1.2 Euclidean Topolojik Uzay

8
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1.2
Euclidean Topolojik Uzay
R üzerinde d(x, y) = |x − y| eşitliği ile tanımlı Euclidean metrik ve Euclidean
topolojik uzay kavramını n ∈ N için Rn üzerine genelleyebiliriz. Bunun için
bazı standart eşitsizliklere ihtiyacımız olacak.
0 < α < 1 olmak üzere f : [0, ∞) × (0, 1) → R fonksiyonu
f (x, α) = αx + (1 − α) − xα
esitliği ile tanımlansın. f fonksiyonunun türevini sıfır yapan tek değer x = 1
dir ve o noktada f ’nin ikinci türevi negatif değer alır. Buradan her 0 ≤ x için
0 = f (1) ≤ f (x), yani her x ∈ R+ için
xα ≤ αx + 1 − α
elde edilir. Bunun bir uygulaması nedeniyle 0 ≤ a,b ve
1 < p, q ve p−1 + q −1 = 1
için, Yaung eşitsizliği olarak adalandırılan aşağıdaki eşitsizlik
ab ≤ p1 ap + 1q aq
elde edilir. Şimdi aşağıdaki iki temel eşitsizliği verebiliriz.
Teorem 1.5. ai , bi ∈ R+ (i = 1, ..., n) ve p,q ∈ R+ sayıları
özelliğinde olsun. Aşağıdakiler eşitsizler geçerlidir.
(i) Hölder eşitsizliği:
Pn
i=1 ai bi
1
p
+
1
q
= 1
1 P
1
P
≤ ( ni=1 api ) p ( ni=1 bqi ) q .
1
1
1
P
P
P
(ii) Minkowski eşitsizliği: ( ni=1 (ai + bi )p ) p ≤ ( ni=1 api ) p + ( ni=1 bpi ) p .
Kanıt: (i).
1
1
P
P
A = ( ni=1 api ) p ve B = ( ni=1 bqi ) q
diyelim. A = 0 ya da B = 0 için istenen açık. Yaung eşitsizliğini uygulayarak
her 1 = 1, 2, ..., n için
ai bi
AB
p
≤ p1 ( aAi )p + 1q ( bBi ) .
Buradan
1
AB
Pn
i=1 ai bi
=
Pn
ai bi
i=1 ( A B )
≤
Pn
1 ai p
i=1 ( p ( A )
+ 1q ( aAi )q ) = 1.
1.2. Euclidean Topolojik Uzay
9
elde edilir. Bu istenilen eşitsizliktir.
(ii). Basilt işlemler ve Hölers eşitsizliğinden aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.
Pn
i=1 (ai
P
+ bi )p = Pni=1 (ai + bi )(ai + bi )p−1
Pn
n
p−1
p−1 +
=
i=1 ai (ai + bi )
i=1 ai (ai + bi )
1 P
1
1 P
1
Pn
P
= ( i=1 ai ) p ( ni=1 (ai + bi )q(p−1) ) q + ( ni=1 bi ) p ( ni=1 (ai + bi )q(p−1) ) q
1
1
1
P
P
P
= (( ni=1 ai ) p + ( ni=1 bi ) p )( ni=1 (ai + bi )p ) q
Buradan da
(
Pn
i=1 (ai
1
1
1
P
P
P
1− 1
+ bi )p ) p = ( ni=1 (ai + bi )p ) q ≤ ( ni=1 ai ) p + ( ni=1 bi ) p )
Böylece kanıt tamamlanır.
Rn üzerinde p-Euclidean metriği aşağı aşağıdaki gibi tanımlarız.
Teorem 1.6. n ∈ N ve 1 ≤ p verilsin. X = Rn olsun. a = (a1 , ..., an ) ve
b = (b1 , ..., bn ) ∈ X olmak üzere,
1
P
d(a, b) = ( ni=1 |ai − bi |p ) p
olarak tanımlanan d, X üzerinde metriktir. Bu metriğe Euclidean p-metrik
denir. Bu metrik genel de dp ile gösterilir.
Kanıt: Metrik aksiyomlarında (M 1) ve (M 2)’nin sağlandığı bariz. (M 3) ise
Minkowski eşitsizliğinden başka birşey değildir.
X = Rn üzerinde Euclidean ∞-metriği,
d∞ (a, b) = sup1≤i≤n |ai − bi |
eşitliği ile tanımlanır. Bunun gerçekten bir metrik olduğu barizdir. 1 ≤ p, q ≤
∞ için, dp ve dq metrikleri eşit olmasa da bu metrikler aynı topolojiyi üretirler.
Önce bu metriklerin, aşağıdaki anlamda, denk olduklarını gösterelim.
Teorem 1.7. X = Rn ve 1 ≤ p verilsin. Her x,y ∈ X için
md∞ (x, y) ≤ dp (x, y) ≤ M d∞ (x, y)
özelliğinde m, M > 0 sayıları vardır.
1
Kanıt: m = 1 ve M = n p istenileni sağlar.
Şimdi aşağıdaki tanımı verebiliriz.
10
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
Tanım 1.5. X = Rn üzerinde tanımlı dp (1 ≤ p ≤ ∞) tarafından üretilen
topolojiye n-Eucledian topoloji denir. Topolojisi n-Eucledian topoloji olan
topolojik uzaya n-Eucledian topolojik uzay ya da (n-Eucledian uzay)
denir.
Alıştırmalar
1.10. n ∈ N ve X = Rn olmak üzere, X üzerindeki n-Eucliden topoloji ile carpım topolojilerinin eşit olduğunu gösteriniz.
1.11. 0 < p < ∞ verilsin.
P
lp = {(xn ) : xn ∈ R, n |xn |p < ∞}
olarak tanımlansın. Her x = (xn ) ve y = (yn ) ∈ lp için
1
P
dp (x, y) = ( n |xn − yn |p ) p
olarak tanımlansın. Aşağıdakilerin doğruluğunu gösteriniz.
(i) x = (xn ) ve y = (yn ) ∈ lp için (xn + yn ) ∈ lp .
(ii) 1 ≤ p ≤ ∞ için dp metriktir.
(iii) 0 < p < 1 ise dp simetrik fakat metrik değildir.
(l2 , dp2 ) uzayına Hilbert uzay denir.
Q
1.12. 1 ≤ p < ∞ verilsin. Bdp (0, 1) ⊂ lp kümesinin n∈N R çarpım uzayının alt uzayı lp ’de
açık olmadığın gösteriniz.
1
Kanıt: Varsayalım ki Bdp (0, 1) açık. Bu durumda n− 2 < 2 ve
−1
∩n
i=1 Pi (−, ) ⊂ Bdp (0, )
özelliğinde > 0 ve n ∈ N vardır. 1 ≤ i ≤ n için xi = 2 ve i > n için xi = 0 olamak
−1
üzere x = (xi ) ∈ ∩n
i=1 Pi (−, ) olmasına karşın, x 6∈ Bdp (0, 1) dir. Bu çelişkidir.
Q
1.13. 1 ≤ i ≤ n için (Xi , di ) metrik uzayalar olsunlar. X = n
i=1 Xi olarak tanımlansın. Her
1 ≤ p < ∞ için,
1
P
p p
dp ((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) = ( n
i=1 di (xi , yi ) )
olarak tanımlanan dp fonksiyonunun metrik olduğunu gösteriniz.
1.14. X = R2 olmak üzere her 1 ≤ p < q ≤ ∞ için Bdp (0, 1) ⊂ Bdq (0, 1) olduğunu gösteriniz.
p = 1, 2, 3, ∞ için Bdp (0, 1)’nin resmini çiziniz.
1.15. 1 ≤ p < ∞ için (lp , dp ) mertik uzayının ayrılabilir olduğnu gösteriniz.
Kanıt: Her k ∈ N için
A = {(xn ) ∈ lp : xi ∈ Q, ∃i, xn = 0∀n ≥ i}
diyelim. A sayılabilir kümedir ve A = lp dir.
1.16. (l∞ , d∞ ) mertik uzayının ayrılabilir olduğını gösteriniz.
Kanıt: l∞ uzayının ayrılabilir olduğunu varsayalım. A = {fn : n ∈ N} ve A = l∞
özelliğinde A kümesi vardır. f ∈ l∞ aşğıdaki gibi tanımlansın.
0
|fn (n)| ≥
f (n) =
2
|fn (n)| < 1
olarak tanımlansın.
d∞ (fk , f ) ≥ |fk (k) − fk | ≥ 1
eşitsizliğinden f 6∈ A çelişkisini verecektir.