ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Dünya KARAPINAR LİE CEBİRLERİNİN TEMSİLLERİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2012 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LİE CEBİRLERİNİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez / /2012 Tarihinde Aşağıdaki Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir. Jüri Üyeleri Tarafından ………………............... …………………………… …........................................ Prof. Dr. Naime EKİCİ Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN Yrd. Doç. Dr. Cennet ESKAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. M. Rifat ULUSOY Enstitü Müdürü Bu Çalışma TÜBİTAK - BİDEB Tarafından Desteklenmiştir. Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir. ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ LİE CEBİRLERİNİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman :Prof. Dr. Naime EKİCİ Yıl: 2012, Sayfa: 71 Jüri :Prof. Dr. Naime EKİCİ :Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN :Yrd. Doç. Dr. Cennet ESKAL Lie cebirlerinin temsilleri teorisi cebirde en çok çalışılan alanlardan birisidir. Basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin temsilleri bu cebirlerin yapılarının anlaşılmasında önemli rol oynarlar. Bu tezde basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin sonlu boyutlu temsilleri incelenmiştir. Çalışmada sl2( £ ) , sl3( £ ) , sl4( £ ) ve genel durum olan sln( £ ) nin temsilleri üzerinde yoğunlaşılmıştır. Anahtar Kelimeler: Lie cebirleri, Temsiller, Özel lineer Lie cebirleri I ABSTRACT MSc THESIS REPRESENTATIONS OF LIE ALGEBRAS Dünya KARAPINAR ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS Supervisor :Prof. Dr. Naime EKİCİ Year: 2012, Pages: 71 Jury :Prof. Dr. Naime EKİCİ :Asst. Prof. Dr. Ela AYDIN :Asst. Prof. Dr. Cennet ESKAL Representation theory of Lie algebras is one of the most studied area of algebras. Representations of simple and semisimple Lie algebras play important role in understanding the structure of these algebras. In this thesis we investigate the representations of finite dimensional simple and semisimple Lie algebras. We concenrate on the representations of the simple complex Lie algebras sl2( £ ) , sl3( £ ) , sl4( £ ) and the general case of sln( £ ). Keywords: Lie algebras, Representations, Special linear Lie algebras II TEŞEKKÜR Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübeleri ile beni aydınlatan, yapıcı ve yönlendirici fikirleriyle bana daima yol gösteren, değerli zamanını ayırarak çalışmamın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliği ile örnek aldığım danışman hocam Sayın Prof. Dr. Naime EKİCİ’ye sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Başta Sayın Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ olmak üzere Çukurova Üniversitesi Matematik bölümünün değerli hocalarına, lisans ve yüksek lisans eğitimim boyunca yardım ve teşviklerinden dolayı sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Yüksek lisans eğitimim süresince verdiği burstan dolayı TÜBİTAK Bilim İnsanı Destekleme Daire Başkanlığına sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım. III İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ ........................................................................................................................ I ABSTRACT ........................................................................................................ II TEŞEKKÜR ...................................................................................................... III İÇİNDEKİLER .................................................................................................. IV 1. GİRİŞ .............................................................................................................. 1 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER ........................................................ 5 2.1. Lie Cebirleri ............................................................................................. 5 2.2. Özel Lineer Lie Cebirleri .......................................................................... 7 2.3. Lie Cebirlerinin Temsilleri ..................................................................... 13 2.4. Temsillerin Birleşimi .............................................................................. 14 2.5. İndirgenemezliğe Kısıtlama .................................................................... 19 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ ........................................................... 21 3.1. Karakteristik Uzaylara Parçalanış ........................................................... 21 3.2. Karakteristik Uzaylar Arasındaki Etkileşim ............................................ 24 3.3. Genel Durum .......................................................................................... 26 4. GENEL TEMSİLLER ................................................................................... 29 4.1. Cartan Alt Cebiri Ve Genelleştirilmiş Özdeğerler ................................... 30 4.2. Temsillerin Ağırlık Uzaylarına Parçalanışı ............................................. 34 4.3. Kök Uzayları ve Ağırlık Uzayları Arasındaki İlişkiler ............................ 35 4.4. Parçaları Araştırmak ............................................................................... 37 4.5. Simetriler ............................................................................................... 39 4.6. Yüksek Ağırlıklar ................................................................................... 40 4.7. Sınıflandırma .......................................................................................... 43 4.8. Temsil Halkalarının Yapısı ..................................................................... 44 5. sl2( £ ) NİN TEMSİLLERİ ........................................................................... 47 6. sl3( £ ) NİN TEMSİLLERİ ........................................................................... 55 7. sl4( £ ) NİN TEMSİLLERİ ........................................................................... 65 8. sln( £ ) NİN TEMSİLLERİ ........................................................................... 67 IV KAYNAKLAR .................................................................................................. 69 ÖZGEÇMİŞ ...................................................................................................... 71 V 1. GİRİŞ Dünya KARAPINAR 1. GİRİŞ Lie cebirleri yirminci yüzyılın en merkezi konularından biri olup matematiğin, diferansiyel geometri, temsil teorisi, harmonik analiz ve matematiksel fizik gibi birçok alanıyla güçlü bağlara sahiptir. Özellikle temsil teorisi ile olan yakın ilişkisi Lie cebirlerinin yapısının anlaşılmasında önemli bir rol oynar. Temsil teorisi matematiğin bir dalı olup soyut cebirsel yapıları, elemanlarını vektör uzaylarının lineer dönüşümleri şeklinde temsil ederek inceler ve bu soyut cebirsel yapılar üzerindeki modülleri çalışır. Temelde, bir temsil bir cebirsel yapıyı, elemanlarını matrisler ve cebirsel işlemlerini de matris işlemleri cinsinden tanımlayarak daha anlaşılır hale getirir. Gruplar, birleşmeli cebirler ve Lie cebirleri gibi cebirsel yapılar bu şekildeki bir tanıma uygunluk gösterirler. Bu cebirsel yapıların ilki ve en çok göze çarpanı grupların temsil teorisidir. Bu teoride grup işlemi matris çarpımı olmak üzere grup elemanları tersinir matrislerle temsil edilir. Temsil teorisi soyut cebirdeki problemleri lineer cebirdeki problemlere dönüştürdüğünden bir cebirsel yapının anlaşılmasında güçlü bir araçtır. Temsil teorisi fizikte de önemli bir rol oynar. Örneğin; bir fiziksel sistemin simetri grubunun bu sistemi tanımlayan denklemlerin çözümü üzerine nasıl etki ettiğini tanımlar. Temsil teorisinin çarpıcı bir özelliği de matematikteki yaygınlığıdır. Teorinin uygulamalarının muhtelif oluşu ve uygulamalardaki yaklaşımların çeşitliliği yaygınlığın önemli nedenlerindendir. Teorinin başarısı, cebirsel yapıları daha genel yapılarla değiştirmek gibi genelleştirmeleri beraberinde getirmesinden kaynaklanır. Temsil teorisinin en önemli uygulama alanlarından birisi de basit ve yarıbasit Lie cebirleridir. Bu konuda birçok araştırmacı çalışmalar yapmıştır.( Adams (1982), Samelson (1990), Santos ve Rittore (2005), Serre (2001; 2006), Wakimoto(2001), Wallach ve Goodman(1998 ),Erdmann veWildon (2006), Billey ve Lakshmibai (2000), Carter (2005), Cooperstein (1990), Conway ve Sloane (1991), Cooperstein (1990), Coxeter (1973), Kac (1990), Green (2007;2008), Hartshorne (1977), Humphreys (1990), Du Val, (1933), Kashiwara (1991), Manivel (2006), Stembridge (2001), Wildberger (2003a;2003b).) 1 1. GİRİŞ Dünya KARAPINAR Löh (2006) da sonlu boyutlu yarı basit Lie cebirlerinin temsillerini incelemiştir. Öncelikle sl2( £ ) nin örnekleri üzerinde çalışmış daha sonra sl3( £ ) nin temsilleri ile birlikte genel teoriye ulaşmıştır. Bäuerle ve De Kerf (1990) de özel lineer Lie cebirlerinin genel yapısını incelemiştir. Banu (2006) da sl2( £ ), sl3( £ ), sl4( £ ) ve sln( £ ) Lie cebirlerinin temsillerini incelemiştir. Bu tezde, £ karmaşık cismi üzerindeki, izi sıfır olan tüm n´n matrislerin Lie cebiri olan sln( £ ) cebirinin temsil teorisi incelenmiştir. Bu konuda (Fulton ve Harris, 1991) , (Löh, 2006) ve (Banu, 2006) temel kaynaklar olarak gösterilebilir. Tezin amacı basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin temsillerini inceleyerek sonuçları araştırmak ve teorinin Lie cebirlerindeki önemini vurgulamaktır. Tez, Lie cebirlerinin temsil teorisi ile ilgili birçok çalışmanın bir derlemesi olup örneklerle zenginleştirilmiştir. Lie cebirlerinin temsil teorisi konusundaki Türkçe kaynak eksikliğini gidermek tezin amaçlarından biri olup konu ile ilgili çok sayıda kaynak taranmış ve sl2( £ ), sl3( £ ) , sl4( £ ) ve sln( £ ) Lie cebirlerinin temsillerinin genel teorisi incelenerek açık ve anlaşılır bir şekilde ortaya konmuştur. Bu tez toplam sekiz bölümden meydana gelmiş olup her bir bölümün içeriği aşağıda özetlenmiştir: İkinci bölümde tezde kullanılacak olan temel tanımlar ve teoremlerden söz edilmiştir. Üçüncü bölümde temsil teorisinin temelleri incelenmiştir. sl2( £ ) Lie cebirinin indirgenemez temsillerini analiz ederken H köşegen matrisinin bu temsiller üzerindeki etkisi araştırılmıştır. Ayrıca karakteristik uzaylara parçalanışın nasıl olduğu, karakteristik uzaylar arasındaki etkileşimi, Va+2j özdeğer uzayının ne kadar büyük olduğu, özdeğerler kümesinin genelde nasıl göründüğü, verilen bir özdeğer kümesinin kaç tane indirgenemez temsilinin bulunduğu incelenmiştir. Dördüncü bölümde sl2( £ ) nin temsillerinin sınıflandırılması gözönüne alınarak genel durum incelenmiştir. sl3( £ ) nin temsilleri incelenirken sl2( £ ) nin 2 1. GİRİŞ Dünya KARAPINAR temsillerinin yapısından esinlenilmiştir. Ayrıca Lie cebirlerinin Cartan parçalanışı ve genelleştirilmiş özdeğerleri araştırılmıştır. Beşinci bölümde sl2( £ ) nin temsillerinin örnekleri ve baz elemanları olan X ve Y matrislerinin çeşitli Va uzayları üzerindeki etkisi incelenmiştir. Altıncı bölümde sl2( £ ) nin temsillerini kullanarak sl3( £ ) nin temsilleri araştırılmış ve sl3( £ ) nin bir kök uzayı parçalanışı ve h* da Li – Lj kökleri tarafından üretilen bir kök kafesi verilmiştir. Yedinci bölümde sl4( £ ) nin kök uzayı parçalanışı ve kök kafesi verilmiştir. Sekizinci bölümde sln( £ ) nin kök uzayı parçalanışı ve h* da Li – Lj kökleri tarafından üretilen bir kök kafesi verilmiştir. 3 1. GİRİŞ Dünya KARAPINAR 4 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Bu bölümde, temel terminoloji ve kullandığımız notasyonları sunacağız. Özellikle Lie cebirlerinin temsillerini ve bazı temel yapıları tanıtacağız. 2.1. Lie Cebirleri F bir cisim olsun. Tanım 2.1.1: g F üzerinde sonlu boyutlu vektör uzayı olsun. g nin üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde bir [.,.]:g × g ® g bilineer fonksiyon tanımlı ise g ye bir Lie cebiri denir. (L1) Her x Î g için [x,x] = 0 , (L2) Her x, y, z Î g için [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 veya [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 Bundan sonra bir Lie cebiri denildiğinde F cismi üzerindeki Lie cebiri anlaşılacaktır. Tanım 2.1.2: [x,[y,z]] + [y,[z,x]] +[z,[x,y]]=0 ( veya [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0 ) özdeşliğine Jacobi özdeşligi denir. Ayrıca [.,.] çarpımına Lie çarpımı veya Lie braketi denir. Not 2.1.3: g bir Lie cebiri olmak üzere her x, y, z Î g ve a, b Î F için 1. [x + ay , z] = [x , z] + a [y , z] 2. [x ,y + bz] = [x , y] + b[x , z] 5 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR olup Lie çarpımı bilineerdir. Tanım 2.1.4: g ve h iki Lie cebiri ve Y: g ® h lineer bir fonksiyon olsun. Her x,y Î g için Y( [x,y] ) = [ Y(x),Y(y) ] oluyorsa Y ye bir Lie cebiri homomorfizmi denir. Örnek 2.1.5: g sonlu boyutlu bir kompleks vektör uzayı olsun. O zaman aşikar Lie çarpımı olan [ . , . ] = 0 çarpımı ile birlikte g bir Lie cebiri olur. Bu tip Lie cebirlerine abelyen Lie cebiri denir. Örnek 2.1.6: Lie cebirlerinin asıl kaynağı matris cebiridir. g sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. g ® g olan endomorfizmlerin kümesi bileşke işlemiyle birlikte bir vektör uzayıdır. Bu vektör uzayı üzerinde tanımlı END g ´ END g ® END g (A , B) ® AB - BA çarpımı ile birlikte bir Lie cebiridir. Bu Lie cebiri gl(g) ile gösterilir. Tanım 2.1.7: gl(g) nin matris versiyonu gln(F) veya gl(Fn) şeklinde gösterilir. gln(F), [x,y]=xy - yx çarpımı ile bir Lie cebirdir. gln(F) nin vektör uzayı olarak bir bazı {eij}1£ i, j £n dir. Burada eij ler (i,j) bileşeni 1 diğer bileşenleri 0 olan n´n tipindeki matrislerdir. Tanım 2.1.8: g bir Lie cebiri olsun. g nin alt merkezi serisi terimleri aşağıdaki şekilde tanımlı olan bir seridir. 6 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR g 1= g ¢ =[ g , g ] , g 2= [ g , g ¢ ] = [g , [ g , g ] ] ,…, g k= [ g , g k-1 ] . Tanım 2.1.9: g bir Lie cebiri olsun. Eğer bazı m³1 için g k= {0} ise g ye nilpotent Lie cebiri denir. 2.2. Özel Lineer Lie Cebirleri Tanım 2.2.1: Bir n´n matrisinin izi, köşegen üzerindeki elemanların toplamıdır. Bunu bir X matrisi için TrX (trace) ile gösterelim. sln( £ ) özel lineer Lie cebiri sln( £ )={XÎ gln( £ ): TrX=0} kümesidir. Bu küme [x,y]=xy - yx çarpımı ile bir Lie cebirdir. Bu Lie cebirinin bir bazı B = {eij} i¹j È {eii-ei+1,i+1} 1£i<n olup boyutu n2 – 1 dir. Yani, dim sln( £ ) = n2 – 1 dir. Dikkat 2.2.2: £ karmaşık cisim olmak üzere bu kısımda n ³ 2 durumuyla ilgileneceğiz ve genellikle k ³ 1 olmak üzere n = k+1 yazıp özel lineer Lie cebirlerini sl k+1( £ ) ile göstereceğiz. sl k+1( £ ) nin boyutunun dim sl k+1( £ ) = k (k+2) olduğu bazın tanımından kolaylıkla görülebilir. 7 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER sl k+1( Dünya KARAPINAR £ ) nin bazını tanımlamak için öncelikle sl k+1( £ ) deki matrislerin genel formunu düşünelim. æ a 11 ç ç a 21 ça A = (aij) = ç . 31 ç . ç ç . ça è n1 a 12 a 22 a 32 . . a n2 a 13 a 23 a 33 . . a n3 . . . . . . . . . . . . a 1n ö ÷ a 2n ÷ a 3n ÷ ÷ . ÷ ÷ . ÷ a nn ÷ø n ve Tr A = åa i =1 ii = 0 (n=k+1) dır. A matrisini Ad köşegen matris , A - kesin alt üçgensel matris, A+ kesin üst üçgensel kısım olmak üzere A = A- + Ad + A+ olacak şekilde parçalayabiliriz. 1£ p < q £ k+1 için (epq)ij = d pi d qj olsun. A+ için baz olarak bu şekildeki (epq) matrislerini alalım. 1£ q < p £ k+1 için (epq) matrislerini A - için baz matrisleri olarak alabiliriz. A+ ve A - için düşündüğümüz baz matrislerinin sayısının (k+1)2 –(k+1) = k(k+1) tane olduğu basit bir hesapla bulunabilir. A nın köşegen matrisi için k tane izi sıfır olan köşegen baz matrisine ihtiyacımız vardır. Bu matrisleri şöyle tanımlayabiliriz. 8 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER hp = epp – ep+1,p+1 Dünya KARAPINAR (p=1,2,…,k) Bu şekilde tanımlanan epq ve hp matrislerinin kümesine sl k+1( £ ) nin standart bazı denir. Tanım 2.2.3: p<q için kesin üst üçgensel matrisler olan epq matrisleri sl k+1( £ ) nin k (k + 1) 2 boyutlu nilpotent bir alt cebirinin baz elemanlarını oluştururlar. Bu cebiri N+ ile göstereceğiz. Benzer şekilde p>q için bazı epq kesin alt üçgensel matrisler olan nilpotent alt cebiri N- ile göstereceğiz. Ayrıca izi sıfır olan hp matrislerini baz kabul eden k boyutlu abelyen alt cebiri H ile göstereceğiz. sl k+1( £ ) içindeki her A matrisi A = A- + Ad + A+ formunda tek parçalanışa sahip olduğundan sl k+1( £ ) vektör uzayı olarak sl k+1( £ ) = N-Å H Å N+ şeklinde bir parçalanışa sahiptir. Bu parçalanışa Lie cebirin üçgensel parçalanışı denir. Örnek 2.2.4: 4´4 tipindeki A = diag(a11 , a22 , a33, a44) köşegen matrisini düşünelim. İzi sıfır ise a44= -( a11 + a22 + a33) dir. İzi sıfır olan köşegen bir matrisin bazı h1 = diag(1,-1,0,0) , h2 = diag(0,1,-1,0) , h3 = diag(0,0,1,-1) dir. A matrisi bu baz matrisleri kullanarak aşağıdaki şekilde yazılabilir. 9 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR A = a11 h1 +( a11 + a22) h2 + (a11 + a22 +a33) h3 Tanım 2.2.5: e1 = e12 , e2 = e23 ,…, ek = ek,k+1 f1 = e21 , f2 = e32 ,…, fk = ek+1,k h1 , h2 , … , hk baz matrislerine sl k+1( £ ) nin Cartan – Chevalley üreteçleri denir. Bu matrisler arasında i, j = 1,…,k olmak üzere aşağıdaki bağıntılar vardır. [hi ,hj] = 0 [hi ,ei] = 2ei [hi ,ei+1] = -ei+1 [hi ,ei-1 ] = -ei-1 [hi ,fi] = -2fi [hi ,fi+1] = fi+1 [hi ,fi-1] = fi-1 [ei ,fj] = d ij hj Yukarıdaki bağıntılar [ hi , hj ] = 0 [ hi , ej ] = (2 d ij - d i-1,j - d i+1,j ) ej [ hi , fj ]= -(2 d ij - d i-1,j - d i+1,j ) fj şeklinde de ifade edilebilir. sl k+1( £ ) nin yukarıdaki üreteçler arasında olmayan baz elemanlarının bu üreteçlerden elde edilebileceğini göstermek için [ep,ep+1 ] komütatörünü düşüneceğiz. Basit bir hesapla [ep,ep+1] = ep,p+2 10 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR olduğu gösterilebilir. Örnek 2.2.6: sl 2( £ ) Lie cebirinin boyutu 3 tür. sl 2( £ ) nin standart baz matrisleri æ0 1ö ÷÷ , e = çç è0 0ø æ1 0 ö ÷÷ , h = çç è 0 - 1ø æ0 0ö ÷÷ f = çç è1 0ø dir. Örnek 2.2.7: sl 3( £ ) Lie cebirinin boyutu 8 dir. sl 3( £ ) nin standart baz matrisleri æ1 0 0ö ÷ ç h1 = ç 0 - 1 0 ÷ , ç0 0 0÷ ø è æ0 0 0 ö ÷ ç h2 = ç 0 1 0 ÷ ç 0 0 -1÷ ø è æ0 1 0ö ÷ ç e1 = ç 0 0 0 ÷ , ç0 0 0÷ ø è æ0 0 0ö ÷ ç e2 = ç 0 0 1 ÷ ç0 0 0÷ ø è æ0 0 0ö ç ÷ f1 = ç 1 0 0 ÷ , ç0 0 0÷ è ø æ0 0 0ö ÷ ç f2 = ç 0 0 0 ÷ ç0 1 0÷ ø è æ0 0 1ö ç ÷ e13 = ç 0 0 0 ÷ , ç0 0 0÷ è ø æ0 0 0ö ç ÷ f13 = ç 0 0 0 ÷ ç1 0 0÷ è ø dir. 11 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Tanım 2.2.8: g bir Lie cebiri olsun. g nin bir alt cebiri bir K alt vektör uzayıdır öyleki her x , y Î K için [ x ,y] Î K dır. Tanım 2.2.9: g bir Lie cebiri olsun. g nin bir I ideali bir alt vektör uzayıdır öyleki her x Î g ve her y Î I için [ x ,y] Î I dır. Tanım 2.2.10: Eğer bir Lie cebirinin {0} ve kendisinden başka ideali yoksa o Lie cebirine basit Lie cebiri denir. Lemma 2.2.11: I bir g Lie cebirinin bir ideali olsun. O zaman g I nın abelyen olması için gerek ve yeter koşul g' Ì I olmasıdır. İspat: g I nın abelyen olsun. Û Her x , y Î g için [ x + I , y + I ] = 0 + I Û [ x ,y] + I = I Û [ x ,y] Î I Û g' = Sp { [ x ,y] | x ,y Î g } Ì I Yukarıdaki lemma g' nün g I abelyen olacak şekildeki en küçük ideali olduğunu gösterir. Aynı şekilde g' de g'/J abelyen olacak şekilde bir en küçük J idealine sahiptir. Bu ideal [ g' , g' ] türetilmiş alt cebiridir. Bu alt cebiri g(2) ile gösterelim. Bu şekilde devam edilerek g nin türetilmiş serisini elde ederiz. Tanım 2.2.12: Bir g Lie cebirinin türetilmiş serisi g(0) = g g(1) = [ g , g ] , … , g(k) =[ g(k-1) , g(k-1) ] olarak tanımlanır. Eğer bazı m ³ 0 için g(m) = {0} ise g ye çözülebilir Lie cebiri denir. Tanım 2.2.13: g Lie cebirinin maksimal çözülebilir idealine g nin radikali denir ve radg ile gösterilir. 12 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Tanım 2.2.14: g ¹ {0} bir Lie cebiri olsun. Eğer g nin sıfırdan farklı çözülebilir idealleri yoksa, yani radg = {0} ise g ye yarı basit Lie cebiri denir. Örnek 2.2.15: sln( £ ) Lie cebirlerinin hepsi yarı basittir. ( Hatta hepsi basittir. ) 2.3. Lie Cebirlerinin Temsilleri Lie cebirleri vektör uzayları üzerinde temsil edilebilir. Vektör uzayı üzerindeki etki aşağıdaki tanımda görüldüğü üzere Lie cebirinin yapısıyla uygun olmalıdır. Tanım 2.3.1: g bir Lie cebiri ve V sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. Bir Y : g ® gl (V) homomorfizmine g nin bir temsili denir . Tanım 2.3.2: Y : g® gl (V) bir temsil olsun. Burada V vektör uzayına Y nin temsil uzayı ve V nin boyutuna da Y temsilinin boyutu denir . Tanım 2.3.3: F : g ® gl ( V ) g nin bir temsili ve W, V nin bir alt uzayı olsun. Her x Î g için ( F(x) ) (W) Ì W oluyorsa W ya bir alt temsil uzayı, F nin W ya kısıtlanışına alt temsil denir . Tanım 2.3.4: Eğer bir temsilin kendisi ve {0} dışında alt temsili yoksa bu temsile indirgenemez temsil denir . 13 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Tanım 2.3.5: V ve W iki vektör uzayı F v= g ® gl (V) , Fw =g®gl (W) bir g Lie cebirinin temsilleri olsun. Bu temsillerin bir homomorfizmi her x Î g için Y(Fv (x) ) = (Fw(x)) Y olacak şekilde bir Y:V ® W lineer dönüşümüdür . Örnek 2.3.6: g bir Lie cebiri olsun. Her y Î g için ad x (y) = [x,y] olarak tanımlanan ad : g ® gl (g) x ® ad x homomorfizmi bir Lie cebiri homomorfizmi olup “ad” dönüşümü g nin bir temsilidir. Bu temsile adjoint temsil denir. Burada g temsil uzayıdır . Örnek 2.3.7: g bir Lie cebiri olsun. Y : g ® gl( V ) dönüşümünü her x Î g için Y(x) =x olarak tanımlayalım. Bu dönüşüm bir homomorfizmdir . Y ye g nin standart temsili denir . 2.4. Temsillerin Birleşimi Lineer cebirsel yapıların inşasındaki alışılmış hesaplar Lie cebirlerinin birleşik temsillerinin ortaya çıkmasına neden olur . Örneğin , temsillerin direkt toplamını tanımlamak için oldukça açık bir yol vardır . Tanım 2.4.1: g bir Lie cebiri ve Y v : g ® gl (V) ile Yw : g ® gl(W) g Lie cebirinin iki temsili olsunlar. Bu temsillerin direkt toplamı 14 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Yv Å Yw : g ® gl ( V Å W ) 0 ö æ Y (x) ÷ x ® çç V YW ( x ) ÷ø è 0 olarak tanımlanır. Örnek 2.4.2: ( Yv Å Yw ) (x) (n+w) = Yv (x)×n+ Yw (x)×w olarak yazılabilir. Yv(x) = adx ve Yw(x) = x temsillerini alalım. O zaman ( Yv Å Yw ) (x) (n+w) = Yv (x)×(n) + Yw (x)×(w) = (adx)×n + x×w = [ x , n ] + x×w olur. Tanım 2.4.3: R birim elemanlı değişmeli bir halka ve M de bir değişmeli grup olsun. Eğer bir Y: R ´ M ® M (veya M ´ R ® M ) fonksiyonu ve her r , r1 , r2 Î R , m , m1 , m2Î M için 1. Y( r1 + r2 ,m) = Y( r1 , m ) + Y( r2 , m ) 2. Y( r , m1 + m2 ) = Y( r , m1 ) + Y( r , m2 ) 3. Y(1,m) = m 4. Y( r1 ,Y( r2 , m )) = Y( r1r2 , m ) koşulları sağlanıyorsa (R,M,Y) üçlüsüne bir sol R-modül denir. Kısacası M bir sol R-modüldür. Ayrıca Y(r,m) yerine kısaca r×m ya da r m yazılır. 15 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Tanım 2.4.4: R birim elemanlı bir halka, A bir sağ R - modül, B bir sol R –modül ve C bir abelyen grup olsun. Bir f : A ´ B ® C fonksiyonu ve her a , a1 , a2 Î A, b , b1 , b2Î B ve r Î R için 1. f(a1 + a2 , b) = f(a1 , b) + f(a2 , b) f(a , b1 + b2) = f(a , b1) + f(a , b2) ise f ye bilineer denir. 2. f(ar , b) = f(a , rb) ise f ye dengeli denir. Tanım 2.4.5: (Modüllerde tensör çarpım) R birim elemanlı bir halka, A bir sağ R modül ve B bir sol R –modül olsun. A ile B nin (R üzerindeki) tensör çarpımı (A ÄR B , h) ikilisidir öyleki AÄRB bir abelyen grup, h:A´B ® A ÄR B bilineer ve dengeli bir fonksiyon öyleki her D abelyen grubu ve her f: A´B ® D bilineer dengeli fonksiyon için A´B f D h f¢ A ÄR B değişmeli olacak şekilde tek bir f¢ grup homomorfizmi vardır. Not 2.4.6: g bir Lie cebiri olmak üzere g®gl(V) temsili ile, her x ,y Î g ve her n Î V için 16 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Y ( [ x , y ] Ä n) = Y ( x Ä Y (y Ä n) ) - Y( y Ä Y (x Ä n)) koşulunu sağlayan Y : g Ä V® V lineer dönüşümü aynıdır. Bu nedenle bazı durumlarda bu tanımı kullanacağız ve x Î g , n Î V için x×n = n(x Ä n) yazacağız. Şimdi iki Lie cebiri temsilinin tensör çarpımını tanımlayalım. g Ä V® V ve g Ä W ® W g Lie cebirinin iki temsili olmak üzere g ´ (V Ä W) ® V Ä W ( x ,(n Ä w)) ® x×n Ä x×w tanımı g de lineer değildir. Gerçekten de (x+y , n Ä w) = (x , n Ä w) + (y , n Äw) eşitliğinin sağlanmaz. Bunu gösterelim. (x+y , (nÄw))= (x+y)×n Ä (x+y)×w (1) (x,(n Ä w)) +(y ,(n Ä w))=[(x×n) Ä (x×w)] + [(y×n) Ä (y×w)] = (x+y)×n Ä (x+y)×w = (xn+yn) Ä (xw+yw) = (xn Ä (xw+yw)) + (yn Ä (xw+yw)) = (xn Ä xw) + (xw Ä yw) + (yn Ä xw) + (ynÄyw) (2) Görüldüğü gibi (1) ve (2) numaralı eşitlikler birbirine denk değildir. O halde yukarıdaki tanım g nin V Ä W üzerinde bir temsilini tanımlamak için uygun değildir. Bunun için aşağıdaki tanımı yapabiliriz. Tanım 2.4.7: g bir Lie cebiri ve Y v : g ® gl (V) ile Yw : g ®gl(W) g Lie cebirinin iki temsili olsunlar. Bu temsillerin tensör çarpımı 17 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Y vÄ Yw : g ® gl (V Ä W) x ® (n Ä w®(Y v (x))(n) Ä w + n Ä (Yw(x))(w) ) şeklinde tanımlanır. Örnek 2.4.8: (Y v Ä Yw)(x)(n Ä w) = (Y v (x)) (n) Ä w + n Ä (Yw(x)) (w). eşitliğinde Y v (x) = adx ve Yw(x) = x olsun. O halde bu iki temsilin tensör çarpımı (Y v Ä Yw)(x)(n Ä w) = (Y v (x)) (n) Ä w + n Ä (Yw(x)) (w) = adx(n) Ä w + n Ä x(w) = [x,n] Ä w + n Ä xw olur. Tanım 2.4.9: V, F cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. V den F cismine olan bütün lineer dönüşümlerin kümesine V nin dual uzayı denir ve V* ile gösterilir. Yani, V* = L(V , F) = {f : f: V®F lineer dönüşüm} olup dimV* = dimV dir. Tanım 2.4.10: g bir Lie cebiri ve Y : g ® gl (V) g Lie cebirinin bir temsili olsun. O zaman Y* : g ® gl(V*) x ® -YT(x) olarak tanımlanan temsile Y nin dual temsili denir. Burada YT(x), Y(x) in transpozudur. 18 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Tanım 2.4.11: g bir Lie cebiri olsun. g nin temsillerinin bütün izomorfizm sınıfları kümesinin [ Y ] Å [ Y ¢ ] ~ [ Y Å Y¢ ] tarafından üretilen denklik bağıntısına bölümüyle elde edilen ve g nin temsillerinin tensör çarpımı ve direkt toplamıyla donatılan Z - modülüne g nin temsil halkası denir. Bunu R(g) ile göstereceğiz. 2.5. İndirgenemezliğe Kısıtlama Bu kısımda yarı basit Lie cebirlerinin temsilleri ile ilgileneceğiz. Teorem 2.5.1: (Tam İndirgeme) g yarı basit bir Lie cebiri olsun. g nin sonlu boyutlu her temsili, g nin indirgenemez temsillerinin direkt toplamıdır. Özellikle g nin temsil halkası indirgenemez g-temsilleri tarafından üretilir. Önerme 2.5.2: ( Tümler alt modüllerin varlığı) V g yarı basit Lie cebirinin temsil uzayı ve W V nin alt temsil uzayı olsun. O zaman g nin bir W¢ Ì V olacak şekilde alt temsil uzayı vardır, öyleki V g nin W ve W¢ üzerindeki temsil uzaylarının direkt toplamıdır. 19 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER 20 Dünya KARAPINAR 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ İndirgenemez temsillerin başarılı sınıflandırılmasının nasıl yapılabileceğinin anlaşılması için, öncelikle sl2 ( £ ) cebirini inceleyelim. sl2( £ ) nin temsilleri bütün yarı basit Lie cebirlerinin temsillerinin temel yapıtaşı olarak ortaya çıkar. sl2( £ ) = {A Î gl2( £ ) êTrA = 0 } dir. Bu Lie cebirinin bir bazı æ1 0 ö ÷÷ , H = çç è 0 - 1ø æ0 1ö ÷÷ , X = çç è0 0ø æ0 0ö ÷÷ Y = çç è1 0ø olup bu baz elemanları arasındaki ilişki [ H , X ] = 2X , [ H , Y ] = -2Y, [ X , Y ] = H şeklindedir. 3.1. Karakteristik Uzaylara Parçalanış H elemanının sl2( £ ) nin bir temsilinin üzerinde nasıl etki ettiğini bulmak için, Lie cebirlerindeki Jordan parçalanışı kullanılır. Tanım 3.1.1: V bir vektör uzayı A V üzerinde lineer bir dönüşüm olsun. Eğer A nın matrisi köşegen olacak şekilde V de bir bazı varsa A ya köşegenleştirilebilir lineer dönüşüm denir. Köşegenleştirilebilir lineer dönüşümlere yarı basit lineer dönüşüm de denir. 21 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR Teorem 3.1.2: ( Jordan parçalanışı ) V sonlu boyutlu kompleks bir vektör uzayı ve A V üzerinde lineer bir dönüşüm olsun. O zaman A = As + An olacak şekilde yarı basit bir As ve nilpotent bir An lineer dönüşümü vardır. [As,An] = 0 olup bu şekildeki As ve An tek olarak bellidir. A nın bu şekildeki parçalanışına Jordan parçalanışı denir. æ1 1 ö ÷÷ matrisi A1 = Örnek 3.1.3: A = çç è 0 - 1ø æ1 0 ö ÷÷ ve A2 = çç è 0 - 1ø æ0 1ö ÷÷ olmak üzere çç è0 0ø A = A1 + A2 şeklinde parçalanabilir. A1 köşegen matris olduğundan yarı basittir. æ0 1ö æ0 1ö æ0 0ö ÷÷ ÷÷ = çç çç ÷÷ çç è0 0ø è0 0ø è0 0ø olup (A2)2=0 dır. O halde A2 nilpotenttir. æ1 0 ö æ0 1ö æ0 1ö æ1 0 ö ÷÷ ÷÷ çç ÷÷ - çç ÷÷ çç [A1 , A2 ] = çç è 0 - 1ø è 0 0 ø è 0 0 ø è 0 - 1ø æ0 2ö ÷÷ ¹ 0 = çç è0 0ø O halde A = A1 + A2 Jordan parçalanışı değildir. æ1 - 1ö ÷÷ , A1 = Örnek 3.1.4: A = çç 1 3 è ø æ2 0ö çç ÷÷ , A2 = 0 2 è ø A1 köşegen matris olup yarı basittir. 22 æ - 1 - 1ö çç ÷÷ olsun. 1 1 è ø 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR æ - 1 - 1ö æ - 1 - 1ö æ 0 0 ö ÷ ç çç ÷ =ç ÷ 1 ÷ø çè 1 1 ÷ø çè 0 0 ÷ø è1 olup (A2)2=0 dır. O halde A2 nilpotenttir. æ 2 0 ö æ - 1 - 1ö æ - 1 - 1ö æ 2 0 ö ÷÷ çç ÷ -ç ÷ ç ÷ =0 [A1 , A2 ] = çç 1 ÷ø çè 1 1 ÷ø çè 0 2 ÷ø è 0 2ø è 1 O halde A = A1 + A2 Jordan parçalanışıdır. Teorem 3.1.5: (Jordan Parçalanması) Y : g ® gl (V) bir g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve x Î g olsun. Eğer xs , xn Î gl(g) için xs (adx) in yarı basit parçası ve xn nilpotent parçası ise o zaman Y(xs) , Y(xn) Î gl(V) de Y(x) in sırasıyla yarı basit ve nilpotent parçalarıdır. Sonuç 3.1.6: ( Köşegenleştirilebilme) Y: g ® gl(V) bir g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve x Î g olsun. Eğer ad(x) Î gl(g) köşegenleştirilebilir ise Y(x) Î gl(V) de köşegenleştirilebilir. Not 3.1.7: V sonlu boyutlu bir kompleks vektör uzayı ve g gl(V) nin bir alt cebiri olsun. Eğer xÎg köşegenleştirilebilir ise ad(x) de köşegenleştirilebilir. Bunu gösterelim. x : V ®V köşegenleştirilebilir bir lineer dönüşüm ve {n1 ,n2 ,…, nn } V nin özvektörlerden oluşan bir baz kümesi olsun. x(ni) = li ni diyelim. V den V ye olan tüm lineer dönüşümlerin vektör uzayını End(V) ile gösterelim. Tij ÎEnd(V) dönüşümlerini Tij (nk) = djk ni 1 £ i, j , k £ n olarak tanımlayalım. Burada ì1 , j = k djk = í î0 , j ¹ k 23 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR olarak tanımlanan kronecker deltadır. {Tij}1 £ i, j £ n kümesi End(V) nin bir bazıdır. Şimdi adx : g ® g dönüşümünün bu baza göre matrisi bulalım. adx(Tij) (nk) = [ x , Tij] (nk) = (x Tij - Tij x) (nk) = x Tij (nk) - Tij x (nk) = x djk ni - Tij lk nk = x (ni) - lj Tij (nj) = li n i - lj n i = (li - lj ) ni = (li - lj ) Tij (nk) olur. O halde ad x (Tij) = (li - lj ) Tij olup adx in matrisi köşegeni üzerinde (li - lj) ler olan köşegen bir matristir. sl2( £ ) nin sonlu boyutlu bir vektör uzayı olan V üzerindeki indirgenemez temsillerini düşünelim. H nin V üzerindeki etkisi köşegenleştirilebilir olduğundan V yi H nin karakteristik uzayları olan Va lara parçalayabiliriz. Yani A Ì £ H nin özdeğerleri kümesi olmak üzere V = Å Va aÎA olarak yazılabilir. 3.2. Karakteristik Uzaylar Arasındaki Etkileşim Bu kısımda X ve Y matrislerin yukarıda sözü edilen parçalanışa nasıl etki ettiğine dikkat çekeceğiz. a Î A, n Î Va olsun. O zaman H ( X(n) ) = [ H , X] (n) + X ( H (n ) ) 24 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR = 2 × X (n) + a ×X (n) = (a + 2) × X(n) olup X(n) Î Va+2 dir. Benzer şekilde Y(n) Î Va-2 olduğunu gösterebiliriz. H ( Y(n) ) = [ H , Y] (n) + Y ( H (n ) ) = -2 × Y (n) + a ×Y (n) = (a - 2) × Y(n) Ayrıca Å Vb bÎA bº a mod2 direkt toplamı, V nin bir alt temsilidir. V indirgenemez olduğu için, bazı a özdeğerleri ve bazı n Î ¥ için A ={a+ 2j | jÎ{0,1,…,n} } kümesi var olup. V = Å Va +2× j jÎ{0, n} dır. Bu durumu aşağıdaki şekilde açıklayabiliriz: X 0 ¬¾ ¾¾ Va Y ¾¾ ¾® ¬¾ ¾¾ X Va+2 Y H ¾¾ ¾® ¬¾ ¾¾ Y L H X X ¾¾ ¾® ¬¾ ¾¾ Va+2n-2 ¬¾ ¾¾ X Va+2n Y Y H 25 ¾¾ ¾® H ¾¾ ¾® 0 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR 3.3. Genel Durum Va+2j özdeğer uzayının ne kadar büyük olduğu, özdeğerler kümesinin genelde nasıl göründüğü, verilen bir özdeğer kümesinin kaç tane indirgenemez temsilinin bulunduğunu araştıracağız. Önerme 3.3.1: (Löh, 2006) n Î Va+2n\ {0} olsun. O zaman V=Å £ × Y (n) j jÎ{0,…,n} ve her j Î {1,…,n} için X(Yj(n)) = j× (a + 2n – j + 1) × Yj-1 (n) dir. İspat:V nin yukarıdaki direkt toplamı içerdiği aşikardır. V indirgenemez olduğundan W= Å £ × Y (n) j jÎ{0,…,n} alt uzayının H ve X in etkisi altında kapalı olduğunu gösterelim. Her Yj(n) H nin Va +2× j özdeğer uzayında olduğu için H(W) Ì W dur. Her j Î {0, 1,…, n} için X(Yj(n)) = j× (a + 2n - j + 1)×Yj-1 (n) (ÎW) olduğunu tümevarımla gösterelim. 26 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR X(Y0(n)) = X(n) = 0 ÎW ve X(Y(n)) = [ X , Y] (n) + Y ( X (n ) ) = H(n) + 0 = (a +2n) × n dir. jÎ{1,…,n-1} için eşitlik doğru olsun. X(Yj+1(n)) = X (Y (Yj(n)) ) = [ X , Y] (Yj(n)) + Y ( X (Yj(n)) ) = H (Yj(n)) + Y (X (Yj(n)) = (a+2n-2j) × Yj(n) + Y( j × (a+2n-j+1) × Yj-1(n) ) = (j+1) ×(a+2n-j) ×Yj(n) Böylece W X etkisi altında kapalıdır. O halde V = W olur. Sonuç 3.3.2: (Löh, 2006) özuzayları 1 Bir indirgenemez sl2 ( £ ) temsili için H nin tüm boyutludur ve sl2 ( £ ) nin her bir indirgenemez temsili H nin özdeğerlerinin kümesiyle tek olarak bellidir. Ayrıca sl2 ( £ ) nın bir indirgenemez temsili üzerinde H nin özdeğerlerinin kümesi sıfıra göre simetrik olan tamsayılar içerir : n Î Va+2n \ {0} olsun. Önerme 3.3.1 den biliyoruz ki, Yn+1(n) = 0 ve Yn¹0 dır. Önerme.3.3.1 in ikinci kısmından 27 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR 0= X ( Yn+1(n) ) = (n+1) × (a-n) × Yn(n), olup a = n dir. Buna göre a bir tamsayı ve {a , a+2 , … ,a+2n } kümesi sıfıra göre simetriktir. Diğer taraftan her n Î ¥ için (n+1) boyutlu bir indirgenemez sl2( £ ) temsili vardır öyleki H bu temsil üzerinde {-n , -n+2 , … ,n} özdeğerler kümesiyle etki eder. Yani, bu temsil Önerme 3.3.1. de verilen bağıntılar tarafından üretilen temsildir. 28 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR 4. GENEL TEMSİLLER sl2( £ ) nin temsillerinin sınıflandırmasını gözönüne alarak genel durumu inceleyeceğiz. Bunun için önce sl3( £ ) nin temsillerine bakacağız. sl2( £ ) nin durumundan esinlenerek aşağıdaki strateji takip edilecektir: 1. sl2( £ ) nin H elemanının yerine konulacak eleman bulunacaktır. 2. Özdeğer fikri genellenecektir. 3. Özuzay parçalanışı üzerindeki etki incelenecektir. 4. sl2( £ ) nin verilen Lie cebiri içindeki kopyalarının yardımıyla özdeğerler kümesinin geometrisi analiz edilecektir. 5. Farklı özdeğerler ve ilgili devirli temsiller ve doğru simetriler bulunacaktır. Tanım 4.1: F bir cisim ve g de F cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. K:g ´ g "F K(x,y) = Tr (adx ady) olarak tanımlanan dönüşüme g nin Cartan-Killing formu veya sadece Killing formu denir. Lemma 4.2: F bir cisim ve g de F cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. x, y, z Î g ve a, b Î F olsun. g üzerindeki Cartan – Killing Formu aşağıdaki özelliklere sahiptir. K1) K(ax + by , z) = a K(x , z) +b K(y , z) K(x , ay + bz) = a K(x , y)+b K(x , z) K2) K(x , y) = K(y , x) 29 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR K3) K( [x , y] , z) = K( x , [y , z] ) 4.1. Cartan Alt Cebiri ve Genelleştirilmiş Özdeğerler sl2( £ ) Lie cebirinin indirgenemez temsillerini analiz ederken H köşegen matrisinin bu temsiller üzerindeki etkisini incelemiştik. Bu kısımda H yerine uygun bir yapı, örneğin abelyen alt cebirler alınacaktır. Şüphesizki en büyük abelyen alt cebirler temsiller üzerinde en büyük etkiyi yapacaktır. Bu nedenle maksimal abelyen alt cebirleri düşüneceğiz. Bu bölümdeki sonuçlar (Löh, 2006) dan alınmıştır. Tanım 4.1.1: g bir Lie cebiri olmak üzere bir x Î g için adx köşegenleştirilebiliyorsa x e köşegenleştirilebilir eleman denir. Tanım 4.1.2: g bir yarı basit Lie cebiri ve A g nin köşegenleştirilebilir elemanlarının maksimal abelyen alt cebiri ise A ya g nin Cartan alt cebiri denir. Örnek 4.1.3: sl2( £ ) nin £ × H alt cebiri Cartan alt cebiridir. Daha genel olarak n Î ¥ olsun. sln ( £ ) içindeki köşegen matrislerin alt cebirine h diyelim. h sln ( £ ) nin Cartan alt cebiridir. Yani h köşegenleştirilebilir elemanların abelyen alt cebiridir. sln ( £ ) nin bütün köşegen matrislerle değişmeli olan bir elemanı köşegen olmak zorundadır. Böylece h maksimal olup ve Cartan alt cebiridir. Teorem 4.1.4: ( Cartan alt cebirinin varlığı ) Herhangi bir yarı basit Lie cebiri Cartan alt cebirine sahiptir. sl2( £ ) de herhangi bir temsil H köşegen matrisinin özdeğer uzaylarının bir toplamına parçalanır. Genel olarak şeçilen bir h Cartan alt cebirinin elemanları verilen bir temsil üzerinde aynı özdeğer ile etki etmezler. Fakat h nin elemanlarının 30 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR özdeğerleri lineer bağımlı olup h* dual uzayındaki elemanların ortaya çıkmasına neden olurlar. Tanım 4.1.5: Y :g " gl(V) g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve h g nin Cartan alt cebiri olsun. 1. Y nin bir ağırlığı bir a Î h* lineer fonksiyonelidir öyleki her x Î h için (Y(x)) (n) = a (x) × n koşulunu sağlayan bir nÎV\{0} vektörü vardır. 2. Yukarıdaki bağıntıyı sağlayan bütün n Î V lerin kümesine a ile ilişkili ağırlık uzayı denir ve Va ile gösterilir. Va nın boyutu a nın Y deki katlılığıdır. 3. g nin adjoint temsilinin sıfırdan farklı ağırlıklarına g nin kökleri denir. 4. Bir kök ile ilişkili ağırlık uzayına g nin bir kök uzayı denir. 5. h* da g nin kökleri tarafından üretilen ¢ - alt modülüne g nin kök kafesi denir. Örnek 4.1.6: sl2( £ ) nin köklerini bulalım. sl2( £ ) nin bazı {X ,Y ,H} olup [ H , X ] = 2 × X , [ H , Y ] = - 2 ×Y , [ X , Y ] = H olduğundan ad H (X) = 2 × X ad H (Y) = -2 × Y dir. O halde 2 ve -2 sl2( £ ) nin kökleridir. Örnek 4.1.7: sl3 ( £ ) nin köklerini bulalım. j, k Î { 1 , 2 , 3 } için ejk Î £ 3´3 (j, k) bileşeni 1 , diğer bileşenleri 0 olan matristir. Ayrıca Hjk = ejj - ekk olsun. O halde h = £ × H12 + £ × H13 + £ × H23 sl3 ( £ ) nin Cartan alt cebiridir. 31 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR h nin sl3 ( £ ) üzerindeki etkisine bakalım. j Î{ 1 , 2 , 3 } için Lj : h " £ dönüşümü æ x1 ç ç0 ç0 è 0 x2 0 0ö ÷ 0 ÷ ® xj x 3 ÷ø olarak tanımlansın. Her j , k , r ,s Î { 1 , 2 , 3 } j ¹ k ve r ¹ s için [Hjk , ers ] = ((Lr - Ls) (Hjk)) × ers . ad Hjk (ers) = ((Lr - Ls) (Hjk)) × ers . olup Lj – Lk sl3 ( £ ) ün kökleridir. Örnek 4.1.8: sl3 ( £ ) nin £ 3 üzerindeki standart temsilinin ve dual temsilinin ağırlıklarını hesaplayalım. j Î {1 , 2 , 3} için ej Î £ 3 j-yinci birim vektör olsun. Her k Î {1 , 2 , 3} için Hjk ×er = djr ×er - dkr ×er = Lr (Hjk) × er . dir. Yani, L1 , L2 , L3 standart temsilin ağırlıklarıdır . Önerme 4.1.9 dan - L1 , - L2 , - L3 de sl3 ( £ ) nin standart temsilinin dualinin ağırlıklarıdır . İndirgenemez temsillerin sınıflandırılmasında sl2( £ ) Lie cebirinde olduğu gibi köklerin ve ağırlıkların analizi ilk adımı oluşturur . 32 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR Önerme 4.1.9: (Birleşik temsillerin ağırlığı) Yv : g ® gl(V) ve Yw :g ® gl(W) bir g Lie cebirinin iki temsili olsunlar . 1. a ve b sırasıyla Yv ve Yw nun ağırlıkları ise a+b Yv Ä Yw nin ağırlığıdır. 2. a hem Yv hem de Yw nun ağırlığı ise a aynı zamanda Yv Å Yw nun ağırlığıdır. 3. a Yv nin ağırlığı ise -a Yv* ın ağırlığıdır. İspat : 1. a ve b sırasıyla YV ve YW nun ağırlıkları olsun. Yani, (Yv(x)) (n) = a (x) × n ve (Yw(x)) (w) = b (x) × w olsun. (YV Ä YW ) (x) (nÄw) = (YV(x)) (n) Ä w + n Ä (YW(x)) (w) = ( a (x) × n ) Ä w + n Ä ( b (x) × w ) = a (x) ( n Ä w )+ b(x) ( n Ä w ) = ( a(x) + b(x) ) ( n Ä w ) = (a + b)(x) ( n Ä w ) olur. O halde Yv Ä Yw nin ağırlığı a+b dır. 2. a hem Yv hem de Yw nun ağırlığı olsun. Yani, (Yv (x)) (n) = a (x) × n ve (Yw(x)) (w) = a (x) × w olsun. (Yv Å Yw)(x) (n+w) = Yv(x) n + Yw(x) (w) 33 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR = a (x) × n + a(x) × w = a(x) ( n+w) olur. O halde Yv Å Yw nun ağırlığı a dır. 3. a Yv nin ağırlığı olsun. Yani, (Yv(x)) (n) = a (x) × n olsun. ( YV*(x) ) (n) = (-YT(x) ) (n) = -( a(x) ) (n) olur. O zaman YV* ın ağırlığı -a olur. 4.2. Temsillerin Ağırlık Uzaylarına Parçalanışı Bu kısımda bir Lie cebirinin Cartan parçalanışını inceleyeceğiz. Teorem 4.2.1: (Cartan parçalanışı) g bir yarı basit Lie cebiri, h Cartan alt cebiri ve A g nin köklerinin kümesi (h ye göre) olsun. O zaman g Lie cebiri g = h Å Å ga aÎA olarak parçalanır. Burada ga a ya karşılık gelen kök uzayıdır. Örnek 4.2.2: sl2 ( £ ) de [ H , X ] = 2X, [ H , Y ] = -2Y, [ X , Y ] = H olup sl2( £ ) nin kökleri 2 ve -2 dir. 2 ve -2 ye karşılık gelen kök uzayları sırasıyla £ ×X ve £ ×Y ve sl2( £ ) nin Cartan alt cebiri £ ×H olup sl2( £ ) nin Cartan parçalanışı 34 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR sl2( £ ) = £ ×H Å £ ×X Å £ ×Y şeklindedir. Örnek 4.2.3: sl3( £ ) nin h = £ ×H12 Å £ × H23 Cartan alt cebirine göre Cartan parçalanışı sl3( £ ) = h Å Å Å £ × ejk jÎ{1,2,3} kÎ{1,2,3}\{j} şeklindedir. Herhangi bir temsil Teorem 4.2.1. dekine benzer şekilde ağırlık uzaylarına parçalanabilir. Teorem 4.2.4: (Ağırlık uzaylarına parçalama) y : g ® gl(V) bir g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve Ay y nin ağırlıkları kümesi olsun. O halde V = Å Va aÎA y dır.(Yani ağırlık uzaylarının direkt toplamı şeklindedir.) 4.3. Kök Uzayları ve Ağırlık Uzayları Arasındaki İlişkiler sl2( £ ) Lie cebirinde olduğu gibi, kök uzayları bir temsilin ağırlık uzaylarına parçalanışı üzerinde güzel bir etkiye sahiptir. Önerme 4.3.1: (Ağırlık uzaylarına parçalanış üzerindeki etki) Y: g ® gl(V) bir g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve h g nin bir Cartan alt cebiri olsun.Varsayalımki g=h Å 35 Å ga aÎA 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR Cartan parçalanışı ve V = Å Va aÎA Y V nin ağırlık uzaylarına parçalanışı olsun. O zaman 1. Bütün aÎA kökleri ve bütün bÎAY ağırlıkları için ga ×Vb Ì Va+b dır. 2. Eğer Y indirgenemez ise V = Å Va+b aÎA olacak şekilde bir bÎh* vardır. İspat: yÎga ve zÎVb olsun. Her xÎh için Y (x) (Y(y)z ) = (a + b) (x) × Y(y)z olduğunu göstermek yeterlidir. gl(V) üzerindeki Lie çarpımının tanımından her x Î h için Y(x) (Y(y)z ) = [ Y(x) , Y(y) ] gl(V) (z) + Y(y) (Y(x)z) = Y ( [ x ,y ]g ) (z) + Y (y) (b(x) × z ) = Y (ad(x) y) z + b(x) × Y (y)z = a(x) × Y (y)z + b(x) × Y (y)z 36 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR elde edilir. Bu önerme temsillerle çalışırken , ağırlık uzaylarına parçalanış için önemli bir araçtır. Tanım 4.3.2: Y : g ® gl(V) g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve h g nin Cartan alt cebiri olsun. Y nin h nin dual uzayı içerisinde olan ağırlıklarının kümesine Y nin ağırlık diagramı denir. Bundan sonra, indirgenemez temsillerin ağırlık diagramlarının temelinde yatan geometrik yapıyı araştıracağız. 4.4. Parçaları Araştırmak Verilen bir Lie cebirinin ağırlıklarının tüm konfigürasyonları bazı indirgenemez temsillere ait olmayabilir. Hangi konfigürasyonların ait olduğunu bilmek önemlidir. Bazı durumlarda her yarı basit Lie cebiri sl2( £ ) nin kopyalarından inşa edilir ve sl2( £ ) nin temsil teorisi, olası ağırlık diagramının geometrisinin kurallarından bazılarını bulmamız için bize yardım eder. Önerme 4.4.1: ( sl2( £ ) nin kopyalarını belirleme ) g bir yarı basit Lie cebiri ve g = h Å Å ga g nin Cartan parçalanışı olsun. Her a Î A kökü için aÎA sa = ga Å g-a Å [ ga , g-a ] direkt toplamı Lie çarpımı ile birlikte g nin sl2( £ ) ye izomorf olan bir alt cebiridir. İspat: a g nin bir kökü olsun. O halde -a da g nin bir köküdür. Ayrıca ga ve g-a kök uzaylarının her ikisi de bir boyutludur ve [ ga , g-a ] ¹ 0 ve [ [ ga , g-a ] , ga ] ¹ 0 olur. 37 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR [ H , X ] = 2 × X, [ H , Y ] = -2 × Y ve [ X , Y ] = H koşulunu sağlayan X Î ga, Y Î g-a ve H Î [ ga , g-a ] bulabiliriz. Böylece sa sl2( £ ) ye izomorfik olur. Bu bölümün geri kalan kısmında genellikle aşağıdaki gösterimleri kullanacağız. Not 4.4.2: g bir yarı basit Lie cebiri, h g nin Cartan alt cebiri ve g=h Å Å ga aÎA g nin Cartan parçalanışı olsun. Her a Î A kökü için sa = ga Å g-a Å [ ga , g-a ] yazacağız ve [ Ha , Xa ] = 2 × Xa , [ Ha , Ya ] = -2 × Ya ve [ Xa , Ya ] = Ha eşitliklerini sağlayan Xa Î ga, Ya Î g-a ve Ha Î[ ga , g-a ] üreteçlerini şeçeceğiz. Ha nın, sa @ sl2( £ ) cebirinin herhangi bir temsili üzerindeki özdeğerleri tamsayılardır. Bu durum Y nin sa ya kısıtlaması olan bütün Y| sa kısıtlamaları için de doğru olduğunu aşağıdaki önerme ile görülmektedir. Önerme 4.4.3: Eğer b Î h* g yarı basit Lie cebirinin bir temsilinin bir ağırlığı ise o zaman her a Î A için b(Ha) tamsayıdır. Tanım 4.4.4: Her a Î A için b(Ha) Î ¢ koşulunu sağlayan b Î h* fonksiyonellerinin kümesine g nin ağırlık kafesi denir. Ayrıca, bir yarı basit Lie cebirinin bir temsilinin bütün ağırlıkları kendi ağırlık kafesi tarafından içerilir. 38 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR 4.5. Simetriler sl2( £ ) nin ağırlık diyagramları sıfıra göre simetrik olup sa alt cebirleri bu simetrileri genel duruma taşır. Bu durumda simetri grubu yansımalar tarafından üretilir. Tanım 4.5.1: Her a Î h* kökü için Wa a ya ortogonal olan hiperdüzlemde Wa : h* ® h* b ® b- 2 × b(H a ) × a = b - b(Ha) ×a a(H a ) yansıması olsun. g nin W(g) ile gösterilen Weyl grubu End(h* ) ın (Wa)aÎA yansımaları tarafından üretilen alt grubudur. Yansıma kelimesi h* dual uzayı üzerinde uygun bir iç çarpım tanımlanarak anlaşılır hale getirilebilir. Örneğin, böyle bir iç çarpım için killing formu örnek verilebilir. Öncelikle , Weyl grubunun tanımı bir Cartan alt cebirinin bir seçimine bağlıdır fakat bu grup gerçekte şeçilen Cartan alt cebirinden bağımsızdır. Önerme 4.5.2: (Ağırlıkların simetrileri) Bir g yarı basit Lie cebirinin herhangi bir temsilinin ağırlıkları W(g) Weyl grubunun etkisi altında invaryantır. Ayrıca herhangi bir temsilin ağırlıklarının katlılığı da Weyl grubu altında invaryantır. İspat: Y : g ® gl(V) g nin bir temsili olsun. a Î h* g nin bir kökü, b Î h* Y nin ağırlığı olsun. O zaman V [b] = Å Vb+n.×a nÎZ 39 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR V üzerinde sa - temsil olan res gsa temsilinin bir alt temsilidir. sl2( £ ) temsillerinin sınıflandırılmasından dolayı Ha nın V [b] üzerindeki özdeğerlerini biliriz. Yani S = { b+n×a | n Î ¢ , Vb+n×a ¹ 0 } olmak üzere S(Ha) kümesi orjine göre simetriktir. Uygun bir n Î ¥ için b ya a nın katları eklenerek oluşturulan S = { b , b+a , …,b+n×a } kümesini düşünebiliriz. a(Ha) = 2 ve S simetrik olduğundan -b(Ha) = b(Ha) + 2 × n elde edilir. Böylece n = -b(Ha) olur. Sonuç olarak Wa × S = { Wa (b + j × a) | j Î { 0 ,…,n} } = { b + j × a - (b + j × a) (Ha) × a | j Î { 0 ,…,n} } = { b + (n – j) × a | j Î { 0 ,…,n} } =S dir. Buradan anlaşıldığı üzere V [b] nın ağırlıkları Wa nın etkisi altında invaryanttır. Böylece V nin bütün ağırlıklarının kümesi de Wa altında invaryant olur. ( ve W(g) altında ). Aynı hesaplarla kök katlılıklarının da Weyl grubunun etkisi altında invaryant olduğu gösterilebilir. 4.6. Yüksek Ağırlıklar sl2( £ ) nin indirgenemez temsillerini sınıflandırırken özdeğerlere bir sıralama veririz. Genel durumda, ağırlıkların böyle bir lineer sıralaması söz konusu 40 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR olmayabilir. Fakat yine de en yüksek ağırlık olarak adlandırılan farklı ağırlıklar vardır. Tanım 4.6.1: l g Lie cebirinin kök kafesi üzerinde tanımlı, kök kafesine göre irrasyonel olan bir fonksiyonel olsun. 1. Eğer l (a) > 0 ise g nin a Î h* olacak şekilde bir köküne pozitif kök denir. Eğer bir kök pozitif değilse negatiftir. Kök uzayının böyle bir parçalanışına g nin köklerinin bir sıralaması denir. 2. Bir Y : g ® gl(V) temsilinin bir en yüksek ağırlığı, Y nin bir en yüksek ağırlık vektörünün ağırlığıdır. 3. Y temsilinin bir en yüksek ağırlık vektörü g nin her pozitif a kökü için ga × n= 0 koşulunu sağlayan ve V nin bir ağırlık uzayında bulunan bir n Î V \ {0} vektörüdür. Önerme 4.6.2: (İndirgenemez temsillerin en yüksek ağırlıkları) g bir yarı basit Lie cebiri ve A = A+ È A- g nin köklerinin bir sıralaması olsun. 1. g nin sonlu boyutlu herhangi bir temsili bir en yüksek ağırlık vektörüne sahiptir. 2. Eğer n g nin bir temsilinin en yüksek ağırlık vektörü ise o zaman a Î Aolmak üzere ga kök uzaylarının n ye ardışık uygulanmasıyla üretilen W alt uzayı g nin bir indirgenemez alt temsilidir. 3. g nin bir indirgenemez temsilinin en yüksek ağırlık vektörü sabitler göz önüne alınmazsa tek olarak bellidir. İspat: 1. Temsilin boyutunun sonlu oluşu ve Teorem 4.2.4. nedeniyle sonuç açıktır. 41 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR 2. Y : g ® gl(V) g nin bir temsili ve n Y nin en yüksek ağırlık vektörü olsun. n Î ¥ için wn uzunluğu en çok n olan ve negatif kökleri kök uzaylarının elemanlarını içeren bir kelime olmak üzere wn × n formundaki tüm vektörlerin ürettiği alt uzay Wn olsun. O zaman W= UW n nÎN olur. İlk olarak, W nun Y nin alt temsili olduğunu gösterelim. Bunun için W nun pozitif kök uzaylarındaki bütün elemanların etkileri altında invaryant olduğunu göstermek yeterlidir. ( Çünkü Cartan cebiri W üzerinde köşegen olarak etki eder) . Her n Î ¥ ve her x Î ga ve a Î A+ olmak üzere x × Wn Ì Wn+1 ifadesini tümevarımla gösterelim. n Y nin bir en yüksek ağırlık vektörü olduğu için n = 0 durumunda ifade sağlanır. x Î ga , a Î A+ ve w Î Wn olsun. Wn in tanımından w¢ Î Wn-1 , y Î gb ve b Î A- olmak üzere w = y × w¢ yazabiliriz. O halde [ x , y ] Î ga+b olmak üzere x × w = x × y × w¢ = [ x , y] × w¢ + y × x × w¢ olur. (Önerme 4.3.1) Eğer a + b Î A- ise, Wn in tanımından [ x , y] × w¢ Î Wn Ì Wn+1 olur. Eğer a + b Î A- ise, o zaman tümevarımdan [ x , y] × w¢ Î Wn Ì Wn+1 42 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR olur. Eğer a + b = 0 ise, o zaman [ x , y ] Cartan cebirindedir ve böylece [ x , y] × w¢ Î Wn-1 Ì Wn+1 olur. Ayrıca, ikinci toplamdan Wn Ì Wn+1 dir. Yani y × x × w¢ Î Wn Ì Wn+1 dir. Böylece W Y nin alt temsilidir. W nun en yüksek ağırlık uzayı, yani W0 bir boyutlu olduğu için Önerme 4.1.9. dan W indirgenemezdir. 3. Önerme 4.3.1 ve ikinci kısımdan elde edilir. Tanım 4.6.3: g bir yarı basit Lie cebiri, h Cartan alt cebiri ve A=A+ È A- köklerin bir sıralaması olsun. Bu sıralamaya göre Weyl çemberi her bÎA+ için a(Hb) ³ 0 koşulunu sağlayan tüm a Î h* elemanlarının kümesidir. 4.7. Sınıflandırma Tanım 4.7.1: Kısmi sıralı bir kümenin tam sıralı bir alt kümesine bir zincir denir. Tanım 4.7.2: Eğer bir zincirin herhangi iki a, b elemanı için zincire ait olacak şekilde sonlu bir a = a0, a1,…, an =b dizisi varsa ve i =1,…,n için ai-1, ai mukayese edilebiliyorsa zincire bağlantılı zincir denir. Teorem 4.7.3: g bir yarı basit Lie cebiri, A = A+ È A- g nin köklerinin bir sıralaması ve C bu sıralamaya karşılık gelen Weyl çemberi olsun. Ayrıca L g nin ağırlık kafesi olsun. O zaman 43 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR 1. Her a Î C Ç L için en yüksek ağırlığı a olan ( sonlu boyutlu ) bir tek Ga temsili vardır. 2. Böylece C Ç L ile g nin (sonlu boyutlu ) indirgenemez temsillerinin izomorfizm sınıflarının kümesi arasında bijeksiyon vardır. 3. Ga nın ağırlıklarının kümesi aşağıdaki anlamda konvekstir: Eğer b Î h* ve g g nin herhangi bir kökü ise o zaman ağırlıkların kümesi ile {b+n g | nÎ ¢ } doğrusunun kesişimi bağlantılı bir zincirdir. 4. g nin herhangi bir temsili ağırlıklarının katlılığı ile tek olarak bellidir. İspat: Bu teoremin ispatı (Löh, 2006) da bulunabilir. 4.8. Temsil Halkalarının Yapısı Yarı basit Lie cebirlerinin indirgenemez temsillerinin içindeki ağırlıklarının katlılığını hesaplamak için genel teknikler vardır. Tanım 4.8.1: g bir yarı basit Lie cebiri, L g nin ağırlık kafesi olsun. L abelyen grubunun ¢ üzerindeki grup halkasını ¢ [L] ile gösterelim. O zaman Vl l ya karşılık gelen ağırlık uzayı olmak üzere g Lie cebirinin karakter homomorfizmi c : R(g) ® ¢ [L] [V] ® å dimV lÎL l ×l olarak tanımlanır. Bir temsilin karakteri ağırlık diagramı olarak değerlendirilebilir. Bu bakımdan, ağırlık diagramlarının bütün resimleri temsillerin karakterlerinin resimleri olarak yorumlanabilir. 44 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR Tanım 4.8.2: g bir yarı basit Lie cebiri olsun. g nin köklerinin bir sıralamasının verilmiş olduğunu varsayalım. Bu sıralamaya göre g nin temel ağırlıkları, Weyl çemberinin kenarları ile çakışan sıfırdan farklı ilk ağırlıklardır. Teorem 4.8.3: (Yarı basit Lie cebirlerinin temsil halkaları) g, temel ağırlıkları w1,…,wn olan yarı basit bir Lie cebiri ve G1 ,…, Gn karşılık gelen indirgenemez temsiller olsun. O zaman R(g) temsil halkası G1 ,…, Gn değişkenleri üzerinde bir polinom halkasıdır ve karakter homomorfizmi R(g) @ ¢ [L]W(g) izomorfizmini belirler. 45 4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR 46 5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR 5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ ìæ a b ö ü ÷÷ : a,b,c Î £ ý sl2 ( £ ) = íçç þ îè c - a ø cebirinin [A,B] = AB – BA işlemiyle birlikte bir Lie cebiri olduğunu hatırlayalım. Öncelikle sl2 ( £ ) Lie cebirinin bir bazı ì æ1 0 ö ÷÷ , íH = çç 0 1 ø è î æ0 1ö ÷÷ , X = çç è0 0ø æ 0 0 öü ÷÷ý Y = çç è 1 0 øþ [ H , X ] = 2X , [ H , Y ] = - 2Y , [X,Y]=H olup bağıntıları sağlanır. Bu bölümdeki tüm önermeler (Banu, 2006) dan alınmıştır. Örnek 5.1: Aşağıda sl2 ( £ ) nin temsillerinin örnekleri verilmiştir. 1. sl2 ( £ ) den gl2 ( £ ) içine olan l : sl2 ( £ ) ® gl2 ( £ ) monomorfizm ( gömme dönüşümü ) bir temsil tanımlar. 2. V = £ [ x,y ] polinom halkası olsun. Eğer 47 5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ X®x Dünya KARAPINAR ¶ , ¶y H®x ¶ ¶ -y , ¶x ¶y Y®y ¶ ¶x ise o zaman bu homomorfizm £ [ x,y ] nın bir sl2 ( £ )- temsilini tanımlar. Derecesi k olan homojen polinomları Sym k ( V ) ile gösterelim. Örnek 5.2: k = 3 olsun. Sym kümesidir. sl2 ( £ ) cebiri Sym 3 3 ( V ) derecesi 3 olan homojen polinomların ( V ) nin {x3 , x2 y , xy2 , y3 } baz kümesine aşağıdaki şekilde etki eder. X=x ¶ ¶y H=x ¶ ¶ -y ¶x ¶y Y=y ¶ ¶x x3 0 3 x3 3 x2 y x2y x3 x2 y 2 xy2 xy2 2 x2y - xy2 y3 y3 3 xy2 -3 y3 0 Sym 3 ( V ) nin bu baz kümesine göre X, H ve Y nin matrisi æ0 ç ç0 X =ç 0 ç ç0 è 1 0 0 0 0 2 0 0 0ö ÷ 0÷ , 3÷ ÷ 0 ÷ø æ3 ç ç0 H= ç 0 ç ç0 è 0 0 0 ö ÷ 1 0 0 ÷ , 0 -1 0 ÷ ÷ 0 0 - 3 ÷ø æ0 ç ç3 Y= ç 0 ç ç0 è 0 0 2 0 0 0 0 1 0ö ÷ 0÷ 0÷ ÷ 0 ÷ø şeklindedir. V, sl2 ( £ ) nin indirgenemez sonlu boyutlu bir temsili olsun. Jordan Parçalanışının koruma teoremini kullanarak H nin V üzerindeki etkisinin köşegenleştirilebilir olduğunu gösterebiliriz. a Î £ ve her n Î Va vektörü için Hn = an olacak şekilde 48 5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR V = Å Va parçalanışı vardır. Şimdi X ve Y nin çeşitli Va uzayları üzerindeki etkisini inceleyeceğiz. X ve Y nin Va alt uzaylarını diğer Vb alt uzaylarına taşıdığını göstereceğiz. Önerme 5.3: n Î Va olsun. O zaman 1. Xn Î Va+2 2. Yn Î Va-2 dir. İspat: 1. H X n = X H n + [ H , X ] n =aXn+2Xn = ( a +2 ) X n Eğer n H için a özdeğerine karşılık gelen özvektör ise o zaman X n de H için a + 2 özdeğerine karşılık gelen özvektör olur. Tümevarımdan H (Xk n ) = (a + 2k ) Xk n olur. 2. Benzer şekilde HYn=YHn+[Y,H]n = ( a - 2) Y n olur ve tümevarımdan 49 5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR H (Yk n ) = (a - 2k ) Yk n elde edilir. Bu gerçeğin ve V nin indirgenemezliğinden dolayı bir a için ÅkÎZ Va+2k alt uzayı sl2 ( £ ) altında invaryant olup V ye eşittir. Ayrıca H nin özdeğerlerinin kümesi bazı m Î ¢ için a , a + 2 , … , a + 2m formundadır. Biz bu dizinin en son elemanını n ile gösterelim. n nin kompleks sayı olduğunu biliyoruz, fakat n nin tamsayı olduğunu kanıtlayacağız. Bir 0¹n Î Vn vektörü şeçelim. Vn+2 = {0} olduğu için X n = 0 dır. sl2( £ ) nin V üzerindeki etkisini aşağıdaki diyagramla görebiliriz: X X X ¬¾¾ V n-4 ¬¾¾ Vn-2 ¬¾¾ Vn Y Y H Y H H Şimdi Y nin n vektörü üzerindeki etkisini inceleyelim. Önerme 5.4: n Î Va için X n = 0 olsun. O zaman X ( Ym n ) = m ( a - m + 1 ) Ym–1 n dir. İspat : m üzerinde tümevarımla gösterelim. 50 5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR m = 1 için X Y n = Y X n + [ X ,Y ] n = 0 + H n = a n m - 1 için doğru olsun. m için doğru olduğunu gösterelim. X Ym n = Y X Ym-1 n + [ X ,Y ] Ym-1 n = Y (m – 1) (a - m + 2) Ym-2 n + H Y m-1 n = [m (a - m + 2) - a + m – 2 + a - 2m + 2] Ym-1 n = m (a - m + 1) Ym-1 n elde edilir. Önerme 5.5: V indirgenemez sonlu boyutlu sl2 ( £ )– modül ve n Î Vn yani, X n = 0 olsun. O zaman 1. { n , Y n , Y2 n , Y3 n ,…} vektör kümesi V yi gerer. 2. H nin özuzayları 1-boyutlu alt uzaylardır. 3. H nin özdeğerleri tamsayılardır. 4. H nin özdeğerleri orjine göre simetrik tamsayılardır. Yani, V = V-n Å V-n+2 Å … ÅVn-2 Å Vn dır. İspat: 1. V nin indirgenemezliğinden dolayı W = Sp { n , Y n , Y2 n , Y3 n ,…} alt uzayının sl2 ( £ ) nin etkisi altında kendisine taşındığını göstermek yeterlidir. Ym n Ym+1n ye taşındığından W uzayını invaryant bırakır. Benzer şekilde Ym n vektörü Vn-2m içinde olduğu H ( Ym (n) ) = ( n – 2m ) Ym (n) dir ve H W alt uzayını korur. Geriye X (W) Ì W olduğunu göstermek kalır. Yani, her m için X, Ym (n) yi Yi (n) 51 5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR nin lineer kombinasyonuna taşır. Bir önceki önermeden m üzerinde tümevarım yapılarak sonuç elde edilir. 2. nk = Yk n diyelim. H nk = ( n – 2k ) nk olur. Böylece, nk ¹ 0 olmak üzere nk özvektörleri farklı özdeğerlere karşılık gelirler. Çünkü V sonlu boyutlu olduğundan Yk n = 0 olacak şekilde yeterince büyük bir k vardır. Böylece { n0 = n , n1 ,…, nm} lineer olarak bağımsızdır ve bütün özdeğerler farklı olduğu için her özuzay 1 – boyutludur. 3. m, Ym n ¹ 0 ve Ym+1 n = 0 koşulunu sağlayan en küçük sayı olsun. O zaman 0 = X Ym+1n = (m+1) (n – m – 1 + 1) Ym n Þ n – m = 0 Û n = m olup bütün özdeğerler tamsayıdır. 4. 1 den dolayı V = Vn Å Vn-2 Å …Å Vn-2m olur. 3 ten dolayı n = m dir. O halde V = Vn Å Vn-2 Å …Å V-n dir. Böylece H nin a özdeğerleri orjine göre simetrik tamsayılardan oluşur. Örnek 5.6: sl2 ( £ ) nin bazı standart temsillerini yukarıdaki anlamda tanımlayalım. Öncelikle sl2 ( £ ) nin £ £ 2 2 = V üzerindeki standart temsilini düşünelim. Eğer x ve y için baz ise H(x) = x ve H(y) = -y dir. Böylece V = £ 2, V = V-1 Å V1 olacak şekilde bir temsil tanımlar. Benzer şekilde, W = Sym2 (V) için { x2 , xy , y2 } bazını seçelim. sl2 ( £ ) nin etkisi X=x ¶ , ¶y Y=y ¶ , ¶x H=x ¶ ¶ -y ¶x ¶y ile bellidir. Buna göre H(x2) = 2x2 , H(xy) = 0 , H(y2) = -2y2 olup temsil 52 5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR Sym2 (V) = W-2 Å W0 Å W2 şeklinde özuzaylarına parçalanabilir. Önerme 5.7: n negatif olmayan bir tamsayı olsun. V { n0 , n1 ,…, nn} bazıyla sl2 ( £ ) nin n+1 boyutlu temsili olsun öyleki H nin V üzerindeki etkisi k = 0 ,…,n için Hnk = (n – 2k) nk , Ynk = nk+1 , Xnk = k(n – k + 1) nk-1 ile köşegenleştirilebilir olsun. O zaman 1. V indirgenemezdir. 2. sl2 ( £ ) nin n+1 boyutlu her indirgenemez temsili V ye izomorfiktir. Daha genel olarak, sl2 ( £ ) nin V = £ düşünelim ve eğer x ve y £ 2 2 üzerindeki standart temsilini için standart baz ise Symn (V) {xn , x n-1 y , .., yn} bazına sahip olup H (xn-k yk) = (n – k) H(x) xn – k -1 yk + k H(y) xn-k yk-1 = (n – 2k) xn-k yk eşitliği vardır. Böylece H nin Symn (V) üzerindeki özdeğerleri n , n-2 ,…,-n dir. Önerme 5.7. den Symn (V) indirgenemez olduğu görülür. 53 5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR 54 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ sl2 ( £ ) nin temsillerini kullanarak sl3 ( £ ) nin temsillerini inceleyeceğiz. Öncelikle sl3 ( £ ) nin vektör uzayı olarak æ1 0 0ö ÷ ç H1 = ç 0 - 1 0 ÷ , ç0 0 0÷ ø è æ0 0 0 ö ÷ ç H2 = ç 0 1 0 ÷ ç 0 0 -1÷ ø è ve 1 £ i¹j £ 3 için 3 ´ 3 tipindeki eij matrislerinin bazını düşünelim. sl3 ( £ ) de sl2 ( £ ) deki H matrisinin rolünü oynayan bir eleman bulmak istiyoruz. sl2 ( £ ) nin H elemanı ile sl3 ( £ ) nin bir h alt uzayını yer değiştirelim. Örneğin, h yi izi sıfır olan tüm köşegen matrislerin alt uzayı olarak alabiliriz. Bu durumda h uzayı verilen H1 ve H2 bazıyla birlikte 2 boyutlu bir vektör uzayıdır. Li : h ® £ lineer fonksiyonlarını æa1 ç Li ( ç 0 ç0 è 0 a2 0 0ö ÷ 0 ÷ ) = ai a 3 ÷ø projeksiyonları olarak tanımlayalım. h nin h* dual uzayı bu Li fonksiyonları tarafından gerilen uzay olup h* da L1 + L2 + L3 = 0 dır. sl3( £ ) için H nin rolünü oynayan bir eleman bulduk. sl2( £ ) nin X ve Y elemanlarının rolünü oynayan elemanları bulmak için [ H , X ] = 2X , [ H , Y ] = - 2Y bağıntıları önemli rol oynar. 55 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR Her H Î h için sl3 ( £ ) üzerindeki bütün adjoint temsillerin ortak özvektörlerini araştıracağız. Bunu yapmak için ad(H1) ve ad(H2) nin ortak özvektörlerini düşünmek yeterlidir. ad(H1) ve ad(H2) ile ilgili aşağıdaki bağıntıları düşünelim. [ H1 , e12] = 2 e12 , [ H2 , e12] = - e12 [ H1 , e21] = 2 e21 , [ H2 , e21] = e21 [ H1 , e23] = -e23 , [ H2 , e23] = 2e23 [ H1 , e13] = e13 , [ H2 , e13] = - 2e13 [ H1 , e32] = e32 , [ H2 , e32] = - 2e32 [ H1 , e31] = - e31 , [ H2 , e31] = - e13 Yukarıdaki bağıntılardan ad(H1) ve ad(H2) nin ortak özvektörlere sahip olduğu görülür. O halde H Î h ve adH aynı anda köşegenleştirilebilir. Böylece sl3 ( £ ) için H nin rolünü oynayan bir eleman bulmuş olduk. Sonuç olarak sl3 ( £ ) nin (bir vektör uzayı olarak) bir kök uzayı parçalanışı aşağıdaki şekilde elde edilir: a h* ın bir sonlu alt kümesine ait olmak üzere eğer ga a özdeğerine karşılık özuzay ise yani ga = {X Î g : [ H , X ] = a(H)X her H Î h} ise sl3 ( £ ) = g = Å a ga = h Å (Å a ¹ 0 ga ) (6.1) parçalanışı elde edilir. Eğer a = 0 ise ga = h dır. h herbir ga uzayına skaler çarpma olarak etki eder. Yani, her H Î h ve Y Î ga için [ H , Y ] = ad(H) (Y) = a(H) Y 56 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR dir. Bu bölümdeki önerme ve sonuçlar (Banu, 2006) dan alınmıştır. Tanım 6.1: h* da ga ¹{0} koşulunu sağlayan aÎh* elemanına g nin h ye göre bir kökü denir. Eğer a bir kök ise, o halde ga ya a nın kök uzayı denir ve ga nın elemanlarına a kökünün bir kök vektörü denir. 3 H Î h ve H= å a i eii olsun. Her H Î h için i =1 ad(H)eij = [ H ,eij ] = H eij - eij H = (ai – aj) eij olduğundan bu eşitlik 1 £ i ¹ j £ 3 için oldukça önemli olan ve adjoint temsilin özdeğerlerine karşılık gelen L i – L j elemanlarını tanımlamamızı sağlar. 1 £ i ¹ j £ 3 için L i – L j Î h*, h* içinde farklı lineer fonksiyonlardır. sl3 ( £ ), 8 boyutlu bir vektör uzayı ve h 2 boyutlu bir vektör uzayı olduğundan kök parçalanışından dolayı hepsi 1 boyutlu olan ve eij tarafından gerilen g L - L i j özuzaylarını elde ederiz. sl3 ( £ ) de karşılık gelen kökleri bulmak için, aralarındaki açı p 3 olan, aynı uzunluğa sahip olan ve i = 1 , 2 , 3 için L1 + L2 + L3 = 0 olacak şekilde lineer bağımlı Li vektörlerini seçmeliyiz. V sl3 ( £ ) nin sonlu boyutlu bir temsilinin temsil uzayı olsun. Jordan korunum teoremi gereğince bir H Î h nin V üzerindeki etkisi köşegenseldir. Değişmeli köşegenleştirilebilir matrislerin, aynı anda köşegenleştirilebilir olması 57 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR gerçeğinden ve Jordan korunum teoreminden dolayı sl3 ( £ ) nin herhangi bir sonlu boyutlu temsilinin V temsil uzayı V = Å Va parçalanışına sahiptir. Burada her H Î h için her n Î Va vektörü bir özvektördür. Tanım 6.2: h için bir özvektörle her H Î h için özvektör olan bir n Î V vektörü anlaşılacaktır. Böyle bir n vektörü için a ( H ) H ye lineer olarak bağlı bir skaler yani a Î h* olmak üzere H(n) = a(H) n dir. Böylece yukarıdaki ifadeyi, sl3 ( £ ) nin herhangi bir sonlu boyutlu temsilinin V temsil uzayı V = Å Va parçalanışına sahiptir şeklinde yeniden yazabiliriz. Burada a h* ın bir alt kümesinin elemanı olmak üzere Va h için bir özuzayıdır. Daha genel bir ifadeyle her g yarı basit Lie cebiri için, h Ì g olmak üzere bir h maksimal abelyen alt cebirini bulabiliriz öyleki h nin herhangi bir g – temsilin temsil uzayı olan V üzerindeki etkisi köşegenleştirilebilirdir. Böyle bir alt cebir Cartan alt cebiridir. X Î ga ve Y Î gb olsun. h nin herhangi bir H elemanını alalım. sl2 ( £ ) de aşağıdaki hesaplamaya bakalım. [H , [X , Y]] = [X , [H , Y]] + [[H , X] ,Y] 58 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR = [X , b(H) × Y] + [a(H) × X , Y] = (a(H) + b(H) ) × [X ,Y] Yani, [X ,Y] = ad (X) (Y) h için a + b özdeğerine karşılık gelen bir özvektördür. Böylece, ad (ga) : gb ® ga+b dır. Özellikle, ad (ga) nın etkisi (6.1) kök parçalanışını her gb uzayını bir diğerine taşıma anlamında korur. Sonuç 6.3: sl3 ( £ ) nin bir indirgenemez temsilinin özdeğerleri L i – L j Î h* vektörlerinin tamsayı katsayılı lineer toplamı oluşuyla diğerlerinden farklıdır.Yani, sl3 ( £ ) nin bir indirgenemez temsilinin herhangi iki a ve b özdeğerleri için LR , h* da i ¹ j için L i – L j vektörleri tarafından üretilen bir kafes yani LR = { a(L1 – L2) + b(L2 – L3) + c(L1 – L3) | a , b , c Î ¢ } olmak üzere a º b (mod LR) dir. Aksi taktirde, V nin herhangi bir a özdeğeri için V¢ = Å bÎ L V a+b R alt uzayı V nin öz alt temsili olurdu. Böylece L1 – L2 , L2 – L3 , L1 – L3 h* içinde lineer bağımlıdır. Çünkü L1 – L3 - (L1 – L2) = L2 – L3 dir. 59 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR Tanım 6.4: L i – L j kökleri tarafından üretilen LR Ì h* kafesine kök kafesi denir. h nin V temsil uzayı üzerindeki etkisinin a Î h* özdeğerlerine temsilin ağırlığı denir. Va da bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörlere ağırlık vektörleri ve Va uzayına da ağırlık uzayı denir. h* düzleminde bir l doğrusunu düşünelim. Öyleki bu doğru kök kafesini sadece orjinde, h* düzlemini de i < j için L i – L j sadece bir yarı düzlemde kalacak şekilde, i > j için de L i – L j diğer yarı düzlemde kalacak şekilde iki yarı düzleme bölecek şekilde kessin. Kök kafesi içindeki ekstra nokta olarak, l çizgisinden uzaklığı maksimal olan ve kök kafesi içinde bulunan pozitif nokta kastedilir. Bu nokta nedir? sl2 ( £ ) nin V temsil uzayında olduğu gibi burada X operatörünün çekirdeğinde olan ve aynı zamanda H için özvektör olan n Î V bulunabilir. Burada X operatörü yerine e12,e13, e23 aldığımızda h için özvektör ve aynı zamanda her b Î { L i – L j | 1 £ i < j £ 3 } için gb nın etkisinin çekirdeğinde olan n Î V vektörü bulunabilir. Burada g L - L i j = á eijñ dir. Önerme 6.5: V sl3 ( £ ) nin herhangi bir indirgenemez sonlu boyutlu temsilinin uzayı olsun. Aşağıdaki özellikleri sağlayan bir n Î V vektörü vardır. 1. n h için bir özvektördür, yani bazı a lar için n Î Va dır. 2. e12 (n) = 0 , e13 (n) = 0 , e23 (n) = 0 dır. (Burada n ye en yüksek ağırlık vektörü ve a da V nin en yüksek ağırlığıdır.) 60 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR Önerme 6.6: V sl3 ( £ ) nin herhangi bir indirgenemez temsilinin uzayı ve n Î V en yüksek ağırlık vektörü olsun. O zaman V, e21 ,e31 , e32 operatörlerinin n ye ardışık olarak uygulanmasıyla elde edilen görüntüler tarafından üretilir. Önerme 6.7: V sl3 ( £ ) nin herhangi bir temsilinin uzayı ve n Î V en yüksek ağırlık vektörü olsun. O zaman V nin e21 ,e31 , e32 operatörlerinin n ye ardışık olarak uygulanmasıyla elde edilen görüntülerin ürettiği W alt uzayı indirgenemezdir. İspat: a n nin ağırlığı olsun. W V nin alt temsil uzayı olup a özdeğerine karşılık gelen Wa özuzayı 1 –boyutludur. W indirgenemez olmasaydı, bazı W¢ ve W¢¢ için W = W¢ Å W¢¢ olurdu. Fakat Wa = W¢a Å W¢¢a olduğu için bu uzaylardan birisi sıfırdır. Yani burada n W¢ ye veya W¢¢ ye aittir. Böylece W ya W¢ ya da W¢¢ uzayına eşittir. Sonuç 6.8: V sl3 ( £ ) nin herhangi bir indirgenemez temsilinin uzayı, V = Å b V b ve a en yüksek ağırlık olsun. O zaman dim C Va = 1 dir İspat: 0.¹ na ÎVa alalım.V nin e21 , e31 , e32 operatörlerinin na ya ardışık olarak uygulanması sonucu elde edilen görüntüler tarafından üretildiğini gösterdik. Şimdi n Î Va Ì V alalım ve n c eİ2112 e32İ23 e31İ13 (na) 61 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR formunda olsun. Burada i12 , i32 ve i23 negatif olmayan tamsayılardır. L2 – L3 = L1 – L3 – (L1 – L2) olduğundan a = a - i12 (L1 – L2) – i13 (L1 – L3) – i23 (L2 – L3) ifadesi a = a - (i12 + i23) (L1 –L2) – (i13 + i23) (L1 – L2) ifadesine denktir. L1 – L3 ve L1 – L2 lineer bağımsız olduğundan i12 + i23 = 0 ve i13 + i23 = 0 dır. i12 , i32 , i23 pozitif tamsayılar olduğundan n = c na elde edilir. Sonuç 6.9: dim Va - (L 1 -L 2 ) = 1 dir. İspat: Varsayalımki dim Va -(L 1 -L 2 ) ³ 2 olsun. (dim Va -(L 1 -L 2 ) = 0 olamaz. Çünkü Va -(L 1 -L 2 ) Va içinde bir en yüksek w ağırlık vektörü için e21(w) ¹ 0 vektörünü içerir.). Va -(L 1 -L 2 ) içinde iki tane lineer bağımsız u ve n vektörlerini alalım.Bir önceki sonuçtan Va 1- boyutludur. w vektörünü Va nın bir üreteci olarak alalım. e12(n) Î Va Ì V dir. Önerme 6.6 ı kullanarak k u = a e i21 e 32j e 31 (w) p ve n = be m21 e n23 e 31 (w) elde ederiz. Burada i, j, k, m, n, p negatif olmayan tamsayılardır. Böylece k p a e 12 e i21 e 32j e 31 (w) Î Va ve b e 12 e m21 e n23 e 31 (w) Î Va olur. Böylece a = a + (i -1) (L2 – L1) + j (L3 – L2) + k (L3 – L1) = a + (m-1) (L2 – L1) + n (L3 – L2) + p (L3 – L1) 62 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR dir. Buradan (i – k-1) (L2 – L1) + (j + k) (L3 – L2) = (m -1 –n) (L2 – L1) + (n + p) (L3 – L2) elde edilir. L2 – L1 ve L3 – L2 lineer bağımsız olduğu ve i, j, k, m, n, p ³ 0 gerçeğini kullanarak j = k = 0 = n = p ve i = 1= m bulunur. Bunun anlamı u = a e 21 ve n = b e 21 dir. Bu da bu = an varsayımıyla çelişir. 63 6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR 64 7. sl4 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR 7. sl4( £ ) NİN TEMSİLLERİ Bu kısımda sl4( £ ) nin kök uzaylarına parçalanışını vereceğiz. Vektör uzayı olarak, sl4( £ ) nin boyutu 42 – 1 = 15 dir. Öncelikle köşegen matrislerin h alt cebirini belirlemeliyiz. Bu alt cebir vektör uzayı olarak boyutu 3 olan ve bazı H1 = e11 – e22 , H2 = e22 – e33 ve H3 = e33 – e44 olarak verilen bir cebir olacaktır. £ üzerinde H1 , H2 , H3 tarafından gerilen h alt uzayını alalım. sl4( £ ) vektör uzayı olarak sl4( £ ) = h Å Å i¹j £ eij parçalanışına sahiptir. h nin h* dual vektör uzayı, h üzerinde æ a1 ç ç0 Li ( ç 0 ç ç0 è 0 a2 0 0 0 0 a3 0 0ö ÷ 0÷ ) = ai 0÷ ÷ a 4 ÷ø projeksiyonları olarak tanımlanan lineer fonksiyonlar tarafından gerilir. Burada L1 + L2 + L3 + L4 = 0 dır. sl3( £ ) dekine benzer hesaplarla ad(H1), ad(H2) ve ad(H3) ün köşegenleştirilebildiği elde edilebilir, yani 1 £ i ¹ j £ 4 için eij ortak özvektör olup her H Î h için ad(H) aynı anda köşegenleştirilebilirdir. sl4( £ ) nin kök parçalanışı sl3( £ ) dekine benzer hesaplarla aşağıdaki şekilde elde edilir: a h* ın bir sonlu alt kümesinin elemanı ve ga a özdeğerine karşılık gelen özuzay yani ga = { X Î g | [H , X] = a(H) X her H Î h } olmak üzere 65 7. sl4 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR sl4( £ ) = g = Å a ga = h Å (Å a¹0 ga) dır. sl4( £ ) nin kök kafesi LR = { a(L1 – L2) + b(L2 – L3) + c(L3 – L4) + d(L1 – L4) | a, b, c,d Î ¢ } ya da LR = { 4 åa i =1 i Li | ai Î ¢, olarak tanımlanır. 66 åa i i =0} 8. sln ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR 8. sln( £ ) NİN TEMSİLLERİ Vektör uzayı olarak sln( £ ) n2 – 1 boyutludur. sln( £ ) de tüm köşegen matrislerin bazı H1 = e11 – e22 , H2 = e22 – e33 , … , Hn-1 = en-1,n-1 - enn olan n-1 boyutlu bir vektör uzayıdır. £ üzerinde H1, H2,…, Hn-1 tarafından gerilen h alt uzayını alalım. h* dual vektör uzayı, i = 1,…,n için Li projeksiyon fonksiyonları tarafından gerilir. Burada h* üzerinde n åL i = 0 dır. i =1 ad(H1), ad(H2),…,ad(Hn) aynı anda köşegenleştirilebilirdir, yani 1 £ i ¹ j £ n için eij , Li – Lj özdeğerlerine karşılık gelen ortak özvektördür. Böylece her H Î h için ad(H) aynı anda köşegenleştirilebilir. sln( £ ) nin kökleri Li lerin ikişer ikişer farklarından, yani 1 £ i ¹ j £ n için Li – Lj lerden oluşur. a h* ın bir sonlu alt kümesinin bir elemanı ve ga a özdeğerine karşılık gelen özuzay, yani ga = {X Î g | [H,X] = a(H)X her H Îh için} olmak üzere sln( £ ) nin kök uzayı parçalanışı sln( £ ) = g = Å a ga = h Å ( Åa ¹ 0 ga) şeklindedir. h* içinde Li – Lj tarafından gerilen kök kafesi n L R = { å a i Li | ai Î ¢, i =1 67 n åa i =1 i =0} 8. sln ( £ ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR olarak tanımlanır. Önerme 8.1: (Banu, 2006) V sln( £ ) nin indirgenemez sonlu boyutlu bir temsil uzayı ve n Î V en yüksek ağırlık vektörü olsun. O zaman V n ³ i > j ³ 1 için eij operatörlerinin n ye ardışık olarak uygulanmasıyla elde edilen görüntüler tarafından üretilir. 68 KAYNAKLAR ADAMS, J.F.,1982. Lectures on Lie Groups. Midway Reprint, The University of Chicago Press. BANU, L., 2006. Representation Theory of Lie Algebra sln( £ ). Queen’s Unıversity, Department of Mathematics and Statistics Kingston, Ontario, Canada, Master Tez 33s. BÄUERLE, G.G.A., DE KERF, E.A., 1990. Lie Algebras Part 1 Finite and Infinite Dimensional Lie Algebras and Applications in Physics(e. Van GROSEN, E.M. de JAGER editör). Studies in Mathematical Physics,1. baskı, NorthHolland,s.20-25 BİLLEY, S.C., LAKSHMİBAİ, V., 2000. Singular Loci of Schubert Varieties. Progr. Math. 182, Birkhäuser Boston,251s. CARTER, R.W., 2005. Lie Algebras of Finite and Affine type. Cambridge University Press, Cambridge, 632s. CONWAY, J.H., SLOANE, N.J.A.,1991. The Cell Structures of Certain Lattices (editors P. Hilton, F. Hirzebruch ve R. Remmert). Miscellanea Mathematica, Springer-Verlag, New York, s.71–108. COOPERSTEİN, B.N.,1990 A Note on the Weyl Group of Type E7. European Journal of Combinatorics, 11: 415–419. COXETER, H.S.M., 1973. Regular Polytopes. Dover Publications, New York, 321s. DU VAL, P.,1933. On the Directrices of a Set of Points in a Plane. Proc. Lond. Math. Soc., 35(2): 23–74. ERDMANN, K.,WİLDON, M.J.,2006. Introduction to Lie Algebras. SpringerVerlag, London,251s. FULTON, W., HARRİS, J., 1991. Representation Theory. A First Course. Graduate Texts in Mathematics,129. Springer Verlag, New York, 551s. GREEN, R.M.,2007. Full Heaps and Representations of Affine Kac–Moody Algebras. International Electronic Journal of Algebra, 2: 138–188. ______, 2008a. Representations of Lie Algebras Arising From Polytopes. International Electronic Journal of Algebra, 4: 27-52 69 ______, 2008b. Full Heaps and Representations of Affine Weyl groups. Int. Electron. J. Algebra, 3: 1–42. HARTSHORNE, R.,1977.Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York,496s. HUMPHREYS, J.E.,1990. Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge University Press, Cambridge, 204s. KAC, V.G., 1990. Infinite dimensional Lie algebras. Third edition. Cambridge University Press, Cambridge,400s.. KASHİWARA, M.,1991. On Crystal Bases of the q-analogue of Universal Enveloping Algebras. Duke Mathematical Journal., 63(2): 465–516. LÖH, C., 2006. Representation Theory of Lie Algebras, clara.loeh@unimuenster.de. 25s. MANİVEL, L., 2006. Configurations of Lines and Models of Lie Algebras. J. Algebra, 304(1): 457–486. SAMELSON, H., 1990. Notes on Lie Algebras. Springer-Verlag, New York,162s. SANTOS, W., RİTTORE, A., 2005. Actions and Invariants of Algebraic Groups. Chapman & Hall/CRC. SERRE, J.P., 2001. Complex Semisimple Lie Algebras. Translated from the french by G.A.Jones. Reprint of the 1987 edition.Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag,Berlin,74s. ______, 2006. Lie Algebras and Lie Groups. Lectures Notes in Mathematics,1500. Springer-Verlag, Berlin, 168s. STEMBRİDGE, J.R., 2001. Minuscule Elements of Weyl Groups. J. Algebra, 235(2):722–743. WAKİMOTO, M., 2001. Infinite-Dimensional Lie Algebras. American Mathematical Society.304s. WALLACH, N., GOODMAN, R., 1998. Representations and Invariants of the Classical Groups. Cambridge University Press, Cambridge, 685s. WİLDBERGER, N.J., 2003a. A Combinatorial Construction for Simply-Laced Lie Algebras. Adv. Appl. Math., 30: 385–396. ______,2003b. A Combinatorial Construction of G2. J. Lie Theory, 13(1): 155–165 70 ÖZGEÇMİŞ 1988 yılında Adana’da doğdu. Adana’da D.S.İ İlköğretim Okulunu bitirdikten sonra Adana Ticaret Odası Anadolu Lisesi’nden mezun oldu. 2010 yılında Çukurova Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’nden fakülte ve bölüm birincisi olarak mezun oldu. Ayrıca 2010 yılında Çukurova Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi İstatistik Bölümü’nden çift anadal diploması alarak mezun oldu. Daha sonra Çukurova Üniversitesi Matematik Bölümü’nde yüksek lisansa başladı. 71