a) arg {(z − z1) / (z − z2)} = α

Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
GEBZE YÜKSEK TEKNOLOJİ ENSTİTÜSÜ
ELM 515 - MÜHENDİSLER İÇİN KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR TEORİSİ
ÖDEV 1
1. Aşağıdaki bağıntılarla belirlenen bölgeleri (veya eğrileri) açıklayınız (α, β, a, b, c reel, z0 , z1 ,
z2 ise kompleks sayılardır, öyle ki; π < α < π, a > 0 dır):
a) arg f(z z1 ) / (z z2 )g = α,
b) b Re fzg + c Im fzg = a,
c) Re f(z z1 ) / (z z2 )g = 0,
d) Re f1/zg = b,
e) α < arg (z z0 ) < β
z2 )g = α denklemi z = x + iy, z1 = x1 + iy1 ve z2 = x2 + iy2
Çözüm: a) arg f(z z1 ) / (z
yazılarak düzenlenirse
z j = arctan
arg z
olmak üzere
(y
(x
y1 )
x1 )
(y
(x
y
x
yj
xj
y2 )
(y
= 1+
x2 )
(x
!
, j = 1, 2
y1 ) ( y
x1 ) ( x
y2 )
tan α
x2 )
elde edilir. Basit bazı matematiksel işlemler sonucunda, bu ifadeden merkezi
x2 )
(x
( y2 y1 )
, y1 + 1
2 tan α
2 tan α
x1 +
noktasında bulunan
r=
q
( x1
x2 )2 + ( y1
y2 )2
2 tan α
yarıçaplı çemberin denklemine ulaşılır.
b) b Re fzg + c Im fzg = a denkleminin tarif ettiği bölgeyi belirlemek için z = x + iy yazılırsa
b
a
x+
c
c
y=
bulunur. Bu ifade açıkça bir doğruyu tarif eder.
c) Re f(z
merkezi
z1 ) / ( z
z2 )g = 0 denkleminde, z = x + iy, z1 = x1 + iy1 ve z2 = x2 + iy2 konursa
noktasında bulunan
yarıçaplı çember elde edilir.
x1 + x2 y1 + y2
,
2
2
1
r=
2
q
( x1
x2 )2 + ( y1
y2 )2
d) z = x + iy olmak üzere, Re f1/zg = b denklemi düzenlenirse
x
1
2b
2
+ y2 =
1
4b2
Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
elde edilir. Bu ifade, merkezi (1/2b, 0) noktasında olan 1/2b yarıçaplı çemberi tarif eder (bkz
Şekil ).
e) α < arg (z z0 ) < β eşitsizliği doğrudan geometrik olarak yorumlanabilir. Bu eşitsizliğin
tarif ettiği bölge Şekil ’de görülmektedir. Şekilde bölgeyi sınırlayan yarı-doğrular kesikli çizgilerle
gösterilmektedir. Kesikli çizginin anlamı sınırı oluşturan bu noktaların bölgeye dahil olmadığıdır.
2. Aşağıdaki kompleks sayıların reel ve sanal kısımlarını bulunuz.
z1 = (2 + i ) (1
z3 =
i ) , z2 = (3, 4) (1,
(2 i )
(1 + i )
+
, z4 = 2eiπ/3 + eiπ/4
(3 + 4i ) (4 3i )
Çözüm. z1 kompleks sayısı, basit hesaplamalar sonucunda
z1 = (2 + 1) + i (1
2) = 3
i
Im fz1 g =
1
şeklinde yazılır. Bu durumda
Re fz1 g = 3,
elde edilir.
2) ,
Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
z2 kompleks sayısı, sayı çiftleri cinsinden ifade edilmiştir ve
z2 = (3 + 4i ) (1
2i )
biçimindedir. Çarpım işlemi açık olarak yapılırsa
z2 = (3 + 8) + i (4
6)
bulunur. Sonuç olarak
Re fz2 g = 11,
Im fz2 g =
2
elde edilir.
z3 kompleks sayısının reel ve sanal kısımlarını bulabilmek için önce kesirli terimlerde paydaların kompleks eşlenikleri ile çarpılmaları gerekmektedir. Bu durumda birinci kesirli terimin
payı ve paydası (3 4i ) ile, ikincisi ise (4 + 3i ) ile çarpılırsa
z3 =
(7
+
18 + i
(11 + 2i )
=
25
25
18
,
25
Im fz3 g =
i)
25
bulunur. Böylelikle
Re fz3 g =
1
25
elde edilir.
z4 kompleks sayısı kutupsal gösterilim ile ifade edilmiş iki kompleks sayının toplamıdır. Euler
formülü yardımıyla
π
π
π
π
z4 = 2 cos + i sin
+ cos + i sin
3
3
4
4
yazılır. Bu eşitlik düzenlenirse
p
p !
p !
p !
p !
p
1
3
2
2
2
2
z4 = 2
+i
+
+i
= 1+
+i
3+
2
2
2
2
2
2
yazılır. Sonuç olarak
Re fz4 g =
p !
2
1+
,
2
Im fz4 g =
p
p !
2
3+
2
çıkar.
3. Aşağıdaki kompleks sayıların asal argümanlarını ve modüllerini bulunuz.
!
p
p
3
i
(1 + i )
z1 =
+
, z2 =
3 i ( 1 + i ) , z3 =
2
2
(3 3i )
Çözüm: z1 kompleks sayısının modülü
j z1 j =
r
3 1
+ =1
4 4
Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
olarak bulunur. Bu sayının kutupsal gösterilim ile θ = arg z1 2 ( π, π ) olmak üzere z1 =
cos θ + i sin θ şeklinde ifade edilebileceği düşünülürse
p
3
1
cos θ =
, sin θ =
2
2
çıkar. O halde θ açısı π/6 dır. Sonuç olarak
jz1 j = 1 ve arg z1 =
π
6
bulunmuş olur.
p
z2 kompleks sayısı
3 i ve ( 1 + i ) sayılarının çarpımı biçiminde verilmiştir. Bu durumda z2 için Euler formülünden de yararlanarak
!
p
p !
p
p
3
2
2
i p
z2 = 2
2
+i
= 2e iπ/6 2ei3π/4
2
2
2
2
yazmak mümkündür. arg z2 2 ( π, π ) olduğu dikkate alınırsa
p
7π
jz2 j = 2 2 ve arg z2 =
12
bulunur.
z3 kompleks sayısı (1 + i ) sayısının (3 3i ) sayısına bölümü biçiminde verilmiştir. Bu durumda z2 için Euler formülünden de yararlanarak
p
2
z3 = p
3 2
p
p
2
2
+
i
2
2
p
p
2
i 22
2
=
1
1 eiπ/4
= eiπ/2
3 e iπ/4
3
yazmak mümkündür. Sonuç olarak
j z3 j =
1
π
ve arg z3 =
3
2
çıkar.
4. Aşağıdaki denklemlerin kökleri olan kompleks sayıları bulunuz ve bunları kompleks düzlemde gösteriniz.
a) z3 = 1
b) z4 = 16
Çözüm. a) z3 =
1 denklemi daha açık olarak
z3 = ei(π +2kπ ) ,
k = 0,
1,
2, ...
olarak yazılabilir. Bu denklemin her iki tarafının da 1/3 üncü kuvveti alındığında
z = ei(π +2kπ )/3
(1)
elde edilir. (1) da k = 0, 1, 2 değerleri için birbirinden farklı olan üç adet kompleks sayı tarif
edilmektedir. Bunlar
z1 = eiπ/3 , z2 = eiπ ve z3 = ei5π/3
Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
sayılarıdır. Kompleks düzlemdeki konumları ise Şekil daki gibidir.
b) Benzer şekilde, z4 = 16 denklemi daha açık olarak
z4 = 16ei2kπ ,
k = 0,
1,
2, ...
şeklinde yazılır. Bu denklemin her iki tarafının da 1/4 üncü kuvveti alındığında
z = 2eikπ/2
elde edilir. k = 0, 1, 2, 3 değerleri için bulunan dört adet kök
z1 = 2, z2 = 2eiπ/2 , z3 = 2eiπ ve z4 = 2ei3π/2
olarak bulunur. Bunların kompleks düzlemdeki konumu Şekil 1 deki gibidir.
5. z1 , z2 ve z3 aynı modüle sahip herhangi üç kompleks sayı olsun.
arg
( z3
( z3
z2 )
1
= arg
z1 )
2
z2
z1
olduğunu gösteriniz.
Çözüm. Sözü edilen kompleks sayılar aynı modüle sahip olduklarına göre, genellikten ayrılmadan bunları merkezi orijinde bulunan r yarıçaplı bir çemberin üzerinde düşünmek mümkündür.
Bu durumda Şekil 2’de görülen geometrik özelliklerden faydalanarak, arg zn = θ n (n = 1, 2, 3) olmak üzere
arg (z3 z2 ) = θ 2 + π α2
(2)
ve
arg (z3
z1 ) = θ 1 + π
α1
(3)
Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
Figure 1:
yazılır. Burada α1 ve α2 için Şekil 2’deki ikizkenar üçgenlerin özelliklerinden faydalanmak, çözüm
için yeterli olacaktır. Bu durumda,
α1 =
π
(θ 2
2
θ1 )
α2 =
π
(θ 3
2
θ2 )
ve
ifadeleri (2) ve (3) da yerlerine konursa
arg
( z3
( z3
z2 )
= arg (z3
z1 )
z2 )
arg (z3
olmak üzere
arg (z3
z2 )
arg (z3
z1 ) =
(θ 2
z1 )
θ1 )
2
elde edilir. Böylece
(θ 2
θ1 )
2
=
1
arg
2
z2
z1
olduğuna göre, soruda sözü edilen eşitlik doğrulanmış olur.
p
p
p
p
6. Merkezi orijin ve yarıçapı 2 olan daire C olsun ve z 1, 3 z 1, z2 1 ve (z 1) / (z + 1)
sayılarının argümanı z = 2 noktasında sıfır kabul edilsin. z = 2 noktasından hareketle C üzerinde
pozitif yönde tam bir dönme yapılırsa, bu sayıların argümanı nasıl değişir?
Çözüm. Sözü edilen kompleks sayıların açık ifadeleri, sırasıyla z = 1 ve z = 1 noktalarının
etrafından dönme sayısına karşı gelen tam sayılar, sırasıyla k1 ve k2 ile gösterilmek üzere,
(z
(z
ve
1) = j z
1) ( z + 1) = j z
1j ei arg(z
1j jz + 1j ei[arg(z
( z 1)
jz 1j i[arg(z
=
e
( z + 1)
j z + 1j
1) i2k1 π
e
,
1)+arg(z+1)] i2(k1 +k2 )π
e
1) arg(z+1)] i2(k1 k2 )π
e
Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
Figure 2:
nedeniyle
p
p
3
ve
p
z2
r
z
z
1j1/2 ei arg(z
1 = jz
1 = jz
1 = z2
1
z 1
z 1
=
z+1
z+1
1j
1/2
1/2
1)/2 ik1 π
e
,
1/3 i arg(z 1)/3 i2k1 π/3
e
e
,
ei[arg(z
1)+arg(z+1)]/2 i (k1 +k2 )π
ei[arg(z
1) arg(z+1)]/2 i (k1 k2 )π
e
e
şeklindedir. Bu ifadelerde z = 2 konursa, sırasıyla,
p
p
3
ve
p
r
z2
z
z
1
1
1
z 1
z+1
z =2
z =2
z =2
z =2
= eik1 π ,
= ei2k1 π/3 ,
=
p
3ei(k1 +k2 )π
1
= p ei (k1
3
k2 )π
elde edilir. Başlangıçta bu terimlerin her birinin argümanı sıfır kabul edildiğine göre k1 ve k2
sıfıra eşittir. Eğer C eğrisi üzerinde
pozitif
yönde bir tam dönme yapılırsa, hem k1 hem de k2 için
p
p
3
1 alınmalıdır. Bu durumda
z
1
ve
z
1 sayılarının argümanları sırasıyla π ve 2π/3 kadar
p
p
2
artacak, buna karşın z
1 ve (z 1) / (z + 1) sayılarının argümanları değişmeyecek, yani 0
olarak kalacaktır.
7. de Moivre formülünden yararlanarak cos 3θ, sin 3θ ve tan 3θ nın sadece cos θ, sin θ ve tan θ
cinsinden yazılmış ifadelerini bulunuz.
Çözüm. de Moivre formülünde n = 3 konarak
cos 3θ + i sin 3θ = (cos θ + i sin θ )3
Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
yazılır. Eşitliğin sağ yanındaki küp alma işlemi gerçekleştirilir, reel ve sanal kısımlar ayrı ayrı
birbirlerine eşitlenirse
cos 3θ = cos3 θ 3 sin2 θ cos θ
(4)
ve
sin 3θ = 3 sin θ cos2 θ
sin3 θ
(5)
elde edilir. Elbette, (4) denklemini (5) denklemine taraf tarafa bölünerek
3 tan θ tan3 θ
1 3 tan2 θ
tan 3θ =
yazmak mümkündür.
8. Euler eşitliğinden yararlanarak sin ( x + y) ve cos ( x + y) yi sin x, sin y, cos x, cos y cinsinden
veren formülleri bulunuz.
Çözüm. Euler formülü yardımıyla
cos ( x + y) + i sin ( x + y) = ei( x+y)
yazılabilmektedir. Bu ifadenin sağ yanı
ei( x+y) = eix eiy = (cos x + i sin x ) (cos y + i sin y)
biçiminde düzenlenir, reel ve sanal kısımları birbirine eşitlenirse, sırasıyla,
cos ( x + y) = cos x cos y
sin x sin y
ve
sin ( x + y) = sin x cos y + sin y cos x
elde edilir.
9. (1 + i )16 nın iki türlü hesabından yararlanarak
1
16
2
16
4
+
16
6
+ ...
16
14
+ 1 = 256
ve
16
1
16
3
+
16
5
16
15
...
=0
olduğunu gösteriniz.
Çözüm. (1 + i )16 nın birinci hesaplama yöntemi kompleks sayıların kutupsal gösteriliminden
faydalanmaktır:
p iπ/4 16
2e
= 28 ei4π = 256.
(6)
(1 + i )16 =
İkinci tür hesabı ise Binom açılım formülleri yardımıyla yapılır:
(1 + i )16 = 1 +
16
1
i
16
2
16
3
i + ...
16
15
i+1
(7)
Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
(7) reel ve sanal kısımlarına ayrılarak yazılırsa
16
2
(1 + i )16 = 1
16
1
+ ... + 1 +
16
3
+ ...
16
15
i
(8)
bulunur. (6) te elde edilen sonuçtan da anlaşılacağı gibi, (8) in reel kısmı 256 ya, sanal kısmı ise
sıfıra eşittir. Böylelikle soruda sözü edilen ilişkiler elde edilmiş olur:
16
2
1
+
16
4
16
1
16
3
16
6
+
16
14
+ ...
16
5
+ 1 = 256
16
15
...
=0
10. An ve Bn sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun:
An = 1 + r cos θ + r2 cos 2θ + ... + r n
Bn = r sin θ + r2 sin 2θ + ... + r n
1
1
cos (n
sin (n
1) θ
1) θ
a) An ve Bn toplamlarını bulunuz.
b) (a) daki sonuçtan yararlanarak
sin θ + sin 2θ + ... + sin (n
cos θ + cos 2θ + ... + cos (n
1) θ =
1) θ
( n 1) θ
2
θ
2
sin nθ
2 sin
sin
sin nθ
2 cos
=
( n 1) θ
2
sin 2θ
(2n 1)θ
1 sin
2
+
2
2 sin 2θ
=
olduğunu gösteriniz.
c) 0 r < 1 oldukça
1 + r cos θ + r2 cos 2θ + ... =
ve
r sin θ + r2 sin 2θ + ... =
r2
1
r2
r cos θ
2r cos θ + 1
r sin θ
2r cos θ + 1
olduğunu gösteriniz.
Çözüm. a) Euler formülü yardımıyla An ve Bn toplamlarını birlikte belirlemek mümkündür:
n 1
An + iBn =
∑ rk eikθ .
k =0
(9)
Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
(9) eşitliğinin sağ yanında görülen toplam
n 1
∑ rk eikθ =
k =0
1 r n einθ
1 reiθ
biçimindedir. Burada Euler formülü yardımıyla
eiθ = cos θ + i sin θ
ve
einθ = cos nθ + i sin nθ
yazılarak
n 1
∑
r k eikθ =
k =0
(1
r n cos nθ )
(1 r cos θ )
ir n sin nθ
ir sin θ
(10)
elde edilir. Yukarıdaki eşitliğin sağ yanındaki terimin payı ve paydası (1
çarpılır, çıkan sonuç reel ve sanal kısımlarına ayrıştırılırsa, kolayca,
An =
1
r cos θ
ve
Bn =
r sin θ
r n cos nθ + r n+1 cos (n
1 2r cos θ + r2
r n sin nθ + r n+1 sin (n
1 2r cos θ + r2
r cos θ ) + ir sin θ ile
1) θ
1) θ
elde edilir.
b) (a) da elde edilmiş olan sonuçlarda r = 1 konursa
An = 1 + cos θ + cos 2θ + ... + cos (n
1) θ =
Bn = sin θ + sin 2θ + ... + sin (n
1) θ =
ve
1
cos θ
sin θ
cos nθ + cos (n
2 2 cos θ
sin nθ + sin (n
2 2 cos θ
1) θ
1) θ
olur. Gayet iyi bilinen
b
a b
cos
,
2
2
a+b
a b
cos
,
cos a + cos b = 2 cos
2
2
a+b
a b
cos a cos b = 2 sin
sin
2
2
trigonometrik özdeşlikleri dikkate alınarak
sin b = 2 sin
sin a
cos (n
cos nθ =
1) θ
1
cos θ =
ve
sin nθ
θ
2
+ sin
a
2 sin nθ
2 sin2
θ
2
(11)
(12)
(13)
θ
sin ,
2
θ
2
θ
nθ
( n 1) θ
= 2 sin
cos
2
2
2
Son teslim tarihi: 13 Mart 2012. 2-sayfa.
Doç.Dr. Gökhan Çınar
yazılabileceğinden
1 + cos θ + cos 2θ + ... + cos (n
1) θ =
sin nθ
2 cos
( n 1) θ
2
sin 2θ
,
elde edilir. Öte yandan, aynı trigonometrik özdeşlikler yardımıyla
sin (n
1) θ
sin nθ =
2 sin
sin θ = 2 sin
θ
cos nθ
2
θ
2
cos nθ
θ
2
=
,
θ
θ
cos
2
2
ve
cos
θ
2
2 sin
nθ
( n 1) θ
sin
2
2
yazılabileceğinden
sin θ + sin 2θ + ... + sin (n
( n 1) θ
2
θ
2
sin nθ
2 sin
1) θ =
sin
bulunur.
c) (a) da sözü edilen (10) denkleminde 0
r < 1 iken n ! ∞ yapılırsa
∞
∑ rk eikθ = 1
k =0
1
reiθ
(14)
elde edilir. (14) eşitliğinin her iki yanının reel ve sanal kısımları birbirlerine eşitlenirse, sırasıyla,
1 + r cos θ + r2 cos 2θ + ... =
ve
r sin θ + r2 sin 2θ + ... =
bulunur.
r2
1
r2
r cos θ
2r cos θ + 1
r sin θ
2r cos θ + 1