STATİK Mekanik 1) Rijid cisimler mekaniği 2) Şekil değiştiren

STATİK
Mekanik
1) Rijid cisimler mekaniği
2) Şekil değiştiren cisimler mekaniği
3) Akışkanlar mekaniği
Kuvvetler altında şekil değiştirmeyen cisme rijid cisim denir. Bütün cisimler kuvvetler
etkisinde az veya çok şekil değiştirir.
 Mekanik: Statik (dengede)
 Dinamik (durgun)-Kinematik (hız, ivme…) (denge yok, harekete geçiş durumu)
Kinematik hareketin geometrisini inceler.
Kinetik kuvvet kütle-ivme-zaman arasındaki bağıntıyı inceler.
Mekanikteki bazı kavramlar:
• Uzay: cismin bulunduğu yeri tanımlar.
• Kütle: madde miktarının ölçüsü, kütlesi olan her şey.
• Kuvvet: maddenin konumunu, biçimini değiştirmek isteyen etki.
PRENSİBLER
 Paralel kenar prensibi
Maddesel nokta, kütlesi olan fakat boyutları ihmal edilen bir nesnedir. Cisim; kuvveti, şiddeti,
yönü, doğrultusu ve uygulama noktası ile belirlenir. Uygulamada tek bir nokta işgal ettiği
kabul edilebilecek az miktarda madde kastedilmiştir.
Kuvvet
• Doğrudan etkiyen kuvvetler
• Uzaktan etkiyen kuvvetler (Yerçekimi, manyetik alan kuvveti)
Kuvvet
• Doğrudan doğruya verilen kuvvetler
• Hesapla bulunan kuvvetler
Kuvvet
• Tekil kuvvet (Kuvvetin etkidiği alan küçük)
• Yayılı kuvvet (Kuvvetin etkidiği alan bir yüzeye yayılmışsa)
- Yüzeye yayılı
- Çizgisel yayılı ya da bir çizgi boyunca yayılıysa
 Kaydırılabilme ilkesi (Rijid cisimler için geçerli.)
Cisim rijid ise kuvvet aynı doğrultuda kaydırılabilir.
F
F
 Newton’un 1. Kanunu
Bir cisme etkiyen kuvvetlerin bileşkesi “0” ise cisim dengededir.
5kN
5kN
 Newton’un 2. Kanunu:


F = m× a
 Newton’un 3. Kanunu (Etki-Tepki)
Değme noktasında sürtünme yoksa kuvvet doğrultusu ortak teğet değerindedir.
Ortak teğet


K1 = K 2
K1 = K 2
Ortak teğet: İki ya da daha çok eğriye teğet olan doğru.
 Evrensel çekim kanunu
M
F
F
m
r
G=Evrensel çekim sabiti (66.73 ×10 −12 m 3 /(kg × s 2 ))
r=mesafe
BİRİM SİSTEMLERİ
Esas birimler, türev birimleri.
SI: zaman (saniye, genellikle dinamik hesaplarda kullanılır), uzunluk (metre), kütle (kg,
maddenin özelliğinin değeri) sabit büyüklüklerdir. (Temel büyüklükler bağımsızdır)
Kuvvet türetilmiş bir büyüklüktür. N = (kg ) × (m / s 2 ) =Newton
10-9 = nano
10-6 = micro
10-3 = milli
103 = kilo
106 = mega
109 = giga
1012 = tela
Büyüklükler
Skaler büyülük: Bir sayı değeri ve birimi belirtilen büyüklüklerdir (hacim, kütle, uzunluk).
Vektörel büyüklük: Şiddetleri, başlangıç noktaları, yönleri ve doğrultuları ile belirtilen
büyüklüklerdir (hız, ivme).
Tansörel büyüklük: Büyüklük, yön ve etkime düzlemi belirtilen büyüklüklerdir
(3n=mertebesi).
 
Bir vektörün şiddeti P.P = P 2
Vektör yön, şiddet ve doğrultu ile belirlenir.
• Bağlı vektörler (uygulama noktası sabit vektörler),
• Kayan vektörler (aynı doğrultuda istenilen noktaya uygulanan vektörlerdir),
• Serbest vektörler (moment) İçindeki düzlemde heryere gider. Yönü ve şiddeti
korumak üzere uzayda serbestçe kayar.
Kuvvet kayan bir vektördür.
Maddesel noktaların statiği
Bir noktada kesişen kuvvetler genel kuvvetlerdir. Statik problemlerinde 3 durumla karşılaşılır.
Bileşke bulma problemleri
• Bileşke bulma
• Bileşenlere ayırma
• Denge
Düzlemde bir noktada kesişen kuvvetler
Bileşke bulma problemleri
Grafik yöntemi
        
Sırasıyla P kuvvetleri toplanarak R’ler bulunur. P1 + P2 = R1 , R1 + P3 = R2 , R2 + P4 = R3 ,
  
R3 + P5 = R4
Düğüm planı
Kuvvetler planı (Uç uca ekleme)
Analitik yöntem
Y
y
α2
α1
j
X
αn
α
x
i

 
k = kx + k y


kx = kx i


ky = kyi
k y = kSinα
k x = kCosα



k = kCosαi + kSinαj

k .k = k 2 = kx2 + ky 2
θ
j
β c b
αa
i
θ y = θCosβ
θ x = θSinβ
Sinβ =
a
c
Cosβ =
b
c
Y
α+θ=π
T
θ
α
X
Tx = TCosα = TCos(π − θ) = T(Cosπ× Cosθ + Sinπ× Sinθi = −TCosθ
Ty = TSinα = TSin(π − θ ) = T ( Sinπ × Cosθ − Cosπ × Sinθ ) = TSinθ
  

R = P1 + P2 + ... + Pn


= (P1Cosα1 + P2Cosα 2 + .... + PnCosα n )i + (P1Sinα1 + P2 Sinα 2 + ... + Pn Sinα n ) j
 n
 n
Pi Cosα i + j Pi Sinα i
=i
∑
i =1
∑
i =1



 n
 n
R = Rxi + Ry j = i ∑ Pi Cosα i + j ∑ Pi Sinα i
i =1
i =1
n
n
Rx = ∑ Pi Cosα i
Ry = ∑ Pi Sinα i
i =1
i =1
Ry
Tanα =
R = Rx2 + Ry2
Rx
Bileşkenin hangi yönde olduğunu R x ve R y ’nin işaretleri belirler.
Örnek: Şekildeki kuvvetler topluluğunun bileşkesini bulunuz?
y
30kN
20kN
60°
40kN
30°
x
45°
5kN
10kN
Rx = 20Cos30 − 30Cos 60 − 40Cos 0 + 10Cos 45
Rx = 20 × 0.866 − 30 × 0.5 − 40 + 10 × 0.707
Rx = -30.61kN
Ry = 20Cos 60 + 30Cos30 − 5Sin90 − 10Cos 45
Ry = 20 × 0.5 + 30 × 0.866 − 5 − 10 × 0.707
Ry = 23.91kN
R = Rx2 + Ry2
R = 23.912 + (- 30.61)2 = 33.81
Tanα =
Ry 23.91
=
= -0.78
Rx - 30.61

α = -38° ⇔ α + θ = 180° ⇒ θ = 142°
Bileşenlerine ayırma
Grafik yöntem
2
1
Analitik yöntem
y
2
Verilenler
İstenenler k1, k2
1
k1 ve k2 çözülür.
x
Örnek Şekildeki 52 kN’luk kuvveti 1 ve 2 doğrultularında bileşenlerine ayırınız?
y
12
2
α2
4
5
α
3
1
3
α1 4
n
x
n
Rx = ∑ P1Cosα i = ∑ Xi
Ry = ∑ P1Sinα1 = ∑ Yi
i =1
i =1
∑ X ⇒ 52Cosα = k Cosα − k Cosα
∑ Y ⇒ 52Sinα = k Sinα + k Sinα
1
1
5
4
3
= k1 − k2
13
5
5
12
3
4
52 = k1 + k2
13
5
5
52
1
1
2
2
2
2
5×
/
5×
/
4×
/
20 = 4 k1 − 3 k 2
5
5
3
4
48 =
k +
k
5 1
5 2
100 = 4k1 − 3k 2
3×
/
240 = 3k1 + 4k 2
400 = 16k1 − 12k2
720 = 9k1 + 12k2
k1 = 44.8
100 = 4 × 44.8 − 3k2
k2 = 26.4kN
DENGE
Grafik çözüm
P3
P2
P4
P1
P2
P3
P5
P5
P4
Analitik çözüm
Y
a3
a1
X
P1
Örnek: W ağırlığındaki küre düşey ve eğik düzlem arasına konuluyor. Değme noktalarında
sürtünme olmadığına göre A ve B’deki tepki kuvvetlerini hesaplayın?
W=30kN
W
A
α
B
4
3
Çözüm: Serbest cisim diyagramı o cismi etkileyen, doğrudan doğruya verilmiş hesapla
bulunacak kuvvetlerin gösterilmesi ile ele geçen şekildir.
W
NA
α
NB
Örnek: Bir ipin A, B,C noktalarına W ağırlıklarına asılıyor, sistem dengede ise θ=?
Bilinmeyenler: θ, S1, S2, S3, S4
60°
A
60°
C
θ
B
θ
W
W
W
Çözüm:
S3
b)
S1
A
C
B
S2
B
60°
S1
A
a)
S1
S1
W
S2
S2
S4
θ
C
B
60°
W
S2
W
θ
∑X =0
∑Y = 0
− S1Cosθ + S2 Cosθ = 0
S1 = S2 = S
S1Sinθ + S2 Sinθ − W = 0
2 SSinθ = W
∑X=0
∑Y = 0
⇒S=
(a )
W
2 Sinθ
S1Cosθ − S3Cos 60 = 0 ⇒ SCosθ =
S3 = 2 SCosθ
S3
2
(b )
S3Cos30 − W − S1Sinθ = 0
3
= W + S1Sinθ
2
2
S3 =
(W + S Sinθ )
3
S3
a ve b dikkate alınırsa
S3 = 2 SCosθ
2W
S3 =
Cosθ = WCotθ
2 Sinθ
W
2
WCotθ =
(W + (
) Sinθ )
2 Sinθ
3
Cotθ =
2 3
3
× =
= 3
3 2
3
θ = 30
Örnek: P ve Q ağırlıkları sürtünmesiz çubuklar üzerinde kayabilmektedir. Ağırlıklar AB
çubuğu ile birbirine bağlıdır. Sistem şekildeki konumda dengede ise açısını belirleyiniz (α)?
Q=12kN, P=28kN
π −α
2
α
A
30
P
B
Q
60
Çözüm:
1
2
NA
NB
S AB
α
π −α
2
60
Q
P
1
∑X =0
∑Y = 0
30
S AB
S Cosα − P Cos 60 = 0
− N A + P Cos30 + S Sinα = 0
S Cosα = P 2
S Sinα = N A −
2
∑X =0
∑Y = 0
3
P
2
Q Cos30 − S Cos(π − α ) = 0
2
S Cosα + Q Cos 60 − NB = 0
S Sinα =
3
Q
2
S Cosα = NB − Q
2
1 ve 2 denklemleri dikkate alınırsa
S Cosα =
p
2
3
S Sinα =
Q
2
Cotα =
P
Q
⇒ Tanα = 3
P
3Q
⇒ α = 36.5
Örnek: Değme noktalarında sürtünme yoksa A, B, C noktalarında reaksiyonları hesaplayınız?
(Q=40kN)
Q
Q
C
A
60 
B
Çözüm:
Q
1
2
60 
Q
60 
ND
NC
ND
NA
1)
∑X =0
N A = QCos30
N A = 40 × 0.866 = 34.6kN
∑Y = 0
N D = QCos 60
N D = 40 × 1 = 20kN
2
2)
↓ ∑ Y = 0 Q + N D Cos 60 = N B Cos30
Q 5
3
5
= Q + = Q → NB =
2
4 4
2 3Q
N B = 57.7kN
NB ×
→
∑X =0
N C − N B Cos 60 − N D Cos30 = 0
NC −
1 Q
3
Q× − ×
=0
2 2 2
2 3
NC =
5Q
3Q
+
4
4 3
5
5 3Q
3Q 5 3Q 3 3Q
+
=
+
4×3
4
12
12
8 3Q
NC =
12
2 3
NC =
Q = 46.6kN
3
NC =
NB







K = K x + K y + K z = K x j + K y j + K zk
β
K x = K Cosα
K y = K Cosβ
Cosα = λ
Cosβ = ω
K z = K Cosδ
Cosδ = δ
Doğrultman Kosinüsleri
α
γ
(
K x2 + K y2 + K z 2 = K 2 Cosα 2 + Cosβ 2 + Cosδ 2
.
Cosα 2 + Cosβ 2 + Cosδ 2 = 1
λ2 + ω 2 + δ 2 = 1
Tesir Çizgisi Üzerinde İki Noktası Ve Şiddeti Verilen Kuvvetin Gösterimi
y
B(XB,YB,ZB)
A(XA,YA,ZA)
lz=ZB-ZA
lx=XB-XA
x
z


K = K .λ



( i . i = 1)
K AB
=
K AB
λ=



AB = ( XB − X A )i + (YB − YA ) j + (ZB − Z A )k
AB = AB. AB = ( XB − X A )2 + (YB − YA )2 + (ZB − Z A )2
2
( XB − X A )2 + (YB − YA )2 + (ZB − Z A )2



( XB − X A )i + (YB − YA ) j + (ZB − Z A )k
( XB − X A )2 + (YB − YA )2 + (ZB − Z A )2
AB =
λ=
ly=YB-YA
)
Örnek: Bir kule klavuz kablosu ankraj bulonu ile A’ya bağlanmıştır. Kablodaki kuvvet 112 kN’dur.
Kablo kuvvetinin bileşenlerini ve eksenlerle yaptığı açıları elde edin?
Y
B(XB,YB,ZB)



AB
AB
24m
S = S.λ
12m
A(XA,YA,ZA)
λ=
X
Z
Çözüm:



AB = ( XB − X A )i + (YB − YA ) j + (ZB − Z A )k



AB = (0 − 12)i + (24 − 0) j + (0 − (- 8))k
AB =  2 = AB. AB = ( XB − X A )2 + (YB − YA )2 + (ZB − Z A )2
2
 = AB =
(12)2 + (24)2 + (8)2
= 28m
12  24  8 
i+
j+ k
28
28
28



 12  24  8  
S = S.λ = 112 - i +
j + k
28
28 
 28




S = -48i + 96 j + 32k




S = Sxi + S y j + Sz k

λ=
AB
=-
Sx = -48kN
S y = 96kN
Sz = 32kN




S = S.Cosα i + S.Cosβ j + S.Cosδ k
S − 48
Cosα = x =
⇒ α = 115°
S 112
S
96
Cosβ = y =
⇒ β = 31°
S 112
S
32
Cosδ = z =
⇒ δ = 73°
S 112
Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti
Statik moment
 

 
M O = r1 × k
 
r = r1 + AB



M O = r1 + AB × k


 
M O = r1 × k + AB × k

 
M O = r1 × k

MO = r × k
O
A
B
(
)
K’nın O noktasına göre statik momenti
O
MO = K.d
M O = r .k.Cosα = k.(r .Cosα ) = K.d
O
α
A
K:Kuvvet
d:Uzunluk
d1
O1
d
Q
M1=Q.d1
Varignon Teoremi
Bu ilke, bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin, bu noktaya göre bileşenlerinin
momentlerinin eşit olduğunu ifade eder.
K2
R
A
K3
K1
K4
Vektörel çarpımının dağılma özelliğini
kullanalım.
O
Bir noktada kesişen kuvvetler topluluğunun herhangi bir noktaya göre tek tek momentler
toplamı, bileşkenin momentleri toplamına eşittir.
y
Moment
y=K.Sinα
x
A(x,y)
α
O
x=K.Cosα
y
x
d
z


K = K xi + K y j


K = KCosα i + KSinα j




MO = r × K



K = Xi + Yj ,

r = xi + yj



M O = (xi + yj )× (Xi + Yj )






i j
k
i j k

M O = x y z = 0 = x y 0 = k ( xY − yX )
X Y z=0 X Y 0
M O = K d = xY − yX
M O = k (xY − yX )
M O .M O = M O , M O = xY − yX
2
y
A
O
x
z






K = xi + yj + zk

r = xi + yj + zk






M O = ( xi + yj + zk ) × ( Xi + Yj + Zk )



i j k
 
MO = r × K = x y z
X Y Z



M O = i ( yZ − zY) + j ( xZ − zX ) + k ( xY − yX )



M O = M xi + M y j + M z k
 

i× j =k
M x = yZ − zY
M y = zX − xZ

 
j × i = -k
M z = xY − yX
Kuvvet Çifti
d1
A2
a
A1
Q
Q
A3
a1
a2
α
Kayar Vektör
M=Pb
P
Bağlı Vektör
b
P
Serbest
Vektör
A
76 kNm
76 kN
76 kN
76 kNm
1 kN
1 kN
Q
Q
Q
M=a×Q
A
B
a
Q
a
0
M=80×1.5kNm
=120 kNm
80 kN=F
80 kN=F
80 kN
120 kNm
1.5 m
1.5 m
P=32 kN
32 kN
M
B
4m
A
M=P×e
B
4m
A
B
Düzlemde Genel Kuvvetler
y
Y1
x1
Ry
x
Ry
Rx
y
X1
α1
y1
x
x0
Rx
d
Örnek Şekildeki levhaya etkiyen kuvvetler topluluğunun bileşkesini elde ediniz?
y
7kN
8kN
1.5m
20kN
1.5m
2m
2m
x
R x = 20kN
R y = -7 − 8 = -15kN
R = (15) 2 + (20) 2 = 25kN
∑M
y
⇒ -20 ×1.5 − 8 × 4 − 7 × 2 = R y X o
- 30 − 32 − 14 = -15X 0
76 = 15x o
X o = 5.06
y
7kN
8kN
1.5m
20kN
36°
1.5m
20kN
x
°
36
2m
m
2
x0=5.06m
tgα =
Ry
Rx
=-
15kN
25kN
3
15
===> α = -37°
4
20
Örnek
7kN
8kN
Kuvvetler topluluğunun bileşkesini
bulunuz?
1.5m
121kNm
1.5m
Rx=20kN
37°
x0=3m
Ry=15kN
2m
R=25kN
2m
20kN
DENGE
y
x
Cismin dengede olması için
BİLEŞENLERE AYIRMA
y
D3
D2
α2
A2=(x2,y2)
Q
α3
α1
A3=(x3,y3)
A1=(x1,y1) D1
x
2
1
3
Q
A
d
Q
A3
d3
3
Q
k2
h1
k1
h2
h3
1
d1
A1
k3
A2
d2
2
∑ MA
= k1.h1 = -Q.d1
=>
k1 =
- d1.Q
∑ MA
= Q.d 2 = -k2 .h2
=>
k2 =
- d 2 .Q
∑ MA
= Q.d 3 = -k3 .h3
=>
k3 =
- d 3 .Q
1
2
3
h1
h2
h3
Dengeleme yapmak için k1 ,k 2
k 3 ' e zıt yönde olmalıdır.
YAYILI YÜKLER
Alana yayılı yük
Çizgisel yayılı yük
Düzgün yayılı yük
P
P0
P(x)
l
Üçgen yayılı yük
Trapez yayılı yük
P0
Parabol yayılı yük
PB
P(x)
2°
PA
l
l
l
dR=P(x).dx
R
x
x0
B
A
dx
l
B
1
A
0
R = ∫ dR = ∫ P( x ) dx
∑MA ⇒
B
∫ x.dR = R.x0
A
l
l
0
0
( ∫ xP( x ) .dx) = x0 ( ∫ P( x ) .dx)
l
l
0
0
x0 = ( ∫ xP( x ) .dx) /( ∫ P( x ) .dx)
x
dx
R
A
x
l
B
HİDROSTATİK BASINÇ
A
B
h
h
Örnek: Şekildeki AC Kirişinin zeminden gördüğü reaksiyon lineer yayılıdır. Bu reaksiyonun
A’daki ve C’deki değerlerini elde ediniz?
36kN
18kN
48kNm
B
A
C
PC
PA
2m
4m
B
32kN/m
A
14kN/m
Çözüm:
C
Örnek: Ağırlığı edilen AB kirişi eğik düzlem arasına konulmuştur. Temas noktalarında
sürtünme olmadığına göre kirişin yatay kalması için P kuvveti nereye konulmalıdır?
l=10m
x
P
A
3
B
4
4
3
Çözüm:
P
x
10m
Örnek: Şekildeki kuvvetler topluluğunun bileşkesinin
a) B’den geçmesi için
b) E’den geçmesi için
M 1 momenti ne olmalıdır?
P0=9kN/m
8kN
2°
Teğet noktası
M1
A
B
4m
D
4m
C
2m
E
Çözüm:
RB
RE
kN
2°
8
M1
A
4m
B
2
m
C
D
m
4
E
DÜZLEMDE BAĞLAR
Serbestlik Derecesi
f= Serbestlik derecesi
f=3 tam serbest
2 tanesi öteleme
1 tanesi dönme
f=0 hareket önlenmiş
f=1,2 hareketlerin bir kısmına engel olunmuş
B’’’
A’’’ (III) D’’’
A’’
C’’’
B’’
(II)
A’
(0)
C
D’’
B’
C’’
B
A
C’
D
(I)
D’
θ
Kaldırılan serbestlik 2 (öteleme)
Kalan serbestlik 1 (dönme)
Bir bağın belirtilmesi için verilen sayı miktarı statik değer denir.
S=2
Bir bağın kaldırdığı serbestlik derecesi bağın statik değerine eşittir.
Ax
B
A
By
Kayıcı mesnet
°
A
B
°
A
A
Ay
Sabit mesnet
Q×
Pandül ayak (statik değeri 1)
Sarkaç ayak
B ×
s=1
f=2
A(XA,YA)
•
•
•
•
Bağ kuvveti
Mesnet tepkisi
Mesnet reaksiyonu
Sabit mafsal
Q yükü B noktasına aktarılınca yük + moment
oluşur. Düğüm noktası dönebildiği için
moment etkisi kaybolur. Aynı durum A
noktasında da geçerli olduğu için yalnızca
kuvvetlerin karşılıklı bilişenleri kalır.
Ankastre mesnet
(Geçme mesnet)
Ankastrelik moment
AX
AX
MA A
MA
Y
AY
Q
s=3
f=0
A
Yatay kayıcı ankastre mesnet
Düşey kayıcı ankastre mesnet
Yatay
kayıcı
Düşey
kayıcı
s=2
f=1
MC
s=2
f=1
Bir Cismin Bağlanması
• Az bağlı: f=3, f=2, f=1 (f>0)
• Tam bağlı: f=0
• Çok (fazla) bağlı: f<0
f  Serbestlik derecesi
Az Bağlı Sistem
Kalan serbestlik
dönme serbestliği
P
M
Sadece belirli
yükleri taşır
TAM BAĞLI ELEMAN
Basit Kiriş
s=2
s=3
Ankastre Kiriş
f=0
∑s=3
f=0
Çıkmalı Kiriş
Pandül Ayaklı Çerçeve
s=2
s=1
f=0
s=1
Sürekli Kiriş
s=1
s=1
s=1
s=1
f=0
f=0
Kritik Bağlama
s=1
Fazla Bağlama
f=3 Tam serbest
f=0 Tam bağlı
f<0 Fazla bağlı
s=2
s=1
s=3
∑s=4
s=1
s=1
s=1
∑s=6
s=1
s=1
f=-3
s=3
s=1
s=2
f=-1
s=3
∑s=6
s=1
∑s=8
f=-5
BAĞ KUVVETLERİNİN HESABI
 İzostatik (statikçe belirli)
 Hiperstatik (statikçe belirsiz)
P2
P1
A
C
B
Serbest cisim diyagramı
P2
P1
AX
AY
∑X=0
∑Y=0
∑M=0
veya
∑M A =0
∑M B =0
∑M C =0
BY
f=-3
s=3
İzostatik (Tam Bağlı)
P1
P2
P3
P1
P2
P3
A
B
A
MA
AX
AY
Hiperstatik (Fazla Bağlı, Statikçe Belirsiz)
∑s=5
∑s=8
∑s=6
C
Örnek: Şekildeki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
P=24kN, l=4m, a=1m, b=3m, α=90°
P
A α
B
C
b
a
l
Çözüm: Sistemin serbest cisim diyagramı çizilir.
P
AX
C
AY
BY
Örnek: Şekildeki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
8kN/m
20kNm
B
A
2m
3m
Çözüm:
8kN/m
AX
A
20kNm
B
AY
BY
Örnek Şekildeki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
36kN
27kN/m
B
A
4
3
2m
3m
Çözüm:
36kN
27kN/m
AX
A
B
AY
BY
4
3
Örnek: Şekildeki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
6kN/m
1.5m
kN
8kNm 2
1m
Çözüm:
6kN/m
MA
AX
AY
8kNm 2kN
Örnek Şekildeki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
1.5m
1.8kN/m
1.5m
1.5m
2kN
A
2.4kN
1.5m
3m
Çözüm:
1.5m
1.8kN/m
1.5m
1.5m
2kN
MA
2.4kN/m A
X
m
1.5
AY
m
3
Örnek: Şekildeki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
2kN/m
2m
3kN/m
16kNm
6m
A
B
8m
Çözüm:
2kN/m
AX
16kNm
2m
3kN/m
A
AY
BY
B
Örnek: Şekildeki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
5kN/m
20kN
4m
4
3
B
A
1.5m
1.5m
2m
1m
Çözüm:
5kN/m
20kN
4m
4
3
AX
A
AY
B
BY
Örnek: Aşağıdaki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
C
15kN/m
2m
10kN/m
25kN
3m
B
A
m
m
2
4
Çözüm:
10kN/m
25kN
CX
15kN/m
BY
AY
Örnek Aşağıdaki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
1
m
A
30kN
m
24kN/m
3
12kN/m
B
C
4
3
2m
2m
Çözüm:
AX
A
30kN
24kN/m
12kN/m
B
BY
C
CXY
Örnek Aşağıdaki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
P(x)
P0
A
B
l
l/2
Çözüm:
dR=P(x)dx
2°
P0
AX A
B
AY
x
BY
MAFSALLI SİSTEMLER
‘S’ ara mafsalın statik değeri
Ara Mafsal
Z1+Z2=0
Z1
İki bileşen
Z5
Z2
A
Z4
Z1
Z2
Z3
Z1+Z2+…+ Zn
S=2n-2=2(n-1)
n: Sistemdeki eleman sayısı
f=3n-(g+r)
3n: Toplam serbestlik derecesi
f=0 ise tam bağlı
g: İç bağların kaldırdığı serbestlik
f<0 ise fazla bağlı
r: Dış bağların kaldırdığı serbestlik
f>0 ise az bağlı
f: Serbestlik derecesi
3 Mafsallı Kemer
3 Mafsallı Çerçeve
r=2
r=2
ÜÇ MAFSALLI SİSTEMLER
a) Mafsal Şartı Yöntemi
Dış bağ kuvvetleri
AX, AY, BX, BY
Tüm Sistemlerde
1)
G
B
A
BX
AX
AY
2)
3)
BY
4)
GX
GY
b) Elemanlarına Ayırma
GX
GY
BX
AX
BY
AY
Örnek: Şekildeki üç mafsallı kemerin bağ kuvvetlerini hesaplayın?
G
60kN
kNm
4
30
1m
10kN/m
B
A
2m
3m
5m
Çözüm:
10kN/m
G
60kN
30kN/m
BX
A AX
B
BY
m
2
AY
3
m
5
m
10kN/m
10kN/m
G
30kNm
GX
GY
GX
60kN
GY
AX
AY
BX+GX=0
BY+GY -10×3=0
5BY–5BX–30–10×3×1.5=0
Örnek: Aşağıdaki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
B
2m
24kNm
2m
D
2m
28kN
C
A
5
6kN/m
m
Çözüm:
D
24kNm
B
28kN
AX
C
A
AY
CX
CY
6kN/m
Örnek Aşağıdaki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
24kN
8kN/m
8kN
4m
B
kNm
16
16kN/m
2m
A
C
4m
4m
2m
Çözüm
8kN/m
8kN/m
24kN
BX
BY
8kN
BX
BY
16kNm
AX
16kN/m
A
AY
C
CX
CY
Üç Mafsallı Sistemler
G
G
A
B
B
A
2
4
3
1
G
A
B
S
S
S
B
A
S
A
B
Üç Mafsallı Sistemlerin Kritik Duruma Sokulması
CX
B
AX
CY
A
AY
A
B
Mafsallı Kirişler (Gerber Kirişler)
Sürekli Kiriş
G1
2
G3
2
G2
2
G4
2
f=3n-(g+r)=0 tam bağlı
5
8 7
Kritik Durumlar
kritik
fazla bağlı
kritik
fazla bağlı
Not: Sürekli kirişlerde kenar açıklıklarda 1, iç açıklıklarda 2den fazla mafsal kullanılmaz.
Bağ Kuvvetlerinin Hesabı
P
q
G1
A
Q
G2
B
G4
G3
E
F
EY
FY
D
C
G2Y
G1X
G1Y
G1Y
AX
G1X
AY
BY
G2X G3Y
G2X
G2Y
CY
G3X
G3X
G3Y
DY
G4Y
G4X
G4X
G4Y
Bilinmeyenler
GiX, GiY ↔ i=1, 2, 3, 4
8 İç bağlar
7 Dış bağlar
+
15 tane
Her bir parçada denge denklemi yazılırsa
∑X=0, ∑Y=0, ∑M=0
Toplam 5 parça mevcut olduğuna göre
3×5=15 denklem
Örnek Aşağıdaki sistemin bağ kuvvetlerini bulunuz?
20kN
12kN/m
40kNm
A
B
5m
5m
C
2m
6m
F
E
D
2m
10m
Çözüm
12kN/m
CX
CY
20kN
12kN/m
AX
AY
CX DX
DY
BY CY
DX
DY
12kN/m
EY
40kNm
FY
Örnek Aşağıdaki kirişin bağ kuvvetlerini hesaplayınız?
27kN/m
16kN
F
C
A
E
B
4m
D
2m
2m
40kNm
4m
4m
Çözüm
F
16kN
40kNm
DX
27kN/m
A
AX
AY
9kN/m
B
C
BX
BY
9kN/m
BX
B BY
CY
D
DY
D DX
DY
Mafsal Tepkileri
E
EY
Örnek:
4kN/m
2kN/m
10kNm
12kN
A
kNm
15
C
B
2m
3m
2m
Çözüm:
4kN/m
MC
CX
2kN/m
S1
S1
B S2
S2
10kNm
12kN
A
CY
15
kNm
AY
GENEL MAFSALLI SİSTEMLER
3n = g + r
f = 3n − (g + r )
f =0
3n = g + r
tam bağlı
r ≥3
f >0
3n > g + r
az bağlı
r = 3 ise kendi içinde tam bağlı
f <0
3n < g + r
fazla bağlı
r > 3 mesnetleri ile tam bağlı
1 2
2
4
3
2×3 - (2+4) = 0
r=4
g=2
n=2
6
1
7
2
2
3
2
Destekli Köprü
5
4
4
4
2
1
Mesnetleri ile tam bağlı
Örnek
G
4kN
1.5m
H
4kN
E
α
α
α=53°
A
2m
F
B
4m
2m
1.5m
D
C
2
Langer kirişi
1
6
5
4
2
2 2
2
7
4
Çözüm
CF Parçası
AG Parçası
BH Parçası
4kN
DX
EX
kN
4
S1
EY
DY
EY
AC Parçası
EX
DX
S1
4kN
DY
BF Parçası
S2
S1
S2
3kN
1kN
AG Parçası
S2
S1
BH Parçası
S2
Örnek: Aşağıdaki kemer sistemin bağ kuvvetlerini hesaplayınız?
E
8kN
12kN
C
D
16kN
B
A
2m
3m
2m
1m 1m 1m 1m
6kN/m
1m 1 m 1 m
Çözüm:
AE Parçası
BE Parçası
6kN/m
6kN/m
E EX
EX
EY E
EY
8kN
C CX
DX
A
AY
16kN
DY
CY
D
B
AX
BY
CD Parçası
12kN
CX
CY
Tüm Sistem
DX
DY
CD
EB
KAFES SİSTEMLER
4
2
Kendi içinde tam bağlı
• Düzlem kafes sistemler
• Uzay kafes sistemler
2
Düğüm noktası
4
2
f=3n-(g+r)
f=0 tam bağlı
f=0 , r=3 ise kendi içinde tam bağlı
2
2
2
4
2
6
8
4
4
8
4
2
Rijitlik Şartı
Kendi içinde tam bağlı k.s
Mesnetleri ile tam bağlı k.s
Bileşik kafes sistemler
Kompleks (karmaşık) sistemler
c←Çubuk sayısı
d←Düğüm sayısı
c = 2d – 3
2d – c = 3
• Basit k.s.
• Bileşik k.s.
• Kompleks k.s.
Basit Kafes Sistemler
P
B
D Dikme
E
Üst başlık çubuğu
G
Diagonal
A
C
F
Alt başlık çubuğu
H
Bileşik Kafes Sistemler
1
2
3
Karmaşık (Kompleks) Kafes Sistemler
Çubuk Kuvvetlerinin Hesabı
 Düğüm noktaları metodu (Düğüm dengesi)
 Kesim metodu (Ritter kesimi)
 Çubuk değiştirme (Henneberg) metodu
 Cremona planı (Maxwell diyagramı ve Bow notasyomu)
Düğüm Noktaları Metodu
P2
3
C
D
4
5
8
B
1
2
7
F
9
A
FY
E
P3
P1
A
FX
6
A
S3
AY
S1
SAB=S2
F FX
S4
S9
P2
S4
B
S7
S5
SAB=S2
AY
S7
D
B
SAC=S1
C
S3
S2=SAB
S1=SAC
C S =S
AC
1
S8
S5
FY
S8
S9
S6
E
P3
S5
S6
P1
Örnek: Şekildeki kafes sistemin çubuk kuvvetini hesaplayınız? Sonuçları tablo üzerinde
gösteriniz?
C
E
36kN
6
1.5m
4
8
5
7
B
1.5m
F
D
3
18kN
9
2
1
A
2m
2m
2m
2m
Tüm Sistemde
A Düğüm Noktası
S1
S
2
36kN
6kN
F Düğüm Noktası
S4
α
S3
α
E Düğüm Noktası
S6
18kN
S4
D Düğüm Noktası
S7
S5
S3
S5
C Düğüm Noktası
4kN
S9
S2
36kN
S8
20kN
Çubuk No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Çekme(+)
Basınç(-)
27.5
17.5
20
2.5
2.5
4
20
20
16
KESİM METODU
P4
P5
a
b
c
P1
P2
P5
P3
Sa
Sa
Sb
Ax
Ay
Sc P
2
Sc
P1
Sb
P3
By
P2
P1
P2
D
1
C
P1
C
B2
S1
S1
B S2
F
P3
A
3
D
S2
F
S3
E
Ax A
S3
Ay
S3
E
By
b
P1
B
a
2
1
D
G
P2
E F
P3
3
A
b
C
a
a-a Kesiti
P1
S2
S2
S1
P2
G
S1
F
D
P3
E
S3
Ax
C
CY
S3
Ay
b-b Kesiti
P1
BY
BX
BX
BY
S2
S1
D
P2
G
E
F
P3
Ax
S3
Ay
S3
C
CY
Özel Düğüm Noktaları
1)
S1
α
A
S2
2)
S1
α
P
S2
3)
Bir düğüm noktasında ikisi aynı diğerleri farklı doğrultuda üç çubuk kesişiyorsa aynı
doğrultudaki çubukların kuvveti eşit diğeri 0 olur.
S1
α
S3
4)
S2
Eğer bir düğüm noktasında ikisi aynı biri farklı doğrultuda üç çubuk varsa dış kuvvet
de farklı doğrultudaki çubuğun doğrultusunda ise aynı doğrultudaki çubukların
kuvvetleri eşit diğer çubuğun ise dış kuvvet kadardır.
S1
S3
α
α
S2
P
5)
Eğer ikişer ikişer aynı doğrultuda 4 çubuk bir düğüm noktasında kesişiyorsa aynı
doğrultudaki çubuk kuvvetleri birbirine eşittir.
S1
S3
α
α
S2
S4
3kN
Ödev: 3kN
Şekildeki
kafes
sistemindeki
çubuk
kuvvetlerini bulunuz?
A
7kN
8kN
10kN
3
2kN
4
2
7
3kN
Örnek:
kN
8
B
4kN
Şekildeki
kafes
sistemindeki
işaretli
çubuklardaki çubuk kuvvetlerini bulunuz?
4kN
5 45° 6
45°
1
A
B
2m
8kN
2m
2m
2kN
S3
2m
10kN
S3
S2
S2
4kN
S1
S1
Ax=12kN
Ay=9kN
By=21kN
S5
S3
S2
2kN
S4
S7
S6
5.5kN
12kN
9kN
Örnek: Şekildeki sistemde verilen çubuk kuvvetlerini bulunuz?
8
9
A
10
11
12
6kN
2m
2m
∑M
A
1
7
5
6
2
3
B
4
24kN
2m
18kN
2m
2m
1.5m 1.5m
12kN
2m
=0
12B y + 12 × 3 − 24 × 6 − 18 × 4 − 6 × 2 = 0
B y = 22
∑Y = 0
A y = 26kN
∑X = 0
A x = 12kN
12kN
E
S5
S5
S1
S4
S6
F
S6
S6
12kN
F
6kN
kN
26
∑M
S1
F
18kN
= 3S1 + 12 × 3 + 26 × 4 − 6 × 2 = 0
S1 = -42.67kN
∑Y = 0
S5 − S6 = 2
S5 + 22 − S6 − 24 = 0
24kN
∑M
F
22kN
= 3S1 + 22 × 8 + 24 × 8 − 24 × 2 = 0
S1 = -42.67kN
∑X = 0
S2Cosα + S3Cosα = 0
S2 = -S3
S5
∑Y = 0
S2
S5 − S6 + (S2 − S3 )Sinα = 07
α
α
S6
2 + 2S2 × 0.6 = 0
S2 = -1.67kN
S3
S7
12kN
S8
S9
12kN
K
26kN
S12
6kN
29.3kN E 42.6kN
S10
S5
∑X = 0
S10Cosα + 42.6 − 29.3 = 0
S10 = 16.625kN
∑Y = 0
S5 + S10Sinα = 0
S5 = 9.975kN
Örnek:
=
=
a
a
Örnek: Kafes sistemin çubuk kuvvetlerini bulunuz?
P
Ax
Ay
a
P
P
Ay = 3
3
By =
a
a
a
a
By
a
Ax = P
C
O
S1
S2
Ay
By
Ax
∑M
c
=0
6 a S2 + 6 a
P
− Pa = 0
3
P
6
∑Y = 0
S2 = −
S1 + S2 −
S1 =
P
6
P P
+ =0
3 3
Gerber Kafesler
A
B
C
G
Taşıyıcı Sistem Şeması
Gx
Gy
Cy
Ax
Gx
Gy
Ay
By
Örnek: Şekildeki kafes sistemin 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nolu çubuk kuvvetlerini bulunuz?
12kN
1
18kN
2
4
3
5
6
7
18kN
20kN 6kN
12kN
18kN
Ax
18kN
20kN 6kN
Ay
12kN
By
S1
S2
30
k S3
14.6
Cy
S6
S7
6kN
18kN
30kN
S4
S6
S5
S7
20kN
Üç Mafsallı Kafes Sistemler
S1= -11.18kN=S6
2kN
2kN
14
15
10
9
2m
2m
6
7
8
2m
S8=6kN
2m
2m
2m
S9= 10kN=S7
1m
13
12
11
2m
S3= -8.94kN=S4
5
2kN 2
1
S2= -8.94kN=S5
2kN
1m
4
1m
2kN
3
S10= -2.34kN=S15
S11= -2kN=S14
2m
S12= 3.61kN=S13