ANKARA ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ YÜKSEK L

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
GRAFEN TABANLI NANO YAPILARDA SAFSIZLIK ETKİLERİ
Defne BAYAT
FİZİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2010
Her hakkı saklıdır
TEZ ONAYI
Defne BAYAT tarafından hazırlanan “ Grafen Tabanlı Nano Yapılarda Safsızlık
Etkileri” adlı tez çalışması 13/08/2010 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK
LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman : Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik A.B.D
Jüri Üyeleri :
Başkan : Prof. Dr. Basri ÜNAL
Ankara Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği A.B.D.
Üye
: Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR
Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik A.B.D.
Üye
: Prof. Dr. Abdullah VERÇİN
Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik A.B.D.
Yukarıdaki sonucu onaylarım
Prof. Dr. Orhan ATAKOL
Enstitü Müdür
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
GRAFEN TABANLI NANO YAPILARDA SAFSIZLIK ETKİLERİ
Defne BAYAT
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR
Grafen, düşük-enerjili elektronik uyarımları kütlesiz Dirac fermiyonları cinsinden tarif
edilen bir yarı-metaldir. İlk kez 2004 yılında deneysel olarak gözlenmesine rağmen,
geçen bu kısa süre içinde grafen tabanlı yapılar üzerinde yoğun çalışmalar yapılmıştır.
Grafenin, K nokta enerjisinin dağınım bağıntısı lineer olduğundan, fotonun dağınım
bağıntısına benzer. Genelde, yoğun madde fiziği malzemenin elektronik özelliklerini
tanımlamak için Schrödinger denkleminin geçerli ve yeterli olduğu bir alan olmasına
rağmen, grafenin fotonunkine benzer bir dağınım bağıntısına sahip olması Dirac
denkleminin kullanımını öngörür. Bu çalışmada, güncel teknolojik uygulamalarda
önemli bir yer tutan iki boyutlu karbon, yani grafenin, taban oluşturduğu nano yapılarda
safsızlık etkilerinin grafenin elektronik özellikleri üzerindeki etkisi Dirac fermiyonları
aracılığıyla incelenmiştir. Çalışmanın ilk bölümünde grafen tabakasının kristal örgü
yapısı ve klasik göreli Kepler problemi incelenmiştir. Çalışmanın sonraki bölümlerinde,
sırası ile aralıklı ve aralıksız grafende serbest parçacık çözümleri, uzun menzilli
Coulomb safsızlık potansiyelindeki çözümleri, Lorentz skaler safsızlık potansiyelindeki
çözümleri, ve uzun menzilli Coulomb safsızlık potansiyeli ve Lorentz skaler safsızlık
potansiyelin her ikisinin birden var olduğu safsızlık durumları göz önüne alınarak,
bunlara bağlı enerji dağınım bağıntıları incelenmiştir.
Ağustos 2010, 48 sayfa
Anahtar Kelimeler: Grafen, Aralıklı Grafen, Coulomb Safsızlıkları
i
ABSTRACT
Master Thesis
IMPURITY EFFECTS ON GRAPHENE – BASED NANOSTRUCTURES
Defne BAYAT
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Physics
Supervisor: Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR
Graphene is a semi-metal which displays unusual low-energy electronic excitations
defined in terms of Dirac fermions. Although it was revealed for the first time at 2004,
intensive works have been carried out on graphene – based structures in this short
period of time. Since the graphene’s energy dispersion relation around the K-point is
linear, thus it is similar to that of photon. Even though the condensed matter physics is
an area in which the rules of Schrödinger equation are valid and sufficient in order to
describe the electronic characteristics of the matter, it is needed to use Dirac equation,
since the graphene has a dispersion relation similar to that of photon. In this thesis, the
effects of impurity on the electronic characteristics of the graphene are examined
through Dirac fermions in the nanostructures which are based on two-dimensional
carbon, namely the graphene, having an important place in the contemporary
technological applications. In the first section of this thesis, the crystal properties of the
graphene layer and classic relative Kepler problem have been discussed. In
the
following sections of the thesis, free particle solutions in the gapped and gapless
graphene, solutions in the long range Coulomb impurity potential, solutions in the
Lorentz scalar potential, and the impurity conditions of both long range Coulomb
impurity potential and Lorentz scalar potential have been taken into consideration and
the energy dispersion relations with these potentials have been analysed.
August 2010, 48 pages
Key Words: Graphene, Gapped graphene, Coulomb impurities
ii
TEŞEKKÜR
Grafen Tabanlı Nano Yapılarda Safsızlık Etkileri konulu yüksek lisans tezi süresince,
çalışmalarımı birlikte yürüttüğüm danışman hocam, sayın Prof. Dr. Bekir Sıtkı
KANDEMİR’e en içten duygularımla teşekkür ederim. Ayrıca, çalışmalarım süresince
hiç bir fedakarlıktan kaçınmayarak, beni destekleyen babam Muammer BAYAT’a
teşekkürü bir borç bilirim.
Defne BAYAT
ANKARA, Ağustos 2010
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET................................................................................................................................. i
ABSTRACT ..................................................................................................................... ii
TEŞEKKÜR ................................................................................................................... iii
SİMGELER DİZİNİ ....................................................................................................... v
ŞEKİLLER DİZİNİ ...................................................................................................... vii
1. GİRİŞ ........................................................................................................................... 1
2. GRAFEN ...................................................................................................................... 3
2.1 Grafenin Örgü Yapısı .............................................................................................. 5
3. GRAFENDE SAFSIZLIK PROBLEMİ ................................................................... 8
3.1 Göreli Kepler Problemi ............................................................................................ 8
3.1.1 Mekaniksel karşılaştırma ...................................................................................... 8
3.1.2 Göreli açısal momentumun çembersel yörünge limitinde incelenmesi ........... 10
3.1.3 Yörüngenin sınıflandırılması ............................................................................ 12
3.1.4 Yörünge denklemi ............................................................................................... 15
4. GRAFENDE SERBEST ELEKTRON.................................................................... 20
4.1 Aralıksız Grafende Serbest Elektron .................................................................... 20
4.2 Aralıklı Grafen de Serbest Elektron ..................................................................... 22
5. DIŞ POTANSİYEL ALTINDA ARALIKLI GRAFEN ........................................ 24
5.1 Aralıklı Grafenin Coulomb Potansiyeli altındaki çözümleri .............................. 24
5.2 Lorentz Skaler Potansiyeli Altındaki Çözümleri ................................................. 35
5.3 Dirac Denkleminin Coulomb Potansiyeli ve Lorentz Skaler Potansiyeli
Altında Çözümü ...................................................................................................... 38
6. TARTIŞMA VE SONUÇ.......................................................................................... 44
KAYNAKLAR ............................................................................................................. 46
ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................... 48
iv
SİMGELER DİZİNİ
h
Planck Sabiti
e
Elektron Yükü
c
Işık Hızı
Z
Atom Numarası
σi
Pauli Spin Matrisleri
vF
Fermi Hızı
Ψ
Dalga Fonksiyonu
H
Hamiltoniyen
E
Enerji
P
Çizgisel Momentum
Γ
Gama Fonksiyonu
F
Hipergeometrik Fonksiyon
v
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 1.1 Grafen tabanlı formlar ...................................................................................... 2
Şekil 2.1 Yük taşıyıcıların malzelerdeki durumları .......................................................... 4
Şekil 2.2 Grafenin σ ve π bandları için enerji dağınım bağıntısı .................................. 5
Şekil 2.3 Grafenin Örgü yapısı ve birinci brillouin bölgesi .............................................. 6
Şekil 3.1 Bağlı yörünge ................................................................................................... 18
Şekil 5.1 Karbon atomlarının örgü simetrisinin kırılması............................................... 24
Şekil 5.2 Coulomb safsızlığında enerji spektrumu ....................................................... 34
Şekil 5.3 Lorentz skalerde enerji spektrumu .................................................................. 37
Şekil 5.4 Enerji spektrumunun α ′ = ηα , η = 2,3,5 olduğu durum .............................. 40
Şekil 5.5 Enerji spektrumu α ′ = ηα , η = 1/ 2,1/ 3,1/ 5 olduğu durum ............................ 42
vi
1. GİRİŞ
Karbon atomlarından oluşan malzemeler, karbon atomlarının kendi aralarındaki
bağlanma geometrisine bağlı olarak çok farklı fiziksel ve kimyasal özellik gösterirler.
Karbon atomlarının böyle bir özelliğe sahip olmasının sebebi altı tane elektronunun
olmasıdır. Karbon atomu altı elektronu ile periyodik tabloda IV. grup elementlerinin ilk
elemanıdır
ve
atomik
orbitalleri
1s 2 2 s 2 2 p 2
şeklindedir.
Karbon
atomunun
elektronlarının ilk ikisinin ( 1s 2 ) bağlanmaya hiç katkısının olmaması, ayrıca ilk iki
elektron ile geri kalan elektronların enerjileri arasındaki farkın da büyük olması karbonun
farklı yapılar oluşturabilmesini sağlamaktadır. Bu özelliklerde başka bir elementin
olmaması karbonu farklı kılmaktadır.
Karbon atomları kendi aralarında üç farklı bağlanma gösterir, buna göre valans orbitalleri
sp1 , sp 2 , sp 3 gibi farklı formda bulunabilir. Bu formlar karbon atomlarının göreli olarak
farklı yerelleşmelerinden kaynaklanır. Karbon atomları kovalent bağ aracılığıyla bağlanır
ve bu bağlanma doğada en güçlü kimyasal bağ olarak nitelenir. Bu gösterimler aynı
zamanda bağlanma geometrisini de temsil eder. sp ile tanımlanan bağlanmada, karbon
atomları birbiri ile doğrusal bir geometri oluşturur ve iki bağ oluşturur. sp 2 ile
tanımlanan bağlanmada, karbon atomları birbirleri ile üçgen bir geometri oluşturur ve her
atomda üç bağ bulunur (grafende olduğu gibi). sp 3 ile tanımlanan bağlanmada ise
karbon atomları birbirleri ile piramit bir geometri oluşturur ve her atomda dört bağ
bulunur (elmas kristalinde olduğu gibi). Buradaki her bir farklı geometrik şekil farklı bir
malzeme anlamına gelir. Karbon elementi her üç bağlanma geometrisini gösterebilen tek
element olması bakımından istisnai bir özelliğe sahiptir.
Karbon tabanlı malzemelerin sp1 , sp 2 , sp 3 şeklinde bağ yapmaları, aynı zamanda bu
malzemelerin boyutu ile ilişkilendirilir. Karbon periyodik tabloda mevcut elementler
içerisinde 0 (sıfır) boyuttan 3 (üç) boyuta kadar izomerleri olabilen tek elementtir.
İzomer, aynı atom sayısında farklı şekillere sahip olabilen yapılardır.
1
Karbon atomlarının bal peteği şeklindeki iki boyutlu kristal yapısı olan grafen, karbon
atomlarının en ilginç allotropik formlarından biridir. Grafende, 2s , 2 p x ve 2 p y
orbitallerinin birleşmesiyle sp 2 ( katıda sigma bağı ) hibritleşmesi oluşur. Bu orbitaller
bir çizgi boyunca 120 derecelik açı ile yönlendirilir ve bu grafenin altıgen örgü yapısında
olmasının sebebini teşkil eder. Grafit ise, düzlemde karbon atomlarının üst üste
gelmesiyle oluşan, sp 2 şeklinde bağlanan, 3 (üç) boyutlu yapısal formudur. Bu yüzden
grafeni tanımlarken tek boyutlu grafit yapı dersek yanılmış olmayız. Ayrıca, karbon
nanotüpler, karbon atomlarının rulolanmış altıgen şeklindeki 1 (bir) boyutlu yapılarıdır.
Fullerenler ise, karbon atomlarının küresel olarak düzenlenmesinden meydana gelen,
sarmalanmış 0 (sıfır) boyutumsu grafen olarak düşünebilirler. Burada bahsettiğimiz
kimyasal bileşenleri aynı olan yapıların, atomların arasındaki bağlantı yapılarının farklı
olması, boyut kavramını doğurmaktadır. Diğer bir deyişle, sıfır boyuttan üç boyuta kadar
olan boyut yük taşıyıcıların boyutudur.
(a)
(b)
(c)
Şekil 1.1 Grafen tabanlı formlar
(a) fullenler 0 (sıfır) boyutumsudurlar. (b) karbonnanotüpler 1 ( bir ) boyutumsudur. (c) grafit ise 3 ( üç )
boyutumsu bir yapıdır. Üstte ise, bu şekillerin grafen üzerine düşürülmüş görünümleri yer almaktadır.
2
2. GRAFEN
Grafen, karbonun bal peteği şeklindeki altıgen örgülü iki boyutlu kristal yapısıdır.
Fiziksel açıdan alışılmamış elektronik uyarımlar sergilemesinden dolayı, bir atom
kalınlığındaki grafit, yani grafen, son beş yıldır üzerinde en çok çalışılan 2-boyutlu
yapıların başında gelmektedir. Grafen malzemesinin kullanım imkanları yanında,
elektronik özellikleri bir çok nedenden dolayı, hem teorik ve hem de deneysel yoğun
madde fizikçilerinin dikkatini çekmiştir.
Grafenin elektronik özellikleri, normal bir metalin uyduğu teoriye uymamasına rağmen
iyi bir metalik özellik gösterir. Grafen özel kimyasal bağ yapısından dolayı dış
safsızlıklara karşı daha az enerji kaybı ile cevap verdiğinden diğer yarı iletkenlere oranla
elektriksel iletkenliği oldukça kuvvetlidir. Grafen sıfır aralıklı bir yarı iletken olup, düşük
enerjili elektronik uyarımları Dirac fermiyonları aracılığıyla tanımlanır (Novikov, 2007).
Grafende bal peteği örgü yapısından dolayı, enerji-momentum ilişkisi de bir çok
malzemeden farklıdır. Göreli olmayan elektronların boşluktaki hareketi için enerji
momentum ilişkisi E= p 2 / 2m şeklinde verilir. Çok sayıda malzeme elektronlarla örgü
arasındaki etkileşimde ve elektronların kendi aralarındaki etkileşiminde bu enerji
momentum ilişkisine uyar. Ancak, bal peteği örgü yapısına sahip olan grafende enerji
momentum ilişkisi E= ± vF p şeklindedir. Burada, artı ve eksi işaret grafenin iki konisi
veya band yapısı olarak düşünülebilir. Bu ilişki nötrino gibi kütlesiz rölativistik
parçacıkların dağınım bağıntısı ile aynıdır. Yalnız, burada c ışık hızı yerine vF (ışık
hızının 300 de biri) Fermi hızı kullanılır (Novikov, 2007). Bu enerji-momentum
ilişkisindeki farklılık grafen elektronlarının farklı fiziğinden kaynaklanmaktadır. Normal
metaller ile grafen arasındaki ilk belirgin fark (Şekil 2.1), metalleri tanımlamak için
genellikle bir enerji bandı gerekmesine rağmen, grafende göreli sistem gibi iki bandı
vardır, biri parçacıklar diğeri ise deşiklerdir. Uyarılmamış grafende parçacık bandı boş,
deşik bandları ise tamamen doludur. Ayrıca, grafen sıradan yarı iletkenlerden de
farklıdır.
3
a. Normal Metal
b. Sıradan bir yarı-iletken
c. Grafen
d. Aralıklı Grafen
Şekil 2.1 Yük taşıyıcıların malzemedeki durumları (Geim, 2009 ve Neto, 2010)
(a) ve (b) Schrödinger fermiyonları. Yoğun madde fiziğinde yük taşıyıcıları Schrödinger denklemi
Hˆ = pˆ 2 / 2m * ) ile tanımlanır. Burada m * etkin kütlesi serbest elektronun kütlesinden farklıdır.
( p̂ momentum operatörüdür.) (c) Kütlesiz göreli Dirac fermiyonları. Yük taşıyıcıları grafen de kütlesiz
r
ˆ ) ile
dirac fermiyonları olarak adlandırılır ve Dirac denkleminin iki boyutlu (2D) analoğu ( Hˆ = vF σ . p
r
6
tanımlanır. Burada vF ≈ 1.10 m / s fermi hızıdır. Bal peteği örgüsünün iki alt örgüsü ise σ , 2 boyutlu
(
sanki spin matrisi ile tanımlanır. (d) Kütleli Dirac fermiyonları. İki tabakalı grafen kütleli Dirac denklemi
( Hˆ
r
= vF σ . pˆ + β mvF2 ) ile tanımlanır
Bir çok pratik uygulamalarda grafende boşluk olmadığından metal gibi çalışmaktadır.
Grafen alanında çalışmaların çoğu grafen band yapısında aralık oluşturma odaklıdır.
Band aralığı oluştuğunda enerji momentum ilişkisi E = vF2 p 2 + m 2vF4 şeklindedir.
4
2.1 Grafenin Örgü Yapısı
Grafen, grafitin tek atomik tabakasıdır. Grafende, altıgen örgü içindeki karbon atomları
sp 2 hibritleşmesiyle kovalent bağ yaparak bağlanır. Karbon atomunun dört valans
elektronundan üçü, en yakın komşulukları ile her biri üç σ (sigma) bağı yapar. Kovalent
σ (sigma) bağları, bağlı atomlar arasında güçlü bağlar oluştururlar ve örgü yapı içindeki
karbonun tüm allotroplarının dayanıklılığından sorumludur. Her karbon atomu
Enerji (eV)
üzerindeki, yarı dolu p orbitali ise, grafen düzlemine diktir.
Şekil 2.2 İki boyutlu grafit, yani grafenin σ ve π bandları için enerji dağınımı
(Berashevich ve Chakraborty, 2010)
Bağlanma ve anti-bağlanma π bağlarına karşılık gelen bandlar Fermi seviyesi yakınında
yerelleşirler. EF Fermi enerjisi (sıfır noktası boyunca) dir
Band diyagramında π bandları, π ve π * bandları olarak ikiye ayrılır. Alttaki band
valans bandı, π bandına karşılık gelirken, üstteki band ise iletim bandı π * bandına
karşılık gelmektedir. Grafende π bandlarının konik yapısı K noktasındaki dağınım
5
bağıntısının şeklinden kaynaklanır ki, burada kütlesiz elektronlar ve deşikler K noktası
civarında lineer dağınım bağıntısı gösterirler.
Grafen tabanlı elektronik aygıtların gelecek vaat etmesi, grafen yük taşıyıcılarının
yüksek mobilitesi, yüksek termal iletkenlik ve mekaniksel dayanıklılık gibi bir çok ilgi
çekici özelliğine dayanır.
•
A örgü atomları
o
B örgü atomları
Şekil 2.3.a. Grafenin örgü yapısı, b. Grafenin birinci Brillouin bölgesi
(Pereira, 2008)
a1 ve a 2 iki boyutlu grafenin reel uzayda birim örgü vektörleridir. δ1 , δ 2 ve δ3 birim öteleme
vektörleri ve σ ’lar ise grafenin en yakın komşulukları ile yaptıkları bağı olup, b1 ve b 2 ise
momentum uzayında ters örgü vektörleri, Γ , M , K , K ′ birinci Brillouin bölgesinin en yüksek
simetri noktalarıdır
Burada, Şekil 2.3.a’da grafenin örgü yapısı ve Şekil2.3.b’de Brillouin bölgesi
verilmektedir. a1 ve a 2 vektörleri reel uzayda birim örgü vektörleri olup,
a1 =
a
( 3,1)
2
a2 =
a
( 3, −1)
2
(2.1)
ile tanımlanırlar.
6
Böylelikle, birim öteleme vektörleri, i=1, 2 ve 3 değerlerini almak üzere,
δ1 = (
a
,0)
3
δ2 = (
−a a
, )
2 3 2
δ3 = (
−a −a
, )
2 3 2
(2.2)
ile ifade edilebilirler. Burada a örgü sabiti olup, 0.246nm (Neto, 2008) değerini alır. a
birim örgü vektörleri ile b ters örgü vektörleri arasındaki bağıntısı ise,
ai .b j = 2π δij
(2.3)
şeklindedir. Bu koşuldan ters örgü vektörlerini,
b1 = (
2π 1
)( ,1)
a
3
(2.4)
2π 1
b 2 = ( )( , −1)
a
3
olarak bulabiliriz.
7
3. GRAFENDE SAFSIZLIK PROBLEMİ
Bölüm 1’de de belirtildiği gibi, karbonun bal peteği şeklindeki 2-boyutlu kristal yapısı
olan grafende Fermi noktaları civarındaki düşük enerjili uyarımları kütlesiz Dirac
denklemi ile tanımlanırlar ( Neto vd, 2008). Safsızlıktan dolayı grafende bal peteği örgü
simetrisi bozulacak olursa, grafende aralık (gap) meydana gelir ve aralıklı grafende
düşük enerjili uyarımlar ise, kütleli Dirac denklemi ile tanımlanırlar. Ayrıca, aralıklı
grafende yüklü safsızlık etkileri uzun menzilli Coulomb etkileşiminden kaynaklanır
(Novikov, 2007). Grafende yüklü uzun menzilli Coulomb safsızlıkları alt kritik bölge ve
üst kritik bölge olmak üzere iki ayrı bölgede incelenebilir. Ancak, bu çalışmada, kütleli
Dirac denklemi spektrumunda, bağlı durum enerji dağılımları ile ilgilendiğimizden, alt
kritik bölgedeki enerji dağılımları üzerinde durulacaktır.
Aralıklı grafende Coulomb safsızlık problemi, göreli hidrojen atomu problemidir. Bu
durumda Coulomb problemine sonlu kütle getirdiğimizde bağlı durum çözümleri iki
boyutta (2D) göreli hidrojen tipi ince yapı spektrumuna döner. Ancak, göreli etkiler söz
konusu olduğunda, göreli etkiler elektronun kararlılığını azaltır ve elektronun yörüngesi
spiral olup, nihayetinde çekirdeğe düşebilir. Ancak problemin kuantum mekaniksel
çözümlerini bulmadan önce klasik göreli hidrojen atomu problemi olarak da bilinen
klasik göreli Kepler problemini inceleyerek başlayalım.
3.1 Göreli Kepler Problemi
Bu kesimde göreli Kepler problemi klasik olarak ele alınacaktır.
3.1.1
Mekaniksel karşılaştırma
Öncelikle, V (r ) = − Ze2 / r potansiyelindeki parçacığın göreli ve göreli olmayan
davranışını karşılaştıralım. Bir parçacığın Coulomb potansiyelinde olabilmesi için
F = −∇V (r ) = −rˆZe 2 / r 2
(3.1)
8
kuvveti etkisinde hareket etmesi gereklidir. Eğer göreli olmayan mv momentumundaki
parçacıklar için, Newton’nun ikinci yasası kullanılırsa,
d
Ze 2
(mv ) = − 2 rˆ
dt
r
(3.2)
şeklindeki bağıntı elde edilir.
Göreli parçacıklar için ise, momentum ifadesi mv / 1 − v 2 / c 2 olduğundan, (3.2)
denklemi,
d
mv

dt  1 − v 2 / c 2

Ze 2
rˆ
=
−

r2

(3.3)
şeklini alır.
Eğer (3.2) ve (3.3) denklemlerinin v hızı üzerinden nokta çarpımlarını alınıp, zamana
göre integrali alınacak olursa, sırasıyla
1
2
ε = mv 2 −
Ze2
r
(3.4)
göreli olmayan enerjisi ve
E = ε + mc 2 =
mc 2
1 − v2 / c2
−
Ze 2
r
(3.5)
göreli enerjisi elde edilir. Ayrıca, 1/ r potansiyeli merkezcil kuvveti verdiğinden, L
açısal momentumu korunur ve göreli olmayan durumda bu açısal momentum,
L g . o = r × ( mv )
(3.6)
9
şeklinde yazılırken, göreli durumda,

m
L = r×
2
2
 1− v / c

v

(3.7)
şeklinde verilir.
3.1.2 Göreli açısal momentumun çembersel yörünge limitinde incelenmesi
Çembersel harekette potansiyel merkezinden, parçacığın yer değiştirme vektörü r , hız
vektörüne diktir, dolayısı ile açısal momentum da yörünge düzlemine diktir. Göreli
olmayan durumda açısal momentumun büyüklüğü, Lg .o = mrv şeklinde ifade edilirken,
göreli durumda ise,
mrv
L=
(3.8)
1 − v2 / c2
şeklinde verilir. Göreli olmayan durumda çembersel hareket için şart, mv 2 / r = Ze 2 / r 2
ifadesi ile verilirken, bu göreli durumda,
v 2 Ze 2
= 2
r
1 − v2 / c2 r
m
(3.9)
bağıntısı ile verilir. Eğer, r ve v göreli olmayan açısal momentum cinsinden ifade
edilecek olursa,
v=
Ze 2
,
Lg .o.
r=
L2g .o.
(3.10)
mZe2
10
(3.10) bağıntıları ile verilir. Göreli olmayan mekanikte, v ve r sıfırdan sonsuza kadar
her değeri alabileceğinden, Lg .o. açısal momentumunun her değeri için parçacığın hareketi
çembersel olabilir.
Benzer şekilde, göreli durumda v ve r değerleri açısal momentum cinsinden ifade
edilecek olursa,
v=
Ze 2
L
L2   Ze 2 
r=
1 − 

ma   Lc 

(3.11a)
2 1/ 2



(3.11b)
olarak verilir. Ancak, bu durumda, yani, göreli durumda, hızın en üst limiti
v = c olacağından, çembersel harekette (3.11) bağıntılarından da anlaşılacağı üzere
parçacığın açısal momentumunun büyüklüğünün, L ≥
Ze2
şeklinde bir alt limit değeri
c
vardır. Böylece, V (r ) = − Ze2 / r potansiyelinde çembersel yörünge için göreli ve göreli
olmayan mekanik arasında nitel bir fark vardır ve L = Ze 2 / c değeri göreli durumda
açısal momentum değerini sınırlar. Tersine, göreli olmayan mekanikte için sınırlayıcı bir
hız değeri olmadığından, çembersel yörünge için açısal momentumun bir alt limit değeri
de yoktur.
1/ r potansiyelleri için L açısal momentum limitinin gerçek değeri Ze 2 nin büyüklüğüne
bağlıdır. Z atom numaralı çekirdeğin etkisindeki bir e yüklü elektron için bu açısal
momentumun limit değeri L = Z (e 2 / hc)h şeklinde yazılabilir. Böylece, Z = 1 için
Coulomb potansiyelindeki bir elektron için açısal momentumun limit değeri
L = (e 2 / hc)h ≈ (1/137)h şeklinde verilebilir.
11
3.1.3
Yörüngelerin sınıflandırılması
V (r ) = − Ze2 / r potansiyelinde yörüngelerin sınıflandırılmasında bazı göreli yörüngeler,
göreli olmayan mekanikte bulunan yörüngelerden nitel farklılıklar gösterir. Bu
sınıflandırma klasik mekaniksel sınıflandırmadan yararlanılarak yapılabilir. Hareketi
ˆ olarak alınır ve daha sonra, verilen
&Θ
düzleme sınırlayarak hız vektörü v = r&rˆ + rΘ
hız
& bağımlılığı L açısal momentumdan yararlanılarak kaldırılıp, enerji ifadesi,
ifadesinde Θ
zamanın fonksiyonu olarak radyal r değişkeninin birinci dereceden diferansiyel denklemi
cinsinden yazılabilir.
Böylelikle, kutupsal koordinatlarda göreli açısal momentum ifadesi,
L=
&
mr 2Θ
& 2 ) / c2
1 − (r& 2 + r 2 Θ
(3.12)
& çekilir ve (3.5) denkleminde yerine yazılacak
şeklinde bulunabilir. (3.12) ifadesinden Θ
olursa,
E=
mc 2
1 − (r& 2 / c 2 ) − L2 (1 − r& 2 / c 2 ) /(m 2 r 2c 2 + L2 )
−
Ze2
r
(3.13)
göreli enerji ifadesi elde edilir. Aynı şekilde, (3.13) denkleminden bu sefer r& 2 çekilirse,
2
 
 
L2 
mc 2
r& = c 1 − 1 + 2 2 2 
 
2
  m r c  E + ( Ze / r )  
2
2
(3.14)
denklemi elde edilir. Açısal momentumun alt limit değeri ile ilişkilendirilmiş enerji
ifadesinde, yörüngelerin değerlendirmelerini yapmak için bazı kısıtlamaları kullanmak
12
yarar sağlar. Göreli parçacığın hızı c ışık hızından küçük olduğundan (3.12) ve (3.13)
denklemlerinden
r
Ze2 
<
= E +
L=

r 
1 − v2 / c2
1 − v2 / c2 c 
&
mr 2Θ
rmc
(3.15)
sonucuna ulaşılabilir. Buradan da,
L−
Ze 2 Er
<
c
c
(3.16)
olduğu kolayca görülebilir. Pozitif r değerleri için açısal momentumun limit değeri
L ≥ Ze 2 / c şeklinde olduğundan, enerji ifadesinin E = ε + mc 2 > 0 limitinde olduğu
görülür. Göreli yörüngelerin değerlendirilmesinde (3.15) fonksiyonunun sağ tarafından
yararlanabiliriz. (3.15) fonksiyonunun 0 ≤ r& 2 < c 2 koşulunu sağlaması gerekliliğinden bu
koşul,
− L2c 2 < 0 ≤ ( E 2 − m 2c 4 )r 2 + 2 Eα r + (α 2 − L2c 2 )
(3.17)
şeklinde ifade edilebilir. (3.17) denkleminin ikinci eşitsizliğindeki α terim, Ze 2 yi temsil
eder. Ayrıca, (3.17) denkleminin ilk eşitsizliğinde bütün değerler reel olduğundan
yörüngelerin değerlendirilmesinde önem arz etmez iken, ancak, ikinci eşitsizlik
[ ( E 2 − m 2c 4 )r 2 + 2 Eα r + (α 2 − L2c 2 ) ] r ye göre parabolik fonksiyon olarak davranır.
Pozitif r bölgesinde izinli yörüngeler için ikinci eşitsizliğin sıfırdan büyük olduğu
koşulu sağlanacağından, ikinci eşitsizliğin sıfıra eşitlendiği durumda elde edilen dönüm
noktaları,
rD. N . =
Eα ± E 2α 2 + (m 2c 4 − E 2 )(α 2 − L2c 2 )
m 2c 4 − E 2
13
(3.18)
olarak bulunur. Burada D.N. alt indisi dönüm noktalarını tanımlamaktadır. Göreli
olmayan limitte c → ∞ ile E − mc 2 = ε → ε g .o. şartları sağlanabileceğinden, (3.17)
eşitsizliği,
− L2g .o. / m < 0 ≤ ε g .o.r 2 + α r − L2g .o. / 2m
(3.19)
şeklini alır. (3.19) denkleminde Lg .o. her gerçel değeri sağlarken, ikinci eşitsizlik kısmı
ise, pozitif r değerleri için, sıfırdan büyük olduğu bölgede r ye göre parabolik
fonksiyon olarak davranır. İkinci eşitsizliğin sıfıra eşitlendiği durumda elde edilebilen
dönüm noktaları ise,
2L ε
− Ze2 
1 ± 1 + g .o. 2g .o.
rD. N . =
2ε g .o. 
mα

2




(3.20)
şeklinde elde edilir. Göreli çembersel yörüngelerde, dönüm noktalarının iç ve dış r
yarıçapı aynı olacağından (3.18) denkleminde kareköklü ifadenin içi sıfır olur. Ayrıca,
bir sonraki bölümde yörünge denklemi elde edilirken de görülebileceği gibi (3.18)
denklemindeki kareköklü ifade, e değerine yani, yörüngenin şeklini belirleyen ifadeye
karşılık gelmektedir. (3.18) denkleminde kareköklü ifadenin içinin sıfır olması çembersel
yörünge için E enerjisi ile L açısal momentumu arasında,
E = mc
2
 Ze 2 
1− 

 Lc 
2
(3.21)
ilişkisini verir. Ayrıca, eğer denklem (3.21) bağıntısı, (3.18) denkleminde yerleştirilirse,
göreli olan (3.11b) ifadesinin aynına ulaşılabilir. Dahası, (3.21) ifadesi göreli olmayan
limitte alınırsa,
14
2
ε = E − mc = mc
2
2
 Ze 2 
2
1− 
 − mc
 Lc 
(3.22)
çembersel yörüngenin göreli olmayan enerji ifadesine ulaşılır. Aynı zamanda, çembersel
yörüngenin göreli olmayan ifadesi ε ≅ − m( Ze 2 ) 2 2 L2g .o. = ε g .o. şeklinde de yazılabilir.
Denklem (3.21)’de çembersel yörünge için E ≥ 0 limiti sağlanır ve bu sonuç (3.16) ile
verilen sonuç ile uyum gösterir. Oysa, göreli olmayan yaklaşımda (3.22) denkleminden
de görüldüğü gibi enerjinin bir alt limit değeri yoktur. ε ≅ − m( Ze 2 ) 2 2 L2g .o. = ε g .o.
ifadesinde göreli olmayan Lg .o. açısal momentum değeri sıfıra giderken, ε g .o. enerji ifadesi
−∞ (eksi sonsuz) a gider. Göreli olmayan (3.20) denkleminde dönüm noktalarının genel
karakteri ε g .o. parametresinin işareti ile kontrol edilir ve Lg .o. = 0 durumu tek özel
durumdur.
Buna karşılık göreli durumda dönüm noktalarının karakteri denklem (3.18)’deki
Eα /(m 2 c 4 − E 2 ) ve (α 2 − L2c 2 ) ifadelerin ikisininde işaretine bağlıdır. Ayrıca, ikinci
terimdeki işaret değişimi, L açısal momentumun büyüklüğüne bağlıdır. L > Ze 2 / c
olduğu durumda dolayısıyla, (α 2 − L2c 2 ) < 0 olur ve dönüm noktaları analizi niteliksel
olarak göreli ve göreli olmayan durumda aynıdır. Buna karşılık, L ≤ Ze 2 / c olduğunda,
(α 2 − L2c 2 ) değeri pozitif olur. Bu noktada, dönüm noktaları analizinde göreli olmayan
durum söz konusu olduğundan, L > Ze 2 / c durumunda olduğu gibi göreli ve göreli
olmayan durumda dönüm noktaları analizi aynıdır, diyemeyiz. Bir sonraki alt bölümde,
göreli durumda yeni yörünge denklemi elde edilirken, bu kesimde tartışılanlar daha fazla
açıklık kazanacaktır.
3.1.4 Yörünge denklemi
Kutupsal koordinatlarda
Ze 2
alanında hareket eden, m kütleli ve e yüklü bir parçacığın
r
hamiltoniyeni,
15
Ze 2
pΘ2 Ze2
2
2
H = m +p −
= m + pr +
−
εr
r
εr
2
2
(3.23)
şeklinde yazılabilir.
Bu durumda, kutupsal koordinatlardaki hareket denklemleri ise,
•
r=
•
v=
∂H
=
∂pr
∂H
=
∂pr
•
pr = −
•
pΘ =−
pr
( 3.24)
p2
m + p + Θ2
r
2
2
r
pΘ
r2
(3.25)
p2
m 2 + pr2 + Θ2
r
∂H
∂r
(3.26)
∂H
=0
∂Θ
(3.27)
şeklinde elde edilir. Burada, (3.27) denkleminden açısal momentumun hız bileşeninin
korunduğunu, pΘ = L = sabit olduğunu kolayca söyleyebiliriz.
Yörünge denklemini elde edebilmek için, (3.24) ve (3.25) denklemleri
dr
dU r 2 pr
= −r 2
=
dv
dv
Lc
(3.28)
16
şeklinde yazıldıktan sonra,
dv =
dU
 ( Ze )
 2 2ε EZe 2U E 2 − m2c 4
−
1
 L2c 2
 U + L2c 2 + L2c 2


(3.29)
2 2
biçimine sokulur. Böylelikle, U = Ze2 / r şeklinde tanımlandığından integral alarak ve
uygun değişken değiştirmeleriyle yörüngeyi (3.30) şeklinde elde edebiliriz.
(
)(

E 2 − m2c 4 L2c 2 − ( Ze2 ) 2
ε EZe 2 
1
U= = 2 2
1+ 1+
r L c − Ze 2 
E 2 ( Ze 2 )2

)  cos
( Ze 2 ) 2
1 − 2 2 (θ − θ 0 )
Lc


Eğer, (3.31) tanımlamalarını kullanırsak ve yapılan bu yeni tanımlamalarla
(3.30)
(3.30)
denklemi düzenlenirse,
(
)(
E 2 − m 2c 4 ( Lc)2 − ( Ze2 ) 2
( Ze2 ) 2
C= 2 2
, β = 1 − 2 2 ve e = 1 +
Lc
E 2 ( Ze 2 )2
L c − ( Ze 2 ) 2
ε EZe2
)
(3.31)
(3.32) şeklindeki yörünge denklemi elde edilir.
1
= C [1 + e cos β (v − v0 ) ]
r
(3.32)
Ancak, bu denklemi de pratik yararlar açısından,
2
 Ze 2 
C=
=
−
C
,
β
=

 − 1 = i β , cos i β = chβ
( Ze 2 ) 2 − L2c 2
 Lc 
ε EZe2
biçiminde tanımlanan yeni parametreler ile denklem (3.32)’ye benzer olarak,
17
(3.33)
1
= C  −1 + e c h β (v − v0 ) 
r
(3.34)
şeklinde yazabiliriz. (3.32) ve (3.34) yörünge bağıntıları benzer yapıda kanonik
denklemlerdir. Ancak, bağlı durumlar, saçılma durumları, göreli yörünge veya göreli
olmayan yörünge değerlendirmelerimizde, tanımlamalarımıza uygun olan yörünge
bağıntısı üzerinden gitmek, açıklamalarımıza kolaylık getirecektir.
Şekil 3.1 Bağlı yörünge (Boyer, 2004)
E < mc 2 enerjisinin olduğu bağlı yörüngelere, L ≤ α / c açısal momentum sınırlaması
getirildiğinde yörünge potansiyel merkezine kadar spiral olarak devam eder.
(3.32) ve (3.34) denklemleriyle belirtilen yörüngeler bağlı ve bağlı olmayan göreli
yörüngeler olarak farklı açısal momentum limitlerinde değerlendirilebilirler. Bağlı
olmayan
durumlar
diğer
bir
deyişle
saçılma
durumlarında
enerji
ifadesi
E ≥ mc 2 koşulunu sağlar. Saçılma durumlarında açısal momentumun L > Ze 2 / c limit
değeri için yörüngeler göreli olmayan limitteki hiperbolik veya parabolik yörüngelere
benzer. Bu tez çalışmasında, bağlı durum yörünge çözümleri ile ilgilenildiğinden dolayı,
(3.32) ve (3.34) denklemleri ile belirtilen yörüngeler göreli bağlı durum çerçevesinde,
18
çekici potansiyel ( ε = 1 ) durumu için değerlendirilecek olursa, bağlı yörüngelerde toplam
E enerjisi E < mc 2 koşulunu sağlamalıdır.
E < mc 2 bağlı durum koşulunda, (3.32) ve (3.34) yörüngelerini ele alalım. Denklemlerde
C ve C olarak tanımladığımız ifadeler yörüngelerin büyüklüğünü belirtirken,
yörüngenin dış merkezliği ( eksantrisite ) olarak adlandırılan, e ile tanımladığımız ifade
ise yörüngenin şeklini belirtir. Burada dikkat çeken bir nokta ise yörüngenin şeklini
tanımlayan e ile (3.18)’de dönüm noktası olarak elde edilen ifadenin kareköklü kısmı
aynıdır. (3.1.3)’ün son kısmında değerlendirmelerimizi yaparken kareköklü ifade
oranında mukayese yapılmıştır.
Bağlı durum koşulunda, yörüngenin şeklini belirleyen dış merkezlik, e > 1 olduğunda ve
açısal momentumun Ze 2 / c < L limit değerinde yörünge (3.32) denklemi ile aynıdır.
(3.32) denklemi göreli olmayan yörüngedir. Bu durumda göreli yörünge, göreli olmayan
limitte aşina olduğumuz eliptik yörüngelere benzedi. Ayrıca, Lg .o. = 0 olmadıkça bütün
bağlı yörüngeler eliptikdir. Bu durumda, dönüm noktası analizi yapılırsa, iki tane dönüm
noktasına sahip olduğu görülür. Yine, bağlı durum koşulunda, ancak yörüngenin şeklini
belirleyen ifadenin e < 1 olduğu durumda ve açısal momentumun Ze 2 / c ≥ L limit
değerinde çözüm göreli yörüngeyi verir ve (3.34) denklemine benzer. Bu yörünge spiral
şeklindedir, maksimum rmaks . = [1/ C (−1 + e)] değerini alır ve nihayetinde uzun menzilli
Ze 2 / r ( Coulomb potansiyeli ) etkisinde, potansiyel merkezine düşer.
19
4. GRAFENDE SERBEST ELEKTRON
Grafen, birinci Brillouin bölgesinin K ve K ′ simetri noktalarında metalik özellik
gösteren, diğer kısımlarda ise yasak bant aralığına sahip bir materyaldir. Yani, normal
metalin bant aralıklarına ve enerji aralıklarına sahip değildir. Ayrıca, grafende yük
taşıyıcıları (elektronlar ve/veya deşikler ), Brillouin bölgesinde, K ve K ′ Dirac noktaları
civarında lineer dağınım bağıntısına uyarlar. Böylece, grafende elektronlar kütlesiz göreli
parçacıklar gibi davranır. Sonuç olarak, grafen, ışık hızından daha düşük bir hızda,
vF (= c / 300) Fermi hızında göreli etkileri gözleme imkanı sağlar. Grafeni benzersiz kılan
tüm bu özellikler göz önüne alındığında, grafenin normal metalin uyduğu serbest
elektron teorisine uymadığı anlaşılmaktadır. Çalışmanın bu kısmında, grafende serbest
elektronun göreli etkilerini, aralıklı grafende serbest elektron ve aralıksız grafende
serbest elektron olmak üzere iki durumda inceleyeceğiz. Grafende bu iki durum farklı
enerji dağınım yapılarına sahiptir.
4.1 Aralıksız Grafende Serbest Elektron
Brillouin bölgesinin K ve K ′ noktaları civarında grafen elektronu lineer dağınım
bağıntısına sahip olduğundan dolayı, bu noktada grafenin düşük enerjili uyarımlarını
açıklamak için sıkı-bağ yaklaşımından ziyade, bunun iki boyutlu sürekli analoğu olan
Dirac-Weyl denklemi kullanılır. Bu denklemin çözümleri spinordan ziyade, bir pseudospin çözümleridir. Dirac noktaları civarında, aralıksız grafende serbest elektron
hamiltoniyeni,
H 0 = −ihv F (σ 1∂ x + σ 2 ∂ y )
(4.1)
ile verilir. (4.1) denklemindeki vF ≈ 106 m / s grafende Fermi hızı ve σ ’ lar ise, iki
boyutlu Pauli pseudospin matrisi olarak tanımlanırlar.
H = t ∑ (ai†b j + H .c)
(4.2)
i, j
20
(4.1) bağıntısına, (4.2) denklemindeki, serbest elektronun sıkı-bağ hamiltoniyeninin
sürekli analoğu olarak bakılabilir (Zhu vd, 2009). Yani, (4.1) denklemi sıkı-bağ
hamiltoniyeninin düşük enerjili uyarımları olarak düşünülebilir. (4.2) hamiltoniyeninde, t
en yakın komşu atomlar arasındaki hoplama enerjisi olup, hoplama parametresi ( t )
grafen de 1. yakın komşuluklar arasında yaklaşık 2.7 eV, 2. yakın komşuluklar arasında
ise yaklaşık 0.1 eV civarında değer alır (Zhu vd, 2009). a † ( a ) ve b† ( b ) operatörleri
sırası ile A ve B alt örgüleri üzerindeki elektronların yaratılmasını (yok edilmesini)
tanımlarlar. Çalışmamızda, grafenin K ve K ′ noktaları ile ilgilendiğimizden, aralıksız
grafende enerji spekrumu (4.1) denkleminin çözümüyle,
E± ( p ) = ± vF px2 + p 2y = ±vF p
(4.3)
şeklinde bulunabilir (Novikov, 2007). (4.3) denklemindeki (+)’lı enerji çözümleri
elektron çözümlerine, (-)’li enerji çözümleri ise deşik çözümlerine karşılık gelir. E+ ( p )
ve E− ( p ) çözümleri sırasıyla enerji bandında, π bağlanma ve π ∗ anti-bağlanmaya
karşılık gelir. Bu durum yüksek enerji fiziğinde, konik band yapısında, (+)’lı çözüm
bandın üstündeki çözüm, parçacık çözümleri, (-)’li çözüm ise bandın altındaki çözüm,
anti-parçacık çözümleri olarak yorumlanır.
Kuantum elektrodinamiğinde yüklü parçacıklar arasındaki etkileşme, ince yapı sabitiyle
tanımlanır (Neto, 2006). İnce yapı sabiti, α = e2 / hc ile tanımlanırken, artık grafende bu
“ince yapı sabiti”,
α=
e2
hv F
(4.4)
değerini alır. (4.4) bağıntısı ile verilen grafendeki ince yapı sabiti ifadesinde h ; h
planck sabitinin 2π ile bölümü, vF (3ta / 2) ise daha önce bahsi geçen, Fermi hızıdır.
ο
Fermi hızı içinde ki a ise iki karbon atomu arasındaki örgü mesafesi olup 1.42 A
değerindedir.
21
Yüksek enerji fiziğinde kütlesiz Dirac fermiyonları, nötrino fiziği aracılığıyla çoktandır
iyi bilinen bir kavramdır. Ancak, nötrinolar elektrik yükü taşımaz ve dolayısıyla herhangi
bir madde ile güçlü bir etkileşimde bulunmazlar. Grafende ise Dirac fermiyonları,
elektrik yükü birimi taşır ve dolayısıyla elektromanyetik alan ile etkileşirler. Böylece,
grafen bize, yüksek parçacık hızlandırıcıları olmadan malzemedeki göreli (relativistik)
temel etkileşimleri kuantum alan teorisiyle tanımlama imkanı da verir (Neto, 2006).
4.2 Aralıklı Grafende Serbest Elektron
Aralıksız (gapsiz) grafende, kütlesiz Dirac fermiyonlarının kiral simetrisi kırılır ve
böylece grafenin elektronik spektrumunda aralık oluşur. Bu aralıkta elektronların
hareketi iki boyutlu kütleli göreli Dirac fermiyonları ile betimlenir. Böylece, Grafen
Brillouin bölgesinde iki eşit olmayan noktaya sahip olup, K ve K ′ Dirac noktaları
civarındaki serbest etkin kütle hamiltoniyeni,
H = −hvF σ.p + βmvF2
(4.5)
bağıntısı ile verilir. Serbest etkin kütle hamiltoniyeni (4.5) bağıntısındaki gibi sürekli
model yerine sıkı-bağ hamiltoniyeni formundaki ifadesi ile,
H = t ∑ (ai†b j + H .c) + M ∑ (ai†ai − bi†bi )
i, j
(4.6)
i
şeklinde verilir. Buradaki ilk terim en yakın komşu atomlar arasındaki hoplamayı
tanımlarken, ikinci terim (kütle terimi) ise, A ve B alt örgüleri arasındaki enerji
farklılığından doğmaktadır. M parametresi ise Dirac fermiyonlarının kütlesi olarak
öngörülebilir. Alt-örgü simetrisinin kırılmasından doğan kütle terimi band spektrumunda
2M boyutunda bir aralığa sebep olmaktadır (Zhu, 2009). Bu çalışmada
M terimi
deneysel çalısmalardan yararlanılarak 0.05t ile 0.10t aralığında seçilecektir. H 0ψ = Εψ
özdeğer denklemi, ψ † (r ) = (ϕ ∗, χ ∗) şeklindeki iki bileşenli spinor dalga fonksiyonu için,
4.5 denklemleri kullanılarak,
22
 M +U

 px + ip y
px − ip y   ϕ 
ϕ 
  = E  
−M + U   χ 
χ
(4.9)
şeklini alır. (4.9) ifadesi,
Eϕ = M ϕ + ( px − ip y ) χ
E χ = ( px + ip y )ϕ + M χ
(4.10)
şeklinde bir çift bağlaşımlı denkleme yol açar. Böylece, aralıklı grafende göreli enerji
dağınım bağıntısı,
E± ( p, M ) = ± M 2vF4 + vF2 p 2
(4.11)
şeklinde elde edilir. Buradaki momentum bileşenleri p =
px2 + p y2 şeklindedir.
Ayrıca, buradaki ± işareti yine kütlesiz durumda olduğu gibi, parçacık ve deşik
sektörlerini birbirinden ayırmaya yarar. (+) artılı enerji ifadesi elektronların enerjisini
gösterirken, (-) eksili ifade ise deşiklerin enerji ifadesini göstermektedir.
23
5. DIŞ POTANSİYEL ALTINDA ARALIKLI GRAFEN
5.1 Aralıklı Grafende Coulomb Safsızlık Problemi
Coulomb safsızlıkları elektronik spektrumda önemli değişiklere yol açar (Pereira, 2007).
Bu yüzden, bu kısımda Coulomb safsızlığı varlığında aralıklı grafenin elektronik
spektrumunu incelenecektir. Aralıklı grafende uzun menzilli Coulomb safsızlıklarına
neden olan grafen örgüde C (karbon) atomu yerine oturmuş yabancı atomun örgüde diğer
C (karbon) atomları ile bağ yapmasıdır. Ayrıca, şekil 5.1’de görüldüğü gibi yabancı atom
hopping enerjisinide değiştirir.
Safsızlık atomu
Şekil 5.1 Karbon atomlarının örgü simetrisinin kırılması
(Pereira, 2007)
Karbon atomlarıyla oluşturulmuş bal peteği örgü yapısında A atomu etrafındaki hoplama parametresinin
enerjisi t dir. Alt duruma karbon atomu yerine yabancı bir atom gelmesiyle oluşan bal peteği örgü
yapısında A atomu etrafındaki hoplama parametresinin enerjisi
safsızlığı temsil eder.
24
t den t − t0 a değişir. Bu değişim
Eksensel simetrinin kırıldığı durumda, dış skaler potansiyel altında ( U(r) altında )
hamiltoniyen,
H = −ihvF (σ 1∂ x + σ 2∂ y ) + M σ 3 + U (r )
(5.1)
şeklinde ifade edilir. Hamiltoniyende σ 1 , σ 2 , σ 3 pauli spin matrislerini, M ise Dirac
kütlesini temsil eder. Burada M kütle terimi fiziksel olarak alt örgü simetrisinin
kırılmasından doğmuştur. (5.1) denklemiyle verilen hamiltoniyenin açık ifadesi ise,
 M
H =
 px + ip y
px − ip y 
1 0  M +U
 + U (r ) 
=
M 
 0 1   px + ip y
px − ip y 

−M + U 
(5.2)
şeklini alır.
E Ψ = H Ψ özdeğer denklemi ψ † (r ) = (ϕ ∗, χ ∗) iki bileşenli spinor dalga fonksiyonu
için,
ϕ   M + U
E  =
 χ   px + ip y
px − ip y   ϕ 

− M + U   χ 
(5.3)
şeklini alır. (5.3) denklemi ise,
( E − M − U )ϕ = ( p x − ip y ) χ
(5.4a)
( E + M − U ) χ = ( px + ip y )ϕ
(5.4b)
şeklindeki bağlaşımlı denklemlere yol açar.
(5.4) denklemleriyle verilen ifade de ( px , p y ) = (−i∂ x , −i∂ y ) şeklindeki diferansiyel
operatörlerdir.
25
Dirac teorisinde, yani, göreli durumda, L yörüngesel açısal momentum veya S spin,
Dirac parçacıklarının hamiltoniyeni, H, ile sıra
değişmezler. Yani, [L z , H ] = iσ × p ,
[ 12 σ z , H ] = −iσ × p . Ancak, L ⋅ S spin-orbit etkileşiminde, Dirac parçacıklarının
hamiltoniyeni, H, ile J , toplam açısal momentum, eş zamanlı ortak öz fonksiyonlara
sahiptirler, sıra değişiler, [J , H ] = 0 . Böylece, J
toplam açısal momentum, Dirac
teorisinde küresel simetrik potansiyeller için bir hareket sabitidir ve bu yüzden J , toplam
açısal momentum göreli durumda iyi kuantum sayısı olarak nitelenir (Greiner, 2000).
İşte, bu özellik bize iki boyutta düzlem kutupsal koordinatlarda çalışma olanağı sağlar.
h
J z = Lz + Sz = Lz1 + σz
2
(5.5)
z-ekseni etrafındaki toplam açısal momentum korunuyorsa, toplam açısal momentumu
(5.5) denkleminde olduğu gibi ifade ederiz.
J z Ψ = mhΨ
(5.6)
Bu durum da, Dirac parçacıklarının hamiltoniyeni, denklem (5.6) ile ifade edildiği gibi,
J z , toplam açısal momentumun özdeğerleri cinsinden tarif edilecektir. Ayrıca, açısal
momentum özfonksiyonlarının küresel spinorlar olduğunu da önceden biliyoruz (Greiner,
2000). Bu yüzden küresel spinor bileşenleri, J z nin özdeğerleridir.
ϕ 
Ψ (r ) =   küresel spinordur, ve Ψ tam dalga fonksiyonu ile karışıklığa yol açmamak
χ
için, spinor bileşenleri, ϕ ve χ şeklinde tanımlandı. ϕ ve χ sırasıyla, ϕ = Fm (r )φm (Θ)
ve χ = iGm (r )φm+1 şeklinde tanımlanırsa, küresel spinorlar için,
 Fm (r )φm (Θ) 
Ψ m (r ) = 

 iGm (r )φm+1 (Θ) 
(5.7)
26
biçimini alır. Bu noktadan sonra F = Fm ve G = Gm yi kastederek alt indis profilleri
kullanılmayacaktır. Φ m+1 = eiθ Φ m ve px ± ip y = e± iθ (−i∂ r ± 1r ∂θ ) eşitlikleri
kullanılarak,
F ve G radyal fonksiyonları için, (5.8) ifadeleri ile verilen diferansiyel denklemler elde
edilir.
dG m + 1
G (r ) − ( E − M − U ) F (r ) = 0
+
dr
r
(5.8a)
dF m
− F (r ) − ( E + M − U )G (r ) = 0
dr r
(5.8b)
Böylece, (5.8) denklemleri j=m+1/2 öz değeri kullanılarak (5.9) şeklinde daha simetrik
formda elde edilebilir.
d
j
(G r ) + G r − ( E − M − U ) F r = 0
dr
r
(5.9a)
d
j
( F r ) − F r + ( E + M − U )G r = 0
dr
r
(5.9b)
Eksensel simetrik durumda, yani, M = 0 olduğu aralıksız (gapsiz) durumdaki çözümlerle
değil, simetrinin kırıldığı durumdaki, yani M ≠ 0 altındaki,
E < M bağlı durum
Dirac denklemi çözümleri ile ilgilenildiğinden, kesikli spektrumda, bağlı durumlar için,
F r = (M + E) F
(5.10)
G r = ( M − E )G
çözümleri elde edilir. (5.10) denklemi içindeki ± işareti, E ye aittir. (5.9a) ve (5.9b)
denklemleri (5.10) formunda alınarak,
27
j
U 

F + P 1 −
G=0
r
 E + M 
(5.11a)
j
U 

Gr′ + G − P 1 −
F =0
r
 E − M 
(5.11b)
Fr ′ −
bağıntıları elde edilir. (5.11) bağıntılarında görülen U ifadesi ise, Ze 2 / r şeklindeki,
Coulomb dış potansiyelini temsil eden niceliktir. λ ≡ M 2 − E 2
ve ρ = 2λ r ise,
şeklinde tanımlanmış nicelikler olup, (5.9a) ve (5.9b) denklemleri üzerinden çözüme
gidilecek olunursa,
ρ
1
F = ( M + E )e − 2 ρ γ − 2 F% ( ρ )
(5.12a)
ρ
1
G = ( M − E )e − 2 ρ γ − 2G% ( ρ )
(5.12b)
bağıntılarını çözüm olarak öngörebiliriz. (5.9a) ve (5.9b) denklemlerinde (5.12a) ve
(5.12b) yerine konulursa,
1
2
ρ F% ′( ρ ) + (γ − j ) F% ( ρ ) − ρ[ F% ( ρ ) − G% ( ρ )] +
1
2
ρ G% ′( ρ ) + (γ + j )G% ( ρ ) + ρ[ F% ( ρ ) − G% ( ρ )] −
λα
M +E
G% ( ρ ) = 0
λα
(M − E )
denklemleri elde edilir.
28
F% ( ρ ) = 0
(5.13a)
(5.13b)
Burada, F% ve G% için,
F% = Θ1 + Θ 2 ve G% = Θ1 − Θ 2
(5.16)
tanımlamaları yapılacak olunursa bu yeni fonksiyonlar cinsinden (5.15) denklemleri,


ρ Θ1′ +  γ −


αE 
Mα 

Θ =0
 Θ1 −  j +
λ 
λ  2

ρ Θ′2 +  γ − ρ +
(5.17a)
αE 
Mα 

Θ =0
 Θ2 −  j −
λ 
λ  1

(5.17b)
şeklindeki bağlaşımlı denklem takımına dönüşür. (5.17a) ve (5.17b) bağlaşımlı birinci
dereceden diferansiyel denklemleri, gerekli cebirsel işlemlerle,
ρ Θ1′′ + (1 + 2γ − ρ )Θ1′ − (γ −
Eα
λ
ρ Θ′′2 + (1 + 2γ − ρ )Θ′2 − (1 + γ −
)Θ1 = 0
Eα
λ
(5.18a)
]Θ2 = 0
(5.18b)
şeklindeki ikinci dereceden diferansiyel denklemi formuna getirilirken,
 2 M 2α 2 
E2 
α 2E2
2
2
2
α
γ
j
−
=
j
−
1
+
=
−



2 
λ2 
λ2

 λ 
eşitliğinden yararlanılmıştır.
29
(5.19)
Genel olarak, Kummer diferansiyel denklemi
zxιι + (c − z ) xι − ax = 0
(5.20)
formundadır (Greiner, 2000).
Buradan, (5.18a) ve (5.18b) diferansiyel denklemleri, Kummer diferansiyel denklemi ile
aynı formda olduğu görülür. Böylelikle, (5.18) denklemlerindeki, Θ ifadeleri
ise
Confluent hipergeometrik fonksiyonlardır.
Confluent hipergeometrik fonksiyonlar,
F (a, c; z ) = 1 +
a z a(a + 1) z 2
+
+ ...
c 1! c(c + 1) 2!
(5.21)
şeklinde gösterilen fonksiyonlardır. (5.18) numaralı diferansiyal denklemleri z = 0
formunda Confluent hipergeometrik fonksiyona karşılık gelir. Confluent hipergeometrik
fonksiyon, F (a, c;0) = 1 formuna dönüşür. Bu durumda kesikli enerji spektrumunda,
bağlı durumların dalga fonksiyonu,
−
ρ
F = ( M + E )e 2 ρ
−
ρ
G = ( M − E )e 2 ρ
γ−
1
2
γ−
1
2
F% ( ρ )
(5.22a)
G% ( ρ )
(5.22b)
şeklinde elde edilir. (5.22a) ve (5.22b) denklemleri, (5.16) eşitliklerinden yararlanılarak,
−
ρ
F = ( M + E )e 2 ρ
−
ρ
G = ( M − E )e ρ
2
γ−
1
2
γ−
1
2
(Θ1 + Θ 2 )
(5.23a)
(Θ1 − Θ 2 )
(5.23b)
şeklinde de tanımlanabilir.
30
Bu denklemlerdeki Θ1 ve Θ 2 fonksiyonları artık hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden,
Θ1 = C1F (γ −
Eα
,1 + 2γ ; ρ )
λ
Θ 2 = C2 F (1 + γ −
Eα
λ
(5.24a)
,1 + 2γ ; ρ )
(5.24b)
şeklinde yazılabilirler. Böylelikle, (5.18a) ve (5.18b) denklemleri Kummer formunda
olduğundan Θ1 ve Θ 2 fonksiyonu çözümleri Confluent hipergeometrik fonksiyon
cinsinden,
−
ρ
F = ( M + E )e ρ
−
2
ρ
G = ( M − E )e ρ
2
γ−
γ−
1
2
1
2
C1{F (γ −
C1{F (γ −
Eα
λ
Eα
λ
,1 + 2γ ; ρ ) + C12 F (1 + γ −
,1 + 2γ ; ρ ) − C12 F (1 + γ −
Eα
λ
Eα
λ
,1 + 2γ ; ρ )}
(5.25a)
,1 + 2γ ; ρ )}
(5.25b)
bağıntıları ile verilir. F ve G polinomlarının sonlu olabilmesi için gerekli şart, F ve G
polinomlarının, Laguerre polinomu formuna indirgenmesidir. Ancak, bu durumda bağlı
durumlar oluşur; yani;
γ ( j) −
Ze 2 En , j
λ ( n, j )
= −n
n = 0,1, 2,... j > 0
n = 1, 2, 3,... j < 0
(5.26)
formunda olmasıdır. Buradan bağlı durum enerji çözümleri için,
En , j = ±
M
( Ze 2 )2
1+
(γ + n) 2
 ( Ze 2 ) 2 
= ± Mv 1 +
n + γ 

−1/ 2
2
F
(5.27)
31
bağıntısı bulunur ki, burada vF daha evvelden de belirtildiği üzere Fermi hızıdır. Ayrıca,
γ değerinin
burada γ ( j ) =
j 2 − α 2 şeklinde ifade edildiği (5.19) eşitliğinden
görülebilir, α ise Ze 2 niceliğini temsil eder. n esas kuantum sayısını, j ise toplam
açısal momentum kuantum sayısını tanımlar.
(5.25) denklemleri
∞
2
2
*
∫ dr Ψ Ψ = 1 ⇒ ∫ rdr[ F ( ρ ) + G( ρ ) ] = 1
2
0
(5.28)
şeklindeki normalizasyon şartı kullanılarak normalize edilebilir ( C1 normalizasyon
katsayısıdır), ρ = 2λ r ( r =
ρ
dρ
ise dr =
) şeklindeki uygun değişken değiştirmesiyle,
2λ
2λ
normalizasyon şartı
1
(2λ ) 2
∫
∞
0
2
2
ρ d ρ[ F ( ρ ) + G ( ρ ) ] = 1
(5.29)
şeklinde yazılabilir. Basitlik için ,
−
ρ
F = M + Ee ρ
−
2
ρ
G = M − Ee ρ
2
γ−
1
2
γ−
1
2
C1 (a + b)
(5.30a)
C1 (a − b)
(5.30b)
fonksiyonlarının tanımlamalarının yerine yazılmasıyla, normalizasyon (5.29)
1
(2λ )
2
C1
2
∫
∞
0
d ρ e − ρ ρρ 2γ −1[( M + E )(a + b) 2 + ( M − E )(a − b)2 ] = 1
formuna dönüştürülmüş olur.
32
(5.31)
Burada tek katkı ilk terimden gelmektedir, diğer terimler Laguerre fonksiyonlarının
diklik bağıntısından dolayı sıfırdır. Böylece, normalizasyon ifadesi,
1
(2λ )
2
C1
2
∫
∞
0
d ρ e − ρ ρ 2γ {2 M [F 2 (− n,1 + 2γ ; ρ ) + C12 2F 2 (1 − n,1 + 2γ ; ρ )]}
(5.32)
şeklinde yazılabilir ve C12 ise, C12 = γ − Eα λ j + M α λ şeklindeki eşitliği temsil eder.
F (a, c;0) = 1 formundaki hipergeometrik fonksiyondan elde edilebilir. Yani, ρ sıfıra
yakınsarken ki asimptotik davranışından kolayca görülebilir. Böylelikle, normalizasyon
katsayısı,
C1 =
λ
Γ(n + 2γ + 1)( j + M α λ )
M Γ(1 + 2γ )
n !α
3
2
(5.33)
şeklinde elde edilmiş oldu. Sonuçta, (5.33) şeklinde bulunmuş olan C1 normalizasyon
katsayısının ve önceden tanımlı C12 değerinin (5.25a) ve (5.25b) ifadelerinde yerine
yazılmasıyla, bağlı durumlar için radyal dalga fonksiyonu bağıntısına,
F
λ2
Γ(n + 2γ + 1)( M ± E ) − λ r
1
=
e (2λ r )γ − 2
 
2
2
MZe
(j+
λ ) n !Ze
 G  M Γ(1 + 2γ )
3
{( j +
MZe 2
λ
)Z(− n,1 + 2γ ; 2λ r ) ± nZ(1 − n,1 + 2γ ; 2λ r )}
(5.34)
ulaşılmış olur. (5.34) eşitliğindeki Z ifadesi hipergeometrik fonksiyonu temsil eder.
(5.27) şeklinde tanımlanan enerji ifadesinden, bağlı durum enerji spektrumunu
belirlemek için Coulomb potansiyelinde, bağlı durumların enerji spektrumu, şekil (5.2)
de verilmektedir.
33
275
270
n1, j1 2
265
meV
260
ENERJİ
n1, j1 2
255
n2, j1 2
n2, j3 2
n3, j1 2
250
245
240
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Şekil 5.2 Coulomb safsızlığı varlığında enerji spektrumu
Coulomb potansiyeli varlığında bağlı durumların enerji spektrumu denklem (5.27)’yi
analiz ederek değerlendirilebilir. Şekil 5.2’de görüldüğü gibi en düşük bağlı durum
enerjisi,
(kırmızı kesikli çizgi ile gösterilen)
n =1, j = 1/ 2 olan enerjidir. (5.27)
denklemiyle verilen enerji ifadesinden de kolayca görüldüğü üzere, payda da (5.19)
eşitliğinden elde edilen, γ ( j ) =
j 2 − α 2 ifadesi vardır. Dolayısı ile fiziksel bölge,
α ≤ j
(5.35)
koşulunun sağlandığı bölgedir. Dolayısı ile, γ ( j ) ifadesinde, j açısal momentum
1 3 5
kuantum sayısı, ± , ± , ± ... şeklinde değerler alabileceğinden taban durumu enerji
2 2 2
spektrumu için α ,
34
α ≤ 1/ 2
(5.36)
koşulu sağlanmalıdır. Bunu şekil (5.2) den de açıkça görmek mümkündür. Uyarılmış
durumlar için bu değer gittikçe artar.
(5.35) koşulu (3+1) boyutlu kuantum elektrodinamiğinde, nokta tipi Coulomb safsızlığı
durumunda hc Ze2 ⟨ 1 koşulunu sağlar. Ancak, bu durum grafende yani, 2+1 boyutta,
uzun menzilli Coulomb safsızlığı varlığında, yani, 1/ r potansiyelinde Ze 2 hvF ⟨ 1/ 2
koşuluna indirgenir. Bu durumda görülüyor ki (2+1) boyutlu grafende Coulomb safsızlığı
durumu (3+1) boyutlu kuantum elektrodinamiksel incelemeden daha sınırlayıcıdır.
Göreli
kuantum
mekaniğinde
sabiti α = e2 hvF = 1/137
incelemede,
hidrojen
atomu
için
ince
yapı
iken, grafende Coulomb safsızlığında, koşul Zα ≤ 1/ 2
olduğundan “ ince yapı sabiti “ α ≈ 2 şeklinde olur.
5.2 Lorentz Skaler Potansiyeli Varlığında Aralıklı Grafende Bağlı Durum
Problemi
Aralıklı grafene, Lorentz invaryant skaler potansiyelinin eklenmesiyle elde edilen
hamiltoniyen,
r
H = vFσ . pˆ + β (mvF2 + V )
(5.37)
bağıntısıyla verilir. Bu kesimde, V Lorentz skaler potansiyelinin aralıklı grafene, yani
kütleli Dirac denklemine, eklenmesinin enerji öz değerlerine etkisi incelenmiştir. Lorentz
Skaler teriminin etkisi burada kütle terimine gelir (Coulomb potansiyeli varlığında ise,
Coulomb potansiyeli bir dörtlü vektör potansiyelinin zamansal parçası olduğundan
dolayı, enerji terimine gelmişti). Lorentz skaler potansiyel V = VN =
GM 0m0
r
≡ −hcα
'
r
formunda düşünülüp, Newtoniyen potansiyel olarak da yorumlanabilir (Greiner, 2000).
35
Sadece skaler potansiyelin olduğu durumda enerji spektrumu, (5.1) aralıklı grafende
Coulomb safsızlık problemi incelenmesi durumunda yapıldığı gibi, E Ψ = H Ψ özdeğer
denklemi, iki bileşenli ψ † (r ) = (ϕ ∗, χ ∗) spinor dalga fonksiyonu tarafından sağlanıp,
(5.39) bağıntısı ile verilen Hamiltoniyene karşılık gelen enerji ifadesi de benzer şekilde
çözüldüğünde,
E = ± MvF 2 1 −
α ′2
(n + γ )
(5.38)
şeklinde elde edilir. Ancak, burada enerji ifadesideki γ değeri, γ ( j ) =
elde
edilir.
γ ( j) =
[(5.1)
aralıklı
grafende
Coulomb
potansiyeli
j 2 + α ′2 olarak
probleminde
bu
j 2 − α 2 olarak elde edilmişti.]
(5.38) enerji ifadesindeki MvF2 değeri, deneylerden bilindiği kadarıyla, ( 0.05t – 0.1t )
aralığında değer alır (Peres, 2009). Hoplama parametresinin bölüm 4.1’de belirtilen
değerleri göz önüne alınıp,
MvF2
E
= M ve E =
ifadeleri tanımlanarak (5.38) enerji
t
hv F
ifadesini
E = ± Mt 1 −
α ′2
( n′ +
(5.39)
j 2 + α ′2 )
şeklinde yazabiliriz.
Burada da, bağlı durum bölgesinde iki ayrı çözüm vardır. Bu çözümler pozitif ve negatif
enerji değerli çözümlerdir. Negatif enerji değerleri deşiklere karşılık gelen enerji
çözümleri, pozitif enerji değerleri ise parçacığa karşılık gelen enerji çözümleridir.
Parçacık ve deşik çözümleri artan bağlaşım sabitiyle birlikte, şekil 5.3’de de görüldüğü
gibi birbirine yaklaşmaktadır.
36
200
n1, j1 2
ENERJİ meV
100
n1, j1 2
n2, j1 2
0
n2, j3 2
 100
n3, j1 2
 200
0
1
2
3
4
Şekil 5.3 Lorentz skaler potansiyeli varlığında enerji spektrumu
Sadece Lorentz skaler potansiyelin varlığında elde edilen enerji ifadesinde γ ( j ) değeri
γ ( j) =
j 2 + α ′2 olarak elde edildiğinden, γ ( j ) değeri uzun menzilli Coulomb
potansiyelinde olduğu gibi, Lorentz skalerde enerjiye bir kısıtlama getirmez. Yani,
enerjiyi imajiner yapacak bir α ′ değeri burada görülmez. Ancak, α ′ değeri arttıkça, E
enerji özdeğeri sürekli olarak azalır ve
α ′ → ∞ ( α ′ değerinin sonsuza yakınsadığı )
limit değerinde, enerji özdeğeri sıfıra yakınsar. Ancak, elektron ile deşik arasındaki
mesafe α ′ → ∞ limitinde azalmasına rağmen sıfıra düşmez. Dolayısıyla, elektron ve
deşik değerleri oluşması için, E ≠ 0 olmalıdır.
37
5.3 Dirac Denkleminin Coulomb Potansiyeli ve Lorentz Skaler Potansiyeli
Varlığında Bağlı Durumun Çözümleri
Bölüm (5.1) ve (5.2)’de sırasıyla kütleli Dirac denkleminin uzun menzilli Coulomb
potansiyeli varlığındaki enerji spektrumu ve Lorentz skaler potansiyeli varlığındaki
enerji spektrumu incelenmişti. Bu kesimde ise, Coulomb vektör potansiyeli ve Lorentz
skaler potansiyelinin birlikte var olduğu durumda, buna karşılık gelen Dirac denkleminin
enerji spektrumu incelenecektir. Bu durumda yine, denklem (5.8) küresel simetrik
Coulomb potansiyeli varlığında olduğu gibi bağlaşımlı denklem takımı çözülecek.
Ancak, Lorentz skaler potansiyelinden dolayı, hamiltoniyende, kütle terimine skaler
potansiyel terimi eklenecektir. Her iki potansiyelin varlığında, Dirac denklemi,
vFαˆ . pˆ + βˆ (m0vF 2 + V2 ) − ( E − V1 )  Ψ = 0


(5.40)
bağıntısı ile verilir. Denklem (5.40)’da V1 potansiyeli, denklem 5.1’de verilen U (r )
potansiyelidir. Yani, uzun menzilli Coulomb potansiyelidir. V2 potansiyeli ise, Lorentz
skaler potansiyelidir. Lorentz skaler potansiyelinin katkısı ise, daha önce bölüm 5.2’de
belirtildiği gibi,
grafende kütle terimi ile birlikte düşünülür. İki potansiyelinde var
olduğu durumunda, iki bileşenli spinor temsilinde ψ ∗ = (Φ∗ , χ ∗ ) , her bir bileşen
H Ψ = E Ψ öz değer denklemini sağlar.
Burada,
V1 = −
α
r
ve V2 = −
α′
(5.41)
r
şeklinde tanımlıdır. Denklem (5.41)’deki α ve α ′ sırasıyla elektrostatik ve skaler
potansiyeller için bağlaşım sabitlerdir.
Yine aynı şekilde, denklem (5.8)’lerde olduğu gibi, küresel simetrik potansiyeller
durumu gözönünde bulundurularak,
38
dG
κ
1


= − G (r ) +  E + m0c 2 + (α − α ′)  F (r )
dr
r
r


(5.42a)
dF κ
1


= F (r ) +  E − m0c 2 + (α + α ′)  G (r )
dr r
r


(5.42b)
çiftlenimli radyal denklem takımı elde edilir. Bölüm 5.1 sadece Coulomb safsızlığı
varlığında ve bölüm 5.2 sadece Lorentz skaler potansiyel varlığında olduğu gibi enerji
ifadesinin elde edilmesine yarayan γ değeri, bu kesimde,
γ = ± κ 2 − α 2 + α ′2
(5.46)
şeklinde elde edilir. Buradan, enerji öz değer denklemini ise,
2


 α ′2 − ( n + γ ) 2 
−αα ′
αα ′
2
E = m0c  2
±  2
− 2

2
2 
2
 α + (n + γ )  α + (n + γ )  α + (n + γ ) 
1
2




(5.52)
şeklinde elde etmek mümkündür.
Uzun menzilli Coulomb vektör potansiyeli ve Lorentz skaler potansiyelinin aynı anda
olduğu durumda, elde edilen enerji spektrumunda α ′ , skaler potansiyel bağlaşım
katsayısını, α ise Coulomb potansiyel bağlaşım katsayısını temsil eder. Bu kesimde, son
olarak bu niceliklerin oranları cinsinden, enerji spektrumu değerlendirilecektir.
Oranlarını α ′ = ηα şeklinde gösterecek olursak, Denklem (5.52)’nin çeşitli değerleri için
şekil 5.4’de çizilmiştir.
39
200
200
n1, j1 2
n1, j1 2
n2, j1 2
0
n2, j3 2
 100
n1, j1 2
100
n1, j1 2
ENERJİ meV
ENERJİ meV
100
n2, j1 2
0
n2, j3 2
 100
n3, j1 2
 200
n3, j1 2
 200
0
1
2
3
4
0
1
2
(a)
3
4
(b)
200
n1, j1 2
ENERJİ meV
100
n1, j1 2
n2, j1 2
0
n2, j3 2
 100
n3, j1 2
 200
0
1
2
3
4
(c)
Şekil 5.4 Enerji spektrumunun α ′ = ηα , η = 2,3,5 olduğu durum
(a) η =2 olduğu durumdur. Bu durum skaler potansiyel katsayısının, Coulomb potansiyeli katsayısının 2
katı olduğu duruma karşılık gelir. (b) ise, η =3 olduğu duruma karşılık gelirken, (c) ise, η =5 olduğu
duruma karşılık gelir.
40
Şekil 5.4’deki grafiklerden de, görüldüğü üzere, skaler potansiyel katsayısının değeri,
Coulomb potansiyeli katsayısının yanında büyüdükçe enerji özdeğerleri, şekil 5.3 sadece
skaler potansiyel enerji öz değerlerinde olduğu gibi, E enerji özdeğeri sürekli olarak
azalır.
41
270
260
260
ENERJİ meV
ENERJİ meV
270
n1, j1 2
250
n1, j1 2
250
n1, j1 2
n1, j1 2
n2, j1 2
240
n2, j1 2
240
n2, j3 2
n2, j3 2
n3, j1 2
230
0
1
2
3
n3, j1 2
230
0
4
1
(a)
2
3
4
(b)
270
ENERJİ meV
260
n1, j1 2
250
n1, j1 2
n2, j1 2
240
n2, j3 2
n3, j1 2
230
0
1
2
3
4
(c)
Şekil 5.5 Enerji spektrumu α ′ = ηα , η = 1/ 2,1/ 3,1/ 5 olduğu durum
Üst sol grafik η =1/2 olduğu durumdur. Bu durum Coulomb potansiyeli katsayısının, skaler potansiyel
katsayısının 2 katı olduğu duruma karşılık gelir. Üst sağ grafik ise η =1/3 olduğu duruma karşılık gelir. Bu
durumda Coulomb potansiyeli katsayısının, skaler potansiyel katsayısının 3 katı olduğu durumdur. Alt
grafik ise, η =1/5 olduğu duruma karşılık gelir. Yani, Coulomb potansiyelinin katsayısının skaler
potansiyel katsayısının 5 katı olduğu durumdur.
42
Şekil 5.5’deki grafiklerinden den görüldüğü üzere, Coulomb potansiyeli katsayısı skaler
potansiyel katsayısının yanında büyüdükçe, şekil 5.2 ile kıyasladığımızda, enerji
özdeğerlerinin sadece Coulomb potansiyelinin olduğu
görülür.
43
enerji özdeğerine yaklaştığı
6. TARTIŞMA VE SONUÇ
Bu çalışmada, henüz 2004 yılında farklı bir yapı olduğu ortaya konulmuş olan, güncel
teknolojik uygulamalarda önemli bir yer tutan ve gelecek nesil elektronik cihazların ana
malzemesi olarak büyük bir potansiyele sahip olduğu öngörülen, grafen üzerinde
durulmuştur. Grafen yapıların, elektronik özellikleri Dirac fermiyonları aracılığıyla
incelenmiştir. Dirac fermiyonları adını verdiğimiz grafendeki kütlesiz yük taşıyıcıları
olup, ışık hızının üç yüzde biri olan vF Fermi hızıyla hareket ederler. Kütlesiz Dirac
fermiyonlarının, nötrino için Dirac-Weyl denklemi olarak bilinen kütlesiz göreli Dirac
denklemine uyduklarının görülmesi (Semenoff, 1984), enerji-momentum ilişkilerinin
E = ± vF p şeklinde olması ve enerji band yapısının göreli sistemler gibi iki bandlı olması
ışık hızından daha küçük hızlarda göreli kuantum mekaniğinin, birçok özelliğinin grafen
içinde test edilebilir olduğunu gösterir.
Grafenin ilgi çekici özelliklerine rağmen, elektronik malzeme olarak kullanılmasında
aşılması gereken en büyük güçlük elektronik spektrumda enerji aralığı oluşturulmasıdır.
Bu özellik örneğin, transistör yapımı, grafende aralık oluşturmaya dayalı olduğundan,
grafeni transistör yapımından alıkoyuyor. Ancak, bu modelin genellemesine, uygulama
açısından bakıldığında, grafenin elektronik spektrumunda aralık oluşturmak, grafen
tabakalar üzerine kompleks bir mühendislik gerektirmesine rağmen, teorik açıdan
incelenildiğinde, grafenin elektronik spektrumunda aralık oluşturmak için, hamiltoniyene
Dirac kütle terimi dahil edilir ve aralıklı grafen olarak tanımlanır (Kandemir ve
Moğulkoç, 2009). Elektronik spektrumda, sonlu m kütlesi veya ∆ = 2mvF2 enerji aralığı,
alt örgü simetrisinin yabancı atom tarafından kırılmasından doğmuştur. Ayrıca, aralıksız
grafende, bağlı durumların var olup, olmadığı oldukça üzerine düşünülen bir konu
olmuştur, ve bir kritik değer aşıldığında bağlı durumların var olduğu, beklentisi içine
girilmiştir. Ancak, Klein-paradoks’u nedeniyle kütlesiz grafende bağlı durumlar
oluşmamaktadır (Gupta vd., 2010). Aynı zamanda, Coulomb tipi singüler potansiyele
sahip Dirac denklemi sadece alt krtik bölgede geçerli iken, üst kritik bölgede sonlu
çekirdek yarı çapı göz önünde bulundurulmalıdır (Shytov vd., 2007).
44
Böylece, altıgen
örgülü iki boyutlu kristal yapıya sahip olan grafende, aralık oluşturmak önemli bir
problem olarak görülmüştür.
Aralıklı grafende, yüklü safsızlık durumları, grafende elektronik transport özelliklerini
anlamak için oldukça önemlidir. Çünkü, sonlu kütle varlığında uzun menzilli Coulomb
safsızlığının varlığı uzaklığın fonksiyonu olarak, grafende dikkate değer davranışlara
neden olur (Kandemir ve Moğulkoç, 2009). Böylece, elektronik enerji spektrumunda
potansiyel çiftlenim katsayısına bağlı olarak, değişikliğe neden olur.
Grafende, Dirac noktalarında safsızlık potansiyeli, sadece uzun menzilli Coulomb
safsızlığı varlığında değil, aynı zamanda Lorentz skaler potansiyeli durumunda da
incelenmiştir. Lorentz skaler potansiyeli de, grafenin elektronik spektrumu üzerinde
güçlü etkiler yapmış ve elektronik enerji spektrumunu değiştirmiştir. Ayrıca, uzun
menzilli Coulomb vektör potansiyeli ve Lorentz skaler potansiyelin her ikisinin birden
var olduğu durumda, enerji spektrumu üzerindeki etkileri incelenmiştir. Bu incelemeler
(2+1) – boyutlu Dirac denklemi aracılığıyla yapılmış olup, her biri 1. dereceden
bağlaşımlı denklemlerin çözümleriyle elde edilmiştir. Bağlı durum enerji çözümleri
Confluent hipergeometrik fonksiyonlar aracılığıyla analitik olarak çözümlenmiş ve grafik
analizi gerçekleştirilmiştir.
Buradaki çalışmalar ile, manyetik alan varlığında, bağlı durum çözümlerini
inceleyebilmek için, gelecekte ki çalışmalara baz oluşturması amaçlanmıştır.
45
KAYNAKLAR
Berashevich, J. and Chakraborty, T. 2010. Graphene and graphene: new stars of
nanoscale electronics. 1003.6044v1.Cond-matt.mtrl-sci.
Boyer, H.B. 2004. Unfamiliar trajectories for a relativistic particle in a Kepler or
Coulomb potential. Am. J . Phys. 72 (8)
Geim, A. K. 2009. Graphene: Status and Prospects. Science. 324, 1530.
Greiner, W. 2000. Relativistic Quantum Mechanics. Springer. Volume 447, Germany.
Gupta, K. S., Samsarov, A. and Sen, S. 2010. Scattering in graphene with impurities: A
low energy effective theory. Phys. J. B 73, 389-404.
Kandemir, B. S. and Mogulkoç, A. 2009. Boundaries of Subcrirical Coulomb Impurity
Region in Gapped Graphene. 0911. 1140v1. Cond-matt.mes-hall.
Kotov, V. N., Pereira, V. M. and Uchoa, B. 2008. Polarization charge distribution in
gapped graphene: perturbation theory and exavt diogonalization analysis. Phys.
Rev B. 18. 075433.
Neto, A.H., Guinea, F., Peres, N.M.R., Novoselov, K.S. and Geim, A.K. 2008. The
electronic properties of grapheme. 0709. 1163v2. Cond-mat.other.
Neto, A. H. 2010. The carbon new age. Materialstoday. Volume 13. ISSN: 1369, 7021.
Novikov, D. S. 2007. Elastic scattering theory and transport in graphene. Phys. Rev B,
76, 245435.
Novoselov, K. S., Geim, A. K, Morozov, D. J., Zhang,Y., Katsnelson, M. I., Grigorieva,
I. V., Dubonos, S. V. and Firsov, A. A. 2005. Two-dimensional gas of massless
Dirac fermions in graphene. Nature,438,10.
Önem, C. 1996. The Solutions of the Classical Relativistic Two-Body Equation. Tr. J. of
Physics. 22 (1998) , 107-104
Pereira,V. M., Kotov, V. N. and Neto, A. H. 2008. Supercritical Coulomb impurities in
gapped graphene. Phys. Rev B, 78, 085101.
Pereira,V. M., Santos, J. M. B. and Neto, A. H. C. 2008. Modeling disorder in graphene.
Phys. Rev B, 77, 1151109.
Peres, N. M. R., Klinomoros, F. D., Tsai, S. W., Santos, J. R., Santos, J. M. B. L. and
Neto, A. H. 2008. Electron waves in chemically substituted graphene. 0705.
3040v1. Cond-matt.mtrl-sci.
46
Peres, N. M.R., Guinea, F. and Neto, A. H. 2006. Electronic properties of disordered
two-dimensional carbon. Phys. Rev B, 73, 125411.
Semenoff, W. G. 1984. Condensed Matter Simulation of a Three-Dimensional anomaly.
Volume 53, PACS numbers; 05.50.+q
Shytov, A.V., Katnelson, M. I. and Levitov, L.S. 2007. Vacuum Polarization and
Screening of Supercritical Impurities in Graphene. . Phys. Rev. Lett. 99. 236801.
Shytov, A.V., Katnelson, M. I. and Levitov, L.S. 2007. Atomic Collapse and QuasiRydberg States in Graphene Phys. RevLett.99.246802.
Zhou, S. Y., Gweon, G. H., Fedorov, A. V., First, P. N., Heer, W. A., Lee, D. H., Guinea,
F., Neto, A. H. C., Lanzara, A. 2007. Substrate-induced bandgap opening in
epitaxial graphene. 10.1038/nmat2003.
Zhu, W., Wang, Z., Shi, Q., Szeto, K. Y., Chen, J. and Hou, J. G. 2009. Elektronic
structure in gapped graphene With a Coulomb potential. Phys. Rev B, 79,
155430.
47
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
:
Defne BAYAT AKAY
Doğum Yeri
:
Ankara
Doğum Tarihi
:
14. 05. 1985
Medeni Hali
:
Evli
Y. Dili
:
İngilizce
Eğitim Durumu ( Kurum ve Yıl )
Lise
: Ankara Mehmetçik Lisesi ( Yabancı dil ağırlıklı), 2003.
Lisans
: Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü, 2007.
Yüksek Lisans
: Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim
Dalı, 2010.
Çalıştığı Kurum
Araştırma Görevlisi : Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölüm
(Mart2010 -)
Başarıları
2007 Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü, Bölüm Üçüncüsü
Bilimsel Etkinlikler
15. Yoğun Madde Fiziği Ankara Toplantısı, Kasım 2008 (Bilkent Ünv, Ankara,Türkiye)
16. Yoğun Madde Fiziği Ankara Toplantısı, Kasım 2009 (Gazi Ünv, Ankara,Türkiye)
48