki A ve B yi kapsayan en dar
fuzzy alt küme D olsun. D fuzzy alt kümesinin üyelik fonksiyonu μD olmak
üzere
A≤D

Her x  X için, μA(x) ≤ μD(x)
B≤D

Her x  X için, μB(x) ≤ μD(x)
dir . Buradan
maks { μA(x), μB(x)} ≤ μD(x)
A
B

μAVB (x) =μC(x) ≤ μD(x)
=C fuzzy alt kümesi A ve B yi kapsayan bir küme olup kabulden
dolayı
μA(x) ≤ μD(x) ≤ μC(x) ve μB(x) ≤ μD(x) ≤ μC(x)
O halde her x  X için, μC(x) =μD(x)

C=D
Buna göre A ve B yi kapsayan en dar fuzzy alt küme A
 B dir.
(ii) , (i) şıkkına benzer şekilde ispat görülür.
3.1.1. Özellikler
X ≠ ∅ ve herhangi A, Bve C ≤ X fuzzy alt kümeleri için aşağıdaki ifadeler
sağlanır:
(i)
A
 ∅ =A
(ii)
A
 ∅=∅
(iii)
A
 X =X
(iv)
A
 X =A
27
(v)
(Ac)c =A
(vi)
A≤ Ac veya Ac ≤ A olmak zorunda değildir.
3.1.2. Örnek
X= {a,b} olmak üzere X de bir fuzzy alt kümesi
A={ (a,0.1( , (b,0.8)} olarak verilsin. Bu taktirde,
(1) ∅={( x,0∅(x) =0) : x  X} olduğundan, ∅={(a,0( , (b,0)} dır.Böylece
 ∅={ (a,0.1( , (b,0.8)} = A dır.
A
(2) A
 ∅={ (a,0( , (b,0)}= ∅ dır.
(3) X ={( x,1x(x) =1) : x  X} olduğundan , X={(a,1), (b,1)} dır. Böylece
A
(4) A
(5)
 X={ (a,1( , (b,1)} =X
dır.
 X= {(a,0.1( , (b,0.8)}=A dır.
Ac =1x - A olduğundan, Ac ={ (a,0.9 ( , (b,0.2)} ve (Ac)c=1x - Ac
olduğundan , (Ac)c ={ (a,0.1( , (b,0.8)} dır. Böylece (Ac)c =A
(6) A={ (a,0.1( , (b,0.8)}, Ac ={ (a,0.9( , (b,0.2)} olduğundan, A ≤ Ac veya
Ac ≤ A olmak zorunda değildir.
3.2. Fuzzy Kümeler Üzerinde İşlemler
3.2.1. Tanım
A, B ≤ X fuzzy alt kümeleri verilsin. A ve B nin üyelik fonksiyonları sırasıyla μA
ve μB olsun. Budurumda A ile B nin çarpımı A.B ile gösterilir ve her x∈ X için,
μA.B(x) = μA(x). μB(x) üyelik fonksiyonu ile tanımlanır. Yani
28
A.B  Her x  X için, μA.B(x) = μA(x). μB(x) dır [1].
3.2.1. Teorem
A, B ≤ X için A.B ≤ A
 B dir [1].
İspat . A, B ≤ X ve her x  X için 0x≤ μA(x) ≤1x ve 0x≤ μB(x) ≤ 1x olduğundan.
Her x  X için, μA.B(x) = μA(x). μB(x) ≤ min{ μA(x), μB(x) }
dır. O halde A.B ≤ A
 B dır .
3.2.2. Tanım
Herhangi A, B ≤ X fuzzy alt kümeleri verilsin. A ve B nin üyelik fonksiyonları
sırasıyla μA ve μB olsun.
A+B
 Her x  X için,
μA+B(x)= μA(x)+ μB(x)- μA(x) .μB(x)
şeklinde tanımlanan fuzzy alt kümeye, A ile B fuzzy kümelerinin toplamı
denir [1].
3.2.3. Tanım
A , B ≤ X fuzzy alt kümeleri olsun. A ve B nin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A
ve μB olsun.
A-B=A
B
c
 Her x  X için,
μA-B(x)=min {μA(x) ,1x- μB(x)}
üyelik fonksiyonu ile tanımlanan fuzzy alt kümeye A ile B fuzzy kümelerinin
farkı denir [1].
29
3.2.4. Tanım
A, B ≤ X de bir fuzzy alt kümeleri olsun.
(A  B)(x, y)
 Her x  X için,
μAoB(x, y) = sup {min{μA(x, z), μB(z, y)}: z  X}
şeklinde tanımlanan X deki fuzzy kümeleri A ile B fuzzy kümelerin bileşkesi
denir ve genellikle A  B ile gösterilir [1].
X kümesinde A, B, C fuzzy alt kümeleri verildiğinde;
(A  B)  C = A  (B  C) dir [1].
3.2.5. Tanım
A ≤ X bir fuzzy alt kümesi ve B≤ Y bir fuzzy alt kümesi olsun.
A  B(x,y)
 Her (x,y)  X×Y için,
μA× B(x,y)= min{ μA(x), μB(y) }
şeklinde tanımlanan fuzzy alt kümeye A ile B fuzzy alt kümelerinin kartezyen
çarpımı denir ve genellikle A×B ile gösterilir. Burada
μA× B: X  Y  [0,1]
bir fonksiyondur ve
A  B ≤ X  Y dir.
3.2.6. Tanım
X , Y boştan farkli iki küme ve f : X  Y bir fonksiyon olsun. B, Y de bir fuzzy
alt küme ve üyelik fonksiyonu μB olsun. B nin f altındaki ters görüntüsü f -1(B)
30
de X de bir fuzzy alt kümedir ve üyelik fonksiyonu da her x  X için
μ f -1
(B)(x)=
μB(f (x)) şeklinde tanımlanır.
A , X de bir fuzzy alt küme ve üyelik fonksiyonu μ
A
olsun. A nın f altındaki
görüntüsü f(A) Y de bir fuzzy alt kümedir ve üyelik fonksiyonu her y∈Y için
Sup { μA(x) }
, f -1(y)≠ ∅
ise
0
, f -1(y) =∅
ise
xf -1 (y)
μf(A)(y) =
dir. Burada f -1(y)={x: f(x)=y} dir.
3.2.1. Örnek
X={1,2,3,4} , Y={a,b,c} nokta kümeleri verilsin.
f: X  Y , f(1)= f(2)=a , f(3)=b , f(4)=c iken Y de üyelik fonksiyonu μB olan
B={(a, 0.1) , (b, 0.3) , (c, 0.6)} fuzzy kümesi tanımlansın. Bu takdirde X de
f -1(B) fuzzy kümesi ve üyelik fonksiyonu μ f -1 (B) ise, f -1(B) aşağıdaki gibidir.
f -1(B) = {(1, 0.1),(2, 0.1),(3, 0.3),(4, 0.6)}
μ f -1 (B)(1)= μB(f(1))=μB(a)=0.1
μ f -1 (B)(2)= μB(f(2))=μB(a)=0.1
μ f -1 (B)(3)= μB(f(3))=μB(b)=0.3
μ f -1 (B)(4)= μB(f(4))=μB(c)=0.6
31
3.2.2. Örnek
X={1,2,3} , Y={a,b} ve f:X  Y fonksiyonu f(1)=a , f(2)=a ve f(3)=b olacak
şekilde X de bir A fuzzy kümesi A={(1,1),(2,0.3),(3,0.7)} şeklinde verilsin. A
nın üyelik fonksiyonu μA: X  [0,1] olsun. Bu taktirde Y deki f(A) fuzzy
kümesi aşağıdaki gibidir.
f -1(a) =1, f -1(a) =2 ve f -1(b) =3 dır. f -1(y)≠ ∅ için,
μf(A)(y) =
μf(A)(a) =
μf(A)(b) =
Sup { μA(x) } olduğundan,
xf -1 (y)
Sup { 1,0.3 }
xf -1 (a)
Sup { 0.7 } dır.Böylece
xf -1 (b)
f(A)= {(a,1),(b, 0.7)} dır.
3.3. Fuzzy Topolojik Uzaylar
3.3.1. Tanım
X kümesinin fuzzy alt kümelerinin bir ailesi τ  Ix olsun. Eğer τ ailesi,
(i)
0x ,1x  τ
(ii)
A,B  τ ise, A
(iii)
Her j  J için Aj  τ ise,
 B τ

A j τ
jJ
yukarıdaki şartları sağlıyorsa; τ ailesine, X
kümesinde bir fuzzy topoloji,
(X, τ) ikilisine fuzzy topolojik uzay, τ ailesinin her elemanı fuzzy açık küme ve
fuzzy açık kümenin tümleyenine de fuzzy kapalı küme denir [10].
32
3.3.1. Teorem
(X, τ) fuzzy topolojik uzay olmak üzere
κ = { K : K fuzzy kapalı
 Kc  τ }
şeklinde tanımlı κ (kapalılar) ailesi aşağıdaki şartları sağlar :
(k1) 0x ,1x  κ
(k2) K1,K2,..,Kn  κ

n
 Ki  κ
i=1

(k3)  j  J için Kj  κ

jJ
Kj  κ [10].
İspat. (k1) Tanım 3.3.1. (i) 'den 0x ,1x fuzzy kümeleri fuzzy açık kümelerdir.
(0x)c =1x- 0x=1x ve (1x)c =1x-1x=0x olduğundan 0x ,1x fuzzy kapalı kümelerdir.
Böylece ; 0x ,1x  κ dır.
(k2) K1,K2,..,Kn X 'in fuzzy kapalı alt kümeleri olsun.
n
K=

i=1
Ki
diyelim. K=1x
ise (k1) 'den K fuzzy kapalıdır. K  1x ise
n
c
Teorem 3.1.1. (ii) 'den K =1x-K=

Kic dır. i=1,2,...,n
i=1
için Ki fuzzy kapalı
olduğundan Kic fuzzy açıktır. Tanım 3.3.1.(ii) 'den Kc fuzzy açıktır . O halde
n
K=
 Ki
i=1
n
fuzzy kapalıdır. Böylece
 Ki ∈ κ dır.
i=1
(k3) {Kj}j∈J X' in fuzzy kapalılar ailesi olsun. K=
(k1)
den
K
fuzzy
kapalıdır.
K  0x
ise

jJ
Ki
Teorem
diyelim. K=0x ise
3.1.1.
(v)'
den
33
Kc =1x-K=
 K jc
iJ
olur.  i∈J için Kjc fuzzy açıktır. Tanım 3.3.1.(iii)' den
c
K fuzzy açıktır. O halde K=

jJ
Kj fuzzy kapalıdır. Böylece

jJ
Kj ∈ κ dır.
3.3.2. Tanım
x  X ve α  (0,1] olsun
xα(y) =
yukarıdaki şekilde tanımlanan X kümesindeki xα fuzzy alt kümesine X
kümesinde bir fuzzy nokta denir. xα fuzzy noktasının sıfırdan farklı değer
aldığı x  X noktasına xα fuzzy noktasının dayanağı ve α  (0,1] sayısını
xα fuzzy noktasının değeri denir [5].
3.3.3. Tanım
A,B ≤ X olsun. A(x) + B(x) >1olacak şekilde bir x  X noktası varsa, A ile B
fuzzy kümeleri çakışığımsıdır denir ve AqB şeklinde gösterilir [5].
3.3.4. Tanım
A ≤ X ve xα fuzzy noktası olsun. α + A(x) >1 olacak şekilde bir x  X noktası
varsa, A fuzzy kümesi ile xα fuzzy kümeleri çakışığımsıdır denir ve xα q A
şeklinde gösterilir [5].
34
3.3.5. Tanım
(X ,τ) fuzzy topolojik uzay, A ≤ X ve xα fuzzy nokta olsun. Eğer xα q B ve
B ≤ A olacak şekilde bir B  τ fuzzy açık kümesi varsa, A fuzzy kümesine xα
fuzzy noktasının bir q-komşuluğu denir ve
xα fuzzy noktasının tüm
q-komşuluklarının ailesi Nq(xα) ile gösterilir [5].
3.3.2. Teorem
( X, τ) fuzzy topolojik uzay, xα bir fuzzy nokta ve xα nin fuzzy q-komşuluklar
ailesi Nq(xα) olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler vardır.
(N1)  N  Nq(xα)

(N2)  N1, N2  Nq(xα)
xα q N dır

N1
 N  N (x )
2
q
α
(N3)  N  Nq(xα) için N ≤ M ise M  Nq(xα)
(N4)
N  Nq(xα) olsun. U ≤ N olacak şekilde bir U  Nq(xα) var öyle ki
xβ q U şartını sağlayan her xβ fuzzy noktası için N  Nq(xβ) dir [1].
İspat. N1) Nq(xα) nın tanımından N  Nq(xα)

xα q N dır.
N2) N1, N2  Nq(xα) ise xα qN1 ve xα q N2 dır. O halde α + N1(x) >1 ve
α + N2(x) >1 dır. N3= min{ N1(x), N2(x) } ve N3= N1
α + N3(x) >1olur. Bu da xα q (N1
N1
 N  N (x ) dır.
2
q
N ) = x
2
α
N
2
denirse
q N3 olması demektir. O halde
α
N3) N  Nq(xα) ve N ≤ M olsun. Komşuluk tanımından α + N(x) >1 ve her x  X
için N(x) ≤ M(x) olduğundan α + M(x) >1 dır. Bu da xα q M olmasıdır. O halde
M  Nq(xα) dır.
N4) xα q N için  U  τ ve xα q U ve U ≤ N olsun. U  τ olduğundan xβ qU dır.
U ≤ N olduğundan (N3) den xβ qN dır. O halde N  Nq(xβ) dır.
35
3.3.6. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzay, A ≤ X ve xα fuzzy nokta olsun. Eğer xα fuzzy
noktanın her q-komşuluğu A ile çakışığımsıysa xα fuzzy noktasına A fuzzy
kümenin bir değme noktası denir, yani
(xα ,A nın değme noktası.)
  N  Nq(xα) için N(x) + A(x) >1 olacak şekilde
bir x  X vardır [10].
3.3.7. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzay ve A ≤ X olsun.

A =
 { B : B ≤ A, B τ } = Sup { B : B ≤ A, B τ }

yukarıdaki şekilde tanımlanan A fuzzy alt kümesine, A fuzzy kümesinin içi
denir [10].
3.3.3. Teorem
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve A, B ≤ X olsun. Bu akdirde aşağıdaki özellikler
sağlanır.

(1)
A fuzzy açıktır
(2)
A ≤A
(3)
A fuzzy küme A' nın kapsadığı en geniş fuzzy açık alt kümedir





(4)
A =A
(5)
A ≤ B ise , A ≤ B


36
 B ≤ (A  B) 
(A  B)  = A  B


A
(6)

(7)



1x = 1x ve 0 x = 0x
(8)

İspat. (1) A fuzzy açıktır. Gerçekten, τ fuzzy topolojiye ait fuzzy açıkların
birleşimi Tanım 3.3.1.(iii) özelliğinden açıktır.
(2) Tanım 3.3.7.'den açıktır.

(3) Aksini kabul edelim, yani A'nın kapsadığı A dan daha geniş fuzzy açık

bir küme V' olsun.Yani A ≤ V' ≤ A dır. Diğer taraftan her V≤ A fuzzy açığı için


Tanım 3.3.7.'den V ≤ A dır. Özel olarak V=V' için de V' ≤ A dır. O halde


V' = A olur. Böylece A fuzzy küme A'nın kapsadığı en geniş fuzzy açık alt
kümedir.





(4) B= A olsun. (2) ve Tanım 3.3.7. 'den B= B olur. O halde A = A dır.



(5) A≤ B ve A ≤ A olduğundan A ≤ B dır. (2) den B ≤ B dır. (3) 'den

B fuzzy kümenin kapsadığı en geniş fuzzy açık küme B olduğundan




A ≤ B ≤ B olur. O halde A ≤ B bulunur.
(6) A ≤ A
B≤A
 B dır. (5) 'den
B
dır. (5) ' den

B ≤ (A
 B) 
(1)
 B) 
(2)
 B)  dır.
(7) A  B ≤ A ve A  B ≤ B dır (5) ' den (A  B)  ≤ A ve
(A  B)  ≤ B dır. O halde
(A  B)  ≤ A  B

(1) ve (2) den A


A ≤ (A

B ≤ (A




(3)
37


 B ≤ A  B bulunur.
den A  B fuzzy açık ve A  B

Diğer taraftan (2) 'den A ≤ A ve B ≤ B dır. Buradan A


A , B fuzzy açık ve
Tanım 3.3.1.(ii) '



 B 'nın kapsadığı en geniş fuzzy açık küme
(A  B)  olduğundan A  B ≤ (A  B)  ≤ A  B dır. Böylece
A  B ≤ (A  B) 
(4)
(3) ve (4) den A  B = (A  B)  dır.
tarafından kapsanır (3) 'den A







1x ≤ 1x
(8) (2) ' den
(5)
Tanım 3.3.1.(i) 'den 1x  τ dır.Yani 1x fuzzy açıktır. Böylece 1x ≤ 1x olup
(3)'den

1x≤ 1x
(6)

(5) ve (6) 'den 1x =1x

0 x ≤ 0x
(2) 'den
(7)
Tanım 3.3.1. (i) ' den 0x  τ dır.Yani 0x fuzzy açıktır. Böylece 0x ≤ 0x olup

0x≤ 0 x
(3) 'den
(8)

(7) ve (8) 'den 0 x =0x dır.
3.3.4. Teorem
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve A ≤ X olsun. A fuzzy alt kümesinin açık küme

olması için gerek ve yeter şart A= A olmasıdır.
38

İspat.  ) A fuzzy açık küme olsun. Teorem 3.3.3.(2) 'den A ≤ A dır. Diğer
taraftan A fuzzy açık olduğundan A ≤ A olup Tanım 3.3.7.'den


A ≤ A dır. O halde A= A dır.

 ) A= A


olsun. A fuzzy açık küme ve A= A olduğundan A fuzzy açık
kümedir.
3.3.8. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzay, A ≤ X ve xα fuzzy nokta olsun. Eğer xα fuzzy
noktasının her q-komşuluğu xα hariç A ile çakışığımsıysa xα fuzzy noktasına
A fuzzy kümenin bir yığılma noktası denir. A fuzzy kümenin bütün yığılma
noktalarının kümesi A' ile gösterilir [1].
3.3.9. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve A ≤ X olsun.
A =
 {B : A≤ B, (1 - B)  τ } = İnf {B : A≤ B, (1 - B)  τ }
x
yukarıdaki şekilde tanımlanan
x
A fuzzy alt kümesine, A fuzzy kümesinin
kapanışı denir [10].
3.3.5. Teorem
(X,
τ)
xα∈ A
fuzzy
topolojik
uzayı,
A
≤
X
ve
xα fuzzy
nokta
olsun.
  N  Nq(xα) icin Nq A dır.
İspat. xα  A

A yı kapsayan her F fuzzy kapalı kümesi için xα  F veya
F(x) > 1- α olmasıdır. Başka bir deyişle
39
xα  A
 B
≤ Ac fuzzy açık kümesi için xα  B veya B(x) ≤ 1- α dır.
Buradan
 B ≤ Ac fuzzy açık kümesi için
xα  B veya B(x) > 1- α olur.Yani Bq Ac
olur. Buradan Bq(Ac) c =A dır.
Böylece,
xα  A

xα bulunduran her B fuzzy açık kümesi için Bq A dır. Böylece
ispat tamamlanır.
3.3.6. Teorem
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve A, B ≤ X olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler
sağlanır:
(1)
A fuzzy kümesi fuzzy kapalıdır
(2)
A ≤ A dır
(3)
A fuzzy kümesi A'yı kapsayan en küçük fuzzy kapalı kümedir
(4)
A = A
(5)
A≤ B ise A ≤ B
(6)
A B ≤ A
(7)
A B = A
(8)
1x = 1x ve 0 x = 0x
B
B
İspat. (1) A fuzzy kümesi fuzzy kapalı kümelerin arakesiti olduğundan
Teorem 3.3.1.(k3) özelliğinden A fuzzy kapalıdır.
(2) Tanım 3.3.9.' den açıktır.
40
(3) A fuzzy kümesi (1)' den fuzzy kapalı ve (2) 'den A yı kapsar. O halde
A  κA dır. Kadul edelim ki A' yı kapsayan A dan daha küçük fuzzy kapalı
K' olsun.Yani A≤ K' ≤ A dır. Diğer taraftan A , A' yı kapsayan bütün fuzzy
kapalıların arakesitine eşit olduğundan A ≤ K' dır. O halde A = K' dır, yani
A fuzzy kümesi A' yı kapsayan en küçük fuzzy kapalı kümedir.
(4)
B= A
alalım. A
fuzzy kapalı olduğundan
B fuzzy kapalıdır.
(2) ve(3) 'den B= B = A olur. Böylece A = A dır.
(5) A, B ≤ X ve A≤ B olsun (2) 'den B ≤ B dır. O halde A≤ B dır. B (2) 'den
fuzzy kapalıdır. (3) 'den A 'yı kapsayan en küçük fuzzy küme A olduğundan
A ≤ A ≤ B  A ≤ B dır.
(6) A
A
 B ≤ A olduğundan ve (5) 'den
 B ≤ B olduğundan ve (5) 'den
(1)
A B ≤ B
(2)
 B dır.
(1) ve (2) 'den A  B ≤ A
(7) (2)' den
A B ≤ A
A ≤ A ve B ≤ B dır. Buradan A
B
≤ A
(1)' den A , B fuzzy kapalıdır. Teorem 3.3.1. (k2) özelliğinden
kapalıdır. O halde (4)' den A


1x ≤ 1x
B fuzzy
B
 B ve B ≤ A  B olduğundan (5)' den A ≤ A  B , B
A  B ≤ A B
Böylece
A  B = A  B dır.
(3) ve (4)' den
(8) (2)' den
B olur.
B = A  B olur. Böylece
A B ≤ A B=A
A≤A

A 
(3)
≤ A B
olur.
(4)
(5)
41
Teorem 3.3.1. (k1)' den 1x  κ olur.Yani 1x fuzzy kapalıdır.Böylece
1x ≤ 1x
1x ≤ 1x olup (3)' den
(6)
(5) ve (6)' den 1x = 1x dır.
(2)' den
0x ≤ 0 x
Teorem .3.3.1. (k1)' den 0x  κ
0x ≤ 0x olup (3) den
(7)
olur.Yani
0x fuzzy kapalıdır. Böylece
0 x ≤ 0x
(8)
(7) ve (8) 'den 0 x = 0x dır.
3.3.7. Teorem
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve A ≤ X olsun.
A fuzzy alt kümesinin kapalı küme olması için gerek ve yeter şart
A= A olmasıdır [10].
İspat.
 ) A fuzzy kümesi fuzzy kapalı küme olsun. Teorem 3.3.6.
(2) 'den
A≤ A
(1)
Diğer taraftan A fuzzy kapalı olduğundan A≤ A olup Tanım 3.3.9.' den
A ≤A
(2)
(1) ve (2) den A= A dır.
 ) A=
kümedir.
A olsun. A fuzzy kapalı küme ve A= A olduğundan A fuzzy kapalı
42
3.3.10. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzay ve β ≤ τ olsun. Her A  τ için A =

Bi olacak
iI
şekilde {Bi}i∈I ≤ β alt ailesi varsa, β ya τ için bir taban denir. Yani;
 
β , τ için taban
A  τ için
 β' ≤ β, A =  B∈β' B dır [10].
3.3.11. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzay ve fl ≤ τ olsun. fl ailesinin elemanlarının her sonlu
kesişimlerinin oluşturduğu aile, τ için bir taban oluşturuyor ise, fl ailesine τ
topolojisi için bir alt taban denir, Yani;
{

S∈θ
S : θ ≤ fl ve θ sonlu}
ailesine τ topolojisi için bir taban ise, fl ailesi τ için bir alt tabandır [10].
3.3.12. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzay ve A ≤ X olsun. Bu durumda
τ A= {W'=A
 W : W τ }
ailesi A fuzzy alt kümesi üzerinde bir fuzzy topolojidir [10].
43
4. FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR
Bu bölüm beş kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda fuzzy ideal topolojik
uzayı ile ilgili temel kavramları verilecek. İkinci kısımda fuzzy semi-I-regülar
küme, fuzzy regülar-I-kapalı küme, fuzzy *-mükemmel küme ve fuzzy τ*kapalı küme olarak adlandırdığımız yeni küme kavramları verilecektir.
Üçüncü kısımda fuzzy AI -küme, fuzzy ABI -küme, fuzzy BI -küme ve fuzzy Ilocal
kapalı
küme
olarak
adlandırdığımız
yeni
küme
kavramları
verilecektir. Dördücü kısımda fuzzy semi-I-regülar sürekli, FRIC-sürekli, fuzzy
*-mükemmel sürekli ve fuzzy contra*-sürekli fonksiyon olarak adlandıdığımız
yeni sürekli fonksiyon kavramları verilerek fuzzy regülar-I-sürekli fonksiyonun
ayrışımı bulunacaktır. Beşinci kısımda fuzzy AI -sürekli, fuzzy ABI -sürekli,
fuzzy BI -sürekli ve fuzzy I-LC-sürekli fonksiyon olarak adlandıdığımız yeni
sürekli fonksiyon kavramlarını verilerek fuzzy AI -sürekli fonksiyonun ayrışımı
bulunacaktır.
4.1. Fuzzy İdeal Topolojik Uzayı İçin Temel Kavramlar
Öncelikle, fuzzy ideal topolojik uzay için gerekli bazı kavramları verelim:
4.1.1. Tanım
Boş olmayan bir X kümesi velirsin. P(X) kümesi X kümesindeki tüm fuzzy
kümelerin ailesi olmak üzere; boş olmayan bir I  P(X) ailesi,
 B)  I
(i)
A, B  I ise, (A
(ii)
A  I ve B ≤ A ise, B  I (kalıtımsallık özelliği)
(sonlu toplamsallık özelliği)
şartlarını sağlıyorsa; I ailesine, X kümesi üzerinde bir fuzzy ideal denir [6].
I ={0x} ve I = P(X) aileleri X kümesindeki en basit fuzzy ideallerdir [6].
44
4.1.2. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve bir A ≤ X fuzzy alt kümesi verilsin. Ayrıca;
I ailesi, X kümesi üzerinde bir fuzzy ideal olsun .
Bu takdirde, A*( I, τ) kümesi ; N  Nq(xα) ve E  I iken bir y  X noktası
vardır öyleki
N(y)+A(y)-1> E(y) olacak şekildeki
xα fuzzy noktalarının
birleşimidir. A*( I, τ) kümesine A kümesinin I ideali ve τ fuzzy topolojisine
bağlı fuzzy lokal fonksiyonu denir [6].
Eğer  y  X için, N(y) +A(y)-1≤ E(y) olacak şekildeki bir N  Nq(xα) ve E  I
varise, xα  A*(I, τ) dir .
Bu çalışma boyunca, karışıklığa neden olmadıkça; A*( I, τ) sembolü yerine,
A* sembolünü kullanacağız.
I ={0x} için, A*( {0x}, τ)= A , I =P(X) için, A*( P(X), τ)=0x olur.
4.1.1. Lemma
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı, X kümesi üzerinde I1 ve I2 fuzzy idealleri ile
A, B ≤ X fuzzy kümeleri verilsin. Bu taktirde; aşağıdaki özellikler vardır:
(i) Eğer A ≤ B ise; A*≤ B*
(ii)
I1  I2 ise; A*( I2, τ) ≤ A*( I1, τ)
(iii) A*= A* ≤ A
(iv) (A*)* ≤ A*
(v) (A
(vi)
 B)* = A*  B*
Eğer U  I1 ise; ( U
 A)* = A*
[6].
İspat. (i) Herhangi bir xα  A* fuzzy noktasını alalım. Tanım 4.1.2.'den
N  Nq(xα) ve E  I iken bir y  X noktası vardır öyleki
N(y) +A(y)-1> E(y)
45
dir. A ≤ B olduğundan ve fuzzy kümelerin özelinden, A(y) ≤ B(y) olur. Böylece
N(y) + B(y) -1> E(y) dır. Tanım 4.1.2.'den xα  B* olur. xα keyfi olduğundan
A*≤ B* bağıntısı bulunur.
(ii) I1  I2 ve herhangi bir xα  X fuzzy noktasını alalım kabuledelim ki
xα  A*(I1,τ) olsun. Tanım 4.1.2. 'den her y  X için N(y)+A(y)-1≤ E(y) olacak
şekildeki bir N  Nq(xα) ve E  I1 vardır. I1  I2 olduğundan
E  I2 dir.
Buradan xα  A*( I2, τ) olur. xα keyfi olduğundan A*( I2, τ) ≤ A*( I1, τ) dır.
(iii)
Öncelik A*= A*
eşitliğini gösterelim. Her A ≤ X fuzzy kümesi için,
A ≤ A bağıntısı her zaman sağlanır. Bu ifade A* için de gerçekleşeceğinden
A* ≤ A*
Şimdi de A*
(1)
≤ A* olduğunu gösterelim. Herhangi bir xα  A*
fuzzy
noktasını alalım. Tanım 3.3.6.'dan her N  Nq(xα) için, N(y) +A*(y) >1 olacak
şekilde bir y  X noktası vardır. Bu da A*(y)
 0x
olduğunu gösterir.
Kabuledelim ki A* (y)= t (t  (0,1] ) olsun. O zaman yt  A* ve t + N(y) >1 bir
N(y)∈ Nq(yt) vardır. Şimdi yt  A* olduğu için her N1  Nq(yt) ve E  I için en
az bir x'  X noktası vardır öyleki N1(x') +A(x')-1 > E(x') dir. Bu da N için
doğru olduğundan her N  Nq(xα) ve E  I için en az bir x''  X noktası vardır
öyleki N(x'') +A(x'')-1 > E(x') dır. N  Nq(xα) keyfi olduğundan xα∈A* olur. xα
keyfi olduğundan
A* ≤ A*
(2)
I ={0x} için, A*( {0x}, τ)= A , I =P(X) için, A*( P(X), τ)=0x olduğundan fuzzy
lokal fonksiyonun en büyük değerini I ={0x}
için, en küçük değerini de
I= P(X) için, {0x} ≤ I ≤ P(X) ifadesi sağlandığından,
0x ≤ A*≤ A
(3)
(1), (2) ve (3) ifadelerinden
A*= A* ≤ A
bağıntısı elde edilir.
(iv) (iii) 'den, (A*)*= (A*)* ≤ A* = A* dır.
(v) Herhangi bir xα fuzzy noktasını alalım. Kabuledelim ki xα  A*
 B*
olsun.
Buradan xα  A* veya xα  B* dır. Tanım 4.1.2. 'den her y  X noktası için
46
N1(y)+A(y)-1≤ E1(y), N2(y)+B(y)-1≤ E2(y) olacak şekilde bir N1, N2  Nq(xα) ve
E1,E2  I vardır.
 N alalım. O zaman N N (x ) dir. Tanım 4.1.2.'den her y X için,
N(y)+(A  B)(y)-1≤ (E  E )(y) olacak şekilde (E  E )  I vardır. Bu da
x  (A  B)* olduğunu gösterir. Böylece ;
(A  B)* ≤ A*  B*
(4)
A ≤ A  B, B ≤ A  B olduğundan, (i) 'den A* ≤ (A  B)* , B* ≤ (A  B)*
 A*  B* ≤ (A  B)*
(5)
N= N1
2
q
1
α
2
1
2
α
(4) ve (5) ifadelerinden
A*
 B* = (A  B)* dır.
(vi) U  I1 olsun.


Tanım 4.1.2. 'den U*= 0x
(A
 U)*= A*  U*= A*  0 = A* dır.
x
4.1.3. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı, X kümesi üzerinde bir
I fuzzy ideal ve P(X)
X kümesindeki tüm fuzzy kümelerin ailesi olsun. Herhangi bir A ≤ X fuzzy
kümesi için, α: P(X)  P(X) fonksiyonu,
(i)
α (0x) = 0x
(ii)
A  P(X) ise; A ≤ α(A)
(iii)
A,B  P(X) ise; α(A
(iv)
A  P(X) ise; α(α(A)) = α(A)
 B) = α(A)  α(B)
şartları sağlasın. Bu takdirde, α fonksiyonuna fuzzy kapanış işlemi ve
K={ A  P(X) : A= α(A)} ailesi de X kümesi üzerinde
topolojiye göre fuzzy kapalılar ailesi denir [6].
oluşturulan fuzzy
47
4.1.1. Örnek
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı, X kümesi üzerinde bir I fuzzy ideal ve P(X)
X kümesindeki tüm fuzzy kümelerin ailesi olsun. Herhangi bir A ≤ X fuzzy
kümesi için, d: P(X)  P(X) fonksiyonu,
(a)
d(0x)= 0x
(b)
A,B  P(X) ise; d(A
(c)
A  P(X) ise; d(d(A)) ≤ d(A)
şartlarını
sağlasın.
 B)= d(A)  d(B)
Bu
takdirde,
α(A)=A
 d(A)
şeklinde
tanımlanan
α: P(X)  P(X) fonksiyonu fuzzy kapanış işlemidir [6].
İspat.(i) α(A)=A
 d(A) ifadesinde A=0
x
alırsak α (0x)= 0x
 d(0 ) olur.
x
(a) 'dan d(0x)= 0x olduğundan α (0x)= 0x bulunur.
(ii) Herhangi bir A  P(X) fuzzy kümesi için , α fonksiyonu tanımından
α (A) = A

d(A) dır. Fuzzy küme özeliğinden, A ≤ A
 d(A)= α (A) ifadesi
elde edilir. Böylece A ≤ α (A) olur.
(iii) Herhangi bir A, B  P(X) fuzzy kümeleri için, α fonksiyonu tanımı ve
(b) 'den
α (A
 B)=(A  B)  d(A  B)
 B)  (d(A)  d(B))
=(A  d(A))  (B  d(B))
= α (A)  α (B)
=(A
ifadesi bulunur. Böylece ;
α (A
 B)= α (A)  α (B)
olduğu elde edilir.
(iv) Herhangi bir A  P(X) fuzzy kümesi için, α fonksiyonu tanımından
α (A)=A
 d(A) olur. (c) 'den,
48
α (α (A)) = α (A
 d(A)) = α (A)  α (d(A)) = (A  d(A))  (d(A)  d(d(A)))
bağıntısı bulunur. (c) 'den
d(d(A)) ≤ d(A) olur. Böylece α (α (A))=A
 d(A)= α (A) olduğu görülür.
4.1.1. Not
Tanım 4.1.2
de verilen lokal fonksiyonu Örnek 4.1.1 deki d fonksiyon
şartlarını sağladığı için aşağıdaki tanımı verebiliriz.
4.1.5. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I fuzzy ideal ve P(X)
X kümesindeki tüm fuzzy kümelerin ailesi olsun. Herhangi bir A ≤ X fuzzy
kümesi için, Cl*(A) = A
 A*
şeklinde tanımlanan Cl*: P(X)  P(X)
fonksiyonun Tanım 4.1.3 deki şartları sağlar. O halde Cl* kümesine fuzzy
kapanış işlemi denir [6].
4.1.6. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I fuzzy ideali verilsin.
Bu taktirde,
τ *(I ) = {U≤ X :
*
1x U
= 1x- U }
şeklide tanımlanan τ *(I ) ailesi, X kümesi üzerinde bir fuzzy topoloji belirtir.
Bu topoloji, τ fuzzy topolojisinden daha ince bir topolojidir [6].
[6] da önce; I1={0x}
ve
I2= P(X) fuzzy ideallerini kullanark τ *( P(X)) ve
τ *( {0x}) fuzzy topolojilerini elde etti. Daha sora; diğer fuzzy idealler, bu iki
49
ideal arasında yer aldığından, onlara karşılık gelen τ *(I ) fuzzy topolojileri ile
ilgili aşağıdaki sonuçları verdi:
(i)
I1={0x} için, A*= A ve A = A olduğundan τ *({0x}) = τ,
(ii)
I2= P(X) için, A* =0x ve A = A olduğundan τ *( P(X)) = P(X)


(i) ve (ii) ifadelerinden faydalanarak, şu sonuçlar bulunur:
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı verilsin. X kümesi üzerindeki her I fuzzy ideali için
{0x}  I  P(X) olduğundan;
τ = τ *({0x})  τ *(I )  τ *( P(X)) = P(X)
olduğu görüldü. Üstelik (X, τ) fuzzy topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde
I  J olacak şekilde I ve J gibi iki fuzzy ideal ise, bu durumda τ *(I )  τ *(J )
dır.
4.1.7. Tanım
(X, τ) fuzzy topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde tanımlı bir I fuzzy ideali
verilsin. I fuzzy ideali ile birlikte (X, τ) fuzzy topolojik uzayına, fuzzy ideal
topolojik uzay denir ve (X, τ, I) şeklinde gösterilir [6].
4.1.1. Teorem
(X, τ) fuzzy topolojik uzay, X kümesi üzerinde bir I fuzzy ideal ile A ≤ X
fuzzy kümesi verilsin. Bu taktirde; aşağıdaki özellikler vardır :
(i)
E  I ise; E, τ *(I ) ya göre kapalıdır.
(ii)
 E I için A* = A- E
dır.
İspat.(i) E  I olduğundan E*=0x dır. Tanım 4.1.5 'den E =E

Böylece E τ *(I ) ya göre kapalıdır.
 E* = E
olur.
50
(ii)
 N  Nq(xα) ve
E I
iken bir y  X noktası vardır öyleki
N(y)+A(y)-1> E(y) olacak şekildeki
xα fuzzy noktalarının birleşimi A* dır.
Buradan N(y)+ (A(y)- E(y)) > 1 olur. Değme nokta tanımından xα fuzzy
noktaları A-E fuzzy kümenin değme noktalarıdır. Teorem 3.3.5. 'den A- E
kümesi xα değme noktalarının birleşimidir. Böylece A* = A- E dır.
4.1.2. Lemma
(X, τ) fuzzy topolojik uzay, X kümesi üzerinde bir I fuzzy ideal olsun.
β (I, τ) = {U-E : U  τ, E  I }
ailesi τ *(I) fuzzy topolojisi için, bir tabandır [6].
İspat. N xα 'nin τ *(I) ya göre q-komşuluğu olsun. Buradan α + M(x) >1 ve
M≤ N olacak şekilde bir M  τ *(I) vardır.
Şimdi M  τ *(I)

Buradan α + ((Mc)*)c(x) >1

xα
 M c = Mc  (Mc)* ≤ Mc
 M≤ ((Mc)*)c dır.
 α + 1- (Mc)*(x) >1  α > (Mc)*(x)
Mc τ *-kapalıdır
 (Mc)* dır. Tanım 4.1.2.'den
*
en az bir N1 xα nin τ
ya göre
q-komşuluğu var öyleki her y  X için N1(y) + Mc(y) -1≤ E(y) olacak şekikde bir
E  I vardır. Buradan her y  X için N1(y) - E(y) ≤ M(y) dır.
N1 xα nin τ ya göre q-komşuluğu olduğundan bir U  τ var öyleki xαqU≤ N1
dır. N1 ≤ M ve E∈ I olduğundan
xα q (U-E) ≤ M dır. Böylece her y  X ve
her M ∈ τ *(I) için U-E ≤ M olacak şekikde bir U  τ ve E  I vardır. Bu da
β (I, τ) = {U-E : U  τ, E  I }
ailesi τ *(I) fuzzy topolojisi için, bir taban olduğunu gösterir.
51
4.1.2. Teorem
I1, I2 , X kümesi üzerinde iki fuzzy ideal verilsin. Bu taktirde;
I1
I
2
={ E
V : E  I , V  I }
1
ve I1
2
I
2
X kümesi üzerinde fuzzy idealdır [6].
4.1.3. Teorem
(X, τ) fuzzy topolojik uzay, X kümesi üzerinde iki I1, I2 fuzzy ideal ile A ≤ X
fuzzy kümesi verilsin. Bu taktirde;
A*(I1
 I ) =A*(I )  A*(I ) dır [6].
2
1
2
İspat. xα  X fuzzy noktası olsun. Kabuledelim ki xα  A*(I1)
 A*(I ) olsun.
2
Bu durumda xα  A*(I1) veya xα  A*(I2) dır. Tanım 4.1.2. 'den
her y  X için N1(y)+A(y)-1≤ E1(y) olacak şekildeki bir N1 Nq(xα) ve E1  I1 ,
her y  X için N2(y)+A(y)-1≤ E2(y) olacak şekildeki bir N2  Nq(xα) ve E2  I2
 N  N (x ) ve E  E  I  I
(N  N )(y) + A(y)-1≤ (E  E )(y) . Bu da
vardır. Teorem 3.3.2.(N2) 'den N1
olduğundan, her y  X için
2
1
q
α
2
1
1
2
2
1
1
2
2
 I ) olduğunu gösterir. Böylece;
A*(I  I ) ≤ A*(I )  A*(I )
Şimdi I  I ≤ I ve I  I ≤ I olduğundan. Lemma 4.1.1.(ii) 'den
A*(I )  A*(I ) ≤ A*(I  I )
(1) ve (2)'den A*(I  I ) =A*(I )  A*(I ) olur.
xα  A*(I1
1
2
1
1
2
2
2
2
(1)
2
(2)
2
1
1
1
2
1
4.2. Fuzzy semi-I-regülar Kümeler
Önbilgi olarak bazı tanımları verelim.
1
2
52
4.2.1. Tanım
(X, τ) topolojik uzayı ve herhangi bir A  X kümesi verilsin. Eğer A kümesi
için,


(i)
A  A ise; A kümesine α-açık küme [20] ,
(ii)
A  A ise; A kümesine semi-açık küme [19] ,
(iii)
A  A ise; A kümesine pre-açık küme [20],



(iv)
A  A ise; A kümesine β -açık küme [19],


(v)
A  A ise; A kümesine  -açık küme [20],
(vi)
A A  A


ise; A kümesine b-açık küme [20] denir.
4.2.2. Tanım
(X, τ) topolojik uzayı ve herhangi bir A  X kümesi verilsin. Eğer A kümesi
için,
(i)
A  A' ise; A kümesine kendi içinde yoğun küme [26],
(ii)
A = A' ise; A kümesine mükemmel küme [26],
(iii)
A'  A ise; A kümesine kapalı küme [26],
(iv)
A = A ise; A kümesine regülar açık küme [21],
(v)
A = A ise; A kümesine regülar kapalı küme [21] denir.


53
4.2.3. Tanım
(X, τ, I) ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A  X kümesi verilsin. Eğer A
kümesi için,

(i)
A  A * ise; A kümesine I-açık küme [28] ,

*
(ii)
A  A  ise; A kümesine α-I-açık küme [27] ,
(iii)
A  A  ise; A kümesine semi-I-açık küme [22] ,
(iv)
A A
(v)
A  A
*

*

(vi)
(vii)
ise; A kümesine pre-I-açık küme [22],
*
ise; A kümesine β-I-açık küme [28] ,

*
A  A
*
*
ise; A kümesine

 -I-açık küme [22] ,
*
A  A   A ise; A kümesine b-I-açık küme [27] denir.
4.2.4. Tanım
(X, τ, I) ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A  X kümesi verilsin. Eğer
A kümesi için,
(i)
A*  A ise; A kümesine τ *-kapalı küme [28],
(ii)
A = A* ise; A kümesine *-mükemmel küme [25],
(iii)
A  A* ise; A kümesine *-kendi içinde yoğun küme [29],
54


*
(iv)
A = A  ise; A kümesine α*-I-açık küme [27],
(v)
A = A
(vi)
A = A * ise; A kümesine t-I-küme [27] denir.

*
ise; A kümesine regülar-I-kapalı küme [17],

4.2.5. Tanım
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzay ve herhangi bir A ≤ X fuzzy küme olsun.
Eğer A fuzzy kümesi için,

(i)
A ≤ A * ise ; A fuzzy kümesine fuzzy-I-açık küme [3] ,


*
(ii)
A = A  ise ; A fuzzy kümesine fuzzy α*-I-açık küme [2] ,
(iii)
A = A * ise ; A fuzzy kümesine fuzzy t -I-küme [4] denir.


4.2.6. Tanım
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzay ve herhangi bir A ≤ X fuzzy kümesi verilsin.
Eğer A fuzzy kümesi için,
*
(i)
A ≤ A  ise; A fuzzy kümesine fuzzy semi-I-açık küme [11],
(ii)
A ≤ A ise; A fuzzy kümesine fuzzy pre-I-açık küme [4],

*

*
(iii)
A ≤ A  ise; A fuzzy kümesine fuzzy α-I-açık küme [2],
(iv)
A ≤ A ise; A fuzzy kümesine fuzzy β-I-açık küme [2] ,

*
55

(v)
*
A ≤ A
(vi)
A ≤ A
*
*
ise; A fuzzy kümesine fuzzy  -I-açık küme,
A

*
ise; A fuzzy kümesine fuzzy b-I-açık küme [12] denir.
( X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayındaki bütün fuzzy semi-I-açık kümelerin,
fuzzy semi-I-kapalı kümelerin, fuzzy pre-I-açık kümelerin, fuzzy pre-I-kapalı
kümelerin, fuzzy α-I-açık kümelerin, fuzzy α-I-kapalı kümelerin, fuzzy β -I-açık
kümelerin, fuzzy β-I-kapalı kümelerin, fuzzy δ-I-açık kümelerin, fuzzy δ-Ikapalı kümelerin, fuzzy b-I-açık kümelerin, fuzzy b-I-kapalı kümelerin aileleri
sırasıyla
FSIO(X), FSIC(X), FPIO(X), FPIC(X), FαIO(X), FαIC(X), FβIO(X), FβIC(X),
FδI O(X), FδI C(X), FbI O(X) ve FbI O(X) sembolleri ile gösterilir.
Aşağıdaki tanımları ve teoremleri ilk defa veriyoruz:
4.2.7. Tanım
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzay ve herhangi bir A ≤ X fuzzy kümesi verilsin.
Eğer A fuzzy kümesi için,
(i)
A ≤ A* ise; A fuzzy kümesine fuzzy *-kendi içinde yoğun küme,
(ii)
A = A* ise; A fuzzy kümesine fuzzy*-mükemmel küme,
(iii)
A* ≤ A ise; A fuzzy kümesine fuzzy τ *-kapalı küme,
(iv)
A = A  ise; A fuzzy kümesine fuzzy regülar-I-kapalı küme denir.
(X, τ, I)
*
fuzzy ideal topolojik uzayındaki fuzzy regülar-I-kapalı kümelerin,
ailesi FR IC(X) sembolleri ile gösterelim.
56
4.2.1. Teorem
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A ≤ X fuzzy küme verilsin.
Bu takdirde aşağıdaki ifadeler vardır.
(i)
Her fuzzy regülar-I-kapalı küme, fuzzy *-mükemmel kümedir,
(ii)
Her fuzzy *-mükemmel küme, fuzzy τ*-kapalı kümedir,
(iii) Her fuzzy τ*-kapalı küme, fuzzy t-I-kümedir,
(iv) Her fuzzy t-I-küme, fuzzy α*-I-açık kümedir.
İspat. (i) Herhangi A ≤ X kümesi fuzzy regülar-I-kapalı küme olsun. Bu
*
*
*
takdirde A = A  dır. Buradan A* =( A  )* ≤ A  = A olup,
A* ≤ A
(1)

*
A ≤ A her zaman doğrudur. Böylece A  ≤ A* olur. A fuzzy regülar-I-kapalı
*
küme olduğundan A = A  ≤ A* olup,
A ≤ A*
(2)
(1) ve (2) 'den A = A* olur. Tanım 4.2.7.(ii) 'den
A kümesi
fuzzy *-mükemmel kümedir.
(ii) Herhangi A ≤ X kümesi fuzzy *-mükemmel küme olsun. Bu takdirde
A = A* dır. Buradan A* ≤ A olur. Böylece Tanım 4.2.7.(iii) 'den A fuzzy
kümesi fuzzy τ*-kapalı kümedir.
(iii) Herhangi A ≤ X kümesi fuzzy τ*-kapalı küme olsun. Bu takdirde A* ≤ A
dır. Buradan A*
 A ≤ A A
 A* ≤
*


A
 A* ≤ A

(3)

*
A ≤ A her zaman doğrudur. Buradan A ≤ A
(4)
57


(3) ve (4) 'dan A = A * dır. Böylece Tanım 4.2.5.(iii) 'den A fuzzy kümesi
fuzzy t-I-kümedir.
(iv) Herhangi A ≤ X kümesi fuzzy t-I-küme olsun. Bu takdirde




*
*


A = A dır. Buradan A ≤ A olduğundan A  ≤ A * = A olur. Böylece;


*
A ≤ A


A ≤ A

*




(5)
*
olduğundan A = A ≤ A  olur. Böylece;


A ≤ A


(5) ve (6) 'dan A = A 
*
*
(6)
dır. Böylece Tanım 4.2.5. (ii) 'den A fuzzy kümesi
fuzzy α*-I-açık kümedir.
4.2.1. Uyarı
Teorem 4.2.1.de verdiğimiz geçişlerin karşıtlarının genellikle doğru olmadığı
aşağıdaki örneklerde göstereceğiz.
4.2.1. Örnek
X ={a,b,c} kümesinde A, B fuzzy kümeleri
A(a) = 0.4,
A(b) = 0.7,
A(c) = 0.5
B(a) = 0.6,
B(b) = 0.3,
B(c) = 0.5
58
şeklinde tanımlı olsun. X kümesinde τ ={0x,1x, A } fuzzy topolojisi ve I = {0x}
fuzzy ideali ile (X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı olsun.
B fuzzy kümesi fuzzy *-mükemmel kümedir. Ancak B fuzzy kümesi fuzzy
regülar -I-kapalı küme değildir. Gerçekten ;
*
B fuzzy kümesi için I = {0x} olduğundan, B = B =B =B* bulunur. Böylece;
B fuzzy kümesi fuzzy*-mükemmel kümedir. Ancak

B =0x olduğundan
B fuzzy kümesi fuzzy regülar -I-kapalı küme değildir.
4.2.2. Örnek
X ={a,b,c} kümesinde A, B fuzzy kümeleri
A(a) = 0.1 , A(b) = 0.3,
A(c)=0.5
B (a)=0.4,
B(c)=0.7
B(b)=0.6,
şeklinde tanımlı olsun. X kümesinde τ ={0x,1x, A } fuzzy topolojisi ve I = P(X)
fuzzy ideali ile (X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı olsun.
B fuzzy kümesi fuzzy τ*-kapalı küme. Ancak B kümesi fuzzy *-mükemmel
küme değildir. Gerçekten;
B fuzzy kümesi için I = P(X) iken, B*=0x dır. Buradan B* ≤ B bulunur.
Böylece B fuzzy kümesi fuzzy τ*-kapalı kümedir. Ancak B*  B olduğundan
B fuzzy kümesi fuzzy *-mükemmel küme değildir.
4.2.3. Örnek
X ={a,b,c} kümesinde A, B fuzzy kümeleri
A(a) = 0.2,
A(b) = 0.3,
A(c)=0.1
59
B (a)=0.5,
B(b)=0.6,
B(c)=0.7
şeklinde tanımlı olsun. X kümesinde τ ={0x,1x, A } fuzzy topolojisi ve I = {0x}
fuzzy ideali ile (X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı olsun.
B fuzzy kümesi fuzzy t-I-kümedir. Ancak
B fuzzy kümesi fuzzy τ*-kapalı
küme değildir. Gerçekten;

B olduğundan, B = A , B fuzzy kümesi için
A ≤
*
B* = B = B =1x - A dır. Buradan
I = {0x} iken,


*
B = A = B = A bulunur. Böylece B fuzzy
kümesi fuzzy t-I- kümedir. Ancak B ≤ B* = 1x - A olduğundan B fuzzy kümesi
fuzzy τ*-kapalı küme değildir.
Teorem 4.2.1. ve Uyarı 4.2.1'den aşağıdaki şekil elde edilir:
fuzzy regülar-I-kapalı küme
fuzzy *-mükemmel küme
fuzzy τ*-kapalı küme
fuzzy t-I-küme
fuzzy α*-I-açık küme
Şekil 4.1. fuzzy regülar-I-kapalı kümenin diğer kümelerle ilişkisi
4.2.8. Tanım
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzay ve herhangi bir A ≤ X fuzzy kümesi verilsin.
Eğer A fuzzy kümesi fuzzy t-I-küme ve fuzzy semi-I-açık küme ise; A fuzzy
kümesine fuzzy semi-I-regülar küme denir.
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayındaki fuzzysemi-I-regülar kümelerin, ailesi
FSIR(X) sembolleri ile gösterelim.
60
4.2.2. Uyarı
Her şeyden önce fuzzy t-I-küme ve fuzzy semi-I-açık küme birbirinden
bağımsız olduğunu aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
4.2.4. Örnek
X ={a,b,c} kümesinde A, B fuzzy kümeleri
A(a) = 0.3,
A(b) = 0.1,
A(c)=0.6
B (a)=0.5,
B(b)=0.2,
B(c)=0.7
şeklinde tanımlı olsun. X kümesinde τ ={0x,1x, A } fuzzy topolojisi ve I ={0x}
fuzzy ideali ile (X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı olsun.
B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık kümedir. Ancak B kümesi fuzzy t-I-küme
değildir. Gerçekten;

A ≤ B olduğundan, B = A, B fuzzy kümesi için
I ={0x}
iken,
*
*
*
A = A =1x , B = B =1x dır. Buradan B ≤ B =1x bulunur. Böylece


*
B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık kümedir. Ancak B = 1x  B olduğundan
B fuzzy kümesi fuzzy t-I-küme değildir.
4.2.5. Örnek
Örnek.4.2.2 deki B fuzzy kümesi fuzzy t-I-kümedir. Ancak B fuzzy kümesi
fuzzy semi-I-açık küme değildir. Gerçekten;

*
A ≤ B olduğundan, B = A, B fuzzy kümesi için I = P(X) iken, A = A ,


*
B
=
B
dır.
Buradan
=
A
=
B = A bulunur. Böylece B fuzzy kümesi fuzzy
B
*
61
*
t-I- kümedir. Ancak B = A ≤ B olduğundan B fuzzy kümesi fuzzy semi-Iaçık küme değildir.
4.2.2. Teorem
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A ≤ X fuzzy küme verilsin.
Bu takdirde aşağıdaki ifadeler vardır.
(i)
Her fuzzy regülar-I-kapalı küme, fuzzy semi-I-regülar kümedir,
(ii)
Her fuzzy semi-I-regülar küme, fuzzy semi-I-açık kümedir,
(iii) Her fuzzy semi-I-regülar küme, fuzzy t-I-kümedir,
(iv) Her fuzzy semi -I-açık küme, fuzzy β-I-açık kümedir,
(v)
Her fuzzy semi-I-açık küme, fuzzy b-I-açık kümedir ,
(vi) Her fuzzy semi-I-açık küme, fuzzy δ-I-açık kümedir,
(vii) Her fuzzy t-I-küme, fuzzy δ-I-açık kümedir.
İspat. (i) Herhangi A ≤ X fuzzy kümesi fuzzy regülar-I-kapalı küme olsun. Bu
takdirde
A = A
*
≤
A
*
 A=

A

*
olup Tanım 4.2.6.(i) 'den,
A fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık kümedi
(1)
Teorem 4.2.1.'den her fuzzy regülar-I-kapalı küme fuzzy t-I-kümedir
(2)
(1) ve (2) 'den A fuzzy kümesi fuzzy semi-I-regülar kümedir.
(ii) Tanım 4.2.8. 'dan açıktır.
(iii) Tanım 4.2.8. 'dan açıktır.
(iv) Herhangi A ≤ X fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme olsun.
*

Bu takdirde Tanım 4.2.6.(i) 'den A ≤ A  ≤ A
*

*
olur. Böylece A ≤ A olup,
Tanım 4.2.6.(iv) 'den A fuzzy kümesi fuzzy β-I-açık kümedir.
(v) Herhangi A ≤ X fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme olsun.
62
*
Bu takdirde Tanım 4.2.7.(i) 'den A ≤ A  ≤ A 
A ≤ A
*
A

*
A

*
*
olur. Böylece
olup, Tanım 4.2.7. (vi) 'den A fuzzy kümesi fuzzy b-I-açık
kümedir.
(vi) Herhangi A ≤ X fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme olsun.

*
*
*
Bu takdirde Tanım 4.2.6. (i) 'den A ≤ A  olur. Buradan A ≤ A  olup,
Tanım 4.2.6.(v) 'den A fuzzy kümesi fuzzy δ-I-açık kümedir.
(vii) Herhangi A ≤ X fuzzy kümesi fuzzy t-I-küme olsun. Bu takdirde Tanım

*

4.2.5. (iii) 'den A = A ≤ A 
*

*
olur. Böylece A ≤ A 
*
olup, Tanım 3.2.6.(v)
'den A fuzzy kümesi fuzzy δ-I-açık kümedir.
4.2.3. Teorem
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A ≤ X fuzzy küme verilsin.
A fuzzy kümesinin fuzzy regülar-I-kapalı küme olması için gerek ve yeter şart
A fuzzy kümesinin fuzzy semi-I-açık küme ve fuzzy*-mükemmel küme
olmasıdır.
İspat.
 ) Teorem 4.2.1. 'den açıktır.
 ) A ≤ X fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme ve fuzzy *-mükemmel
küme olsun. A fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme olduğundan,
*

*
A ≤ A  dır. Buradan A * ≤ ( A  )* = ( A
Böylece;
A * ≤ A
Diğer yandan
A≤A
(1) ve (2) 'den A* = A 

*
 A  )*= A   ( A  )* =
*
*
*
*
A
*
olur.
(1)
 A * ≤ A*
(2)
dır. A fuzzy kümesi fuzzy*-mükemmel küme
olduğundan, A = A* dır. O halde A = A *= A 
*
bulunur. Böylece A = A 
olup A fuzzy kümesi fuzzy regülar-I-kapalı kümedir.
*
63
4.2.3. Uyarı
Teorem 4.2.2. de verdiğimiz geçişlerin karşıtlarının genellikle doğru olmadığı
aşağıdaki örneklerde göstereceğiz.
4.2.6. Örnek
Örnek.4.2.2 deki A fuzzy
kümesi fuzzy semi-I-regülar kümedir. Ancak A
kümesi fuzzy regülar-I-kapalı küme değildir. Gerçekten;
*
A fuzzy kümesi için I = P(X) iken, A = A ve A açık küme olduğundan

A = A dır. Buradan
*
A ≤ A = A

*
bulunur. Böylece A fuzzy semi-I-açık

kümedir. Diğer yandan A = A = A olduğundan A kümesi fuzzy t-I-kümedir.
Böylece A fuzzy kümesi fuzzy semi-I-regülar kümedir. Ancak
*

A = 0x ≤ A
olduğundan A fuzzy kümesi fuzzy regülar-I-kapalı küme değildir.
4.2.7. Örnek
Örnek.4.2.4 deki B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık kümedir. Ancak B fuzzy
kümesi fuzzy t-I-küme ve fuzzy semi-I-regülar küme değildir.
4.2.8. Örnek
Örnek.4.2.2 deki B fuzzy kümesi fuzzy t-I-kümedir. Ancak B fuzzy kümesi
fuzzy semi-I-açık küme ve fuzzy semi-I-regülar küme değildir.
4.2.9. Örnek
X ={a,b,c} kümesinde A, B fuzzy kümeleri
64
A(a) = 0.6,
A(b) = 0.2,
A(c)=0.7
B (a)=0.5,
B(b)=0.3,
B(c)=0.9
şeklinde tanımlı olsun. X kümesinde τ ={0x,1x, A } fuzzy topolojisi ve I ={0x}
fuzzy ideali ile (X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı olsun.
B fuzzy kümesi fuzzy β-I-açık küme ve fuzzy b-I-açık kümedir . Ancak
B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme değildir. Gerçekten;

*
B fuzzy kümesi için I ={0x} iken, B = B =1x dır. Buradan B ≤
bulunur.

B≤ B
*

Böylece
B
fuzzy
kümesi
fuzzy
β-I-açık
*
B =1x
kümedir
ve
*

B =1x olduğundan B fuzzy kümesi fuzzy b-I-açık kümedir. Ancak
*

B =0x ≤ B olduğundan B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme değildir.
4.2.10. Örnek
Örnek.4.2.2 deki B fuzzy kümesi fuzzy δ-I-açık kümedir. Ancak B fuzzy semiI-açık küme değildir. Gerçekten;

A ≤ B olduğundan, B = A olur, B fuzzy kümesi için, I = P(X) olduğundan,
*
*

*
*
B = B ve A = A dır. Buradan B = A ≤ A = B bulunur. Böylece B fuzzy
kümesi fuzzy δ-I-açık kümedir.

B = A olduğundan,
*

B = A, olur.
A ≤ B olduğundan, B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme değildir.
65
4.2.11. Örnek
Örnek.4.2.4 deki B fuzzy kümesi fuzzy δ-I-açık kümedir. Ancak B fuzzy t-Iküme değildir. Gerçekten ;

A ≤ B olduğundan, B = A olur, B fuzzy kümesi için, I = {0x} olduğundan,
*
*

*
*
B = 1x ve A = 1x dır. Buradan B = 1x ≤ 1x = B bulunur. Böylece B fuzzy
kümesi fuzzy δ-I-açık kümedir.



*
B = A olduğundan, B =1x  B olduğundan B fuzzy kümesi fuzzy t-I-küme
değildir.
Şekil 4.1, Teorem 4.2.2 ve Uyarı 4.2.3. 'dan aşağıdaki şekil elde edilir:
fuzzy regülar-I-kapalı küme
fuzzy *-mükemmel küme
fuzzy semi-I-regülar küme
fuzzy τ*-kapalı küme
fuzzy semi-I-açık küme
fuzzy b-I-açık küme
fuzzy t-I-küme
fuzzy δ-I-açık küme
fuzzy α*-I-açık küme
fuzzy β-I-açık küme
Şekil 4.2. fuzzy semi-I-regülar kümenin diğer kümelerle ilişkisi
66
4.2.4. Uyarı
Her fuzzy *-mükemmel küme, fuzzy τ*-kapalı kümedir ve her fuzzy semi-Iregülar küme, fuzzy semi-I-açık kümedir. Fuzzy τ*-kapalı küme(fuzzy *mükemmel küme) ve fuzzy semi-I-açık kümenin(fuzzy semi-I-regülar küme)
birbirinden bağımsız olduğunu aşağıdaki örneklerle gösterebilriz.
4.2.12. Örnek
Örnek.4.2.2 deki A fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık kümedir(fuzzy semi-Iregülar kümedir). Ancak A fuzzy kümesi fuzzy *-mükemmel küme değildir.
Gerçekten ;
*
A fuzzy kümesi için I = P(X) iken, A = A ve A açık küme olduğundan

*
A = A dır. Buradan A ≤ A  =A bulunur. Böylece A fuzzy semi-I-açık


*
kümedir. Diğer yandan A = A olduğundan A kümesi fuzzy t-I-kümedir.
Böylece A fuzzy kümesi fuzzy semi-I-regülar kümedir. Ancak A*= 0x ≤ A
olduğundan A fuzzy kümesi fuzzy *-mükemmel küme değildir.
4.2.13. Örnek
Örnek.4.2.1 deki B fuzzy kümesi fuzzy τ*-kapalı kümedir(fuzzy *-mükemmel
kümedir). Ancak B fuzzy semi-I-açık küme (fuzzy semi-I-regülar küme)
değildir. Gerçekten;
B =1x - A yani Bc = A olduğundan, B fuzzy kapalı küme olur, B fuzzy kümesi
*
için, I = {0x} olduğundan, B = B =B =B* bulunur. Böylece B fuzzy kümesi
fuzzy*-mükemmel kümedir. Ayrıca
fuzzyτ*-kapalı kümedir. Ancak
B

*
B* ≤ B olduğundan B fuzzy kümesi
=0x olduğundan B fuzzy kümesi fuzzy
semi-I-açık küme(fuzzy semi-I-regülar küme) değildir.
67
4.2.4. Uyarı
Her fuzzy açık küme, fuzzy α-I-açık küme ve fuzzy pre-I-açık kümedir. Fuzzy
pre-I-açık (fuzzy α-I-açık küme) ve fuzzy semi-I-regülar küme birbirinden
bağımsız olduğunu aşağıdaki örneklerle gösterebiliriz.
4.2.14. Örnek
Örnek.4.2.4 deki A fuzzy kümesi fuzzy açık küme fuzzy α-I-açık küme ve
fuzzy pre-I-açık kümedir. Ancak A fuzzy kümesi fuzzy semi-I-regülar küme
değildir. Gerçekten;
A∈ τ olduğundan, A fuzzy kümesi fuzzy açık küme fuzzy α-I-açık küme ve


fuzzy pre-I-açık kümedir. Ancak A = 1x  A olduğundan A fuzzy t-I-küme
*
değildir. Dolayısıla fuzzy semi-I-regülar küme değildir.
4.2.15. Örnek
Örnek.4.2.3 deki B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-regülar kümedir. Ancak B fuzzy
kümesi fuzzy açık küme fuzzy α-I-açık küme ve fuzzy pre-I-açık küme
değildir. Gerçekten;
*
*
B fuzzy kümesi icin, I ={0x} olduğundan, B = B =1x-A ve A = A =1x-A olur.
A ≤

B ve A ≤ 1x-A


olduğundan, B = A ve (1x-A)o = A olur. Buradan
*
*
B =A = B = A bulunur. Ayrıca B ≤ B bulunur. Böylece B fuzzy kümesi


*
fuzzy semi-I-regülar kümedir. Ancak B  τ , B =A ve B  =A olup, A ≤ B
*
olduğundan, B fuzzy kümesi fuzzy açık küme fuzzy α-I-açık küme ve fuzzy
pre-I-açık küme değildir.
68
fuzzy açık
fuzzy α-I-açık
fuzzy pre-I-açık
fuzzy semi-I-açık
Şekil 4.3. [4] 'den alınmış Şekil 4.4. için gerekli olan şekil
Uyarı 4.2.4., Şekil 4.2. ve Şekil 4.3. 'den aşağıdaki şekil elde edilir:
fuzzy regülar-I-kapalı küme
fuzzy *-mükemmel küme
fuzzy semi-I-regülar küme
fuzzy τ*-kapalı küme
fuzzy semi-I-açık küme
fuzzy t-I-küme
fuzzy α*-I-açık küme
fuzzy açık küme
fuzzy α-I-açık küme
fuzzy pre-I-açık küme
Şekil 4.4. fuzzy semi-I-regülar kümenin diğer kümelerle ilişkisi
69
4.3. Fuzzy ABI -regülar Kümeler
4.3.1. Tanım
(X, τ, I) ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A =(U  V)  X kümesi verilsin.
Eğer
(i)
U  τ ve V , *-mükemmel küme ise; A kümesine I-lokal kapalı küme
[22],
(ii)
U  τ ve V , t-I-küme ise; A kümesine BI -küme [27],
(iii)
U  τ ve V , regülar-I-kapalı küme ise; A kümesine AI -küme [15],
(iv)
U  τ ve V , semi-I-regülar küme ise; A kümesine ABI -küme [17]
denir.
Aşağıdaki tanımları ve teoremleri ilk defa vereceğiz:
4.3.2. Tanım
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzay ve herhangi bir A =(U
 V) ≤ X fuzzy
kümesi verilsin. Eğer
(i)
U  τ ve V ,fuzzy *-mükemmel küme ise; A fuzzy kümesine fuzzy Ilokal kapalı küme ,
(ii)
U  τ ve V , fuzzy t-I-küme ise; A fuzzy kümesine fuzzy BI -küme,
(iii)
U  τ ve V , fuzzy regülar-I-kapalı küme ise; A fuzzy kümesine fuzzy
AI -küme denir.
70
4.3.3. Tanım
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzay ve herhangi bir A =(U
 V) ≤ X fuzzy
kümesi verilsin. Eğer U  τ ve V, fuzzy semi-I-regülar küme ise; A fuzzy
kümesine fuzzy ABI -küme denir.
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayındaki fuzzy ABI-kümelerin, ailesi
FABI (X) sembolleri ile gösterelim.
4.3.1. Teorem
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A ≤ X fuzzy küme verilsin.
Bu takdirde aşağıdaki ifadeler vardır.
(i) Her fuzzy açık küme, fuzzy ABI -kümedir,
(ii) Her fuzzy semi-I-regülar küme, fuzzy ABI -kümedir,
(iii) Her fuzzy ABI -küme, fuzzy BI -kümedir,
(iv) Her fuzzy AI -küme, fuzzy ABI -kümedir.
İspat. (i), (ii) Tanım.4.3.3 'den açıktır.
(iii) Teorem 4.2.2.(iii) 'den açıktır.
(iv) Teorem 4.2.2.(i) 'den açıktır.
4.3.1. Uyarı
Teorem 4.3.1. de verdiğimiz geçişlerin karşıtlarının genellikle doğru olmadığı
aşağıdaki örneklerde göstereceğiz.
71
4.3.1. Örnek
X ={a,b,c} kümesinde A, B fuzzy kümeleri
A(a) = 0.4, A(b) = 0.1,
A(c)=0.3
B(a)=0.5,
B(c)=0.6
B(b)=0.3,
şeklinde tanımlı olsun. X kümesinde τ ={0x,1x, A} fuzzy topolojisi ve I ={0x}
fuzzy ideali ile (X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı olsun.
B fuzzy kümesi fuzzy ABI -kümedir. Ancak B fuzzy kümesi fuzzy açık küme
değildir. Gerçekten;
*
*
B fuzzy kümesi icin, I ={0x} olduğundan, B = B =1x-A ve A = A =1x-A olur.

A ≤ B ve A ≤ 1x-A olduğundan, B = A ve (1x-A)o = A olur. Buradan


*
*
B =A = B = A bulunur. Ayrıca B ≤ B bulunur. Böylece B fuzzy kümesi
fuzzy semi-I-regülar kümedir. Böylece B fuzzy kümesi fuzzy ABI -kümedir .
Ancak B  τ olduğundan, B fuzzy kümesi fuzzy açık küme değildir.
4.3.2. Örnek
Örnek.4.2.4 deki A fuzzy kümesi fuzzy ABI -kümedir. Ancak A fuzzy kümesi
fuzzy semi-I-regülar küme değildir. Gerçekten;
A  τ olduğundan, A fuzzy kümesi fuzzy açık kümedir. Böylece A fuzzy ABI 
kümedir. Ancak

*
A = 1x  A olduğundan A fuzzy kümesi fuzzy t-I- küme
değildir. Dolayısıla fuzzy semi-I-regülar küme değildir.
72
4.3.3. Örnek
Örnek.4.2.2 deki B fuzzy kümesi fuzzy BI -kümedir. Ancak B fuzzy kümesi
fuzzy ABI -küme değildir. Gerçekten;

*
A ≤ B olduğundan, B = A, B fuzzy kümesi için I = P(X) iken, A = A,


*
B
=
B
dır.
Buradan
=
A
=
B = A bulunur. Böylece B fuzzy kümesi fuzzy
B
*
*
t-I- kümedir. Dolayısıla B fuzzy kümesi fuzzy BI -kümedir. Ancak B = A ≤ B
olduğundan B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme değildir. Dolayısıla fuzzy
semi-I-regülar küme değildir. Böylece B fuzzy kümesi fuzzy ABI -küme
değildir.
4.3.4. Örnek
Örnek.4.2.3 deki B fuzzy kümesi fuzzy ABI -kümedir. Ancak B fuzzy kümesi
fuzzy AI -küme değildir. Gerçekten;
A ≤

B olduğundan, B = A ,B fuzzy kümesi için
I = {0x} iken,


*
*
B
B
A
=
=1
-A
,
=
=
1
-A
dır.
Buradan
=
A
=
x
x
B = A bulunur. Böylece
A
B
*
*
B fuzzy kümesi fuzzy t-I- kümedir. Diğer yandan B ≤ B =1x-A olduğundan
B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık kümedir. Böylece B fuzzy kümesi fuzzy
semi-I-regülar kümedir. Dolayısıla fuzzy ABI -kümedir. Ancak

( B )* ≠ B
olduğundan B fuzzy kümesi fuzzy regülar-I-kapalı küme değildir. Dolayısıla B
fuzzy kümesi fuzzyAI -küme değildir.
4.3.2. Uyarı
fuzzy ABI -küme ve fuzzy I-lokal küme birbirinden bağımsız olduğunu
aşağıdaki örneklerde görebiliriz.
73
4.3.5.Örnek
Örnek.4.2.3 deki B fuzzy kümesi fuzzy ABI -kümedir. Ancak B fuzzy kümesi
fuzzy I-lokal küme değildir. Gerçekten;
A ≤

B olduğundan, B = A, B fuzzy kümesi için

I = {0x} iken,

*
*
*
A = A =1x-A , B = B =1x-A dır. Buradan B = A = B = A bulunur. Böylece B
*
fuzzy kümesi fuzzy t-I- kümedir. Diğer yandan B ≤ B =1x-A olduğundan B
fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık kümedir. Böylece B fuzzy kümesi fuzzy semiI-regülar kümedir. Dolayısıla fuzzy ABI -kümedir. Ancak
olduğundan
B*= B = 1x-A ≠ B
B fuzzy kümesi fuzzy *-mükemmel küme değildir. Dolayısıla
B fuzzy I-lokal küme değildir.
4.3.6. Örnek
Örnek.4.2.1 deki B fuzzy kümesi fuzzy I-lokal kümedir. Ancak
B fuzzy
kümesi fuzzy ABI -küme değildir. Gerçekten;
B =1x - A yani Bc = A olduğundan, B fuzzy kapalı küme olur, B fuzzy kümesi
*
için, I = {0x} olduğundan, B = B =B =B* bulunur. Böylece B fuzzy kümesi
fuzzy*-mükemmel kümedir. Dolayısıla B fuzzy kümesi fuzzy I-lokal kümedir.
Ancak
*

B =0x olduğundan B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme(fuzzy
semi-I-regülar küme) değildir. Böylece B fuzzy kümesi fuzzy AB I -küme
değildir.
74
Teorem 4.3.1, Uyarı 4.3.1., Uyarı 4.3.2., Tanım 4.3.2. ve Tanım 4.3.3. 'den
aşağıdaki şekil elde edilir:
fuzzy açık küme
fuzzy AI -küme
fuzzy ABI -küme
fuzzy I-lokal küme
fuzzy BI -küme
Şekil 4.5. fuzzy ABI –kümenin diğer kümelerle ilişkisi
4.3.2. Teorem
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı verilsin. Bu takdirde; her fuzzy ABI -küme,
fuzzy semi-I-açık bir kümedir.
İspat. A ≤ X kümesi, fuzzy ABI -küme olsun. A kümesi, U  τ ve V
fuzzy semi-I-regülar bir küme olmak üzere; A=U
V
şeklinde yazılır.
V fuzzy kümesi, fuzzy semi-I-regülar küme olduğundan Tanım 4.2.9. den
V fuzzy kümesi hem fuzzy semi-I-açık hem de fuzzy t-I-kümedir. V fuzzy
kümesi, fuzzy semi-I-açık küme olduğundan,
A=U
V ≤ U
V


≤
*
*
*
*

 =  dır. Dolayısyla A ≤
=
A
A elde
U V (U  V)

edilir. Tanım 4.2.7.(i) 'den A fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık bir kümedir.
4.3.3. Uyarı
Teorem 4.3.2. de verdiğimiz özelliğin karşıtı genellikle doğru olmadığını
aşağıdaki örneklerde göstereceğiz.
75
4.3.7. Örnek
Örnek.4.2.4 deki B fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık kümedir. Ancak B fuzzy
ABI -küme değildir. Gerçekten;
A ≤

B olduğundan, B = A ,B fuzzy kümesi için
I ={0x}
iken,
*
*
*
A = A =1x , B = B =1x dır. Buradan B ≤ B =1x bulunur. Böylece B fuzzy


*
kümesi fuzzy semi-I-açık kümedir. Ancak B = 1x  B olduğundan B fuzzy
kümesi fuzzy t-I-küme değildir. Böylece fuzzy semi-I-regülar küme değildir.
Dolayısıla fuzzy ABI -küme değildir.
4.3.4. Uyarı
Her fuzzy α-I-açık küme fuzzy pre-I-açık kümedir. Fuzzy pre-I-açık (fuzzy αI-açık küme) ve fuzzy ABI -küme birbirinden bağımsız olduğunu aşağıdaki
örneklerle gösterebiliriz.
4.3.8. Örnek
Örnek.4.2.4 deki B fuzzy kümesi fuzzy pre-I-açık (fuzzy α-I-açık) kümedir.
Ancak B fuzzy ABI -küme değildir. Gerçekten;
*
*
B fuzzy kümesi icin, I ={0x} olduğundan, B = B =1x ve A = A =1x olur.


*

*
A ≤ B olduğundan, B ≤ B =1x olur. Ayrıca B ≤ B =1x bulunur. Böylece
B fuzzy kümesi fuzzy α-I-açık küme ve fuzzy pre-I-açık kümedir. Ancak


*
B = A  B =1x olduğundan, B fuzzy kümesi fuzzy t-I-açık küme (fuzzy semi-
I-regülar küme değildir. Dolayısıla fuzzy ABI -küme değildir.
76
4.3.9. Örnek
Örnek.4.2.3 deki B fuzzy kümesi fuzzy ABI -kümedir. Ancak B fuzzy pre-Iaçık (fuzzy α-I-açık) küme değildir. Gerçekten;
*
*
B fuzzy kümesi icin, I ={0x} olduğundan, B = B =1x-A ve A = A =1x-A olur.

A ≤ B ve A ≤ 1x-A olduğundan, B = A ve (1x-A)o = A olur. Buradan


*
*
B =A = B = A bulunur. Ayrıca B ≤ B bulunur. Böylece B fuzzy kümesi

fuzzy semi-I-regülar kümedir. Dolayısıla fuzzy ABI -kümedir. Ancak

*
B =A
*
ve B  =A olup, A ≤ B olduğundan, B fuzzy kümesi fuzzy α-I-açık küme ve
fuzzy pre-I-açık küme değildir.
Şekil 4.3, Şekil 4.5, Teorem 4.3.2, Uyarı 4.3.3. ve Uyarı 4.3.4.'den aşağıdaki
şekil elde edilir:
fuzzy açık küme
fuzzy AI -küme
fuzzy ABI -küme
fuzzy α-I-açık küme
fuzzy I-lokal küme
fuzzy BI -küme
fuzzy semi-I-açık küme
fuzzy pre-I-açık küme
Şekil 4.6. fuzzy ABI –kümenin diğer kümelerle ilişkisi
77
4.3.3. Teorem
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A ≤ X fuzzy küme verilsin.
Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir:
(i)
A fuzzy açık kümedir;
(ii)
A fuzzy α-I-açık küme ve fuzzy ABI -kümedir ;
(iii) A fuzzy pre-I-açık küme ve fuzzy ABI -kümedir.
İspat. (i)  (ii) ve (ii)
 (iii) Şekil .4.6 'den açıktır.
(iii)  (i) A fuzzy pre-I-açık küme ve fuzzy ABI -küme olsun. A fuzzy

*
pre-I-açık küme olduğundan Tanım 4.2.7 (ii) 'den A ≤ A dır. Aynı zamanda
A fuzzy ABI -küme olduğundan Tanım 4.3.3 .'den U  τ ve V , fuzzy semi-Iregülar küme olmak üzere; A=(U

*
A ≤ A =( U V )  ≤ ( U

*
 V)
şeklinde yazılır. Dolayısıyla
 V )  =( U )   ( V ) 
*
*
(1)
*
V fuzzy semi-I-regülar küme olduğundan Tanım 4.2.9. 'den V fuzzy kümesi
hem fuzzy t-I-küme hem de fuzzy semi-I-açık kümedir. V fuzzy t-I-küme

olduğundan Tanım 4.2.6.(iii) 'den ( V )  = V dir. (1) 'den
*
A ≤ (U ) 
*
 ( V )  =( U )   V
*

*
(2)
 V fuzzy kümesi için, A ≤ U olduğundan ve (2) 'den
A=U  A≤ U  (( U )   V )= (U  ( U )  )  V = U  V dir. Dolayısıyla
A=U

*
A≤U

*

V

U  τ olduğundan ve (3) den A ≤ U
(3)
 V = U  V =( U 

Böylece A fuzzy kümesi fuzzy açık kümedir.



V)  = A dir.
78
4.3.4. Teorem
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı ve herhangi bir A ≤ X fuzzy kümesi fuzzy
AI -küme olması için gerek ve yeter şart fuzzy semi-I-açık küme ve fuzzy Ilokal kapalı küme olmasıdır.
İspat. Tanım 4.3.1 ve Teorem 4.2.3 'den açıktır.
4.4. Fuzzy regülar-I-Sürekliliğin Ayrışımı
Şimdi fuzzy ideal topolojik uzayda bilinen bazı süreklilik çeşitlerini verelim.
4.4.1. Tanım
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzay, (Y,φ) fuzzy topolojik uzay ve
f : (X, τ, I)  (Y, φ) fonksiyonu verilsin.
(i)
Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V)  FI O(X) ise,
f fonksiyonuna fuzzy-I-sürekli fonksiyon [11] ,
(ii)
Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V)  FSI O(X) ise,
f fonksiyonuna fuzzy semi-I-sürekli fonksiyon [11],
(iii)
Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V)  FPI O(X) ise,
f fonksiyonuna fuzzy pre-I-sürekli fonksiyon [4],
(iv) Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V)  FαI O(X) ise,
f fonksiyonuna fuzzy α-I-sürekli fonksiyon
(v)
[2],
Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V)  FβI O(X) ise,
f fonksiyonuna fuzzy β-I-sürekli fonksiyon [7],
(vi) Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V) V FδI O(X) ise,
f fonksiyonuna fuzzy δ-I-sürekli fonksiyon ,
(vii) Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V)  FbI O(X) ise,
f fonksiyonuna fuzzy b-I-sürekli fonksiyon [12] denir.
79
Aşağıdaki tanımları ve teoremleri ilk defa vereceğiz.
4.4.2. Tanım
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzay , (Y,φ) fuzzy topolojik uzay ve
f : (X, τ, I)  (Y, φ) fonksiyonu verilsin
(i)
Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V)  FSIR(X) ise,
f fonksiyonuna fuzzy semi-I-regülar sürekli fonksiyon ,
(ii)
Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V)  FRI C(X) ise,
f fonksiyonuna FRIC-sürekli fonksiyon ,
(iii)
Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V) fuzzy τ*-kapalı küme ise,
f fonksiyonuna fuzzy contra*-sürekli fonksiyon ,
(iv)
Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V) fuzzy *-mükemmel küme ise,
f fonksiyonuna fuzzy *-mükemmel sürekli fonksiyon ,
(v)
Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V)  Ft I(X) ise,
f fonksiyonuna fuzzy t-I-sürekli fonksiyon denir.
4.4.1. Teorem
f : (X, τ, I)  (Y, φ) fonksiyonu için aşağıdaki ifadeler vardır:
(i)
Her FRIC-sürekli fonksiyon, fuzzy *-mükemmel sürekli fonksiyondur,
(ii)
Her FRIC-sürekli fonksiyon, fuzzy semi-I-regülar sürekli fonksiyondur,
(iii)
Her
fuzzy
*-mükemmel
sürekli
fonksiyon,
fuzzy
contra*-sürekli
fonksiyondur,
(iv) Her fuzzy contra*-sürekli fonksiyon, fuzzy t-I-sürekli fonksiyondur ,
(v)
Her semi-I-regülar sürekli fonksiyon, fuzzy t-I-sürekli fonksiyondur ,
(vi) Her semi-I-regülar sürekli fonksiyon, fuzzy semi-I-sürekli fonksiyondur.
İspat. Teorem 4.2.1., Teorem 4.2.2. ve Tanım 4.4.2. 'den açıktır.
80
4.4.1. Uyarı
Teorem
4.4.1.'de
verdiğimiz
geçişlerin
karşıtlarının
genellikle
doğru
olmadığını aşağıdaki örneklerde göstereceğiz .
4.4.1. Örnek
X ={a,b,c} kümesinde A ≤ X ve Y = {0.3,0.5,0.6} kümesinde B ≤ Y fuzzy
kümeleri
A(a) = 0.2 ,
A(b) =0.4 ,
A(c)=0.1
B (0.3)=0.6 ,
B(0.5)=0.4,
B(0.6)=0.7
şeklinde tanımlanmış olsun. X kümesinde τ ={0x,1x, A } fuzzy topolojisi ve
I ={0x} fuzzy ideali ile birlikte (X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı
ve Y
kümesinde de φ ={0Y,1Y, B} fuzzy topolojisi ile (Y, φ) fuzzy topolojik uzayı
verilsin.
f : (X, τ, I)  (Y, φ)
verilsin. f
fonksiyonu f (a) =0.6, f (b)=0.5, f (c)=0.3 şeklinde
fonksiyonu fuzzy semi-I-regülar sürekli bir fonksiyondur. Ancak
f fonksiyonu FRIC-sürekli ve fuzzy contra*- sürekli bir fonksiyon değildir.
Gerçekten;
B  φ fuzzy kümesi için,
(1)
f
-1
(B) (b)=B(f (b)) =B (0.5)=0.4, f
-1
f
(B) (a)=B(f (a)) =B (0.6)=0.7,
-1
(B) (c)=B(f (c))=B (0.3)=0.6
olur.
f -1(B) = D diyelim. D ≤ X olup, D(a)=0.7, D(b)=0.4 ve D(c)=0.6 olur.

D
*
*

*

= A = A =1x -A olup, D ≤ 1x -A , D = A= D = A olduğundan, D fuzzy
kümesi fuzzy semi-I-açık küme ve fuzzy t-I-kümedir. Böylece D fuzzy kümesi
fuzzy semi-I-regülar kümedir.
(2) 1Y, 0Y  φ Fuzzy kümeleri için, f -1(1Y) =1x f -1(0Y) =0x olup, 1x ,0x sabit
fuzzy kümeleri fuzzy semi-I-regülar kümelerdir.
81
(1)ve (2) den f
fonksiyonu fuzzy semi-I-regülar sürekli bir fonksiyondur.

Ancak D ≤ ( D )* =1x -A, D ≤ D* olup, D fuzzy kümesi fuzzy regülar-I-kapalı
küme ve fuzzy τ*-kapalı küme değildir. Böylece f fonksiyonu FRIC-sürekli
ve fuzzy contra*- sürekli bir fonksiyon değildir.
4.4.2. Örnek
X ={a,b,c} kümesinde A ≤ X ve Y = {0.1,0.5,0.7} kümesinde B ≤ Y fuzzy
kümeleri
A(a) = 0.8 ,
A(b) =0.2 ,
A(c)=0.4
B (0.1)=0.9 ,
B(0.5)=0.4,
B(0.7)=0.7
şeklinde tanımlanmış olsun. X kümesinde τ ={0x,1x, A } fuzzy topolojisi ve
I =P(X) fuzzy ideali ile birlikte (X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı
ve Y
kümesinde de φ ={0Y,1Y, B} fuzzy topolojisi ile (Y, φ) fuzzy topolojik uzayı
verilsin.
f : (X, τ, I)  (Y, φ)
verilsin. f
fonksiyonu f (a) =0.1, f (b)=0.5, f (c)=0.7 şeklinde
fonksiyonu
fuzzy t-I-sürekli ve fuzzy contra*- sürekli bir
fonksiyondur. Ancak f fonksiyonu fuzzy semi-I-sürekli, fuzzy semi-I-regülar
sürekli ve fuzzy *-mükemmel sürekli fonksiyon değildir. Gerçekten;
B  φ fuzzy kümesi için,
(1)
f
-1
(B) (b)= B(f (b)) =B (0.5)=0.4, f
f
-1
(B) (a)= B(f (a)) =B (0.1)=0.9 ,
-1
(B) (c)= B(f (c)) =B (0.7)=0.7
olur.
f -1(B) = D diyelim. D ≤ X olup, D(a)=0.9, D(b)=0.4 ve D(c)=0.7. Buradan

*

D =A= D ve D* =0x ≤ D olup. Böylece D fuzzy kümesi fuzzy t-I-açık küme
ve fuzzy τ*-kapalı kümedir.
(2) 1Y, 0Y  φ Fuzzy kümeleri için, f -1(1Y) =1x f -1(0Y) =0x olup, 1x ,0x sabit
fuzzy kümeleri fuzzy t-I-açık ve fuzzy τ*-kapalı kümelerdir.
82
(1)ve (2) den f fonksiyonu fuzzy t-I-sürekli ve fuzzy contra*- sürekli bir
*
*
fonksiyondur. Ancak D = A =A ve A ≤ D , olduğundan, D fuzzy kümesi
fuzzy semi-I-açık küme değildir. Dolayısıyla fuzzy semi-I-regülar küme
değildir. Ayrıca
D* =0x oldugundan, D kümesi fuzzy *-mükemmel küme
değildir. Böylece f fonksiyonu fuzzy semi-I-regülar sürekli ve fuzzy *mükemmel sürekli bir fonksiyon değildir.
4.4.3. Örnek
X ={a,b,c} kümesinde A ≤ X ve Y= {0.1,0.3,0.7} kümesinde B ≤ Y fuzzy
kümeleri
A(a) = 0.2 ,
A(b) =0.7 ,
A(c)=0.1
B (0.1)=0.6 ,
B(0.3)=0.3,
B(0.7)=0.8
şeklinde tanımlanmış olsun. X kümesinde τ ={0x,1x, A } fuzzy topolojisi ve
I ={0x} fuzzy ideali ile birlikte (X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı
ve Y
kümesinde de φ ={0Y,1Y, B} fuzzy topolojisi ile (Y, φ) fuzzy topolojik uzayı
verilsin.
f : (X, τ, I)  (Y, φ)
verilsin. f fonksiyonu
fonksiyonu f (a) =0.1, f (b)=0.7, f (c)=0.3 şeklinde
fuzzy semi-I-sürekli bir fonksiyondur. Ancak
f fonksiyonu fuzzy t-I-sürekli ve fuzzy semi-I-regülar sürekli bir fonksiyon
değildir. Gerçekten;
B  φ fuzzy kümesi için,
(1)
f
-1
(B) (b)= B(f (b)) =B (0.7)=0.8, f
f
-1
(B) (a)= B(f (a)) =B (0.1)=0.6 ,
-1
(B) (c)= B(f (c)) =B (0.3)=0.3
olur.
-1
f (B) = D diyelim. D ≤ X olup, D(a)=0.6, D(b)=0.8 ve D(c)=0.3 olur.
*


D = 1x olduğundan, D ≤ D
I-açık kümedir.
*
bulunur. Böylece D fuzzy kümesi fuzzy semi-
83
(2) 1Y, 0Y  φ Fuzzy kümeleri için, f -1(1Y) =1x f -1(0Y) =0x olup, 1x ,0x sabit
fuzzy kümeleri fuzzy semi-I-açık kümelerdir.
(1)ve (2) den
f

fonksiyonu fuzzy semi-I-sürekli bir fonksiyondur. D =0x
olduğundan. D fuzzy kümesi fuzzy t-I-küme değildir. Dolayısıla fuzzy semi-Iregülar küme değildir. Böylece f fonksiyonu fuzzy t-I-sürekli ve fuzzy semi-Iregülar sürekli bir fonksiyon değildir.
Teorem 4.4.1. ve Uyarı 4.4.1.'den fuzzy regülar-I-sürekliliğin ayrışımı olarak
aşağıdaki şekil elde ettik:
FRIC- süreklilik
fuzzy *-mükemmel süreklilik
fuzzy semi-I-regülar süreklilik
fuzzy contra*- süreklilik
fuzzy semi-I-süreklilik
fuzzy t-I-süreklilik
Şekil 4.7. fuzzy regülar-I-sürekliliğin ayrışımı
4.4.2. Teorem
f : (X, τ, I)  (Y, φ) fonksiyonu için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
(i)
f
fonksiyonu FRIC-sürekli fonksiyondur;
(ii)
f fonksiyonu fuzzy semi-I-sürekli ve fuzzy *-mükemmel sürekli
fonksiyondur.
İspat. Teorem 4.2.3. 'den açıktır.
84
fuzzy süreklilik
fuzzy α-I-süreklilik
fuzzy pre-I-süreklilik
fuzzy semi-I- süreklilik
Şekil 4.8. [4] 'den alınmış Şekil 4.9. için gerekli olan şekil
Şekil 4.7. ve Şekil 4.8 'den fuzzy regülar-I-sürekliliğin ayrışımı olarak
aşağıdaki şekli elde ettik:
FRIC- süreklilik
fuzzy *-mükemmel süreklilik
fuzzy semi-I-regülar süreklilik
fuzzy semi-I-süreklilik
fuzzy süreklilik
fuzzy contra*-süreklilik
fuzzy t-I-süreklilik
fuzzy α-I-süreklilik
fuzzy pre-I-süreklilik
Şekil 4.9. fuzzy regülar-I-sürekliliğin ayrışımı
4.5. Fuzzy AI -Sürekliliğin Ayrışımı
Aşağıdaki tanımları ve teoremleri ilk defa vereceğiz.
4.5.1. Tanım
(X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzay , (Y,φ) fuzzy topolojik uzay ve
f : (X, τ, I)  (Y, φ) fonksiyonu verilsin,
(i) Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V) fuzzy AI -küme ise,
f fonksiyonuna fuzzy AI -sürekli fonksiyon ,
85
(ii) Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V) fuzzy ABI -küme ise,
f fonksiyonuna fuzzy ABI -sürekli fonksiyon ,
(iii) Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V) fuzzy BI -küme ise,
f fonksiyonuna fuzzy BI -sürekli fonksiyon ,
(iv) Eğer her V  φ fuzzy kümesi için, f -1(V) fuzzy I-lokal kapalı küme ise,
f fonksiyonuna fuzzy I-LC-sürekli fonksiyon denir.
4.5.1.Teorem
f : (X, τ, I)  (Y, φ) fonksiyonu için aşağıdaki ifadeler vardır:
(i) Her fuzzy sürekli fonksiyon, fuzzy ABI -sürekli fonksiyondur,
(ii) Her fuzzy semi-I-regülar sürekli fonksiyon, fuzzy ABI -sürekli fonksiyondur,
(iii) Her fuzzy ABI -sürekli fonksiyon, fuzzy BI -sürekli fonksiyondur,
(iv) Her fuzzy AI -sürekli fonksiyon, fuzzy ABI -sürekli fonksiyondur.
İspat. Teorem 4.3.1.ve Tanım 4.5.1.'den açıktır.
4.5.1. Uyarı
Teorem 4.5.1. 'de verdiğimiz geçişlerin karşıtlarının genellikle doğru
olmadığını aşağıdaki örneklerde göstereceğiz .
4.5.1.Örnek
Örnek.4.4.1 deki f fonksiyonu fuzzy semi-I-regülar sürekli bir fonksiyondur.
Dolayısıla fuzzy ABI -sürekli fonksiyondur. Ancak f fonksiyonu fuzzy sürekli
bir fonksiyon değildir. Gerçekten;
f
-1
B  φ fuzzy kümesi için, f
(1)
-1
(B) (b)= B(f (b)) =B (0.5)=0.4, f
(B) (a)= B(f (a)) =B (0.6)=0.7 ,
-1
(B) (c)= B(f (c)) =B (0.3)=0.6
olur.
86
f -1(B) = D diyelim. D ≤ X olup, D(a)=0.7, D(b)=0.4 ve D(c)=0.6 olur.

D
*

*
*

= A = A =1x -A olup, D ≤ 1x -A , D = A= D = A olduğundan,
D fuzzy kümesi fuzzy semi-I-açık küme ve fuzzy t-I-kümedir. Böylece
D fuzzy kümesi fuzzy semi-I-regülar kümedir.
(2) 1Y, 0Y  φ Fuzzy kümeleri için, f -1(1Y) =1x f -1(0Y) =0x olup, 1x ,0x sabit
fuzzy kümeleri fuzzy semi-I-regülar kümelerdir.
(1)ve (2) den f fonksiyonu fuzzy semi-I-regülar sürekli bir fonksiyondur.
Dolayısıla fuzzy ABI -sürekli fonksiyondur. Ancak D fuzzy kümesi fuzzy acık
bir kümesi değildir. Böylece f fonksiyonu sürekli bir fonksiyon değildir.
4.5.2. Örnek
X ={a,b,c} kümesinde A ≤ X ve Y = {0.3,0.5,0.6} kümesinde B ≤ Y fuzzy
kümeleri
A(a) = 0.2 ,
A(b) =0.6 ,
A(c)=0.1
B (0.3)=0.2 ,
B(0.5)=0.6,
B(0.6)=0.1
şeklinde tanımlanmış olsun. X kümesinde τ ={0x,1x, A } fuzzy topolojisi ve
I ={0x} fuzzy ideali ile birlikte (X, τ, I) fuzzy ideal topolojik uzayı
ve Y
kümesinde de φ ={0Y,1Y, B} fuzzy topolojisi ile (Y, φ) fuzzy topolojik uzayı
verilsin.
f : (X, τ, I)  (Y, φ)
fonksiyonu f (a) =0.3, f (b)=0.5, f (c)=0.6 şeklinde
verilsin. f fonksiyonu fuzzy ABI -sürekli fonksiyondur. Ancak f fonksiyonu
fuzzy semi -I-regülar sürekli bir fonksiyon değildir. Gerçekten;
B  φ fuzzy kümesi için,
(1)
f
-1
(B) (b)= B(f (b)) =B (0.5)=0.6, f
f
-1
(B) (a)= B(f (a)) =B (0.3)=0.2 ,
-1
(B) (c)= B(f (c)) =B (0.6)=0.1
f -1(B) = D diyelim. D ≤ X olup, D(a)=0.2, D(b)=0.6 ve D(c)=0.1 olur.
D  τ olduğundan, D fuzzy kümesi fuzzy açık kümedir.
olur.
87
(2) 1Y, 0Y  φ Fuzzy kümeleri için, f -1(1Y) =1x f -1(0Y) =0x olup, 1x ,0x sabit
fuzzy kümeleri fuzzy açık kümelerdir.
(1)ve (2) den f fonksiyonu fuzzy açık sürekli bir fonksiyondur. Dolayısıla fuzzy


*
ABI -sürekli fonksiyondur. Ancak D = 1x ≠ D olduğundan D fuzzy kümesi
fuzzy semi -I-regülar kümesi değildir. Böylece f fonksiyonu fuzzy semi-Iregülar sürekli bir fonksiyon değildir.
4.5.3. Örnek
Örnek.4.4.2 deki f fonksiyonu fuzzy t-I-sürekli. Dolayısıla fuzzy BI -sürekli
fonksiyondur. Ancak f fonksiyonu fuzzy semi-I-sürekli, fuzzy semi-I-regülar
sürekli fonksiyon değildir. Dolayısıla fuzzy ABI -sürekli fonksiyon değildir.
Gerçekten;
B  φ fuzzy kümesi için,
(1)
f
-1
(B) (b)= B(f (b)) =B (0.5)=0.4, f
f
-1
(B) (a)= B(f (a)) =B (0.1)=0.9 ,
-1
(B) (c)= B(f (c)) =B (0.7)=0.7
olur.
f -1(B) = D diyelim. D ≤ X olup, D(a)=0.9, D(b)=0.4 ve D(c)=0.7. Buradan

*

D =A= D olup. Böylece D fuzzy kümesi fuzzy t-I-açık kümedir.
(2) 1Y, 0Y  φ Fuzzy kümeleri için, f -1(1Y) =1x f -1(0Y) =0x olup, 1x ,0x sabit
fuzzy kümeleri fuzzy t-I-açık kümelerdir.
(1)ve (2) den
f
fonksiyonu fuzzy t-I-sürekli. Dolayısıla fuzzy BI -sürekli
*
*
fonksiyondur . Ancak D = A =A ve A ≤ D , olduğundan, D fuzzy kümesi
fuzzy semi-I-açık küme değildir. Dolayısıyla fuzzy semi-I-regülar küme
değildir. Böylece f fonksiyonu fuzzy semi-I-regülar sürekli. Dolayısıla fuzzy
ABI -sürekli fonksiyon değildir.
88
4.5.4. Örnek
Örnek.4.4.1 deki f fonksiyonu fuzzy semi-I-regülar sürekli bir fonksiyondur.
Dolayısıla fuzzy ABI -sürekli fonksiyondur. Ancak f fonksiyonu FRIC-sürekli.
Dolayısıla fuzzy AI -sürekli fonksiyondur değildir. Gerçekten;
B  φ fuzzy kümesi için,
(1)
f
-1
(B) (b)= B(f (b)) =B (0.5)=0.4, f
f
-1
(B) (a)= B(f (a)) =B (0.6)=0.7 ,
-1
(B) (c)= B(f (c)) =B (0.3)=0.6
olur.
-1
f (B) = D diyelim. D ≤ X olup, D(a)=0.7, D(b)=0.4 ve D(c)=0.6 olur.

D
*

*
*

= A = A =1x -A olup, D ≤ 1x -A , D = A= D = A olduğundan, D fuzzy
kümesi fuzzy semi-I-açık küme ve fuzzy t-I-kümedir. Böylece D fuzzy kümesi
fuzzy semi-I-regülar kümedir.
(2) 1Y, 0Y  φ Fuzzy kümeleri için, f -1(1Y) =1x f -1(0Y) =0x olup, 1x ,0x sabit
fuzzy kümeleri fuzzy semi-I-regülar kümelerdir.
(1)ve (2) den f
fonksiyonu fuzzy semi-I-regülar sürekli bir fonksiyondur.
Dolayısıla fuzzy ABI -sürekli fonksiyondur. Ancak

D ≤ ( D )* =1x -A olup,
D fuzzy kümesi fuzzy regülar-I-kapalı küme değildir. Böylece f fonksiyonu
FRIC-sürekli .Dolayısıla fuzzy AI -sürekli fonksiyondur değildir.
Tanım 4.5.1., Teorem 4.5.1., Uyarı 4.5.1. ve Şekil 4.6 'den fuzzy AI sürekliliğin ayrışımı olarak aşağıdaki şekli elde ettik:
fuzzy süreklilik
fuzzy AI -süreklilik
fuzzy I-LC- süreklilik
fuzzy BI –süreklilik
fuzzy pre-I- süreklilik
fuzzy α -I-süreklilik
fuzzy semi-I-süreklilik
Şekil 4.10. fuzzy AI -sürekliliğin ayrışımı
fuzzy ABI –süreklilik
89
4.5.2. Teorem
f : (X, τ, I)  (Y, φ) fonksiyonu için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
(i)
f fonksiyonu fuzzy sürekli fonksiyondur;
(ii)
f fonksiyonu fuzzy α-I-sürekli ve fuzzy ABI -sürekli fonksiyondur;
(iii)
f fonksiyonu fuzzy pre-I-sürekli ve fuzzy ABI -sürekli fonksiyondur.
İspat. Teorem 4.3.3.'den açıktır.
4.5.3. Teorem
f : (X, τ, I)  (Y, φ) bir fonksiyonu olsun. f fonksiyonu fuzzy AI -sürekli
fonksiyon olması için gerek ve yeter şart f fonksiyonu fuzzy semi-I-sürekli ve
fuzzy I-LC-sürekli fonksiyon olmasıdır.
İspat. Teorem 4.3.4. 'den açıktır.
90
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
(X, τ, I ) ideal topolojik uzayda verilen bazı küme ve fonksiyon çeşitlerini fuzzy
ideal topolojik uzaya taşıdık. Böylece fuzzy ideal topolojik uzayda çeşitli
küme ve süreklilik çeşitlerini vermiş olduk. Benzer şekilde ideal topolojik
uzayda tanımlı bazı küme ve fonksiyon çeşitleri de fuzzy ideal topolojik uzaya
uygulanabilir.
91
KAYNAKLAR
1. Zadeh L. A. , "Fuzzy sets", Inform And control, 8: 338-353 (1965).
2. Yüksel S., Gursel Caylak E., Acikgöz A., 2 "on Fuzzy α-I-continious and
fuzzy α-I-open functions", Chaos, Solitons & Fractals, 41: 1691-1696
(2009).
3. Nasef A. A., Mahmoud R. A., "some topological applications via fuzzy
ideals", Chaos, Solitons & Franctals, 13: 825-831(2002).
4. Nasef A. A., Hatır E., "on fuzzy pre-I-open sets and a decomposition of
fuzzy-I-continuity", Chaos, Solitons & Franctals, 40:1185-1189 (2009).
5. Pao-Ming P., Ying-Ming L., "Fuzzy Topology I. Neighbourhood Structure
of a fuzzy point and Moore-Smith convergence", J. Math. Anal. Appl.,
76: 571-599 (1980).
6. Sarkar D., "fuzzy ideal theory fuzzy local function and generated fuzzy
topology", fuzzy set and Systems, 87: 117-123 (1997).
7. Keskin A., "on fuzzy β-I-open sets and fuzzy β-I-continuous functions",
Chaos, Solitons & Franctals, 42: 1372-1377 (2009).
8. Lowen R., "Fuzzy topological spaces and fuzzy compactness", J. Math.
Anal. Appl. , 56: 621-633 (1976).
9. Azad K. K., "Fuzzy semi-continuity, fuzzy almost continuity and fuzzy
weakly continuity", J. Math. Anal. Appl. , 82: 14-32 (1980).
10. Chang C. L., "Fuzzy topological space", J. Math. Anal. Appl., 24: 182190 (1968).
11. Hatır E., Jafari S., "fuzzy semi-I-open sets and fuzzy semi-I-continuity via
fuzzy idealization", Chaos, Solitons & Franctals, 34: 1220-1224 (2007).
12. Şaziye Y., Şükriye K., Ahu Açıkgöz, "on fuzzy b-I-continuous functions",
J. of Science, 4(1): 87-98 (2009).
13. Bourbaki N., "General topology", Part 1, Addison-Wesley, Reading,
Mass (1966).
14. Janković D. and Hamlet T. R., "New topologies from old via ideals",
Amer. Mat. Monthly, 97: 295-31(1990).
92
15. Keskin A., Noiri T. and Yüksel S., "Idealization of
theorem", Acta Math. Hungar., 102: 453-465 (2004).
a decomposition
16. Keskin A., Noiri T. and Yüksel S., "Decompositions of I-continuity and
continuity", Commu. Fac. Sci. Uni . Ankara Series A1, 53: 67-75
(2004).
17. Keskin A. and Yüksel S., "On semi-I-regüler sets, ABI -sets and
decompositions of continuity, RI C-continuity, AI -continuity", Acta Math.
Hungar., 113 )3): 227-241(2006).
18. Kuratowski K., "Topologie I", Warszawa (1933).
19. Levine N., "Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces",
Amer. Math. Monthly, 68: 44-46 (1961).
20. Abd El Monsef M. E., El-Deeb S. N. and Mahmoud R. A., "β-open sets
and β-continuous mapping", Bull. Fac. Sci. Assiut Univ.,12: 77-90
(1983).
21. Bourbaki N., "General topology", Part 1, Addison-Wesley, Reading,
Mas (1966).
22. Dontchev J., "On pre-I-open sets and a decompositon of I-continuity",
Banyan Math. J., .2 (1996).
23. Abu Osman, M. T., "Fuzzy Metric Spaces and Fixed Fuzzy Sets
Theorem", Bull. Malaysian Math. Soc ., 6 : 1-4 (1983).
24. Chang, C. L., "Fuzzy Topological Space", J .Math .Anal .Appl., 24: 182190 (1980).
25. Hayashi E., "Topologies defined by local properties", Matç. Ann.,156:
205-215 (1964).
26. Yıldız C., "Genel Topoloji",3. Baskı Ankara (2005).
27. E. Hatir and T. Noiri, "On decompositions of continuity via idealization",
Acta Math. Hungar., 96 : 341-34 (2002).
28. D .Jankovic and T .R .Hamlett, "New topologies from old via ideals",
Amer. Math. Monthly, 97: 295-310 (1990).
.
93
29. D. Jankovic and T. R. Hamlett, "Compatible extensions of ideals", Boll.
Un. Mat. Ital. (7) 6-B: 453-465 (1992).
94
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: ABBAS Fadhil
Uyruğu
: Irak
Doğum tarihi ve yeri
: 26.12.1982 MUSUL
Medeni hali
: Bekar
Telefon
: 0 534 453 26 54
e-mail
: Fadhilhaman @ yahoo.com
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Lisans
Kufa Üniversitesi/ Matematik Bölümü
2008
Lise
İdediye Telafer Lisesi
2003