14.12 Oyun Teorisi

14.12 Oyun Teorisi
Muhamet Yıldız
Güz 2005
Ders 6: Rasyonelleştirilebilirlik ve Nash Dengesi
Uygulamaları
Yol haritası
1. Özet
2. Cournot rekabeti
3. Ufak sınav
4. Basitleştirilmiş fiyat rekabeti
5. Iki bilindik oyun
6. Ortaklık oyunları
7. Karma strateji Nash dengesi
1
Rasyonelleştirilebilirlik
!"#$%&#'()$)%'*)($+,-.,)/'*)-'$)*)0'(
;6),
1)('$&02(%.$3.45.$
%&#'()$)%'*)($+,-./'$6.-$#78
9.07:.+0&()**)4,'-'*)3'*)($+,-.,)/'*)-
Nash Dengesi
Tanım: Bir strateji vektörü, s∗ = (s∗1 , ...s∗N ), bir Nash dengesidir, ancak ve ancak, tüm i’ler ve ∀si ∈ Si için
ui (s∗1 , .., s∗i−1 , s∗i , s∗i+1 , ..., s∗n ) ≥ ui (s∗1 , .., s∗i−1 , si , s∗i+1 , ..., s∗n )
olmalıdır.
yani, hiçbir oyuncunun diğer oyuncuların ne yaptığını bildiği
durumda çark etme isteği yoktur.
2
Cournot Oligopolü
• N = {1, 2, ..., n} firma var;
• Eşzamanlı olarak her firma i, c marjinal maliyetinde, qi üretirler
!"#$%"&'()*+",")-'
. •/'0'1234353%6'7*$89:'
ve ürünlerini P = max{0, 1 − Q} fiyatından satarlar, öyle ki,
. ;*8#)&<%="#9)-3'=<>?'7*$8'*'
@'
Q = q1 + .. + qn .
,$"A#>=9'B
#%*&9'"7'<'+""A'<&'
!"#$%"&'()*+",")-'
*'
. 8<$+*%<)'>"9&'>3'
/'0'1234353%6'7*$89:'
2'
. ;*8#)&<%="#9)-3'=<>?'7*$8'*'
@'
. <%A'9=))9'&?='+""A'<&',$*>='
,$"A#>=9'B*' #%*&9'"7'<'+""A'<&'
8<$+*%<)'>"9&'>3'
2'
@'0'8<C1D32EF6
. <%A'9=))9'&?='+""A'<&',$*>='
@'0'8<C1D32EF6
G?=$='F'0'B
2H5HB%I
G?=$='F'0'B2H5HB%I
353;
:'S2353S%L'
. . J<8='0'K;
J<8='0'K;2353;%2:'S
2353S%%L'
F
F
G?=$=';
0'MD3f
f
L3
*'
G?=$=';*' 0'MD3fL3
2'
S*KB
LE>N'*7'B2H5HB%'O'23'
%L'0'B*M2EKB
•2353B
Oyun=
(S2H5HB
1 , .., %Sn;π1 ,..,π
n ) şeklindedir,
EB*>'
"&?=$G*9=I'
2'
öyle ki, Si = [0, ∞),
S*KB2353B%L'0'B*M2EKB2H5HB%LE>N'*7'B2H5HB%'O'23'
EB*>' 
"&?=$G*9=I'

πi (q1 , ..., qn ) =
 qi [1 − (q1 + .. + qn ) − c] eğer q1 + .. + qn < 1

−qi c
!"#$%"&'P#",")-'EE
,$"7*&'
diğer durumlarda

BQ0DI4
@$"7*&'
Cournot Oligopolü - Kar
>0DI4'
!"#$%"&'P#",")-'EE ,$"7*&'
D'
B*K2EBQE>L'
E>B*
BQ0DI4
-0.2
@$"7*&'
0
K2EBQE>LR4'
>0DI4'
1
2EBQE>
D'
B*K2EBQE>L'
22'
E>B*
-0.2
0
K2EBQE>LR4'
2EBQE>
1
3
22'
Cournot Oligopolü - En iyi tepkiler
!"#$%$&'()$*'(+,-('($
./01.23$4$567819".2":3;<=>?@$ .
<$
!"#$%$&'()$*'(+,-('($
A$ B6(C$D.E/F/&*/E5$.GH$
.94.9$01.<3$
./01.23$4$567819".2":3;<=>?@$ .
<$
.9G$4$19".<G":3;<@$
.<G$4$19".
.94.9$01.
9G":3;<@$
<3$
A$ B6(C$D.E/F/&*/E5$.GH$
9$ c
<$
.9G$4$19".<G":3;<@$ A .9G$4$.<G$4$19":3;I$
.G$
.<G$4$19".9G":3;<@$
9$ c
A .9G$4$.<G$4$19":3;I$
<$
.<4.<$01.93$
.G$
.<4.<$01.93$
.9$
9":$
.9$
!"#$%$&'()$*'(+,-('($
./01.23$4$567819".2":3;<=>?@$ .
<$
9":$
• Nash dengesi q ∗ :
.94.9$ 1.<3$
A$ B6(C$D.E/F/&*/E5$.GH$
!,E*-,)$JF/K,+,FL$""D.E/F/&*/E5$
.9G$4$19".<G":3;<@$
.G$
A$ .M9":$/($()*/:)FL$N,5/-6)'N=$(,$.$d
9":O$
.<G$4$19".9G":3;<@$
9$ c
S/1.9=P=.
-3$4$./Q9"1.9RPR.-3":S$T,*$'6:C$/O$
G$4$19":3;I$
A .A$9G$4$.
<
<$
.<4.<$01.93$
∗
∗
!,E*-,)$JF/K,+,FL$""D.E/F/&*/E5$
• q1 = q2 = (1 − c)/3
A UJ!H w$ S 1q ==$q 3$
wQqi 19 q9$ qn c 3S
i
n
9$
A$ .M9":$/($()*/:)FL$N,5/-6)'N=$(,$.$d 9":O$ wq
wq
0
i
A$ S/1.9=P=.-3$4$./Q9"1.9RPR.-3":S$T,*$'6:C$/O$
A UJ!H w$ S 1q ==$q 3$
wQqi 19 q9$ qn c 3S
i
n
9$
wqi
q qG$
wqi
A$ VC6)$/(=$
.q9$ qG
i
q qG$
19 q9$G$ qnG$ c9":$
3$ qiG$ >$O
<q9G$ q<$Gq qG qnG$ 9$ c
G$ G$
G
19 q9$G$ qnG$ cq93$
>$
O qnG$ 9$ c
q<q
i <$ A$ VC6)$/(=$
<q9G$ q<$G qnG$ 9$ c
q <q q
G
9
G$
<$
G$
n
G$
<$
G
9
9$ c
G$
<$
G$
n
A$ .M9":$/($()*/:)FL$N,5/-6)'N=$(,$.$d 9":O$
A$ VC'*'T,*'=$.9G4P4.-G419":3;1-R93O$
q q <q
G
9
!,E*-,)$JF/K,+,FL$""D.E/F/&*/E5$
q q <q 9$ c
A$ S/1.9=P=.-3$4$./Q9"1.9RPR.-3":S$T,*$'6:C$/O$
UJ!H
9$ c w$ S i 1q9$==$qn 3$
wQqi 19 q9$ qn c 3S
G$A
n
wqi
A$ VC'*'T,*'=$.9G4P4.-G419":3;1-R93O$
q qG
19 q9$G$ qnG$ c 3$ qiG$ >$O
4
A$ VC6)$/(=$
wqi
q qG$
<q q q
9$ c
q <q q
9$ c
G$
9
G
<$
G
9
G$
<$
G$
n
G$
n
9<$
q q <q
G
9
G$
<$
G$
n
9$ c
A$ VC'*'T,*'=$.9G4P4.-G419":3;1-R93O$
9<$
Cournot duopolünde Rasyonelleştirilebilirlik
Rationalizability in Cournot Duopoly
q2
1-c
1 c
2
q1
1 c
2
1-c
Cournot duopolünde Rasyonelleştirilebilirlik
• Eğer i qj ≤ q olduğunu biliyorsa, qi ≥ (1 − c − q)/2
• Eğer i qj ≥ q olduğunu biliyorsa, qi ≤ (1 − c − q)/2
• Biliyoruz ki, qj ≥ q 0 = 0.
• O zaman, qi ≤ q 1 = (1 − c − q 0 )/2 = (1 − c)/2 her i için.
• O zaman, qi ≥ q 2 = (1 − c − q 1 )/2 = (1 − c)(1 − 1/2)/2 her i
için.
• ...
• O zaman, q n ≤ qi ≤ q n+1 veya q n+1 ≤ qi ≤ q n öyle ki,
q n+1 = (1−c−q n )/2 = (1−c)(1−1/2+1/4−...+(−1/2)n )/2.
• n → ∞ olduğunda, q n → (1 − c)/3.
5
4
Cournot duopolünde Rasyonelleştirilebilirlik
1. n=3 (çok yardımcı değil!!!!)
2. herkes rasyonel
3. ⇒ qi ≤ (1 − c)/2
4. herkes rasyonel ve 2’yi biliyor.
5. ⇒ qi ≥ 0
6. herkes rasyonel ve 4’ü biliyor.
7. ⇒ qi ≤ (1 − c)/2
8. herkes rasyonel ve 6’yı biliyor.
9. ⇒ qi ≥ 0
6
.<G$4$19".
A .9G$4$.
9G":3;<@$
<G$4$19":3;I$
A .9G$4$.<G$4$19":3;I$
.G$
<$
9$ c
<$
.<4.<$01.93$
.<4.<$01.93$
.9$
.9$
Cournot oligopolü - Denge
9":$
9":$
• q > 1 − c kesin domine edilir, dolayısıyla q ≤ 1 − c.
• πi (q1 , ..., qn ) = qi [1 − (q1 + .. + qn ) − c] her i için.
!,E*-,)$JF/K,+,FL$""D.E/F/&*/E5$
• Birinci türev:
A$ .M9":$/($()*/:)FL$N,5/-6)'N=$(,$.$d 9":O$
!,E*-,)$JF/K,+,FL$""D.E/F/&*/E5$
A$ S 1. =P=. 3$4$. Q9"1. RPR. 3":S$T,*$'6:C$/O$
/
9
-
/
9
-
A UJ!H w$ S 1q ==$q 3$
i
n
9$
wQq 19 q q c 3S
i
n
9$
A$ .M9":$/($()*/:)FL$N,5/-6)'N=$(,$.$d
9":O$
wq
wq
i
i
q qG$
q qG
A$ S/1.9=P=.-3$4$./Q9"1.9RPR.G$-3":S$T,*$'6:C$/O$
19 q9$ qnG$ c 3$ qiG$ >$O
A UJ!H w$ S 1q ==$q 3$
wQqi 19 q9$ qn c 3S
i
9$ G$
Gn
G$
A$ VC6)$/(=$
• Yani,
<q q<$ qn
wqG 9i
9$ c
G$ G$
wqi
q qG
q9 <q<$G$ q q qn
9$ c
19 q9$G$ qnG$ c 3$ qiG$ >$O
q9G q<$G$ <qnG$ 9$ c
q<$ qn
<q9-G419":3;1-R93O$
A$ VC'*'T,*'=$.9G4P4.
A$ VC6)$/(=$
G$
G
G$
9$ c
q9G <q<$G$ qnG$ 9$ c
q9G q<$G$ <qnG$ 9$ c
9<$
A$ VC'*'T,*'=$.9G4P4.-G419":3;1-R93O$
• Dolayısıyla, q1∗ = ... = qn∗ = (1 − c)/(n + 1).
9<$
7
Basitleştirilmiş fiyat rekabeti
• 2 firma bir markette 2 birimlk taleple karşı karşıyalar
• Firmalar eş zamanlı olarak fiyat seçiyorlar, p1 ve p2 ;
• Fiyat düşük (4), orta (5) veya yüksek (6) olabilir.
• Daha düşük fiyatlı firma 2 birim satar;
• eğer fiyatlar eşitse ikisi de 1 birim satar.
Basitleştirilmiş fiyat rekabeti
Simplified price-competition
Firm 2
High
Medium
Low
High
6,6
0,10
0,8
Medium
10,0
5,5
0,8
Low
8,0
8,0
4,4
Firm 1
Dutta
8