Standart Sapma en çok

STANDART SAPMA
STANDART SAPMAYI BULMAK:
Bir veri grubunun standart sapmasını bulmak için,
a) Veri grubunun aritmetik ortalaması bulunur.
b) Her bir verinin aritmetik ortalama ile farkı bulunur.
c) Farkların her birinin ayrı ayrı karesi alınır.
d) Alınan kareler toplanır.
e) Bulunan toplam, veri sayısının bir eksiğine bölünür.
f) Bölümün karekökü alınır.
g) Bulunan karekök standart sapmadır.
10)Grupların aritmetik ortalamaları eşit ise standart sapmalarının küçük veya
standart sapmalarının büyük olup olmadığı hakkında yorum yapmak için her
grubun ayrı ayrı açıklığı bulunur.Açıklığı küçük olan veri grubunun standart
sapması daha küçüktür. Standart sapma küçükse aritmetik ortalamadan sapma
azdır.
4)Bize güven verir. Sayıların birbirine çok yakın olduğunu gösterir. Aynı seviyede,
aynı büyüklükte veya birbirine yakın sayılar vardır.
5)Verilerin dar bir alana yani aralığa yayıldığını gösterir.
6) Bir veri grubu Aritmetik ortalamaya çok yakın değerler ise, standart sapma
düşüktür.(Küçüktür).
7) Standart sapmanın küçük olması aritmetik ortalamadan sapmanın ve riskin az olduğunu
gösterir.
8)Veriler arasındaki fark küçükse (Açıklık küçük ise) standart sapmada küçüktür.
9) Aritmetik ortalamaları aynı olan verilerden aritmetik ortalamaya yakın değerleri olan
verilerin standart sapması daha küçüktür.
STANDART SAPMA KÜÇÜK İSE;
1)Gruplarda notlar aritmetik ortalamaya daha yakın noktalarda bulunur.
2)Gruplar daha homojendir(Düzenli, başarılı). Öğrencilerin öğrenme düzeyleri birbirine
yakındır. Aynı seviyedeki gruplardan , kişilerden, öğrencilerden oluşur.
3)Verilerin güvenirliği yüksek ve riski ise düşüktür. Böyle verilere bakarak geleceğe yönelik
tahminler yapmanın riski az olur.
STANDART SAPMA BÜYÜK İSE:
1)Gruplarda notlar aritmetik ortalamadan daha uzak noktalarda olur.
2)Gruplar daha heterojendir(Düzensiz, başarısız). Öğrenme düzeyleri, notları birbirinden
uzaktır. Öğrencilerin öğrenme düzeyleri birbirinden farklıdır.Farklı seviyedeki gruplardan
,kişilerden ,öğrencilerden oluşur. Çök zayıf ve çok iyi olanlar ,çok fakir ve çok zengin olanlar
aynı grubu oluşturur.İki uç nokta aynı grupta yer alır.
3)Öğrencilerin seviyeleri birbirinden çok farklıdır. Öğrenciler alt ve üst uç noktalarda
toplanmış demektir.
4)Standart Sapma yüksekse (Büyükse) verilerin güvenirliği düşük ve riski yüksektir.
5) Standart Sapma büyükse, bu bize güvensizlik verir. Yani sayılar arasında uçurum var. Çok
büyük puanlar ile çok küçük puanlar bir arada demektir.
6) Bir veri grubu Aritmetik ortalamadan çok uzak değerler ise, standart sapma yüksektir.
7)Verilerin çok geniş bir aralığa yayıldığını gösterir. Değişkenlik yüksektir. Böyle verilere
bakarak geleceğe yönelik tahminler yapmak oldukça riskli olur.
8) Sınavlarda da standart sapma büyüdüğünde çok iyiler (Çok net yapanlar) ve çok kötülerin
(Az net yapanlar) miktarının fazla olduğu anlaşılır. Bu nedenle çok iyi yapanlar yüksek puan
alırlar. Özellikle matematik dersinde standart sapmalar büyüktür. Çok yüksek net yapanlar
daha da fazladan puanlar alırlar.
9) Aritmetik ortalamaları aynı olan verilerden aritmetik ortalamaya uzak değerleri olan
verilerin standart sapması daha büyüktür. Değerler aritmetik ortalamadan uzaklaştıkça
standart sapma artar.
10) Veriler arasındaki fark büyükse (Açıklık büyükse) standart sapmada
büyüktür. Açıklık arttıkça standart sapma büyümektedir.
11) Grupların aritmetik ortalamaları eşit ise standart sapmalarının küçük
veya standart sapmalarının büyük olup olmadığı hakkında yorum yapmak
için her grubun ayrı ayrı açıklığı bulunur. Açıklığı büyük olan veri grubunun
standart sapması daha büyüktür. Standart sapma büyükse aritmetik ortalamadan
sapma fazladır.
1) Aritmetik ortalamaları eşit olan veri grupları arasında ki farklılık standart
sapma yardımıyla belirlenir.
2) Veriler arasında ki açıklık arttıkça standart sapma büyür, Veriler arasındaki
açıklık küçüldükçe standart sapma küçülür.
STANDART SAPMA
KÜÇÜKSE
Güvenirlik yüksek
Risk az
Veriler arası fark az
Veri grubu homojen (Düzenli)
Ayırt edicilik az (Sayılar Yakın)
Açıklık küçük
Veriler aritmetik ortalamaya yakın
Grup Başarılı
Geleceğe yönelik tahmin yapmanın riski az
olur.
Aritmetik Ortalamadan sapma azdır.
Veriler Dar alanda yayılır
Veri grupları aynı seviyede
BÜYÜKSE
Güvenirlik düşük
Risk fazla
Veriler arası fark fazla
Veri grubu heterojen (Düzensiz)
Ayırt edicilik fazla (Sayılar Uzak)
Açıklık büyük
Veriler aritmetik ortalamadan uzak
Grup başarısız
Geleceğe yönelik tahmin yapmanın riski
yüksek olur.
Aritmetik Ortalamadan sapma fazladır.
Veriler geniş alanda yayılır.
Veri grupları farklı seviyede
AÇIKLAMA-1)
Grupların başarısını ölçmek için aritmetik ortalama kullanılır.
Aritmetik ortalaması yüksek olan grup başarılı,aritmetik ortalaması düşük olan
grup başarısızdır. (Standart sapma bulunurken önce Aritmetik ortalamaya bakılır)
omeraskerden@hotmail.com.tr
ÖRNEK-1: Dört farklı gruba uygulanan bir sınavda grup üyelerinin aldığı sınav
sonuçları tabloda verilmiştir.
Tablo: Sınav Sonuçları
Grup
NOTLAR
I
10
50
80
90
100
II
70
70
70
50
60
III
80
90
70
50
50
IV
100
100
40
50
40
2) Aritmetik Ortalama
I.Grup=330:5=66
II.Grup=320:5=64
III.Grup=340:5=68 III.Grup Başarılıdır.
IV.Grup=330:5=66
III.Grubun aritmetik Ortalaması yüksek
olduğu için en başarılı gruptur.
Yukarıdaki tabloya göre ,hangi grup daha başarılıdır?
a) I
b) II
c) III
D) IV
1) Bu soruyu çözmek için önce her gruptaki sayılar toplanır.
I.Grup=10+50+80+90+100=330
II.Grup=70+70+70+50+60=320
III.Grup=80+90+70+50+50=340 III.Grubun toplamı fazladır.Bu grup daha başarılıdır.
IV.Grup=100+100+40+50+40=330
Bu grupların aritmetik ortalaması bulunarak da Başarılı gruplar hakkında yorum
yapılabilir.
AÇIKLAMA-2) Grupların başarısını ölçmek için aritmetik ortalama kullanılır.
Aritmetik ortalamalar eşit ise, başarıyı ölçmek için standart sapma kullanılır.
Standart Sapmayı kolayca bulmak için ;her veri grubunun açıklığı bulunur.
A) Açıklığı küçük olan veri grubunun standart sapması daha küçüktür.
B) Açıklığı büyük olan veri grubunun standart sapması daha büyüktür.
ÖRNEK-2: Aşağıdaki tabloda dört farklı şehirde bayram tatili boyunca yaşanan
trafik kazalarının sayısı verilmiştir.
Tablo: Şehirlerde yaşanan trafik kazaları
Gün
Şehir
Adana
1.Gün 2.Gün
3.Gün
4.Gün
5.Gün
2
5
6
6
1
Bursa
2
5
6
5
2
Denizli
2
4
7
4
3
Erzurum
3
3
4
4
6
1)Verilerin toplamı eşit .
2) Açıklık
Adana=6-1=5 2)Aritmetik Ortalama eşit.
3)Açıklık bulunur.
Bursa=6-2=4
Denizli=7-2=5
Erzurum=6-3=3 Erzurum ilinin açıklığı
küçük olduğu için, standart sapması
da en küçüktür. Onun için Erzurum'da
trafik kazası riski daha azdır.
Bu verilere göre ,hangi şehirde trafik kazası riski daha azdır?
a) Adana
b)Bursa
c)Denizli
d)Erzurum
1) Bu soruyu çözmek için önce her şehirdeki kaza sayıları toplanır.
Adana=2+5+6+6+1=20 Aritmetik Ortalama:20:5=4
Bursa=2+5+6+5+2=20
Aritmetik Ortalama:20:5=4
Denizli=2+4+7+4+3=20 Aritmetik Ortalama:20:5=4
Erzurum=3+3+4+4+6=20 Aritmetik Ortalama:20:5=4 Verilerin Toplamı eşit ise,
her şehirdeki kaza sayılarının aritmetik ortalamaları da eşittir. Öyle ise veri
gruplarının açıklığına bakarak standart sapmayı yorumlayacağız.
AÇIKLAMA-3) Grupların başarısını ölçmek için aritmetik ortalama kullanılır.
Aritmetik ortalamalar eşit ise, başarıyı ölçmek için standart sapma kullanılır.
Standart Sapmayı kolayca bulmak için ;her veri grubunun açıklığı bulunur.
Verilerin açıklıkları eşit ise çeyrekler açıklığına bakılır.
A) Çeyrekler Açıklığı küçük olan veri grubunun standart sapması daha küçüktür.
B) Çeyrekler Açıklığı büyük olan veri grubunun standart sapması daha büyüktür.
ÖRNEK-3:
Aşağıdaki tabloda 8A sınıfında okuyan dört öğrencinin yaptığı 7
denemenin sonuçları verilmiştir.
Tablo: 7 denemenin sonuçları
Deneme Sonuçları
Öğrenci
T
A.O
A
Ç.A
80-50=30
A
50
70
70
80
60
40
80
450
450/7
80-40=40
B
30
70
80
80
80
80
30
450 450/7
80-30=50
C
50
70
60
70
90
60
50
450 450/7
90-50=40
D
90
20
30
70
90
75
75
450 450/7
90-20=70
70-50=20
Tabloda ki verilere göre ,hangi öğrenci daha düzenli deneme yapmıştır? C öğrencisi
a) C
b) D
c) B
d) A
daha düzenli
deneme
yapmıştır.
1) Her veri grubu toplandı. Toplamlar eşit. Öyle ise Aritmetik ortalamada eşittir.
2) Açıklık bulundu. A ve C açıklıkları eşit ve Küçüktür.3) A ve C öğrencilerinin Çeyrekler açıklığı
bulundu.C öğrencisinin çeyrekler açıklığı küçüktür.Öyle ise standart sapmasıda küçüktür.
AÇIKLAMA-4) Bir veri grubu Aritmetik Ortalamaya eşit olan bir sayı ile toplanırsa;
Standart Sapma en çok (fazla) azalır.
ÖRNEK-1: Aşağıdaki tabloda bir futbolcunun sezonlara göre attığı gol sayıları
gösterilmektedir.
Tablo:Sezona göre Gol
sayıları
Attığı gol
Sezon
sayısı
2007-2008
18
2008-2009
10
2009-2010
8
2010-2011
12
2011-2012
..............
12
Verileri topla. Aritmetik ortalamayı bul.
18+10+8+12=48 Toplam
Aritmetik Ortama=48/4=12
18-12=6
10-12=-2
8-12=-4
12-12=0
Standart Sapmanın en fazla azalması için Aritmetik
ortalamayla aynı olan 12 sayısının toplanması lazımdır.
Tabloya göre,2011-2012 sezonunda kaç gol atarsa ,attığı gol sayılarının
standart sapması en çok (fazla) azalır?
a) 18
b)10
c) 12
d) 8
Açıklama: Bir veri grubu Aritmetik Ortalamaya eşit olan bir
sayı ile toplanırsa; Standart Sapma en çok (fazla) azalır.
AÇIKLAMA-5) Bir veri grubuna Aritmetik Ortalamadan çok büyük veya çok küçük
sayılar katılırsa; Standart Sapmada en çok (fazla) artış olur.
Açıklama-1: Bir veri grubuna Aritmetik Ortalamadan çok büyük sayılar katılırsa; Standart
Sapmada en çok (fazla) artış olur.
Açıklama-2: Bir veri grubuna Aritmetik Ortalamadan çok küçük sayılar katılırsa; Standart
Sapmada en çok (fazla) artış olur.
Açıklama-3: Bir veri grubuna Aritmetik Ortalamaya yakın sayılar katılırsa; Standart
Sapmada en az artış olur.
ÖRNEK-1: 100,90,95,119,110,115,99 Yandaki veriler bir grup öğrencinin bir
dakikada okuduğu kelime sayılarıdır.
Bu gruba aşağıdaki öğrencilerden hangisi katılırsa standart sapmadaki
artış en fazla (çok) olur?
a) Dakikada 95 kelime okuyan bir öğrenci,
b) Dakikada 100 kelime okuyan bir öğrenci,
c) Dakikada 120 kelime okuyan bir öğrenci,
d) Dakikada 140 kelime okuyan bir öğrenci,
1) Verileri Topla 100+90+95+119+110+115+99=728
2) Aritmetik Ortalamayı bul=728:7=104
104-95=9, 104-100=4, 104-120=-16, 104-140=-36 (Ortalamaya en uzak)
Bu gruba dakikada 140 kelime okuyan bir öğrenci katılırsa standart sapmada ki
artış en çok (fazla) olur.
Açıklama:
Bir veri grubuna Aritmetik Ortalamadan çok büyük sayılar katılırsa;
Standart Sapmada en fazla artış olur.
ÖRNEK-2: 100,90,95,119,110,115,99 Yandaki veriler bir grup öğrencinin bir
dakikada okuduğu kelime sayılarıdır.
Bu gruba aşağıdaki öğrencilerden hangisi katılırsa standart sapmadaki
artış en fazla olur?
a) Dakikada 46kelime okuyan bir öğrenci,
b) Dakikada 100 kelime okuyan bir öğrenci,
c) Dakikada 45 kelime okuyan bir öğrenci,
d) Dakikada 140 kelime okuyan bir öğrenci,
1) Verileri Topla 100+90+95+119+110+115+99=728
2) Aritmetik Ortalamayı bul=728:7=104
104-45=58, 104-100=4, 104-45=59 (Ortalamaya en Uzak),104-140=-36 (Eksinin önemi
yok.) Bu gruba dakikada 45 kelime okuyan bir öğrenci katılırsa standart sapmada ki artış
en çok (fazla) olur.
Açıklama: Bir veri grubuna Aritmetik Ortalamadan çok küçük sayılar katılırsa; Standart
Sapmada en fazla artış olur.
ÖRNEK-3: 100,90,95,119,110,115,99 Yandaki veriler bir grup öğrencinin bir
dakikada okuduğu kelime sayılarıdır.
Bu gruba aşağıdaki öğrencilerden hangisi katılırsa standart sapmadaki
artış en az olur?
a) Dakikada 95 kelime okuyan bir öğrenci,
b) Dakikada 100 kelime okuyan bir öğrenci,
c) Dakikada 120 kelime okuyan bir öğrenci,
d) Dakikada 140 kelime okuyan bir öğrenci,
1) Verileri Topla 100+90+95+119+110+115+99=728
2) Aritmetik Ortalamayı bul=728:7=104
104-95=9, 104-100=4 (Ortalamaya en yakın),104-120=-16, 104-140=-36 (Eksinin önemi
yok.) Bu gruba dakikada 100 kelime okuyan bir öğrenci katılırsa standart sapmada ki artış
en az olur.
Açıklama:
Bir veri grubuna Aritmetik Ortalamaya yakın sayılar katılırsa; Standart
Sapmada en az artış olur.
AÇIKLAMA-6) Bir veri grubu aynı sayılardan oluşuyorsa ,bu veri grubunun standart
sapması sıfırdır.
ÖRNEK:
8,8,8,8 Sayı Dizisinin standart sapması aşağıda verilen
seçeneklerden hangisi ile ifade edilir?
a)0
b) 3
c) 2
d) 1
AÇIKLAMA-7) Bir veri grubunun standart sapması sıfır ise, bu veri grubu aynı
sayılardan oluşmaktadır.
ÖRNEK-1
Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe
Cuma
Cumartesi
Pazar
Ayşe
100
80
90
85
75
120
100
Hatice
70
70
70
70
70
70
70
Fatma
100
120
80
85
95
100
90
Sema
100
100
100
100
100
100
100
Yukarıdaki tabloda 4 öğrencinin günlük çözdüğü soru sayısı verilmiştir.
Hangi öğrencilerin standart sapmaları eşittir?
a)Ayşe-Hatice
b)Ayşe-Fatma
c)Ayşe-Sema
d)Hatice-Sema