14.12 Oyun Teorisi
advertisement
14.12 Oyun Teorisi
Muhamet Yıldız
Güz 2005
Ders 5: Çözüm yolları
Yol haritası
1. Dominant-strateji (baskın strateji) dengesi
2. Rasyonelleştirebilirlik
3. Nash dengesi
1
Dominantlık
s−i = (s1 , ...si−1 , si+1 , ...sn )
Tanım: Bir s∗i stratejisi si stratejisnin kesin domine eder ancak
ve ancak
ui (s∗i , s−i ) > ui (si , s−i ), ∀s−i ∈ S−i .
Bir karma strateji σi , si stratejisini kesin domine eder ancak
ve ancak,
σi (si1 )ui (si1 , s−i )+σi (si2 )ui (si2 , s−i )+· · · σi (sik )ui (sik , s−i ) > ui (si , s−i ), ∀s−i ∈ S−i .
Rasyonel bir oyuncu asla kesin domine edilen bir stratejiyi oynamaz.
Tutuklular İkilemi
1/2
itiraf et
itiraf etme
itiraf et
-5,-5
0,-6
itiraf etme
-6,0
-1,-1
2
Zayıf Dominantlık
Tanım: Bir s∗i stratejisi si stratejisini zayıf domine eder ancak ve ancak
ui (s∗i , s−i ) ≥ ui (si , s−i ), ∀s−i ∈ S−i
ve en az bir eşitsizlik kesindir. Bir karma strateji σi∗ , si stratejisini
zayıf domine eder ancak ve ancak,
σi (si1 )ui (si1 , s−i )+σi (si2 )ui (si2 , s−i )+· · · σi (sik )ui (sik , s−i ) ≥ ui (si , s−i ), ∀s−i ∈ S−i .
ve en az bir eşitsizlik kesindir.
Dominant Strateji dengesi
Tanım: Bir s∗i stratejisi i oyuncusu için bir dominant stratejidir ancak ve ancak s∗i i oyuncusunun diğer tüm stratejilerini zayıf
domine ediyorsa.
Tanım: Bir strateji vektörü, s∗ , bir dominant strateji dengesidir, ancak ve ancak, s∗i her i oyuncusu için bir dominant stratejidir.
3
!"#$%&'"$()*#+',,:)
Tutuklular İkilemi
8%%9'"-6'
*'4'56
8%%9'"-6')
.7071
.3021
*'4'56)
.2031
./0/1
/)
;'5%&<=9"#5')->56#%&)
? @)A)B/0:C)D>E'"$F)
? GH')I-+>')%4)6H')H%>$')
İkinci-fiyat ihalesi
4%")D>E'")#)#$)I#F)
? J-5H)D>E'")#)
• N = {1, 2} alıcılar kümesidir;
$#,>+6-&'%>$+E)D#<$)D#F)
? #K)L#6H)D#K) A),-M)D#) N'6$)
• i oyuncusu için
evin değeri vi ’dir;
6H')H%>$')-&<)9-E$)6H')
$'5%&<)H#NH'$6)D#<)
• Her oyuncu i eş zamanlı olarak bi teklif eder;
9)A),-MOz#DOP)
bi∗ = removed
max bi teklifini
veren reasons.
i∗ evi alır ve ikinci en yüksek
Clip art•image
for copyright
teklifi, p = maxj6=i bj , öder.
Q)
4
2. fiyat ihalesi
!"#$
%&'()$*+(,'-"$
• Stratejiler:
/$ 0,&,)1')23
bi ∈ [0, ∞)
.'$ 4567
89:-;;23
•/ Kazançlar:
$
';$.' A$.=$
+' <.'6.=7$>$?' @ .=$
>$<? @ . 7B!$$ ';$.
'$ >$.
eğer
bi >=$ bj
v'$i − b=j
ui (b1 , b2 ) = >$5$-,C)&D'2)E$
(vi − bj ) /2
eğer bi = bj
0
diğer durumlarda
.'$ >$?'$ '2$9$#-F'"9",$2,&9,)1:$
bi = vi dominant stratejidir
.'$ >$?'$ #-F'"9,)2$9":$.$A$?'3$
bi = vi herhangi bir b > vi ’yi domine eder:
?'$
.$
.=
+'$ <?'6.=7$>$5$
+'$ <?'6.=7$>$?'G.=$ +'$ <?'6.=7$>$5$
+'$ <.6.=7$>$?'G.=$ +'$ <.6.=7$>$?'G.=$ H$5$ +'$ <.6.=7$>$5$
5
I$
2. fiyat müzayedesinde teklif fonksiyonu
Bid Function in 2nd Price Auction
100
90
80
70
bid
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
value
60
70
80
90
100
(teklifler dikey eksende, değerlerse yatay eksendedir.)
Rasyonelleştirilebilirlik
#$%&'($)&*$+&)&%,"
6
!"
Rasyonelleştirilebilirlik
+,-./0,1.2,3.1.-45
!"#$%&#'()$)%'*)($+,-.,)/'*)-'$)*)0'(
@1.A.0,-75,115-:758-<.B-145
>/A.0,-7>58-<,-7C.78D5
;6),
6785
E045>/A.0,-7>58-<,-7C45
1)('$&02(%.$3.45.$
F05-:7507G5C,A7H5
%&#'()$)%'*)($+,-./'$6.-$#78
9/5
9.07+,-./0,1.2,31758-<,-7C.785
:.+0&()**)4,'-'*)3'*)($+,-.,)/'*)-
):75;1,45.85<,-./0,1.2,317$5;</=.>7>5-:,-5?5
Oynanan stratejiler rasyonelleştirilebilir ancak v ancak ...
Varsayalım
E88IA75
L1,47<5#5.85<,-./0,15
*
+5
!($'&
!"#$#&
K5 !'$#'&
!'$'&
)
J5 !"#$"%& !($'&
L1,47<5(5.85<,-./0,15
L1,47<5(5.85<,-./0,15,0>5
M0/G85-:,-5L1,47<5#5.85<,-./0,15
L1,47<5#5.85<,-./0,1$5
N0/G85-:,-5(5.85<,-./0,15
N0/G85-:,-5(5N0/G85-:,-5
#5.85<,-./0,15
1. oyuncu rasyoneldir, 2. oyuncu rasyoneldir.
2. oyuncu rasyoneldir ve 1. oyuncunun rasyonel olduğunu bilir.
1. oyuncu rasyoneldir ve 2. oyuncunun rasyonel olduğunu ve 2.
oyuncunun 1. oyuncunun rasyonel olduğunu bildiğini bilir.
7
O
Varsayalım
'(()&*+
3"+4(+5674896:+
2+
32+4(+5674896:+69;+
<98=(+7>67+3"+4(+5674896:+
1
&
0
/+
!,#%$
!"#"$
!%#,$
.+
!"#%$
!%#"%$
!"#%$
-+
!%#,$
!"#"$
!,#%$
"+
3"+4(+5674896:+69;+
<98=(+6::+7>*(*+
1. oyuncu rasyoneldir.
2. oyuncu rasyoneldir ve 1. oyuncunun rasyonel olduğunu bilir.
1. oyuncu rasyoneldir ve tüm bunları bilir.
.67?>49@+A*994*(+=47>+A*5B*?7+49B85&67489+
"+
2+
CC
C/
/C
//
C*6;+ !D"#"$+ !D"#"$+ !"#D"$+ !"#D"$+
"+
/64:+
C*6;+
!"#D"$+ !D"#"$+ !"#D"$+ !D"#"$+
Kusursuz bilgili yazı-tura
eşleştirme oyunu
/64:+
2+
2+
>*6;+
764:+ >*6;+
Yazı
2
Yazı
!D"#"$+
1
Tura
764:+
(-1,1)
(1,-1)
!"#D"$+ !"#D"$+ !D"#"$+
Yazı
Tura
(1,-1)
2
Tura
YY
YT
(-1,1)
TY
TT
Yazı
-1,1 -1,1 1,-1 1,-1
Tura
1,-1 -1,1 1,-1 -1,1
8
E
.
Nash Dengesi
Nash Dengesi
Tanım: Bir strateji vektörü, s∗ = (s∗1 , ...s∗N ), bir Nash dengesidir, ancak ve ancak, tüm i’ler ve ∀si ∈ Si için
ui (s∗1 , .., s∗i−1 , s∗i , s∗i+1 , ..., s∗n ) ≥ ui (s∗1 , .., s∗i−1 , si , s∗i+1 , ..., s∗n )
olmalıdır.
yani, hiçbir oyuncunun diğer oyuncuların ne yaptığını bildiği
durumda çark etme isteği yoktur.
9
Tavuk
!"#$%&'
!"#$%&'
).,+.,().,+.,()*+,()*+,(-
),+*(
),+*(
),/0+,/0(
),/0+,/0(
Figures by MIT OCW.
Figures by MIT OCW.
Av
1234-56'21234-56'2-
)0+0()0+0(-
)8+*(
)8+*(
)*+8()*+8(-
)7+7(
)7+7(
Figures by MIT OCW.
Figures by MIT OCW.
,*,*-
10
Cournot Oligopolü
• N = {1, 2, ..., n} firma var;
• Eşzamanlı olarak her firma i, c marjinal maliyetinde, qi üretirler
!"#$%"&'()*+",")-'
. •/'0'1234353%6'7*$89:'
ve ürünlerini P = max{0, 1 − Q} fiyatından satarlar, öyle ki,
. ;*8#)&<%="#9)-3'=<>?'7*$8'*'
@'
Q = q1 + .. + qn .
,$"A#>=9'B
#%*&9'"7'<'+""A'<&'
!"#$%"&'()*+",")-'
*'
. 8<$+*%<)'>"9&'>3'
/'0'1234353%6'7*$89:'
2'
. ;*8#)&<%="#9)-3'=<>?'7*$8'*'
@'
. <%A'9=))9'&?='+""A'<&',$*>='
,$"A#>=9'B*' #%*&9'"7'<'+""A'<&'
8<$+*%<)'>"9&'>3'
2'
@'0'8<C1D32EF6
. <%A'9=))9'&?='+""A'<&',$*>='
@'0'8<C1D32EF6
G?=$='F'0'B
2H5HB%I
G?=$='F'0'B2H5HB%I
353;
:'S2353S%L'
. . J<8='0'K;
J<8='0'K;2353;%2:'S
2353S%%L'
F
F
G?=$=';
0'MD3f
f
L3
*'
G?=$=';*' 0'MD3fL3
2'
S*KB
LE>N'*7'B2H5HB%'O'23'
%L'0'B*M2EKB
•2353B
Oyun=
(S2H5HB
1 , .., %Sn;π1 ,..,π
n ) şeklindedir,
EB*>'
"&?=$G*9=I'
2'
öyle ki, Si = [0, ∞),
S*KB2353B%L'0'B*M2EKB2H5HB%LE>N'*7'B2H5HB%'O'23'
EB*>'
"&?=$G*9=I'
πi (q1 , ..., qn ) =
qi [1 − (q1 + .. + qn ) − c] eğer q1 + .. + qn < 1
−qi c
!"#$%"&'P#",")-'EE
,$"7*&'
diğer durumlarda
BQ0DI4
@$"7*&'
Cournot Oligopolü - Kar
>0DI4'
!"#$%"&'P#",")-'EE ,$"7*&'
D'
B*K2EBQE>L'
E>B*
BQ0DI4
-0.2
@$"7*&'
0
K2EBQE>LR4'
2EBQE>
>0DI4'
1
D'
B*K2EBQE>L'
22'
E>B*
-0.2
0
K2EBQE>LR4'
2EBQE>
1
11
22'
Cournot Oligopolü - En iyi tepkiler
!"#$%$&'()$*'(+,-('($
./01.23$4$567819".2":3;<=>?@$ .
<$
!"#$%$&'()$*'(+,-('($
A$ B6(C$D.E/F/&*/E5$.GH$
.94.9$01.<3$
./01.23$4$567819".2":3;<=>?@$ .
<$
.9G$4$19".<G":3;<@$
.<G$4$19".
.94.9$01.
9G":3;<@$
<3$
A$ B6(C$D.E/F/&*/E5$.GH$
9$ c
<$
.9G$4$19".<G":3;<@$ A .9G$4$.<G$4$19":3;I$
.G$
.<G$4$19".9G":3;<@$
9$ c
A .9G$4$.<G$4$19":3;I$
<$
.<4.<$01.93$
.G$
.<4.<$01.93$
.9$
9":$
.9$
!"#$%$&'()$*'(+,-('($
./01.23$4$567819".2":3;<=>?@$ .
<$
9":$
• Nash dengesi q ∗ :
.94.9$ 1.<3$
A$ B6(C$D.E/F/&*/E5$.GH$
!,E*-,)$JF/K,+,FL$""D.E/F/&*/E5$
.9G$4$19".<G":3;<@$
.G$
A$ .M9":$/($()*/:)FL$N,5/-6)'N=$(,$.$d
9":O$
.<G$4$19".9G":3;<@$
9$ c
S/1.9=P=.
-3$4$./Q9"1.9RPR.-3":S$T,*$'6:C$/O$
G$4$19":3;I$
A .A$9G$4$.
<
<$
.<4.<$01.93$
∗
∗
!,E*-,)$JF/K,+,FL$""D.E/F/&*/E5$
• q1 = q2 = (1 − c)/3
A UJ!H w$ S 1q ==$q 3$
wQqi 19 q9$ qn c 3S
i
n
9$
A$ .M9":$/($()*/:)FL$N,5/-6)'N=$(,$.$d 9":O$ wq
wq
0
i
A$ S/1.9=P=.-3$4$./Q9"1.9RPR.-3":S$T,*$'6:C$/O$
A UJ!H w$ S 1q ==$q 3$
wQqi 19 q9$ qn c 3S
i
n
9$
wqi
q qG$
wqi
A$ VC6)$/(=$
.q9$ qG
i
q qG$
19 q9$G$ qnG$ c9":$
3$ qiG$ >$O
<q9G$ q<$Gq qG qnG$ 9$ c
G$ G$
G
19 q9$G$ qnG$ cq93$
>$
O qnG$ 9$ c
q<q
i <$ A$ VC6)$/(=$
<q9G$ q<$G qnG$ 9$ c
q <q q
G
9
G$
<$
G$
n
G$
<$
G
9
9$ c
G$
<$
G$
n
A$ .M9":$/($()*/:)FL$N,5/-6)'N=$(,$.$d 9":O$
A$ VC'*'T,*'=$.9G4P4.-G419":3;1-R93O$
q q <q
G
9
!,E*-,)$JF/K,+,FL$""D.E/F/&*/E5$
q q <q 9$ c
A$ S/1.9=P=.-3$4$./Q9"1.9RPR.-3":S$T,*$'6:C$/O$
UJ!H
9$ c w$ S i 1q9$==$qn 3$
wQqi 19 q9$ qn c 3S
G$A
n
wqi
A$ VC'*'T,*'=$.9G4P4.-G419":3;1-R93O$
wqi
q qG$
q qG
19 q9$G$ qnG$ c 3$ qiG$ >$O
12
A$ VC6)$/(=$
<q q q
9$ c
q <q q
9$ c
G$
9
G
<$
G
9
G$
<$
G$
n
G$
n
9<$
q q <q
G
9
G$
<$
G$
n
9$ c
A$ VC'*'T,*'=$.9G4P4.-G419":3;1-R93O$
9<$
.<G$4$19".
A .9G$4$.
9G":3;<@$
<G$4$19":3;I$
A .9G$4$.<G$4$19":3;I$
.G$
<$
9$ c
<$
.<4.<$01.93$
.<4.<$01.93$
.9$
.9$
Cournot Oligopolü - Denge
9":$
9":$
• q > 1 − c kesin domine edilir, dolayısıyla q ≤ 1 − c.
• πi (q1 , ..., qn ) = qi [1 − (q1 + .. + qn ) − c] her i için.
!,E*-,)$JF/K,+,FL$""D.E/F/&*/E5$
• Birinci türev:
A$ .M9":$/($()*/:)FL$N,5/-6)'N=$(,$.$d 9":O$
!,E*-,)$JF/K,+,FL$""D.E/F/&*/E5$
A$ S 1. =P=. 3$4$. Q9"1. RPR. 3":S$T,*$'6:C$/O$
/
9
-
/
9
-
A UJ!H w$ S 1q ==$q 3$
i
n
9$
wQq 19 q q c 3S
i
n
9$
A$ .M9":$/($()*/:)FL$N,5/-6)'N=$(,$.$d
9":O$
wq
wq
i
i
q qG$
q qG
A$ S/1.9=P=.-3$4$./Q9"1.9RPR.G$-3":S$T,*$'6:C$/O$
19 q9$ qnG$ c 3$ qiG$ >$O
A UJ!H w$ S 1q ==$q 3$
wQqi 19 q9$ qn c 3S
i
9$ G$
Gn
G$
A$ VC6)$/(=$
• Yani,
<q q<$ qn
wqG 9i
G$ G$
9$ c
wqi
q qG
q9 <q<$G$ q q qn
9$ c
19 q9$G$ qnG$ c 3$ qiG$ >$O
q9G q<$G$ <qnG$ 9$ c
q<$ qn
<q9-G419":3;1-R93O$
A$ VC'*'T,*'=$.9G4P4.
A$ VC6)$/(=$
G$
G
G$
9$ c
q9G <q<$G$ qnG$ 9$ c
q9G q<$G$ <qnG$ 9$ c
9<$
A$ VC'*'T,*'=$.9G4P4.-G419":3;1-R93O$
• Dolayısıyla, q1∗ = ... = qn∗ = (1 − c)/(n + 1).
9<$
13