Türev Uygulamaları

1
2
Bölüm
9
Türevin Uygulamaları
164
BÖLÜM 9. TÜREVİN UYGULAMALARI
Bölüm
10
Türev
Tanım 10.1 y = f (x) fonksiyonu (a, b) aralığında tanımlı ve x 0 ∈ (a, b) olsun.
y 0 = f 0 (x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
(10.1)
limiti varsa, bu limit değeri f fonksiyonunun x = x 0 noktasındaki türevidir.
y = f (x) fonksiyonunun türevi,
y 0 , f 0 (x 0 ),
d f (x 0 )
d
dx , dx
f (x), D x f (x), D x y,
df
dy
dx , dx
simgelerinden biriyle gösterilir.
Tanım 10.1’de h bir gerçel sayıdır. h → 0 olabilmesi için, h sayısı 0 sayısına
soldan ya da sağdan istenildiği kadar yakın olabilir. Uygulamada h sayısının
çok küçük bir sayı olduğunu kabul etmek bir kısıtlama getirmez. x değişkeninin
sola ya da sağa doğru istenildiği kadar küçük bir hareketi, h = ∆x olmak üzere
x + ∆x ile gösterilir.
h = ∆x alınırsa Tanım 10.1 şöyle de yazılabilir:
y 0 |x=x0 = f 0 (x 0 ) = lim
∆x→0
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )
∆x
(10.2)
10.1 Bir Aralıkta Türetilebilme
x 0 noktası için yapılan türev tanımını her x ∈ (a, b) noktasına yaymak isteyelim.
∆x = h konumuyla, türevi
166
BÖLÜM 10. TÜREV
y 0 = f 0 (x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
(10.3)
biçiminde yazabiliriz. Bazen ∆x = x − x 0 konularak, türev
f 0 (x) = lim
x 0 →x
f (x) − f (x 0 )
(x − x 0 )
(10.4)
biçiminde de yazılabilir.
Tanım 10.2 (a, b) aralığındaki her x noktsı için 10.3 ya da ona denk olan
10.4 sağlanıyorsa, f fonksiyonu (a, b) aralığında türetilebilir (differentiable) bir
fonksiyondur.
10.2 Soldan ve sağdan türev
Soldan ve sağdan limitler gibi soldan ve sağdan türevler de tanımlanabilir:
Tanım 10.3
f 0 (x − ) = f 0 (x − 0) = lim−
h→0
f (x + h) − f (x)
h
değerine f fonksiyonunun soldan türevi,
Tanım 10.4
f 0 (x + ) = f 0 (x + 0) = lim+
h→0
f (x + h) − f (x)
h
eğerine f fonksiyonunun sağdan türevi denilir.
x noktasında f fonksiyonunun türevinin olması için, o noktada soldan
ve sağdan türevlerinin var ve birbirlerine eşit olması gerekir.
10.3 Parçalı Türevlenebilme
Parçalı Süreklilik
Bir (a, b) aralığında incelenen fonkiyon, aralığın bazı noktalarında süreksiz olabilir. Süreksizlik noktaları c,d,e, . . . ise, fonksiyonu (a, c), (c, d ), (d , e), . . . alt aralıklarında inceleriz.
10.4. DİFERENSİYEL
167
Tanım 10.5 f fonksiyonu söz konusu alt aralıklarının her birinde sürekli ise, f
fonksiyonuna parçalı süreklidir, denilir.
Parçalı Türetilebilme
Tanım 10.6 Parçalı sürekli olduğu her aralıkta türevlenen fonksiyona parçalı
türetilebilir (sectional differentiable) fonksiyon denilir.
10.4 Diferensiyel
y = f (x) fonksiyonu (a, b) aralığında tanımlı ve x ∈ (a, b) noktasına verilen bir
∆x artmasıyla elde edilen
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
(10.5)
değerine x’in ∆x artmasına karşılık gelen fonksiyon artması denilir. (Tabii, her
iki artım negatif yönde de olabilir.)
f fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli, türetilebilir ve birinci türevi sürekli
ise,
y0 =
dy
= f 0 (x)
dx
(10.6)
eşitliğini
d y = f 0 (x)d x
(10.7)
biçiminde yazabiliriz. (10.7) ifadesine f fonksiyonunun diferensiyeli denilir. Bu
ifadede ∆x = d x değerlerinin istenildiği kadar küçük ama 0’dan farklı olduğunu
unutmayacağız.
Diferensiyeli bazı sayıların yaklaşık değerlerini bulmak için kullanabiliriz. Bunun için, önce yaklaşık değeri verecek bir formül oluşturalım.
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
olduğunu düşünerek (10.7) ifadesini
(10.8)
168
BÖLÜM 10. TÜREV
f (x + ∆x) ≈ f 0 (x)∆x + f (x)
(10.9)
biçiminde yazalım. Bu istenen yaklaşık değerleri verecektir.
p
Örnek 1: 28 sayısının yaklaşık değerini bulalım. 28 sayısına en yakın
olarak karekökünü tam bildiğimiz sayı 25 dir. O halde x = 25 ve ∆x = 28 −25 = 3
alarak (10.9) ifadesini
p
p
1
28 ≈ p .(3) + 25
2 25
biçiminde yazabiliriz. Buradan
p
1
3
28 ≈
.(3) + 5 =
+ 5 = 0.3 + 5 = 5.3
2.5
10
bulunur.
p
p
3
Örnek 2: 21 sayısının yaklaşık değerini bulmak için y = 3 x fonksiyonunu kullanabiliriz. 21 sayısına en yakın olarak küp kökünü tam bildiğimiz sayı
27 dir. O halde x = 27 ve ∆x = 21 − 27 = −6 alarak, (10.9) ifadesini
p
p
¡
¢0
3
3
21 ≈ x 1/3 .(−6) + 27
¢
1¡
= 27(1/3)−1 .(−6) + 3
3
1
= 27−2/3 .(−6) + 3
3
1
= p
.(−6) + 3
3
3 272
1
.(−6) + 3
=
3.3.3
= 2, 778
bulunur.
p
p
Örnek 3: 98 sayısının yaklaşık değerini bulmak için y = x fonksiyonunu kullanabiliriz. 98 sayısına en yakın olarak kare kökünü tam bildiğimiz sayı
10.5. TÜREV KURALLARI
169
100 dür. O halde x = 100 ve ∆x = 98 − 100 = −2 alarak, (10.9) ifadesini
p
p
¡
¢0
98 ≈ x 1/2 .(−2) + 100
¢
1¡
= x (1/2)−1 .(−2) + 10
2
1
= 100−1/2 .(−2) + 10
2
1
.(−2) + 10
= p
2 100
1
=
.(−2) + 10
2.10
≈ 9.7
bulunur.
Genel olarak, ∆y 6= d y dir. Ancak, verilen koşullar altında ∆x = d x çok
küçük kılındığında ∆y → d y olduğu varsayılabilir.
Diferensiyel kavramı x değişkeni için de ifade edebilir. Özel olarak, y =
f (x) = x alınırsa ∆x = d x ifadesine x değişkeninin diferensiyeli diyebiliriz. Tabii, d x’in küçük olaması d y’nin de küçük olmasını gerektirmez. (10.3) ile (10.5)
eşitliklerinden hareketle
dy
f (x + ∆x) − f (x)
= f 0 (x) = lim
∆x→0
dx
∆x
∆y
= lim
∆x→0 ∆x
(10.10)
(10.11)
yazabiliriz. Burada şuna dikkat etmeliyiz. d x ile d y ifadeleri ∆x → 0 iken elde
edilen değerler değildir. Çünkü d x ile d y ifadeleri 0 değilken yukarıdaki limitler
0 olabilir.
10.5 Türev Kuralları
Teorem 10.1
1. Sabit fonksiyonun türevi 0’dır: her x için y = f (x) = c ise
y0 =
olur.
df
(c) = 0
dx
170
BÖLÜM 10. TÜREV
2. Her n ∈ N için y = x n fonksiyonunun türevi y 0 = nx n−1 dir.
3. Her c sabiti için y = c f (x) fonksiyonunun türevi y 0 = c f 0 (x) dir.
4. y = f (x) ± g (x) için y 0 = f 0 (x) ± g 0 (x)’dir.
5. y = f (x).g (x) için y 0 = f 0 (x).g (x) + f (x).g 0 (x)’dir.
6. y = g o f (x) = g ( f (x)) için y 0 = g 0 ( f (x)). f 0 (x)’dir.
7.
y=
f (x)
f 0 (x).g (x) − g 0 (x)i f (x)
=⇒ y 0 =
¡
¢2
g (x)
g (x)
dir.
10.6 Özel Fonksiyonların Türevleri
10.6.1 Ters Fonksiyonun Türevi
y = f (x) ise x = f −1 f (y) bağıntısından
1
dy
= dx
dx
(10.12)
dy
bağıntısı elde edilir.
10.7 Zincir Kuralı
¡
¢
f (x) ile g (x) türetilebilie iki fonksiyon ve y = F (x) = f og (x) = f g (x) ise
y0 =
¡
¢
d
(F (x)) = f 0 g (x) g 0 (x)
dx
olduğunu gösteriniz.
(10.13)
10.7. ZİNCİR KURALI
171
F (x + ∆x) − F (x)
∆x→0
µ
¶ ∆x
∆y
= lim
∆x→0 ∆x
µ
¶
∆y ∆u
= lim
.
∆x→0 ∆u ∆x
µ
¶ µ
¶
∆y
∆u
= lim
. lim
∆x→0 ∆u
∆x→0 ∆x
d y du
=
du dx
= f 0 (u).g 0 (x)
y 0 = lim
= f 0 (g (x)).g 0 (x)
10.7.1 Parametrik Fonksiyonun Türevi
x = g (u) ve y = f (t ) fonksiyonları türetilebilir ve f (x) fonksiyonunun t = f −1
ters fonksiyonu sürekli türetilebilir ise,
dy d f
y =
=
=
dx dg
0
=
df
dt
dg
dt
f 0 (t )
g 0 (t )
(10.14)
(10.15)
olur.
Türev kurallarının benzerleri diferensiyeller için de uygulanabilir:
¡
¢
d f (x) + g (x) = d f (x) + d g (x)
= f 0 (x)d x + g 0 (x)d x
¡
¢
= f 0 (x) + g 0 (x) d x
(10.16)
(10.17)
¡
¢
d f (x).g (x) = f (x).d g (x) + d f 0 (x).g (x)
= f (x).d g (x) + g (x)d f (x)
¡
¢
= f (x).g 0 (x) + g (x) f 0 (x) d x
(10.18)
(10.19)
172
10.8
BÖLÜM 10. TÜREV
y = ex
d ¡ x¢
e = ex
dx
olduğunu gösteriniz.
y0 =
e x+h − e x
h→0
h
Ã
!
e x (e h − 1)
= lim
h→0
h
Ã
!
h
(e
−
1)
= e x lim
h→0
h
(10.20)
y 0 = lim
l’Hopital
= e x .1
= ex
10.8.1 Logaritma Fonksiyonunun Türevi
10.9
y = ln x
1
d
(ln x) =
dx
x
olduğunu gösteriniz.
(10.21)
y = ln x fonksiyonunun türevini bulmak için
¶x
µ
h h
lim 1 +
=e
h→0
x
eşitliğini kullanacağız. Türev tanımında logaritma farkları için bilinen eşitliği
kullanırsak,
µ
¶
ln(x + h) − ln x 1
x +h
= . ln
h
h
x
µ
¶
1 x
h
= . . ln 1 +
x h
x
µ
¶x
1
h h
= . ln 1 +
x
x
logaritmaların farklı
x ile çarp ve böl
kuvvetin logaritması
10.10. Y = A X
173
Buradan limite geçersek,
ln(x + h) − ln x
h→0
h
µ
¶x
1
h h
= lim . ln 1 +
h→0 x
x
"
µ
¶x #
1
h h
= . ln lim 1 +
h→0
x
x
y 0 = lim
1
1
. ln e = .1
x
x
1
=
x
=
olur.
y = ax
10.10
y0 =
d ¡ x¢
a = a x . ln a
dx
(10.22)
olduğunu gösteriniz
a x+h − a x
h→0
h
Ã
!
x h
a (a − 1)
= lim
h→0
h
Ã
!
(a h − 1)
x
= a lim
h→0
h
!
Ã
(e h ln a − 1)
x
= a lim
h→0
h
Ã
!
ln a.e h ln a
x
= a lim
h→0
1
y 0 = lim
= a x . ln a
l’Hopital
174
BÖLÜM 10. TÜREV
y = loga x
10.11
y = loga x fonksiyonunun türevi, y =
saplanabilir:
y = l og a x ⇐⇒ y =
l nx
ln a
ile (10.21) eşitliklerinden, kolayca he-
l nx
ln a
bağıntısı kullanılırsa
µ
¶
d l nx
y =
d x ln a
1
=
x.l nx
0
çıkar.
10.11.1 Köklü İfadelerin Türevi
y=
p
x fonksiyonunun türevini değişik yöntemlerle bulabiliriz:
Türev tanımından:
y0 =
d p
x
dx Ã
p
p !
x +h − x
= lim
h→0
h
à p
p
p
p !
( x + h − x).( x + h + x)
= lim
p
p
h→0
h( x + h + x)
µ
¶
x +h −x
= lim
p
p
h→0 h( x + h + x)
¶
µ
h
= lim
p
p
h→0 h( x + h + x)
µ
¶
1
= lim p
p
h→0
x +h + x
1
= p
2 x
çıkar.
10.11. Y = LOG A X
175
Üstel Fonksiyonun Türevinden :
1
d ³ 1´
1 1
1
1
x 2 = ( )x 2 −1 = ( )x − 2 =
1
dx
2
2
2x 2
1
= p
2 x
y0 =
Ters Fonksiyonunun Türevinden :
y=
p
x =⇒ x = y 2
bağıntısından
dx
dy
1
dy
1
= 2y =⇒
=
=⇒
= p
dy
dx
2y
dx
2 x
çıkar.
10.11.2 Üstel Fonksiyonun Türevi
u = u(x) olmak üzere y = f (x) = e u(x) fonksiyonunun türevi:
dy
du
= e u(x)
dx
dx
(10.23)
u = u(x), a > 0 olmak üzere y = f (x) = a u(x) fonksiyonunun türevi:
du
dy
= a u(x) . ln a.
dx
dx
(10.24)
u = u(x) olmak üzere y = f (x) = l og e (u(x)) fonksiyonunun türevi:
dy
d
1 du
=
l og e (u(x)) =
dx dx
u dx
(10.25)
u = u(x), a > 0 olmak üzere y = f (x) = l og a (u(x)) fonksiyonunun türevi:
dy
d
l og a e d u
=
l og a (u(x)) =
dx dx
u dx
(10.26)
176
BÖLÜM 10. TÜREV
10.12 Alıştırmalar
1. f (x) = x 3 fonksiyonu için
d
dx
f (x) türevini bulunuz.
Çözüm: Türev tanımı uygulanırsa uygulanırsa
d 3
f (x + ∆x) − f (x)
x = lim
∆x→0
dx
∆x
3
x + 3x 2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x 3
= lim
∆x→0
∆x
2
3x ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3
= lim
∆x→0
∆x
3x 2
= lim
∆x→0 1
= 3x 2
2.
y = 2x 3 − 4x 2 + 3x − 5
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm: Yukarıdaki 1,2 ve 4.kural uygulanırsa
y 0 = (2x 4 )0 − (4x 2 )0 + (3x)0 − (5)0
= 2(x 3 )0 − 4(x 2 )0 + 3(x)0 − 0
= 2.3x 3−1 − 4.2x 2−1 + 3.1
= 6x 2 − 8x + 3
bulunur.
3.
p
y = f (x) = ( x + 2x)(4x 2 − 1)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
10.12. ALIŞTIRMALAR
177
Çözüm: Çarpımın türevi kuralı uygulanırsa,
p
1
f 0 (x) = ( p + 2)(4x 2 − 1) + x + 2x)(8x)
2 x
p
p
p
(1 + 2.2 x)(4x 2 − 1) + 2 x 8x( x + 2x)
=
p
2 x
p
2
5/2
(4x − 1 + 16x − 4 x + −4x + 16x 2 + 32x 5/2
=
p
2 x
=
48x 5/2 + 20x 2 − 4x 1/2 − 1
p
2 x
4.
y = f (x) = (x 2 + l n(x + 1)(4x 2 − 1)
fonksiyonunun birinci ve ikinci basamaktan türevlerini bulunuz.
Çözüm: Çarpımın türevi kuralı uygulanırsa,
f 0 (x) = (x 2 )0 .l n(x + 1) + x 2 (l n(x + 1))0
1
= 2x.l n(x + 1) + x 2
.(x + 1)0
x +1
1
= 2x.l n(x + 1) + x 2
.1
x +1
x2
= 2x.l n(x + 1) +
x +1
¶0
x2
f (x) = (2x.l n(x + 1)) +
x +1
1
2x.(x + 1) − x 2 .1
.1 +
= 2l n(x + 1) + 2x
x +1
(x + 1)2
2
2x
x + 2x
= 2.l n(x + 1) +
+
x + 1 (x + 1)2
00
0
µ
178
BÖLÜM 10. TÜREV
Şekil 10.1: Fonksiyon Artması
Şekil 10.2: Türev
10.12. ALIŞTIRMALAR
179
Şekil 10.3: Eğim
Şekil 10.4: Eğim
180
BÖLÜM 10. TÜREV
Şekil 10.5: Eğim
Şekil 10.6: Eğim
10.13. L’HÔPİTAL KURALI
181
1.
f (x) = (x − 1)4
(10.27)
3
x
x −1
f (x) = (3x + 1)101
¶
µ
1 − x 11
f (x) =
1+x
x
f (x) =
2
(1 + x) (1 − x)2
p
f (x) = x 1 − x 2
r
x +1
f (x) =
x −1
f (x) =
(10.28)
(10.29)
(10.30)
(10.31)
(10.32)
(10.33)
(10.34)
10.13 l’Hôpital Kuralı
Teorem 10.2 f ile g türetilebilir ve
lim
x→c
f (c) 0
=
g (c) 0
ya da lim
x→c
f (c) ∞
=
g (c) ∞
belirsizlikleri oluşuyorsa
lim
x→c
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g (x) x→c g (x)
eşitliği vardır.
L’Hôpital Kuralı uygulamada limit bulmayı çok kolaylaştırır.
Örnek 1:
sin x
cos x
= lim
=1
lim
x→0 x
x→0 1
Örnek 2:
sin(2x)
2 cos(2x)
lim
= lim
x→0 sin(3x)
x→0 3 cos(3x)
2.1
=
3.1
2
=
3
182
BÖLÜM 10. TÜREV
Örnek 3: Bu problemde L’Hôpital Kuralını art arda iki kez uyguluyoruz.
¶
µ
¶
µ 2
2x + 2
x + 2x − 8
= lim
lim
x→2 4x + 2
x→2 2x 2 + 2x − 12
µ ¶
2
= lim
x→2 4
2
=
4
1
=
2
Örnek 4: a ∈ R ise;
µ ax
¶
µ ax ¶
e −1
ae
lim
= lim
x→0
x→0
x
1
³a´
= lim
x→0 1
=a
olur.
Örnek 5: a ∈ R ise;
¶
µ ax ¶
µ ax
ae
e −1
= lim
lim
x→0
x→0
x
1
³a´
= lim
x→0 1
=a
olur.
Örnek 6:
µ
¶
µ
¶
cos x − 1
si nx
lim
= lim
x→0
x→0
x
1
µ ¶
0
= lim
x→0 1
=0
olur.
Örnek 7:
à !
µ
¶
1
x −1
lim
= lim 1
x→1 ln x
x→1
x
= lim (x)
x→1
=1
10.13. L’HÔPİTAL KURALI
183
Örnek 8: Bazı problemlerde 0.∞ belirsizliği 0/0 ya da ∞/i n f t y belirsizliklerine dönüştürülerek L’Hôpital Kuralı uygulanabilir.
Ã
lim (x ln x) = lim+
x→0+
x→0
Ã
= lim+
x→0
ln x
1
x
1
x
−1
x2
!
!
= lim+ (−x)
x→0
=0
Örnek 9: Bazı problemlerde ∞ − ∞ belirsizliği 0/0 ya da ∞/i n f t y belirsizliklerine dönüştürülerek L’Hôpital Kuralı uygulanabilir.
Ã
lim (x ln x) = lim+
x→0+
x→0
Ã
= lim+
x→0
ln x
1
x
1
x
−1
x2
!
!
= lim+ (−x)
x→0
=0
µ
¶
x − sin x
1 − cos x
lim
= lim
x→0
x→0
x3
3x 2
µ
¶
− sin x
= lim
x→0
6x
³ − cos x ´
= lim
x→0
6
1
=
6
Örnek 10:
184
BÖLÜM 10. TÜREV
lim x 3 ln x = lim
x→0
ln x
1
x3
1
= lim x3
x→0 − 4
x
3
x→0
= lim −
x→0
x
3
=0
Örnek 11:
µ
¶
x − sin x
1 − cos x
=
lim
x→0
x→0
x3
3x 2
¶
µ
− sin x
= lim
x→0
6x
³ − cos x ´
= lim
x→0
6
1
=
6
lim
Örnek 12:
lim x 3 ln x = lim
x→0
ln x
1
x3
1
= lim x3
x→0 − 4
x
3
x→0
= lim −
x→0
x
3
=0
Örnek 13:
3x − 2x
3x ln 3 − 2x ln 2
= lim
x→0
x→0
x
1
= lim ln 3 − ln 2
lim
x→0
= ln
3
2
10.13. L’HÔPİTAL KURALI
185
Örnek 13:
x3
x→∞ e 2x
3x 2
= lim
x→∞ 2e 2x
6x
= lim
x→∞ 4e 2x
6
= lim
x→∞ 8e 2x
=0
lim x 3 e −2x = lim
x→∞
Örnek 13:
lim (sin x)1/ ln x = e
x→0+
olduğunu gösteriniz.
lim+ (sin x)1/ ln x = lim+ e
x→0
ln(sin x)
ln x
x→0
h
limx→0+
=e
ln(sin x)
ln x
i
·
limx→0+
cos x
sin x)
1
x
¸
=e
£
limx→0+
x cos x
sin x
¤
=e
£
limx→0+
cos x−x sin x
cos x
=e
= e1
=e
¤
186
BÖLÜM 10. TÜREV
10.14 Problemler
1.
y = t anx
3.
y = sec2x
y = cot 5x
4.
y = c sc6x
5.
y = csc(x − 1)
6.
y = t an(x 2 − 3x
7.
y = cot (x 2 − x)
8.
9.
12.
13.
y = sec 3 (x 2 − 3)
p
y = t an 2 x 2 − 2x
p
y = cot 2 x 4 − x + 2x
y = c sc6x
p
y = c sc 2 x 2 + 4x
p
3
y = cot 3 x 3 − 3x
14.
y = sec 3 (x 3 + 3) + x
15.
y = csc 2 (3x) + 5x
16.
y = 2x + t an 3 (x + 1)
17.
y = xt an 2 (x 2 − x)
p
y = x 2 sec 2 x 2 + 6x
18.
y = x 2 cot 3 (2x − 5)
p
y = xsec 4 x 2 + 6x
11.
19.
3
2.
10.
20.
10.15 Çözümlü Problemler
1.
¶
µ
16t an 3 (x)
d
1
=
d x 1 − sin4 (x)
(cos(2x) − 3)2
olduğunu gösteriniz
2.
¢ 1
d ¡ x/2
e sin(ax) = e x/2 (sin(ax) + 2a cos(ax)) +C
dx
2
olduğunu gösteriniz
3.
d ¡ x¢
x = x x (ln x + 1) +C
dx
olduğunu gösteriniz
4.
lim+ x 2 ln x = lim+
x→0
x→0
olduğunu gösteriniz
ln x
= lim (ln x + 1) +C
1/x 2 x→0+
10.16. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ
187
10.16 Zor Limit Problemleri
0
0,
∞
∞,
∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 0.∞ gibi belirsiz ifadelerin limitlerini bulmak için
genel geçerli bir yöntem yoktur. Çoğunlukla şu eylemlerden birisini yaparız:
1. Değişken değiştirimi
2. Trigonometrik fonksiyonları yarım açı vb. formülleri kullanarak denk ifadelerle değiştirme,
3. Mümkünse cendere teoremini uygulama
4. Limiti alınacak fonksiyonu ilgili noktada taylor serisine açma
Bu yöntenler bazı fonksiyonlar için zor işlemleri gerektirebilir. Ama l’Hôpital
Kuralı işlemleri çok basitleştirir. Aşağıdaki örneklerin bazılarında önce ilk üç
yöntemden birisi uygulanmış, sonra l’Hôpital Kuralı ile aynı işlem tekrarlanmıştır. Örneklerden de görüldüğü gibi, l’Hôpital Kuralı limit bulmak için çok
elverişli bir yöntemdir.
1.
sin x
=1
x→0 x
lim
olduğunu gösteriniz.
1.Çözüm :
ÙA ise 0 < x < π iken sin x < x < tan x olduğunu
x açısı radyan cinsinden M
2
şekilden görebiliyoruz. Bu eşitsizliklerden şunları yazabiliriz:
sin x
x
tan x
<
<
sin x sin x sin x
sin x
1
x
⇒1<
<
=
sin x sin x. cos x cos x
sin x < x < tan x ⇒
Son eşits,zliklerde limx→0 iken cendere kuralını uygularsak,
lim
1
x→0 cos x
= 1 ⇒ lim
x
x→0 sin x
=1
sin x
=1
x→0 x
⇒ lim
188
BÖLÜM 10. TÜREV
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
lim
x→0
sin x
cos x 1
= lim
= =1
x→0 1
x
1
2.
sin 3x
=3
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
1.Çözüm:
lim
x→0
sin 3x
sin 3x
= lim 3
x→0
x
3x
sin 3x
= lim 3
x→0
3x
=3
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
sin 3x
3 cos 3x 3
= lim
= =3
x→0
x→0
x
1
1
lim
3.
lim
x→0
1 − cos x 1
=
x2
2
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm:
"
¡
¢#
1 − cos2 (x/2) − sin2 (x/2)
1 − cos x
= lim
lim
x→0
x→0
x2
x2
·
¸
1 sin2 (x/2)
1
= lim
= .1
2
x→0 2
(x/2)
2
1
=
2
10.16. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ
189
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
lim
x→0
sin x
1 − cos x
= lim
x→0 2x
x2
cos x
= lim
x→0 2
1
=
2
4.
lim
x→0
1 − cos x
=0
x
olduğunu gösteriniz.
1.Çözüm:
£
¤
1 − cos2 (x/2) − sin2 (x/2)
1 − cos x
= lim
lim
x→0
x→0
x
x
·
¸
2 sin2 (x/2)
= lim
x→0
x
·
¸ ·
¸
sin(x/2)
= lim sin(x/2) . lim
x→0
x→0 (x/2)
= 0.1
=0
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
1 − cos x
sin x
= lim
x→0
x→0 1
x
0
= =0
1
lim
5.
lim (x − 3) csc(πx) = −
x→3
olduğunu gösteriniz.
1
π
190
BÖLÜM 10. TÜREV
1. Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 3 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
x −3
sin(πx)
¡
¢
7
31
1 1
(π)3 (x − 3)4 −
(π)5 (x − 3)6 + O (x − 3)7
= − − π(x − 3)2 −
π 6
360
15120
(x − 3) csc(πx) =
olur. Buradan limit alınırsa,
·
¸
¡
¢
1 1
7
31
lim (x − 3) csc(πx) = lim − − π(x − 3)2 −
π(x − 3)4 −
(π)5 (x − 3)6 + O (x − 3)7
x→3
x→0
π 6
360
15120
1
=−
π
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
lim (x − 3) csc(πx) = lim
x→3
x −3
x→0 sin(πx)
= lim
1
x→0 π cos(πx)
=−
1
=0
π
6.
1
sin x − x
=−
3
x→0
x
6
lim
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
¡ 6¢
sin x − x
1
x2
x4
=
−
+
−
+
O
x
x3
6 120 5040
olur. Buradan limit alınırsa,
·
¸
¡ 6¢
sin x − x
1
x2
x4
lim
=
lim
−
+
−
+
O
x
x→0
x→0
x3
6 120 5040
1
=−
6
10.16. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ
191
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
lim
x→0
cos x − 1
sin x − x
= lim
x→0
x3
3x 2
− sin x
= lim
x→0 6x
− cos x
= lim
x→0
6
1
=−
6
7.
cos ax − cos bx) b 2 − a 2
=
x→0
x2
2
lim
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
¡ ¢
cos ax − cos bx) 1 2
1
1 4 6
= (b − a 2 ) + x 2 (a 4 − b 4 ) +
x (b − a 6 ) + O x 6
2
x
2
24
720
olur. Buradan limit alınırsa,
cos ax − cos bx)
x→0
x2
lim
·
¸
¡ 6¢
1 2
1 2 4
1 4 6
2
4
6
= lim (b − a ) + x (a − b ) +
x (b − a ) + O x
x→0 2
24
720
b2 − a2
=
2
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
192
BÖLÜM 10. TÜREV
lim
x→0
−a sin(ax) + b sin(bx)
cos ax − cos bx)
= lim
x→0
x2
2x
2
−a cos(ax) + b 2 cos(bx)
= lim
x→0
2
2
2
−a + b
= lim
x→0
2
2
2
b −a
=
2
8.
e x − 1)
=1
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
¡ ¢
e x − 1)
x x2 x3
x4
x5
= 1+ +
+
+
+
+ +O x 6
x
2
6 24 120 720
olur. Buradan limit alınırsa,
e x − 1)
x→0
x
lim
·
¸
¡ 6¢
x4
x5
x x2 x3
= lim 1 + +
+
+
+
+ +O x
x→0
2
6 24 120 720
=1
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
e x − 1)
ex
= lim
x→0
x→0 1
x
e0
=
1
=1
lim
10.16. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ
193
9.
e −ax − e −bx
= a +b
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
e −ax − e −bx
1
1
1
= (b − a) + x(a 2 − b 2 ) + x 2 (a 3 + b 3 + x 3 (a 4 − b 4 )
x
2
6
24
¡ ¢
1 4 5
1 5 6
5
+
x (a + b ) +
x (a − b 6 ) + O x 6
120
720
olur. Buradan limit alınırsa,
e −ax − e −bx
=
x→0
x
¸
·
1
1
lim (b − a) + x(a 2 − b 2 ) + x 2 (a 3 + b 3
x→0
2
6
·
¸
¡ ¢
1 3 4
1 4 5
1 5 6
+ lim
x (a − b 4 ) +
x (a + b 5 ) +
x (a − b 6 ) + O x 6
x→0 24
120
720
lim
=b−a
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
e −ax − e −bx
−ae ax + be −bx
= lim
x→0
x→0
x
1
b−a
=
1
=b−a
lim
10.
f (x) =
3+x
3−x
fonksiyonunun türevini bulunuz.
194
BÖLÜM 10. TÜREV
Çözüm:
(3 − x) − (−1)(3 + x)
3 − x2
6
=
3 − x2
f 0 (x) =
11.
f (x) =
p
(2x − 1)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
1
2
f 0 (x) = (2x − 1) 2 −1
2
1
=
1
(2x − 1) 2
1
=p
(2x − 1)
1
0
f (9) =
3
12.
(
f (x) =
x sin( x1 ), x 6= 0
0,
x =0
fonksiyonu
(a) x = 0 noktasında sürekli midir?
(b) x = 0 noktasında türetilebilir mi?
Çözüm:
(a)
1
lim |x sin( )| ≤ lim |x|
x→0
x
=0
x→0
olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında limiti vardır.
10.16. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ
195
(b)
f 0 (0) = lim
h→0
= lim
f (0 + h) − f (0)
h
1
h sin( h ) − 0
h
1
= lim sin( )
h→0
h
l i mi t yok
h→0
O halde f fonksiyonunun x = 0 noktasınada türevi yoktur.
13.
f (x) = |x|
fonksiyonu için
(a) x = 0 noktasında limit var mıdır?
(b) x = 0 noktasında sürekli midir?
(c) x = 0 noktasında türetilebilir mi?
(d) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
(a) Sağ ve sol limitlere bakalım:
lim |x| = lim− (−x) = 0
x→0−
x→0
olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında soldan limiti vardır.
lim |x| = lim+ (+x) = 0
x→0+
x→0
olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında sağdan limiti vardır.
Soldan ve sağdan limitler eşit olduğundan, f fonksiyonunun x = 0
noktasında limiti vardır ve bu limit L = 0 dır.
(b) f (0) tanımlı ve limite eşit olduğundan; yani f (0) = 0 = L olduğundan, fonksiyon x = 0 noktasında süreklidir.
196
BÖLÜM 10. TÜREV
(c) Sol ve sağ türevlere bakalım:
f (0 + h) − f (0)
h
−h
= lim−
h→0 h
h
= − lim−
h→0 h
= −1
f −0 (0) = lim−
h→0
ve
f (0 + h) − f (0)
h
h
= lim+
h→0 h
= − lim+ 1
f +0 (0) = lim+
h→0
h→0
= +1
olur. Sol ve sağ türevler var ama birbirlerine eşit olmadığından , f
fonksiyonunun x = 0 noktasında türevi yoktur.
(d) f (x) = |x| fonksiyonunungrafiği Şekil deki gibidir.
10.17 Alıştırmalar
Örnek 10.1
f (x) = 3x −2 − 5x −3 fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Üstel fonksiyon türevi olarak,
f 0 (x) = (−2)3x −2−1 − (−3)5x −3−1
= −6x −3 + 15x −4
−6 15
= 3+ 4
x
x
bulunur.
Örnek 10.2
10.17. ALIŞTIRMALAR
f (x) =
1
x
197
+ x22 + x33 fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Üstel fonksiyon türevi olarak,
¢
d ¡ −1
x + 2x −2 + 3x −3
dx
= (−1)x −1−1 + (−2)2x −2−1 + (−3)3x −3−1
−1 −4 −9
= 2+ 3+ 4
x
x
x
f 0 (x) =
bulunur.
Örnek 10.3
f (x) = (1 − x 2 )(2 − x 2 ) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Parantezleri açıp problemi bir polinomun türevinin alınması haline getitebiliriz.
¢
d ¡ 4
−x + x 2 + 2
dx
= (−4)x 4−1 + (2)x 2−1 + 0
f 0 (x) =
= −4x 3 + 2x
olur.
Örnek 10.4
f (x) = (1 − x −5 )2 fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Üsttleri düzenleyip üstel fonksiyonun türev formülünü uygulayabiliriz.
¢
d ¡
(1 − x −5 )2
dx
¢
d ¡
=
(1 − 2x −5 + x −10
dx
= 0 − (−2)(−5)x −5−1 + (−10)x −10−1
f 0 (x) =
= 5x −6 − 10x −11
5
10
= 6 − 11
x
x
olur.
198
BÖLÜM 10. TÜREV
Örnek 10.5
f (x) =
1
(1+x)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
µ
¶
1
d
f (x) =
d x (1 + x)
0.(1 + x) − 1.1
=
(1 + x)2
−1
=
(1 + x)2
0
olur.
Örnek 10.6
f (x) =
x 3 −1
(x 3 +1)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
µ 3
¶
d
x −1
d x (x 3 + 1)
3x 2 (x 3 + 1) − 3x 2 (x 3 − 1)
=
(x 3 + 1)2
2
−6x
= 3
(x + 1)2
f 0 (x) =
olur.
Örnek 10.7
f (x) = tan x fonksiyonunun türevini bulunuz.
10.18. TEĞET
199
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
d
(tan x)
dx µ
¶
d sin x
=
d x cos x
µ
¶
(sin x)0 (cos x) − (cos x)0 (sin x)
=
(cos x)2
µ
¶
(cos x)(cos x) − (− sin x)(sin x)
=
(cos x)2
µ
¶
2
cos x + sin2 x
=
cos2 x
f 0 (x) =
= 1 + tan2 x
1
=
cos2 x
= sec2 x
olur. Son üç eşitlik tan x fonksiyonunu içeren ifadelerde türev alırken kullanılabilir.
Örnek 10.8
f (x) =
sin x
x
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
µ
¶
d sin x
f (x) =
dx
x
µ
¶
(sin x)0 (x) − (x)0 (sin x)
=
x2
x cos x − sin x
=
x2
0
olur.
10.18 Teğet
y = f (x) eğrisi üzerinde sabit bir P (a, f (a) noktası ile eğri üzerinde gezen bir
Q(x, f (x)) noktası alalım. PQ kirişine, kısaca t doğrusu diyelim. PQ doğrusu yatay eksene dik olmasın. O zaman t doğrusunun eğimini bulabiliriz. Sözkonusu
200
BÖLÜM 10. TÜREV
eğimi m t ile gösterelim. m t eğimi t doğrusu ile yatay eksen arasında oluşan α
açısının tanjantıdır. O halde,
m t = tan α =
y −b
f (x) − f (a)
=
x −a
x −a
(10.35)
olur. Şimdi Q noktasını P noktasına yaklaştıralım. Tabii, Q noktası hep P noktasının aynı tarafında kalmayabilir. Dolayısıyla t doğrusunun eğimi bazen pozitif, bazen negatif olabilir. Q → P iken x → a olacağı düşünülürse, limit konumunda, yani Q noktası P noktası üzerine geldiğinde, (limit varsa) t doğrusu
eğriye P noktasında teğet olacaktır. Teğetin eğimine m dersek,
lim m t = m
(10.36)
x→a
olacağı görülür. Öte yandan, 10.35 ifadesinin sağ yanının x → a iken limiti f 0 (a)
dır; yani
y −b
f (x) − f (a)
= lim
x→a x − a
x→a
x −a
= f 0 (a)
m = lim
(10.37)
olur. Buradan şu kuralı çıkarabiliriz:
Teorem 10.3 y= f(x) fonksiyonu x = a noktasında türetilebiliyorsa, eğrinin
P (a, f (a) noktasındaki teğeti yatay eksene dik değilse, eğimi
m = f 0 (a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
x −a
(10.38)
bağıntısı ile belirlenir.
Teğet Ox eksenine dik ise eğriyi ancak bir nokada keseceğinden, yukarıda söylendiği gibi t doğrusu üzerinde bir PQ kirişi oluşamaz. Bu durumda,
Teorem 10.4 y= f(x) fonksiyonu sürekli ve x = a noktasında türetilebiliyorsa, eğrinin P (a, f (a) noktasındaki teğetinin eğimi
lim
x→a
f (x) − f (a)
f (x) − f (a)
= +∞ ya da lim
= −∞
x→a
x −a
x −a
bağıntılarından birisini sağlar.
(10.39)
10.19. DOĞRU DEKLEMLERİ
201
Ancak, 10.39 koşulu sol ve sağ dn yaklaşoldığına teğetin dilkiği için yeterlidir,
ama yeterli değildir. Gerçekten,
y = f (x) = x 2/3
eğrisi için x = 0 noktasında soldan ve sağdan limit alındığında 10.39 limitleri
vardır. Ama eğri x = 0 noktasında türetilemez. Dolayısıyla söz konusu noktada
teğeti yoktur. Gerçekten
x 2/3
x 2/3 − 0
= lim−
= −1
x→0
x→0
x −0
x
x 2/3
x 2/3 − 0
= lim+
= +1
f +0 (0) = lim+
x→0
x→0
x −0
x
f −0 (0) = lim−
(10.40)
(10.41)
olur.
Öte yandan y = f (x) = |x| fonksiyonu için, x = 0 noktasında soldan türev
−1, sağdan türev +1 dir; yani türev yoktur. Dolayısıyla x = 0 noktasında teğeti
yoktur. Gerçekten,
|x| − |0|
|x|
= lim−
= −1
x→0
x→0 x
x −0
|x| − |0|
|x|
f +0 (0) = lim+
= lim+
= +1
x→0
x→0 x
x −0
f −0 (0) = lim−
(10.42)
(10.43)
olduğundan sol ve sağ türevler var ama birbirlerine eşit değildir.
10.19 Doğru deklemleri
İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini
yazabiliriz.
P (a, b) ile Q(c, d ) noktalarından geçen doğrunun eğimi, ∠QP H açısının
tanjantı olduğuna göre,
m = tan α =
d −b
c −a
(10.44)
olacaktır. Şimdi PQ doğrusu üzerinde gezgin bir T(x,y) noktası alırsak, PT nin
eğiminin de aynı olacağını düşünerek
m = tan α =
d −b y −b
=
c −a x −a
(10.45)
202
BÖLÜM 10. TÜREV
yazabiliriz. T(x,y) noktası PQ doğrusu üzerindeki bütün noktaları taradığına
göre P (a, b) ile Q(c, d ) noktalarından geçen doğrunun denklemi
y −b d −b
=
,
x −a c −a
(a 6= c)
eşitliğini sağlayan T (x, y) noktalarının oluşturduğu doğrudur. Buna denk olarak,
y −b =
d −b
(x − a)
c −a
(10.46)
yazılabilir.
Örnek 10.9
P (2, 5) ile Q(6, −3) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm:
y −b d −b
=
(x − a)
x −a c −a
⇒ y − 5 = −2(x − 2)
⇒ y = −2x + 9
(10.47)
(10.48)
(10.49)
Örnek 10.10
P (4, 1) noktasından geçen ve eğimi m = − 52 olan doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm:
2
y −1
=−
x −4
5
⇒ 2x + 5y = 13
2x 9
⇒y =−
+
5
5
(10.50)
(10.51)
(10.52)
P (a, b) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi,
y = mx + b
(10.53)
dir. Bunu görmek için 10.46 formülünde eşitliğin hemen sağındak oranın doğrunun m eğimine eşit olduğunu düşünmek yetecektir.
10.19. DOĞRU DEKLEMLERİ
203
Doğrunun Genel Denklemi
Doğrunun genel denklemi
ax + b y + c = 0
(10.54)
biçimindedir. Buradan eksenlerl kesişim noktalarının koordinatları x = − ac , y =
0 ve x = 0, y = − bc olur. Bu noktalardan geçen doğrunun denklemi
c
a
y =− x−
b
b
(10.55)
olarak yazılabilir.
Teğetin Denklemi
Bir P (a, b) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denkleminin y =
m(x − a) + b olduğunu biliyoruz. O halde P (a, f (a) noktasındaki teğetin denklemi,
y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
(10.56)
olur.
Örnek 10.11
Bir doğrunun her noktasındaki teğetinin kendisi ile çakıştığını gösteriniz.
Çözüm: a eğim, ve b bir sayı olmak üzere Ox eksenine dik olmayan her
doğru y = ax+b biçiminde bir denkleme sahiptir. 10.56 bağıntısına göre teğetin
denklemini yazarsak, y = ax + b olduğunu görürüz.
Örnek 10.12
y = f (x) = x 2 parabolünün x = 0 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.
Çözüm: f 0 (0) = 2.0 = 0 olduğundan, x = 0 noktasındaki teğeti y = 0(x −
0) + 0 = 0 olacaktır. O halde teğet Ox eksenidir.
Örnek 10.13
y = f (x) = x 2 parabolünün x = 1 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.
Çözüm: f 0 (−1) = 2.(−1) = −2 olduğundan, x = 0 noktasındaki teğeti y =
−2(x − 1) + 0 = −2x − 1 olacaktır.
204
BÖLÜM 10. TÜREV
Örnek 10.14
y = f (x) =
x
3x+2
eğrisinin x = −2 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.
Çözüm: f 0 (21) = 12 ol d u ğund an olduğundan, x = −2 noktasındaki teğetin eğimi,
m = lim
−2+h
3(−2+h y)+2
− 12
(10.57)
h
−4 + 2h − (−6 + 3h + 2)
= lim
h→0
2(−6 + 3h + 2)h
−1
= lim
h→0 2(−4 + 3h)
1
=
8
h→0
(10.58)
(10.59)
(10.60)
10.20 Problemler
1. Aşağıdaki fonksiyonların karşılatında belirilen noktalarındaki teğetlerini
bulunuz.
Fonksiyon
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Nokta
y = 3x − 1,
Yanıt
(1, 2),
y = 3x − 1
2
(2, 3),
y = 8x − 13
2
(1, 1),
y =1
3
(x = −2),
y = 12x + 24
(x = 3),
2x + 27y = 1
(x = 3),
x − 4y = −5
(x = 2),
x − 4y = −2
(x = a),
y = 2ax − a 2
4 x
y= −
3 12
y = 2x − 5,
y = 2x − 2x + 2,
y = 2x + 8x,
1
y = 2,
x
p
y = x + 1,
2x
y=
,
x +2
y = x 2,
3
y=
p ,
1+ x
p
y = |x|,
y = (x + 2)
3/5
(4, 1),
(x = 0),
,
(x = −2),
türev yok
x = −2
10.21. NORMAL
205
2.
(p
y = f (x) =
x,
x ≥0
p
− −x, x < 0,
fonksiyonunun x = 0 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. (Yanıt:
x=0 )
10.21 Normal
Tanım 10.7 y = f (x) eğrisinin P (a, f (a)) noktasındaki normali, P noktasından
geçen ve P noktasındaki teğete dik olan doğrudur.
1
Teğetin eğimi m ise, ona dik olan normalin eğimi − m
olacağından, bir noktadan geçen ve eğimi bilinen doğru olarak yazılabilirAnımsayacağınız gibi (a, b)
noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi y − b = m(x − a) dır. O
halde, P noktasından geçen normalin denklemi
y − f (a) =
1
f
0 (a)
(x − a)
(10.61)
olur.
10.22 Türevin uygulamaları
10.23 Fonksiyonlar Üzerinde Cebisel İşlemler
Fonksiyonlar kümesinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri aşağıda
olduğu gibi tanımlanır:
Tanım 10.8
{ f (x)} ve {g (x)} iki dizi ve λ bir sabit sayı ise
(λ f )(x) = λ f (x)}
(10.62)
( f + g )(x) = f (x) + g (x)
(10.63)
( f − g )(x) = f (x) − g (x)
(10.64)
( f .g )(x) = f (x).g (x)
µ ¶
f
f (x)
(x) =
(g (x) 6= 0)
g
g (x)
(10.65)
(10.66)
206
BÖLÜM 10. TÜREV
Bu tanımlaradan anlaşıldığı üzere, bir fonksiyonlar kümesinde dört işlem, fonksiyonların aynı değişken için aldığı değerler üzerinde yapılan işlemlere dönüşmektedir. Cebirsel işlemleri böyle tanımlayınca, fonksiyonların limitleri için de
benzer kurallar çıkarılabilir.
10.24 Limit Kuralları
Teorem 10.5
limn→∞ f (x) = a, limn→∞ g (x) = b ve α sabit gerçel sayı ise,
¡
¢
lim λ{ f (x)} = lim {λ f (x)} = λa
x→∞
n→∞
lim ( f + g )(x) = lim f (x) + lim g (x) = a + b
x→∞
n→∞
n→∞
lim ( f − g )(x) = lim f (x) − lim g (x) = a − b
x→∞
n→∞
n→∞
lim ( f .g )(x) = lim f (x). lim g (x) = a.b
x→∞
n→∞
n→∞
µ ¶
µ
¶
f
f (x)
limn→∞ f (x) a
lim
(x) = lim
=
=
x→∞ g
n→∞ g (x)
limn→∞ g (x) b
Örnek 10.15 limx→∞ x1α
limitini bulunuz.
Çözüm: f (x) =
1
xα
konumuyla
¡
¢ ¡
¢
l n f (x) = ln 1 − l n(x α )
= −αl n(x)
= −∞
Buradan,
f (x) = e −∞ = 0
bulunur.
(g (x), b 6= 0)
194
BÖLÜM 10. TÜREV
Dizin
derivative, 165, 167
diferensiyel, 167
differentiable, 165
parçalı türetilebilme, 167
parçalı türev, 166
sağ türev, 166
sec:differential, 167
sectional derivative, 166
sol türev, 166
türetilebilme, 165
türev, 165
türev kuralları, 169