1. Yakınsama - Zafer ERCAN

1. Yakınsama
Doğal sayılar kümesi N’den bir X kümesine tanımlı her fonksiyona X-değerli
ya da X’de bir dizi denildiğini sörlemiştik. Bazı topolojik uzaylarda (örneğin
metrik topolojik uzay) diziler vasıtasıyla bir topolojik uzayın kapalı kümeleri,
fonksiyonların sürekliliği, kompaktlık gibi bazı kavramlar betimlenebilir. Ancak, benzer betimlemeler genel topolojik uzaylarda doğru olmasa da, dizi
kavramının genelleştirilmesi sonrası benzer karakterizasyonlar yapılabilir.
Dizi kavramı, kökleri aynı olan ve birinin diğerini üretebilen iki temel
kavramla genellenebilir: Net ve Filter. Bu kısımda bu kavramlar ve bunların
yakınsaması ile ilgili temel sonuçlar verilecektir.
1.1. Net ve Yakınsaklık
1.1
3
Net ve Yakınsaklık
Aşağıdaki tanımla başlayalım.
Tanım 1.1. I boş kümeden farklı bir küme ve ≤, I üzerinde bir ilişki olmak
üzere, aşağıdakiler sağlanıyor ise, I’ya yönlü küme denir.
(i) Her x ∈ I için x ≤ x.
(ii) x, y,z ∈ I, x ≤ y ve y ≤ z ise x ≤ z.
(iii) Her x,y ∈ I için x, y ≤ z olacak biçimde bir z ∈ I vardır.
Örnekler
1.1. Yönlü kümenin temel çkış noktalarından birisi, motivasyonu Riemann integrallenebilir
fonksiyonların yapısını anlayabilmek nedeniyle ortaya çıkan aşağıdaki örnektir: R’nin
[a, b] kapalı aralığı verilsin. x0 = a < ... < xn = b olamak üzere, P = {xi : i = 0, ..., n}
kümesine [a, b] aralığın bir bölünmüşü denir. P, [a, b] aralığının bölünmüşlerinin bir
kümesi olsun. P,
P ≤ Q ⇐⇒ Q ⊂ P
ilişkisine göre yönlü bir kümedir.
1.2. Tam sıralı küme yönlü bir kümedir.
1.3. I, [0, 1]den R’ye tanımlı polinomların kümesi olsun. I,
f ≤ g :⇐⇒ her x ∈ [0, 1] için f (x) ≤ g(x)
ilişkisine göre I yönlü bir kümedir.
Dizi kavramı aşağıdaki gibi genellenebilir.
Tanım 1.2. (Moore ve Smith, 1922) I yönlü bir küme olmak üzere, I’dan bir
X kümesine tanımlı her fonksiyonuna X’de bir net denir.
f : I → X bir net ise, f yerine, (f (i))i∈I ya da bir index karmaşası yok ise
sadece (f (i)) yazabiliriz.
Tanım 1.3. f : I → X bir net olsun. Her i ∈ I için,
Fi = {f (j) : i ≤ j}
kümesine, f netinin kuyruğu denir.
En az bir kuyrğu tek elemanlı olan nete sonunda sabit net denir.
Tanım 1.4. (Kelley, 1950) X bir topolojik uzay ve f : I → X bir net ve
x ∈ X verilsin. x’i içeren her açık küme, f netinin bir kuyruğunu kapsıyor ise,
f netine x’e yakınsıyor denir. x’e f netinin limit noktası denir. Bu durumda
f → x ya da her i ∈ I için f (i) = xi olmak üzere xi → x ile gösterilir.
4
1. Yakınsama
X metrikleşebilir topolojik uzay ise, her A ⊂ X için
A = {f ∈ AN : f → x}
olduğunu Theorem ??? den biliyoruz. X = RR çarpım uzayında ise, bazı A ⊂ X
için
A 6= {x ∈ X : ∃f ∈ AN , f → x}
olduğunu, Örnek ??? den biliyoruz. Buna karşın aşağıdaki kullanışlı Teorem
vardır.
Teorem 1.1. X bir topolojik uzay olsun. A ⊂ X için
A = {x ∈ X : ∃
net
f ∈ AI , f → x}.
Kanıt: x ∈ A verilsin. U, x’i içeren açık kümelerin kümesi olmak üzere
I = {A ∩ U : U ∈ U},
ters kapsama ilişkisine göre yönlü kümedir. Her i ∈ I için xi ∈ i ⊂ A seçelim.
f : I → A bir net ve f → x dir. Tersine f ∈ AI bir net ve f → x olsun. x ∈ U
açık küme olsun. Tanım gereği, U , f netinin bir kuyruğunu kapsar. Dolayısı
ile A ∩ U 6= ∅ dır. Böylece x ∈ A olduğu gösterilmiş olur.
Yukarıdaki teoremi kullanarak fonksiyonların sürekliliğini betimleyebiliriz. Öncelikle f : I → X bir net ve σ : X → Y bir fonksiyon ise, σ ◦ f : I → Y ’nin bir
net olduğu vurgulayalım.
Teorem 1.2. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y bir fonksiyon ve x ∈ X
verilsin. Aşağıdakiler denktir.
(i) f , x noktasında süreklidir.
(i) (xi ), X’de bir net ve xi → x ise f (xi ) → f (x).
Kanıt: (i) =⇒ (ii): (xi ), X’de x’e yakınsayan bir net olsun. (f (xi )), Y ’de bir
nettir. U ⊂ Y açık ve f (x) ∈ U olsun. f −1 (U ) açık ve x ∈ f −1 (U ) olduğundan,
f ’nin bir kuyruğu Fi = {xj : j ≥ i}, f −1 (U ) tarafından kapsanır. Dolayısıyla
f (Fi ) ⊂ U dır. Bu bize f (xi ) → f (x) olduğunu söyler.
(ii) =⇒ (i): A ⊂ Y kapalı olsun. x ∈ f −1 (A) olsun. xi → x özelliğinde X’de
(xi ) neti vardır. Varsayım gereği f (xi ) → f (x) dir. (f (xi )), Y de bir net
olduğundan, yukarıdaki teorem gereği f (x) ∈ A = A dır. Yani x ∈ f −1 (A)
dır. Böylece f −1 (A) = f −1 (A) olduğu gösterilmiş olur. x’i içeren kapalı her
kümenin f altındaki ters görüntüsünün kapalı olduğu gösterilmiş olur ki, bu
f ’nin x noktasında sürekli olmasına, Teorem ???’den denktir.
Aşağıdaki sonuç yukarıdaki teoremin doğrudan bir sonucudur.
1.1. Net ve Yakınsaklık
5
Sonuç 1.3. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y bir fonksiyon olsun.
Aşağıdakiler denktir.
(i) f süreklidir.
(i) (xi ), X’de bir net, x ∈ X ve xi → x ise f (xi ) → f (x).
Teorem 1.4. X bir topolojik uzay olsun. Aşağıdakiler denktir.
(i) X’de her netin en fazla bir tane limit noktası vardır.
(ii) X Hausdorff uzaydır.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): a ∈ X’i içerek açık kümelerin kümesini Ua ile gösterelim.
X’nin Hausdorff olmadığını varsayalım. U ∈ Ux ve V ∈ Uy için U ∩ V 6= ∅ ve
x 6= y özelliğinde x, y ∈ X vardır.
I = {U ∩ V : U ∈ Ux , V ∈ Uy }
kümesi ters kapsama ilişkisine göre yönlü bir kümedir. Her i ∈ I için xi ∈ i
seçelim. f : I → X, f (i) = xi netini tanımlıyalım. U ∈ Ux verilsin. U = i0 ∈ I
olmak üzere, i ≥ i0 için, xi ∈ i ⊂ i0 = U olduğundan f → x dir. Benzer
biçimde f → y dir. Bu varsayımla çelişir, dolayısı ile X Hausdorff dır.
(ii) =⇒ (i): Tersine, X’de bir f netinin iki farklı noktaya yakınsasın. Bu
noktalar x ve y olsunlar. X Hausdorff olduğundan x ∈ U , y ∈ V ve U ∩ V = ∅
özelliğunde U ve V açık kümeleri vardır. Ayrıca, bazı i0 ∈ I ve j0 ∈ I için
Fi0 = {f (i) : i ≥ i0 } ⊂ U ve Fj0 = {f (i) : i ≥ j0 } ⊂ V
olacak biçimde f netinin kuyrukları Fi0 ve Fj0 vardır. k0 ≥ i0 , j0 özelliğinde
k0 ∈ I seçlim.
∅=
6 Fk0 ⊂ Fi0 ∩ Fj0 ⊂ U ∩ V = ∅
elde edilir ki, bu bir çelişkidir.
Alıştırmalar
1.4. (Di )i∈I yönlü kümelerin bir ailesi olsun. Bu ailenin kartezyen a̧rpımı D =
(ai ) ≤ (bi ) ⇐⇒ ai ≤ bi
sıralamasına göre yönlü bir küme olduğunu gösteriniz.
1.5. f : I → R ve g : J → R iki net olsun. K = I × J,
(i1 , j1 ) ≤ (i2 , j2 ) ⇐⇒ i1 ≤ i2 , j1 ≤ j2
ilişkisine göre yönlü bir kümedir. f + g, f g : I × J → R netlerini
(f + g)(i, j) = f (i) + g(j) ve f g(i, j) = f (i)g(j)
olarak tanımlıyalım.
f → x ve g → y =⇒ f + g → x + y, f g → xy
Q
i∈I
Di ,
6
1. Yakınsama
olduğunu gösteriniz.
1.6. Bir topolojik uzayda, dizilerin en fazla bir tane limit noktası var ise, o uzayın T1 olduğunu
gösteriniz.
1.7. X birinci dereceden sayılabilir topolojik uzay olsun. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) X Hausdorff uzaydır.
(ii) Her dizinin en fazla bir tane limit noktası vardır.
1.8. X bir topolojik uzay ve f : I → X, x ∈ X’ye yakınsayan bir net ise, f (I)∪{x} kümesinin
kapalı olması gerekmedeğini bir örnekle gösteriniz. (X = R Euclidean topolojik uzay
olsun. Doğal sıralamaya göre I = (−∞, 0) ∩ Q yönlü bir kümedir. f : I → X, f (r) = r
olarak tanımlıyalım. f → 0 olmasına karşın f (I) ∪ {0} kapalı değıdir.)
1.9. (Xi )i∈I
Q , topolojik uzayların bir ailesi ve her i ∈ I için fi : Di → Xi bir net olsun.
D = i∈I Di kartezyen çarpim olsun. D’nin
(ai ) ≤ (bi ) ⇐⇒ ∀i ∈ I, ai ≤ bi
sıralamsına göre yönlü küme olduğunu biliyoruz. f : D → X netini f ((di )) = (fi (di ))
olarak tanımlıyalım. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) f → (xi )
(ii) Her i ∈ I için fi → xi .