1.5 ζ-Filtrelerin Yakınsaklı˘gı

12
1. Sürekli Fonksiyonlar Halkasının Idealleri ve Zero Filterler
1.5
z-Filtrelerin Yakınsaklığı
Topolojik uzaylarda yığılma noktası kavramı kümeler netler ve filtreler için
verilmişti. Ayrıca net ve filtreler için yakınsaklık kavramları verilmiş ve bu
kavramlar kullanılarak topolojik uzaylarda belirli betimlemeler yapılmıştı. Bu
altbölümde, yığılma nokta ve yakınsama kavramları z-filtreler için verilecektir.
Tanım 1.5. X bir topolojik uzay ve F, X’de bir z-filter olsun.
x ∈ ∩F ∈F F
özelliğindeki x ∈ X noktasına F’nin yığılma noktası denir.
X tümüyle düzenli uzay ve F, X’nin bir z-filtresi ise, x ∈ X noktasınının
bir yığılma noktası olması için gerekli ve yeterli koşul,
x ∈ ∩F
olmasıdır.
Örnekler
1.24. X completely regular space ve S ⊂ X verilsin.
F = {Z ∈ C(X) : S ⊂ Z}
z-filtrenin yığılma noktalarının kümesi S dir.
Tanım 1.6. X bir topolojik uzay ve F, X’de bir z-filter olsun ve x ∈ X
verilsin. x’i içeren her açık U kümesi için Z ⊂ U özelliğinde Z ∈ F var ise, F,
z’ye yakınsıyor denir.
Tümüyle düzenli topolojik uzay X’de bir z-filtrenin x ∈ X noktasına yakınsaması,
F → x ile gösterilir. .
Teorem 1.11. X tümüyle düzenli bir uzay, F X’de bir z-filter ve x ∈ X
verilsin. Aşağıdakiler denktir.
(i) F → x.
(ii) {Z ∈ Z(X) : x ∈ Z o } ⊂ F.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): f ∈ C(X) ve x ∈ Z(f )0 olsun. Tanım gereği Z ⊂ Z(f )
özelliğinde Z ∈ F vardır. F, z-filter olduğundan Z(f ) ∈ F dir.
(ii) =⇒ (i): U açik ve x ∈ U olsun. X completely regular space olduğundan
f (x) = 0 ve f (X\U ) ⊂ {1} özelliğinde f ∈ C(X, [0, 1]) vardı]r. Z = f −1 ([− 31 , 13 ])
diyelim. Z ∈ Z(X) ve x ∈ Z 0 olduğundan Z ∈ F dir. Z ⊂ U olduğu da açıktır.
istenilen gösterilmiş olur.
1.5. z-Filtrelerin Yakınsaklığı
13
Teorem 1.12. F, tümüyle düzenli topolojik uzay X’nin bir z-filtresi ve x,
F’nin bir yığılma noktası olsun. F ⊂ F∞ ve F∞ → x özelliıginde z-ultrafiltre
F∞ vardır.
Kanıt:
A = {Z(f ) : x ∈ Z(f )o }
diyelim. A∪F kümesinin sonlu arakesi özelliği vardır. Dolayısı ile A∪F ⊂ F∞
özelliğinde z-ultrafilter vardır. Yukarıdaki teorem gereği F∞ → x olduğu
açıktır.
Tümüyle düzenli topolojik uzayda: z-filtrenin yakınsadığı nokta, o filtrenin
bir yığılma noktasıdır. Aşağıdaki örnek tersinin dog̈ olmadığını söyler. Önce
aşağıdaki teoremi verelim.
Teorem 1.13. X tümüyle düzenli uzay ve F → x ise
∩F = {x}
dir.
Kanıt: x ∈ ∩F olduğu açık. y ∈ F ve x 6= y olduğunu varsayalım.
x ∈ Z o , y ∈ F ve Z ∩ F = ∅
özelliğinde sıfır kümeler Z ve F ’ler vardır. y, F’nin bir yığılma noktası olduğunan
F∞ → y özelliğinde z-ultrafiltre F∞ vardır. Aynı zamanda F∞ → y dir. Dolayısıyla Z, F ∈ F dir. Buradan ∅ = Z ∩ F ∈ F∞ çelişkisi elde edilir. Kanıt
tamamlanır.
Örnekler
1.25. X = N ayrık topolojik uzay olsun. x = 1 noktası,
F = {A ⊂ X : x ∈ A, X \ A
sonlu}
z-filtresinin yığılma noktası olmasına karın x’e yakınsamaz.
Aşağıdaki teorem bir z-filternin yıılma noktasının ne zaman yakınsadığı nokta
olduğunu söyler.
Teorem 1.14. F, tümüyle düzenli topolojik uzay X’de asal z-filtre ve x ∈ X
verilsin. Aşağıdakiler denktir.
(i) x, F’nin bir yığılma noktasıdır.
(ii) F → x.
(iii) ∩F = {x}
14
1. Sürekli Fonksiyonlar Halkasının Idealleri ve Zero Filterler
Kanıt: (i) =⇒ (ii): Z, x ∈ Z o özelliğinde sıfır küme olsun. X completely
regular olduğundan, x ∈ X \ F ⊂ Z özelliğinde sıfır küme F vardır. F ∪ Z =
X ∈ F ve F asal z-filtre olduğundan Z ∈ F ya da F ∈ F dir. x 6∈ F
olduğundan, F 6∈ F ve olayısı ile Z ∈ F. Theorem ??? gereği F → x.
(ii) =⇒ (iii): Teorem??? nin özel halidir.
(iii) =⇒ (i): Yukarıda not edilmişti.
Alıştırmalar
1.26. X tümüyle düzenli olsun. Her x ∈ X için
Ax = {Z(f ) : f (x) = 0}
olarak tanımlansın. x ∈ X ve F bir z-filtre olsun. Aşağıdakilerin doğruluğunu gösteriniz.
(i) Ax , z-ultrafiltredir.
(ii) Ax → x.
(iii) x noktasının F z-filtersinin yığılma noktası olması için gerekli ve yeterli koşul
F ⊂ Ap olmasıdır.
(iv) x noktasına yakınsayan tek z-ultrafiltre Ax dir.
1.27. X tümüyle düzenli uzay olsun. Her x ∈ X için Ax yukarıdaki gibi tanımlansın. F bir
z-ultrafiltre olmak üzere, aşağıdakilerin denk olduklarını gösteriniz.
(i) x, F’nin yığılma noktasıdır.
(ii) F → x.
(iii) F = Ax dir.
1.28. Tümüyle düzenli uzaylarda farklı z-ultrafiltrelerin aynı noktaya yakınsayamayacaklarını
gösteriniz.
1.29. Bir X topolojik uzayında verilen her z-filtrenin, asal z-filtrelerin arakesiti olduğunu
gösteriniz.
F = Z[Z −1 [F]] = Z[∩i Pi ] = ∩i Z[Pi ]
Z[Pi ]’ler asal z-ideallerdir.
1.30. X tümüyle düzenli uzay, F bir z-filtre ve x ∈ X verilsin. Aşağıdakilerin denkliğini
gösteriniz.
(i) F → x.
(ii) x, F z-filtresinin bir yığılma noktası ve F sadece tek bir z-ultrafiltre tarafından
kapsanır.