Anahtarlamalı ve Karşılıklı Endüktans Etkisi İçeren Devrelerin

6th International Advanced Technologies Symposium (IATS’11), 16-18 May 2011, Elazığ, Turkey
Anahtarlamalı ve Karşılıklı Endüktans Etkisi
İçeren Devrelerin Genelleştirilmiş Düğüm
Denklemleri ile Analizi
S. Duman1 and A. B. Yildiz2
1
2
Department of Electrical Education, Duzce University, Duzce/Turkey, serhatduman@duzce.edu.tr
Department of Electrical Engineering, Kocaeli University, Kocaeli/Turkey, abyildiz@kocaeli.edu.tr
Analysis of Switched and Containing Effect of
Mutual Inductance Circuits with Modified
Nodal Approach
Abstract— In this paper, modified nodal analysis method is
used to obtain of system equations for analysis switched circuits
and effect of mutual inductance circuits used in power
electronics. Two valuable element methods are modeled
switched-mode devices. This approach is applied on locked loop,
including effect of mutual inductance voltage multiplier and full
wave rectification circuit for simulation studies.
Keywords—Modified nodal approach, switched circuits,
analysis
I. GİRİŞ
AZI devrelerde elemanlar arasında elektriksel bağ varken
bazı devrelerde ise hem elektriksel hem de manyetik bağ
söz konusu olmaktadır. Genellikle endüktans içeren
devrelerde manyetik etkileşim söz konusu olmakta ve bu
devrelere manyetik bağlı devrelerde denilmektedir [1,2].
Manyetik etkileşim kavramı elektriksel sistemlerde
transformatörlerde,
alternatif akım motorları ve
generatörlerinde, enerji iletim hatlarında önemli bir yer
tutmaktadır. Manyetik etkileşimin geçerli olduğu en temel
devre elemanı transformatörler olarak söylenebilir. Elektronik
devrelerde transformatörler özellikle yalıtım ve istenen
gerilim seviyesini elde etmek amacıyla kullanılmaktadır [2].
Karşılıklı endüktans etkileşimli devreler karmaşık bir
yapıya sahip olup durum değişkenleri ile analizi yapılırken
matematiksel denklemlerin ifade edilmesinde bazı zorluklar
ile karşılaşılabilir. Genelleştirilmiş düğüm denklemi (GDD)
ilk olarak Ho ve arkadaşları [3] tarafından ortaya atılmış
olup, GDD ile devre analizi yapılırken durum değişkenleri
yöntemine nazaran daha fazla bilinmeyen ve denklem elde
edilmektedir. GDD yöntemi çok karmaşık devrelerin
modellenmesini ve analizini kolaylaştırdığı için birçok
araştırmacı tarafından kullanılmaktadır. Yıldız ve Çınar ideal
anahtarlama devrelerinin ve transformatörlerin zaman
B
domeni analizinde GDD yöntemini kullanarak devrelerin
analizini yapmışlardır [4,5]. Vandewalle ve arkadaşları GDD
yöntemini anahtarlı kapasitör devrelerinin zaman, frekans ve
z domenlerinde kullanarak devrenin analizini araştırmışlardır
[6]. Costa ve arkadaşları üniversal motorun benzetimi için
devrenin analizinde GDD yöntemini kullanmışlardır [7].
Bhide ve Kulkarni ara faz transformatörler ile konvertörlerin
paralel çalışmasını GDD kullanarak analiz etmişlerdir [8].
Erdei ve arkadaşları doğrusal elektrik devrelerinde GDD
yöntemini MATLAB programını kullanarak geliştirdikleri
yazılım ile incelemişlerdir [9]. Topan ve Mandache manyetik
bağlı endüktans çiftlerinin analizinde GDD yöntemini [10],
doğrusal olmayan analog devrelerin zaman domeni
analizinde geliştirilmiş GDD yöntemini kullanmışlardır [11].
Wedepohl ve Jackson GDD yöntemini elektrik devrelerinin
analizinde kullanıp örneklerle açıklamışlardır [12].
Bu çalışmada anahtarlamalı devre elemanları ve karşılıklı
endüktans etkileşimi içeren devre modelleri GDD yöntemi
kullanarak analiz edilmiştir. Anahtarlama elemanlarının
modellemesi iki değerli direnç yöntemi kullanarak
yapılmıştır.
II. KARŞILIKLI ENDÜKTANS ETKİSİ
Bir bobinden alternatif bir akım geçtiğinde etrafında
değişken bir manyetik alan oluşmaktadır. Bundan dolayı
manyetik akıyı oluşturan kuvvet çizgileri akım geçen
iletkenle herhangi bir bağıntısı olmayan ancak aynı manyetik
alan içerisinde bulunan diğer bir bobini etkileyerek üzerinde
bir gerilim indüklenmesini sağlar. Başka bir bobinin
manyetik alanı etkisi gerilim indüklenmesine karşılıklı
endüksiyon denir. Gerilim ise karşılıklı endüktans (M) olarak
ifade edilir [2,13].
İki bobin arasındaki karşılıklı endüktans değeri kuplaj
katsayısına (k) ve manyetik etkileşim içerisinde bulunan iki
bobine ait öz endüktansların ilişkisine bağlıdır. Bu ilişki
eşitlik (1) ve (2) gösterilmiştir [2,13].
275
0  k 1
(1)
S. Duman, A. B. Yildiz
M  k L1 L2
(2)
Şekil 1’de iki bobinden oluşan ikili etkileşim devresi
görülmektedir. Şekil 1’de verilen ikili etkileşim devresinin
zaman domenindeki uç denklemleri eşitlik (3) ve s
domenindeki uç denklemleri eşitlik (4) verilmiştir. Karşılıklı
endüktansların işaretleri (±M) olup karşılıklı endüksiyon
geriliminin yönünü belirtmektedir [2].
değerini kullanıp çıkışlarına bu değerin sırası ile iki, üç veya
dört katını DC gerilime dönüştürerek veren devrelere
denilmektedir. Genellikle çok düşük akım ve çok yüksek
gerilim talebinde bulunan yüklerde gerilim katlayıcı devreler
kullanılmaktadır. Örneğin, TV tüpleri (CRT) veya osiloskop
tüplerindeki yüksek gerilimlerin sağlanması gibi. Şekil 3’de
ikili gerilim katlayıcısı devresi gösterilmektedir.
M
a
D1
b
c
M
i
İL1
İL2
L1
U(t)
C1
L2
k
DC Çıkış
d
L2
L1
C2
j
l
D2
Şekil 1: İkili etkileşim devresi
Şekil 3: Gerilim katlayıcı devresi
 u L1   u i
u   u
 L2   k
 u j   L1

 u l   M
 M  d  i L1 
L2  dt i L 2 
 U j   sL1

 U l   sM
U L1  U i
U   U
 L2   k
 sM   I L1 
sL2   I L 2 
(3)
C. Tam Dalga Doğrultucu Devresi
Alternatif akım sinyalini doğrum akım sinyaline
dönüştüren devreler olarak tanımlanabilir. Her türlü
elektronik
devrelerin
beslemelerinde
genellikle
kullanılmaktadır. Şekil 4’de köprü tipi tam dalga doğrultma
devresi gösterilmektedir.
(4)
M
III. ANAHTARLAMALI DEVRELER VE MODELLENMESİ
a
b
A. Kenetleme Devresi
Bir sinyale pozitif veya negatif DC bileşen ekleyen
devrelere kenetleme devreleri adı verilir. Bazı durumlarda
sinyale DC bileşen eklenmesi istenebilir. Bu gibi durumlarda
kenetleme devreleri kullanılmaktadır. Şekil 2’de örnek
kenetleme devresi gösterilmiştir.
a
C
D3
D1
U(t)
L1
L2
c
D2
D4
d
C
R
b
Şekil 4: Köprü tipi tam dalga doğrultma devresi
U(t)
D
R
D. Modelleme
Şekil 2: Kenetleme devresi
B. Gerilim Katlayıcı Devresi
Gerilim katlayıcı devreler kenetleyici devrelerinin çalışma
ilkelerini kullanarak, yeni bir transformatöre gerek
duymadan, transformatörün sekonder geriliminin tepe
Örnek devrelerde anahtarlama elemanları iki değerli
eleman yaklaşımı kullanılarak modellenmiştir. Anahtarların
konumları gereği oluşan topolojik değişikliklerin denklemlere
yansıtılmasındaki zorluk nedeniyle, hem ideal anahtar
durumundaki dirac impulsların inceleme zorunluluğu hem de
doğruluğu arttırmak için kullanılan en temel anahtar kavramı
iki değerli eleman yaklaşımıdır. Bu yaklaşımda anahtar kesim
durumunda iken büyük değerli direnç/endüktans, iletimde ise
küçük değerli direnç/endüktans olarak kullanılırlar. Bu
çalışmada verilen örnek devrelerdeki anahtarlama elemanı iki
değerli direnç (Roff , Ron) olarak modellenmiştir [2].
276
Anahtarlamalı ve Karşılıklı Endüktans Etkisi İçeren Devrelerin Genelleştirilmiş…
Şekil 2,3 ve 4’deki yarı iletken elemanlardan biri olan
diyotun iki değerli direnç ile modellikten sonra kenetleme
devresi Şekil 5, gerilim katlayıcı devresi Şekil 6 ve köprü tipi
tam dalga doğrultma devresi Şekil 7’de gösterilmiştir. İki
değerli direnç ile modellenen devreler GDD kullanılarak
devrelerin analizleri yapılacaktır. GDD yönteminin sdomenindeki ve t-domenindeki denklem yapısı eşitlik (5) ve
(6)’da gösterilmiştir [2].
G  sC X s   BU s 
(5)
Gxt   C
(6)
L1
U(t)
c
C1
L2
DC Çıkış
d
Rs2
C
Şekil 6’daki devreye ait düğüm denklemleri t-domeninde
eşitlik (11),(12),(13) ve (14)’de verilmiştir. GDD için gerekli
ek denklemleri eşitlik (15),(16) ve (17) GDD modeli ise
eşitlik (18)’de gösterilmiştir.
b
Rs
R
a  iu  i L1  0
(11)
b   iL 2  GRs1 ub  uc   GRs 2  ub   0
(12)
c  c1
d u c  u d 
 GRs1 ub  u c   0
dt
(13)
d  c2
du d
d u c  u d 
 c1
 iL 2  0
dt
dt
(14)
Şekil 5: Diyotun modellenmesiyle oluşan kenetleme devresi
Şekil 5’deki devreye ait düğüm denklemleri t-domeninde
eşitlik (7),(8) ve (9)’da verilmiştir. GDD modeli eşitlik
(10)’da gösterilmiştir.
d u a  u b 
0
dt
b  GRs u b  GR u b  c
u a  ut 
Rs1
Şekil 6: Diyotun modellenmesiyle oluşan gerilim katlayıcı devresi
U(t)
a  iu  c
b
C2
dx
 BU t 
dt
a
M
a
d u a  u b 
0
dt
u L1  u a  L1
di L1
di
 M L2
dt
dt
(7)
u L 2  u d  ub  L2
(8)
(15)
di L 2
di
 M L1
dt
dt
(16)
u a  ut 
(17)
(9)
0
0
0
0 G  G
 G Rs1
Rs1
Rs 2

0
 G Rs1
G Rs1

0
0
0
1
0
0

1
0
0
1
0
0

0
1 u a   c  c 0 u a  0
0
0 G  G 0 u    c c 0 d u   0u t  (10)
Rs
R

  b 
 dt  b   
1
0
0  iu   0 0 0  iu  1
277
0
0
0
0
0
1
0
1 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1
0
0

0
0

0
0
ua 
u 
 b
 uc 
 
u d  
 i L1 
 
i L 2 
i 
 u
(18)
S. Duman, A. B. Yildiz
0
0

0

0
0

0
0

0
0
0
0
0 G  G
 G Rs 3
0
Rs1
Rs 3

0  G Rs 3
G R  G Rs 2  G Rs 3
 G Rs 2

0
 G Rs 2
G Rs 2  G Rs 4
0
1
0
0
0

1
0
1
0
1
0
0
0

0   u a  0 
0  u b  0
0   u c  0 
d   
0 u d   0u t 
dt
0  i L1  0
    
0 i L 2  0
0  iu  1
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0 c1
 c1
0
0
0  c1 c 2  c1 0
0
0 0
0
 L1 M
0 0
0
M  L2
0 0
0
0
0
0
0

0

0
0

0
0

M
a
b
Rs3
Rs1
U(t)
L1
L2
c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0  L1 M
0 M  L2
0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
u a 
u 
 b
uc 
  (26)
u d  
 i L1 
 
i L 2 
i 
u
1
0
0

0
0

0
0
0   u a  0 
0  u b  0
0   u c  0 
d    
0 u d   0u t 
dt
0  i L1  0
    
0 i L 2  0
0  iu  1
Rs2
Rs4
d
C
R
IV. BENZETİM ÇALIŞMALARI
Şekil 7: Diyotun modellenmesiyle oluşan köprü tipi tam dalga
doğrultucu devresi
Şekil 7’deki devreye ait düğüm denklemleri t-domeninde
eşitlik (19),(20),(21) ve (22)’de verilmiştir. GDD için gerekli
ek denklemleri eşitlik (23),(24) ve (25) GDD modeli ise
eşitlik (26)’da gösterilmiştir.
a  iu  iL1  0
(19)
b   iL 2  GRs 3 ub  uc   GRs1  ub   0
(20)
Şekil 5, 6 ve 7’de kullanılan elemanların değerleri:
kenetleme devresi için; u(t)=100sinωt, f=50Hz, c=1F, R=1 Ω,
Rson =1*10-6 Ω, Rsoff =1*1015 Ω,
Gerilim katlayıcı devre için; u(t)=200sinωt, f=50Hz, c1 =2F,
c2 =2F, L1 =100mH, L2 =25mH, M= 50mH, Rs1on =1*10-15
Ω, Rs1off =1*1015 Ω, Rs2on =1*10-15 Ω, Rs2off =1*1015 Ω,
Köprü tipi tam dalga doğrultma devresi için; u(t)=200sinωt,
f=50Hz, c =1*10-2 F, L1 =100mH, L2 =25mH, M= 50mH,
R=2.5 Ω, Rs1on = Rs2on = Rs3on = Rs4on =1*10-15 Ω,
Rs1off = Rs2off = Rs3off = Rs4off =1*1015 Ω.
Devre modellerinin GDD yöntemi ile elde edilen
denklemlerinin çözümü, diferansiyel denklemlerin sayısal
çözümünde kullanılan Trapez yöntemi ile çözümlenmiştir.
Analiz sonucunda elde edilen devrelere ait grafikler Şekil 8,
9,10, 11, 12 ve 13’de verilmiştir.
Kenetleme Devresi
100
du
c  G R u c  c c  G Rs3 u b  u c   G Rs2 u d  u c   0 (21)
dt
Giriş Gerilimi (V)
80
60
u L1  u a  L1
di L1
di
 M L2
dt
dt
(22)
Giriş Gerilimi (V)
d  iL 2  GRs 2 u d  uc   GRs 4  u d   0
(23)
40
20
0
-20
-40
u L 2  u d  ub  L2
u a  ut 
di L 2
di
 M L1
dt
dt
(24)
-60
-80
-100
(25)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Zaman (s)
Şekil 8: Kenetleme devresi giriş gerilimi
278
0.035
0.04
Anahtarlamalı ve Karşılıklı Endüktans Etkisi İçeren Devrelerin Genelleştirilmiş…
Köprü Tipi Tam Dalga Doğrultma Devresi
Kenetleme Devresi
50
200
Primer Gerilimi (V)
Sekonder Gerilimi (V)
Çıkış Gerilimi (V)
150
0
-50
Gerilim (V)
Çıkış Gerilimi (V)
100
-100
50
0
-50
-100
-150
-150
-200
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
-200
Zaman (s)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Zaman (s)
Şekil 9: Kenetleme devresi çıkış gerilimi
Şekil 12: Köprü tipi tam dalga doğrultma devresi transformatör
uç gerilimleri
Gerilim Katlayıcı Devresi
200
Primer Gerilimi (V)
Sekonder Gerilimi (V)
150
Köprü Tipi Tam Dalga Doğrultma Devresi
120
Çıkış Gerilimi (V)
100
50
Çıkış Gerilimi (V)
Gerilim (V)
100
0
-50
-100
80
60
40
-150
20
-200
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Zaman (s)
0
Şekil 10: Gerilim katlayıcı devresi transformatör uç gerilimleri
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Zaman (s)
Şekil 13: Köprü tipi tam dalga doğrultma devresi çıkış gerilimi
Gerilim Katlayıcı Devresi
V. SONUÇLAR
250
Çıkış Gerilimi (V)
Bu çalışmada anahtarlamalı devre elemanlarını içeren ve
karşılıklı endüktans etkileşimli anahtarlamalı devre
elemanlarını içeren devrelerin t-domeninde analizi GDD
sistemi kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Devrede anahtarlama
elemanı olarak kullanılan diyot iki değerli eleman yaklaşımı
kullanılarak modellenmiştir. Örnek devrelerin analizi
sonucunda elde edilen uç gerilimleri grafikler halinde
gösterilmiştir. Devrelerin analizinde kullanılan GDD sistemi
ile hem gerilim hem de akım değişkenleri kolaylıkla ifade
edilebilmektedir.
Çıkış Gerilimi (V)
200
150
100
50
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Zaman (s)
KAYNAKLAR
0.2
[1]
Şekil 11: Gerilim katlayıcı devresi çıkış gerilimi
279
A. B. Yıldız, Elektrik Devreleri, Teori ve Çözümlü Örnekler, Kısım 2.
Kocaeli Üniversitesi Yay. No:234, 2006.
S. Duman, A. B. Yildiz
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
P. İşak, E. Kelebekler, A. B. Yıldız, “Karşılıklı endüktans etkisinin
anahtarlamalı devrelerde ifade edilmesi”, Kaynak Elektrik Dergisi,
sayı:222, s.180-184, Kasım 2007.
C. W. Ho, A. E. Ruehli, P. A. Brenman, “The modified nodal approach to
networks analysis”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, sayı: 22,
no:6, s.504-509, 1975.
M. A. Çınar, A. B. Yıldız, “Time-domain analysis of transformers by using
modified nodal equations”, IEEE Proc. Power Systems Conference and
Exposition (PSCE 2006), s. 1059 – 1062, 2006.
A. B. Yıldız, M. A. Çınar, “Time-domain analysis of circuits with ideal
switches by nodal equations”, IEEE Proc., 6th International Conference
on Power Electronics and Drive Systems (PEDS 2005), s.1046-1050,
2005.
J. Vandewalle, H. J. De Man, J. Rabaey, “Time, frequency, and z-domain
modified nodal analysis of switched-capacitor networks”, IEEE
Transactions on Circuits and Systems, sayı: 28, no:3, s.504-509, 1981.
M. C. Costa, S. I. Nabeta, J. R. Cardoso, “Modified nodal analysis to
electric circuits coupled with FEM in the simulation of a universal motor”,
IEEE Transactions on Magnetics, sayı:36, no:4, s. 1431-1434, 2000.
R. S. Bhide, S. V. Kulkarni, “Analysis of parallel operation of converters
with interphase transformer”, Proceedings of India International
Conference on Power Electronics, s. 193-196, 2006.
Z. Erdel, L. A. Disco, L. Neamt, O. Chiver, “Symbolic equation using
modified nodal analysis for linear electrical circuit using matlab”,
Proceedings of the 4th EUROPEAN COMPUTING CONFERENCE,
s. 73-75, 2010.
D. Topan, L. Mandache, “Nodal analysis compatible modeling of multiple
coupled inductors in transient regime”, International Workshop on
Symbolic Methods and Applications to Circuit Design (SMACD), 2006.
L. Mandache, D. Topan, I. G. Sirbu, “Improved modified nodal analysis of
nonlinear analog circuits in the time domain”, Proceedings of the World
Congress on Engineering 2010 (WCE 2010), 2010.
L. M. Wedepohl, L. Jackson, “Modified nodal analysis: an essential
addition to electrical circuit theory and analysis”, Engineering Science
and Education Journal, sayı:11, no:3, s. 84-92, 2002.
A. B. Yıldız, Elektrik Devreleri, Teori ve Çözümlü Örnekler, Kısım 1.
Kocaeli Üniversitesi Yay. No:42, 2001.
280