14.12 Oyun Teorisi

14.12 Oyun Teorisi
Muhamet Yıldız
Güz 2005
Ders 7: Karma strateji Nash Dengesi
Yol haritası
1. Bazı 2x2 oyunlar
2. Karma strateji Nash dengesi
3. Ufak sınav
4. Uygulamalar ve örnekler
(a) maliyetli arama ile fiyat rekabeti
(b) Şahin-güvercin
(c) Yazı-tura eşleştirme
1
Şahin-güvercin
!"#$%&'()*+",)
§V c V c ·
.*
¸
¨
-* ¹
© -
/V.01
/0.V1*
/V2-.V2-1
Figures by MIT OCW.
3"45*#))$64*789:*78)459';*
Son haftanın ufak sınav sorusu
<95='85*5">$9;+*5'*";?';).*)"@=*458A);5*94*5'*#B95)*
)95=)B*CDEFGH*'B*IJDGKLF*';*"*M9)@)*'N*M"M)BO*
Kimseyle
konuşmadan, her öğrenci bir kağıda YATIRIM ya da
HP4*#9>>*B";A',>?*,"5@=*458A);54O*Q'8B*+B"A)R*
TÜKETIM yazacak. Asistan öğrencileri rastgele eşleştirecek. Notunuz:
Q'8B*S"B5;)B*
Q'8*
CDEFGH*
IJDGKLF*
Siz/Partneriniz YATIRIM TÜKETIM
CDEFGH*
100 T00* 0
IJDGKLF*
TÜKETIM
60
YATIRIM
U0*
60
0*
U0*
2
-*
Av
!"#$%&'("
).+.,%
).+-,
)-+.,%
)*+*,
Figures by MIT OCW.
/0'121341'5%1(%61789%!"4#"8$18:%
Karma stratejili denge
;<#"%1:%#%:"4#"8$=>%
?%@%AB5C28"8%AB("1($8("DC2#(%BE%#%C2#=84F%
Strateji
nedir?
?%;<#"%"<8%B"<84:%"<1(G%"<8%C2#=84%51$<"%9B%'(984%
- Eksiksiz
bir arızi plandır
H#41B':%AB("1($8(A=F%
-Değişik surumlarda oyuncunun ne yapacağına dair diğer oyun;<#"%9B%I8%58#(%3=%#%51789%:"4#"8$=>%
cuların?%J<8%C2#=84%1:%4#(9B52=%A<BB:1($%<1:%C'48%
neye inandıkları
:"4#"8$18:F
Karma
stratejiden kasıt nedir?
?%J<8%B"<84%C2#=84:%#48%(B"%A84"#1(%#3B'"%I<#"%<8%
I122%9BF%
- Oyuncu
saf stratejilerini rastgele seçiyor.
-Diğer oyuncular, ne oynayacağından emin değildir.
3
*%
Karma strateji Nash dengesi
!"#$%&'()*($+,-.*'/-012"3"4)"25Varsayalım
ki oyuncular karma strateji seçsinler. Bir karma
strateji vektörü (σ1∗ , ..., σn∗ ) Nash dengesidir ancak ve ancak, her
6''25$-(/*(-73*,$)'-8/99'$-5"#$%-'()*($+"$':-65"#$%-'()*($+,-7)9;"3$-<V
oyuncu i için
ve her σi için,
=>?>V@=A-"'-*-.*'/$12"3"4)"25-";;-;9)-$*8/-73*,$)-">-*@%-$*8/-V">6'- V=<'BA2"<'A-?V@=<'@A2"<'A-•
6'- V=<'BA2"<'A-?-V"<'"A2"<'A-?-V@=<'@A2"<'A:012"C*3$@(3,>-;9)-$*8/-"-*@%-V"=<'"A-D-E>-'"- "'-*(3$*'(-*'-+99%-*-4$'(-)$'79@'$-*'-*@,-'
Yani, her
i ve σi∗ > 0 için, si en az herhangi"F-(9-V
bir s&"0i =:kadar σi∗ ’ye
en iyi tepkidir.
Av
G(*+-H2@(Varsayalım: 2. oyuncu p olasılıkla 1. oyuncunun tavşana nişan
6''25$K-L3*,$)-J-(/"@M'(/*(>-N"(/-7)94*4"3"(,-7>L3*,$)-B-(*)+$('-;9)-O*44"(:-
!"#$%&'("
alacağına inanıyor olsun.
<J>JA-
<J>EA
7-
<E>JA-
<I>IA
B&7-
H"'-7*,9;;-;)95-(*)+$("@+-G(*+KH"'-7*,9;;-;)95-(*)+$("@+-O*44"(K).+.,%
).+-,
PJ<GQ7A-RPJ<OQ7A-R-:G/$-"'-"@%";;$)$@(-";;-
)-+.,%
)*+*,
Figures by MIT OCW.
S-
Figuresbeklenen
by MIT OCW.
Tavşana nişan almanın
kazancı: U2 (R; p) = .
Geyiğe nişan almanın beklenen kazancı: U2 (S; p) = .
Oyuncu kayıtsızdır ancak ve ancak
4
/0'121341'5%1(%61789%!"4#"8$18:%
;<#"%1:%#%:"4#"8$=>%
?%@%AB5C28"8%AB("1($8("DC2#(%BE%#%C2#=84F%
?%;<#"%"<8%B"<84:%"<1(G%"<8%C2#=84%51$<"%9B%'(984%
H#41B':%AB("1($8(A=F%
Av oyununda karma strateji dengesi
!"#$%&'()*($+,-$./"0"1)"/2-"3-4(*+&5/3(-+*2$-
6!"#$%&'()*($+,-$./"0"1)"/2-"3-4(*+&5/3(-+*2$=-
6784:;<-
667784:;<-
=-
6789:;<
7-
6789:;<
>-
>-
>
>
;-
?
>"@- ;- ?A=q BR p ®q  >>-B?@ "@- ;- ?A="@- ;- ?A=q ET (p) =
q ∈ [0,­1] >eğer°
¯p =?-1/3 "@- ;-! ?A=

°
BR

>>-B?@ p "@;- ?A=q
 p 1 ® q eğer
> 1/3
° ?"@- ;-! ?A=¯






;-
­
eğer
? °p < 1/3
0
C$'(-)$';D3'$'-"3-4(*+&5/3(-+*2$-
Av oyununda en iyi tepkiler
.-
C$'(-)$';D3'$'-"3-4(*+&5/3(-+*2$.-
?A=?A=-
;?A=;?A=-
E-
5
E-