Çokgenler - Google Groups

advertisement
www.mustafayagci.com.tr, 2012
Geometri Notları
U
Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com
Çokgenler
Peki sizce şu an oldu mu? Bakalım: Tanıma göre
ben A, B, C noktalarını aynı düzlemde alıp D noktasını bu düzlemin dışında alabilirim. Yani aşağıdaki
de bir dörtgen midir?
Yazımıza elbette çokgenin tanımıyla başlamamız
gerekiyor ama tanımın neden öyle yapıldığını daha
rahat kavrayabilmek için taa üçgenin tanımına gideceğiz. Hatırlayacağınız üzere üçgenin tanımı şuydu:
A, B, C doğrudaş olmayan
(aynı doğru üzerinde bulunmayan) üç nokta ise [AB],
[BC] ve [CA] doğru parçalarının birleşimine ABC üçgeni
denir.
D
A
B
A
b
c
a
B
C
Evet, bu tanıma göre dörtgendir ama şu an düzlem
geometrisiyle uğraştığımızdan yani geometrik nesnelerin aynı düzleme ait olmalarını istediğimizden
tanıma ‘’düzlemdeş’’ kelimesini de ekleyebiliriz.
Yok eğer böyle bir derdimiz yoksa yani her türden
dörtgeni masaya yatırmak istiyorsak yukardaki tanım bizi amacımıza ulaştıracaktır.
Şimdi, madem üçgenler böyle tanımlanıyor, buradan kopya çekerek dörtgenleri tanımlayabilir miyiz? Bakalım: Üçgen tanımında kullandığımız A, B
ve C harflerine D harfini de eklesek yeter mi acaba?
Yani ‘A, B, C, D doğrudaş olmayan dört nokta ise
[AB], [BC], [CD], [DA] doğru parçalarının birleşimine ABCD dörtgeni denir’ desek hayal ettiğimiz
şeyi anlatmış olur muyuz?
Benzer şekilde her türlü beşgeni ‘A, B, C, D, E herhangi üçü doğrudaş olmayan beş nokta ise [AB],
[BC], [CD], [DE] ve [EA] doğru parçalarının birleşimine ABCDE beşgeni denir.’ şeklinde tanımlayabiliriz.
Şimdi size gerçekten doğrudaş olmayan A, B, C, D
noktalarıyla bir dörtgen çiziyorum.
Böylelikle altıgen, yedigen, sekizgen de tanımlanabilir. Bunların hepsine birden geometride çokgen
denir. Eğer çokgende ilk alınan nokta sayısı n ise
özel olarak n-gen dendiği de olur. n-geni tanımlarken A, B, C, D, E, … harflerini kullanmak sıkıntı
doğurur. Çünkü n’inci harfi nasıl bulacağız? Bunun
yerine noktaları A1, A2, A3, … , An olarak tanımlamak kaçınılmaz sonuç olacaktır.
A
B
C
C
D
Yukardaki çizim size nerede hata yaptığımızı anlatmış olmalı. Çünkü yukardaki şekil bir dörtgen
değil, düpedüz üçgendir. Sorun B, C, D noktalarının
doğrudaş olmasından kaynaklanmaktadır. (A, B, C),
(A, B, D) veya (A, C, D) noktaları kendi aralarında
doğrudaş olsalardı da aynı sorunla yüz yüze olacaktık. O halde hatamızı şöyle giderebiliriz:
n-genin tanımı. A1, A2, A3, … , An herhangi üçü
doğrudaş olmayan n farklı nokta olsun. [A1A2],
[A2A3], [A3A4], … , [An-1An] ve [AnA1] doğru parçalarının birleşimine A1A2A3…An n-geni denir.
A, B, C, D herhangi üçü doğrudaş olmayan dört
nokta ise [AB], [BC], [CD] ve [DA] doğru parçalarının birleşimine ABCD dörtgeni denir.
[A1A2]  [A2A3]  [A3A4]  … [AnA1] = A1A2A3…An
7
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
A1A2A3…An n-genini oluşturduğumuz bu A1, A2, A3,
… , An noktalarına çokgenin köşeleri, bu doğru
parçalarına çokgenin kenarları ve böylece oluşan
A1A2A3, A2A3A4, A3A4A5,…, An-1AnA1 açılarına da
çokgenin iç açıları, bu açıların bütünleyenlerine de
çokgenin dış açıları denir.
Çokgen
A4
‘’Ardışık köşe’’ kavramını kullanarak çokgenin kenarlarını şöyle de tanımlayabiliriz:
Bir çokgenin ardışık köşelerini birleştiren doğru
parçalarına çokgenin kenarları denir.
Dışbükey (Konveks)
Burada doğal olarak ardışık olmayan köşeleri birleştiren doğru parçalarına ne dendiği sorusu akla
gelir. Söyleyelim, onlara da çokgenin köşegenleri
denir. Üçgenin herhangi iki köşesi daima ardışık
olduğundan, yani başka deyişle; üçgenin ardışık
olmayan iki köşesi olmadığından, köşegeninin olmadığına dikkatinizi çekerim.
A
B
C
A
A
E
B
B
C
D
F
C
B
C
İçbükey (Konkav)
Yukardaki şekillerden ne demek istediğimizi daha
rahat anlayabilirsiniz. Konveks ve konkav olmanın
bu tanımı matematiksel olarak eksiksiz olsa da olaya yabancı birinin bu tanıma riayet ederek çokgenin
cinsini anlaması vakit alabiliyor. Çünkü çokgensel
bölgeye ait tüm nokta çiftlerinin belirttiği tüm doğru parçalarını incelemeye kalkanlar gördüm! Konkavlığı-konveksliği anlamak için şöyle bir metod
önerebilirim:
Çokgenin tanımına göre dönüp dolaşıp başlangıç
noktasına gelmemiz gerekiyor. Buradan anlıyoruz
ki, çokgenler kapalı şekillerdir.
D
Çokgenin
Dış Bölgesi
Eğer böyle çizilen bir doğru parçasının tek bir noktası bile dış bölgeye aitse o çokgene içbükey veya
konkav denir.
Köşeleri A1, A2, A3, … , An ile isimlendirilmiş bir
çokgende A1 ile A2, A2 ile A3, genel olarak An−1 ile
An köşe çiftlerine ardışık köşeler denir.
A
Çokgenin
İç Bölgesi
Bir çokgenin iç bölgesinde alınan rastgele iki noktayı birleştiren doğru parçasının tüm noktaları daima çokgensel bölgede kalıyorsa o çokgene dışbükey veya konveks denir.
A2
A3
Çokgensel
Bölge
Çokgenin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine de
çokgensel bölge denir. (A1A2A3…An) ile gösterilir.
A1 köşesi
A1'e ait dış açı
A1'e ait iç açı
[A1 A2] kenarı
A1
Çokgenler
D
Dışbükey (Konveks)
E
Çokgenler köşelerine göre okunup, kenar sayısına
göre adlandırılırlar (ABC üçgeni, ABCD dörtgeni,
ABCDE beşgeni, ABCDEF altıgeni gibi).
İçbükey (Konkav)
Bir çokgenin tüm köşegenleri çokgensel bölgeye
aitse çokgen dışbükeydir, bir köşegeninin en az bir
noktası dış bölgeye aitse çokgene içbükeydir.
Çokgenler üzerinde bulundukları düzlemi, çokgenin iç bölgesi, çokgen ve çokgenin dış bölgesi diye adlandırılan üç ayrık kümeye ayırır. İç bölge
çokgenin sınırladığı bölgedir. Çokgeni zaten tanımından biliyoruz. Dış bölge ise iç bölge ile çokgenin birleşiminde bulunmayan noktalar kümesidir.
Yalnız bu metodla, üçgenin dışbükey mi içbükey
mi olduğuna cevap veremezsiniz. Çünkü üçgenlerin
köşegeni yok! Bunun için verilen tanımı kullanarak,
tüm üçgenlerin konveks yani dışbükey olduklarını
söyleyebiliriz.
8
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Çokgenler
Teorem. n kenarlı bir çokgende bir köşeden n – 3
tane farklı köşegen geçer.
Teorem. Bir n-genin iç açılarının ölçüleri toplamı
(n – 2)180o dir.
Kanıt: Çokgen dendiğine göre n ≥ 3 olduğunu anlamalıyız. Şimdi n tane nokta düşünelim. Herhangi
üçü doğrusal olmasın. Bunun en iyi yolu (dışbükeyler için) noktaları çembersel düşünmektir.
Kanıt: Bir köşeden çizilebilecek tüm köşegenlerin,
çokgeni n – 2 tane üçgene ayırdığını söylemiştik.
Bu üçgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı çokgenin iç açıları ölçüleri toplamını verecektir. Dolayısıyla iç açıların ölçüleri toplamının (n – 2)180o olduğunu kanıtlamış olduk.
Şimdi noktalardan herhangi birini seçin. O noktadan kendine, en yakın soldakine ve en yakın sağdakine çizilen doğru parçaları köşegen olmayacaktır.
Anlayacağınız 1 noktadan 3 noktaya gidiş yasak,
geriye kalan n – 3 noktaya ise gidiş serbesttir. Bu
yüzden bir köşeden n – 3 tane köşegen geçer. İçbükeyler için benzer kanıtı da siz yapınız.
Örnek. Bir ongenin iç açılarının ölçüleri toplamı
kaç derecedir?
A) 1080
A
E
D
Örnek olarak üstteki beşgeni ele alalım. Tanım gereği köşegen ardışık iki kenardan geçemez. Yani A
köşesinden kendisine, B’ye ve E’ye çizilemez. Bu
kuralın sanırım beşgen için değil tüm çokgenler için
sağlanması gerektiği aşikar. Yani üç noktaya köşegen çizilemediğinden cevabımız n – 3.
Kanıt: Bir n-genin n tane iç açısı, n tane de dış
açısı vardır. Bunlar da n tane doğru açı yapar. n tane doğru açının toplamı 180n’dir. İç açıların ölçüleri toplamı (n – 2)180o yani 180on – 360o olduğuna göre dış açıların ölçüleri toplamı 360o olmalıdır.
Örnek. Bir köşesinden geçen tüm köşegenler çizildiğinde 6 üçgene parçalanan konveks çokgen kaç
kenarlıdır?
C) 10
E) 1800
Teorem. Bir n-genin dış açılarının ölçüleri toplamı
360o dir.
Bir köşeden çizilebilecek n – 3 köşegen de çizildiği
zaman çokgen n – 2 tane üçgene ayrılır.
B) 9
D) 1620
Görüldüğü üzere, bir n-genin iç açı ölçüleri toplamı
n’ye bağlıdır. n arttıkça iç açıların ölçüleri toplamı
da artmaktadır. İlginçtir ki, n kaç olursa olsun bir ngende dış açıların ölçüleri toplamı sabit bir sayıdır,
n değiştikçe değişmez. Hemen bunu verip kanıtlayalım:
Buradan şu sonucu da çıkarmak mümkün: Şekildeki iki köşegen beşgeni 3 üçgene ayırdığından bunu
genelleyebiliriz:
A) 8
C) 1440
Çözüm: Hemen formülümüzü uygulayalım.
(10 – 2)180 = 1440
olarak bulunur.
Doğru cevap: C.
B
C
B) 1260
D) 11
E) 12
Örnek. Dışbükey bir çokgenin en çok kaç tane iç
açısı dar olabilir?
Çözüm: Yukardaki açıklamalarımızda, oluşan üçgen sayısının n – 2 olduğunu bulmuştuk. n – 2 = 6
olduğuna göre n = 8 olmalıdır.
Doğru cevap: A.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) Sonsuz çoklukta
Çözüm: Dar iç açı, geniş dış açı demektir. Dış açıların toplamı her çokgende 360 olduğundan bir
çokgenin 3’ten fazla geniş dış açısı olamaz, zira
olursa toplamı 360’ı geçer. Bu yüzden en çok 3 tane dar iç açıya sahip olabilir.
Doğru cevap: C.
Bir çokgenin köşegenlerle üçgenlere parçalanması,
iç açı ölçüleri toplamını bulmamıza yarar. Çünkü
üçgenlerin iç açı ölçüleri toplamı, çokgenin iç açı
ölçüleri toplamını verir.
9
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Çokgenler
Örnek. İç açılarının ölçüleri toplamı dış açılarının
ölçüleri toplamının 10 katı olan çokgen kaç kenarlıdır?
Örnek. İç açılarının ölçüleri toplamı 8 dik açı ölçüsünün toplamı olan bir çokgenin kaç köşegeni
vardır?
A) 15
A) 6
B) 16
C) 18
D) 22
E) 24
Çözüm: Dış açıların ölçüleri toplamı her çokgende
360 olduğundan, sorudaki çokgenin iç açılarının
ölçüleri toplamının 3600 olduğunu anlıyoruz. Yine
formüle başvuralım:
(n – 2)180 = 3600
(n – 2)180 = 20180
n – 2 = 20
olduğundan n = 22 bulunur.
Doğru cevap: D.
C) 8
D) 9
E) 10
Çözüm: 8 dik açı ölçüsünün toplamı 890 = 720
yapar. Bunu, iç açıların ölçüleri toplamına eşitleyerek kenar sayısını bulalım.
(n – 2)180 = 720 = 4180
(n – 2)180 = 4180
n–2=4
n=6
Şu durumda çokgenin bir altıgen olduğu anlaşıldı.
Köşegen sayısı formülünden cevabımız
6  (6  3)
9
2
olur.
Doğru cevap: D.
Şimdi de bir çokgenin toplam kaç köşegeni olduğunu hesaplamaya geldi sıra…
Teorem. n kenarlı bir çokgenin
B) 7
n( n  3)
tane kö2
Örnek. Köşegen adediyle kenar adedinin toplamı
45 olan çokgen kaç kenarlıdır?
şegeni vardır.
A) 4
Kanıt 1: Herhangi üçü doğrusal olmayan düzlemdeş n farklı nokta alalım. Köşegenler doğru parçası
olduğundan bu n tane noktanın kaç değişik doğru
parçası belirtebileceğini bulacağız. n tane nokta en
çok C(n, 2) tane doğru parçası belirtir. Fakat ardışık
köşeleri simgeleyen iki noktanın belirttiği doğru
parçaları köşegen değil kenar olduğundan köşegen
sayısı
C(n, 2) – n
dir. Hesaplanırsa
n(n  3)
2
bulunur.
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
Çözüm: Kenar adedine n dersek, köşegen adedinin
n(n  3)
olacağını bulmuştuk. O halde
2
n(n  3)
 n  45
2
n(n  3)  2n  90
n 2  n  90  0
(n  10)(n  9)  0
eşitliğinden ve n’nin negatif olamayacağını bildiğimizden n = 10 olarak bulunur.
Doğru cevap: E.
Bahis konusu çokgen olduğundan, n ≥ 3 olması gerektiğini biliyoruz. n = 3 için bu sayının 0 olduğuna
dikkat ediniz. Yani üçgende köşegen möşegen yoktur!
Yıldızıl. Konveks bir çokgenin kenarlarının uzatılması ile elde edilen şekle yıldızıl denir. Çokgenin
köşe sayısı ile yıldızılın köşe sayısı eşittir.
Kanıt 2: Bir köşeden n – 3 tane köşegen çizilebiliyorsa, n köşeden toplam n(n – 3) tane çizilebilir.
Fakat burada her köşegen 2 kere sayılmış olur. Örneğin; A’dan çizilebileceklerin içinde A’dan B’ye
gideni saymıştık ama B’den çizilebilenlerin içinde
de B’den A’ya gideni bir daha saydık (sanki farklıymış gibi). Dolayısıyla bulduğumuz sayıyı ikiye
bölmeliyiz. n(n – 3) çarpımının 2’ye bölümü köşegen sayısıdır.
Yıldızıl Beşgen
10
Yıldızıl Altıgen
Yıldızıl Yedigen
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Üst şekillerden de görüleceği üzere, yıldızıl bir
çokgenin kenarları birbirlerini köşe dışında da kesmektedir. Yıldızıl bir n-gen daima n tane üçgen ve
ortada konveks bir n-genden oluşur.
ÇOKGEN ÇİZİMLERİ
MY GEO 1 kitabında Üçgen Çizimleri başlığında
bir üçgenin çizilebilme şartlarını incelemiştik. Çıkan sonuç şuydu:
Şimdi bir yıldızıl çokgenin iç açı ölçüleri toplamının kaç olduğunu söyleyen bir teorem vereceğiz.
Bir üçgenin belirlenebilmesi için en az 3 bilgiye ihtiyaç vardır. Bu üç bilginin en az 1 tanesi uzunluk,
en fazla 2 tanesi açı ölçüsü olmalıydı. Bunun nedenini tekrar hatırlatalım. Bir üçgenin iç açı ölçüleri
toplamı sabit ve 180 olduğundan herhangi iki iç
açısının ölçüsü bilindiğinde üçüncüsünün verilmesine gerek yoktur, onu biz de bulabiliriz. Diğer
yandan, illa bir uzunluk ölçüsü bilmeliyiz. Zira, verilen açı ölçülerinden üçgenin eşkenar üçgen olduğunu bulduk diyelim. Sonsuz farklı boyutta eşkenar
üçgen çizilebileceğinden, herhangi bir uzunluk ölçüsü bilmeden istenen eşkenar üçgeni çizemeyiz.
Teorem. n > 4 olmak şartıyla, n köşeli bir yıldızılın
iç açılarının ölçüleri toplamı (n – 4)180o dir.
Kanıt: Konveks bir n-gen çizip kenarlarını uzatıp
alt şekildeki gibi bir yıldızıl n-gen elde edelim.
Şimdi üçgen için yaptığımız yorumları dörtgen için
yapalım. Dörtgenin de iç açı ölçüleri toplamı bellidir. O halde dört açı ölçüsünün verilmesine gerek
yok, üçü bilinirse dördüncüsünü biz bulabiliriz.
Demek ki en fazla üç açı ölçüsü verilmelidir. Peki
üçgendeki gibi, tüm açı ölçüleri bilindiğinde sadece
tek bir uzunluk ölçüsü dörtgeni bulmamıza yeter
mi? Buna cevabımız: Hayır!
Taralı olan üçgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamının (T olsun), yıldızın köşe açılarının ölçüleri
toplamı (Y olsun) ve ortadaki taranmamış çokgenin
dış açılarının ölçüleri toplamının 2 katı (2360o) ile
oluştuğuna dikkat edersek;
T = Y + 2360o
o
olur. T = n180 olduğundan
Y = n180o – 2360o = (n – 4)180o
olduğu kanıtlanmış olur.
Örnek. ACEBD bir
yıldızıl beşgen
olduğuna göre
şekilde x, y, z, m, n
ile belirtilen ölçülerin
toplamı kaç derecedir?
A) 360
B) 450
Sözgelimi ABCD dörtgeninin A, B, C, D iç açılarının ölçüleri sırasıyla 90, 120, 30, 120 olsun.
Herhangi bir kenar uzunluğunu da biliyor olalım,
sözgelimi |AB| = 4 br olsun. Bakalım dörtgeni inşa
edebilecek miyiz?
A
x
B
n
y
Çokgenler
C
E
z
C) 540
30o
D
D) 720
30
C
m
C
o
D
E) 900
D
120o
o
120
o
o
120
A
Çözüm: Ölçüleri x, y, z, m, n olan açıların köşelerine sırasıyla X, Y, Z, M, N diyelim.
XYZMN beşgeninin iç
A
açılarının ölçülerinin
x
n
de ters açılar gereği
E
B
x
n
x, y, z, m, n olduğunu
m
y y z
m
fark ediniz. O halde
z
beşgenin iç açılarının
C
D
ölçüleri toplamından
cevap (5 – 2)180 = 540º bulunur.
Doğru cevap: C.
4
B
120
A
4
B
Üst şekillerden de görüldüğü üzere, aynı verilere
sahip iki farklı ABCD dörtgeni çizilebilmektedir.
Yani bu veriler belli bir dörtgeni işaret etmemektedir. Halbuki, sözgelimi |AD| değeri verilseydi, tek
bir tane ABCD dörtgeni belirecekti. |AD| yerine |BC|
veya |CD| de olabilirdi tabii ki… Demek ki bir
dörtgenin belirlenebilmesi için en az 2 uzunluk ölçüsüne ihtiyaç vardır.
11
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Bir de beşgene göz atalım: Bir beşgenin de, diğer
tüm çokgenler gibi iç açı ölçüleri toplamı bilinmektedir. Bu yüzden en fazla 4 tane açı ölçüsü bize yeter. Bizi bekleyen soruyu tahmin etmişsinizdir: En
az kaç tane uzunluk ölçüsü verilmelidir?
Örnek. Bir yedigenin belirlenebilmesi için en az
kaç uzunluk veya açı ölçüsü bilgisine gerek vardır?
A) 7
D
D

E
o
E
o

A
o

a
C) 9
D) 11
E) 13
Örnek. Bir sekizgenin belirlenebilmesi için gereken
en fazla açı ölçüsü bilgisi sayısı a, en az uzunluk
ölçüsü bilgisi sayısı b olduğuna göre 3a + 2b toplamı kaçtır?
c
c

o
B) 8
Çözüm: Bir n-genin belirlenebilmesi için yeter sayının en az 2n – 3 olduğunu bulmuştuk. O halde bir
yedigenin belirli olabilmesi için en az 27 – 3 = 11
bilgiye ihtiyaç vardır.
Doğru cevap: D.
Tüm açı ölçüleri belli ama sadece iki kenar uzunluğu belli olan beşgen belli midir, ona bakalım:
o
Çokgenler
C
b
A) 37
B
B) 35
C) 33
D) 31
E) 29
Çözüm: Bir n-genin belirlenebilmesi için gereken
en az 2n – 3 bilginin, en fazla n – 1 tanesinin açı ölçüsü, en az n – 2 tanesinin uzunluk ölçüsü olması
gerektiğini söylemiştik. O halde sekizgen için a = 7
ve b = 6 olur. O halde 3a + 2b = 37 + 26 = 33 olarak bulunur.
Doğru cevap: C.
Yukardaki şekilden de görüldüğü üzere, c kenarı
belli olmadığında aynı verilere sahip iki farklı
ABCDE beşgeni çizilebilmektedir. İki beşgende de
iç açı ölçüleri aynı olup iki kenar uzunluğunun da
aynı olduğuna dikkat ediniz. Demek ki; bir beşgenin belirlenebilmesi için en az 3 uzunluk ölçüsüne
ihtiyaç vardır.
Örnek. Belli olabilmesi için biri diğerinden elde
edilemeyen 15 bilgiye ihtiyaç duyulan çokgenin
toplam köşegen sayısı kaçtır?
Şimdi buradan bir genelleme yapacağız. 3-gen, 4gen ve 5-genin belirlenebilmesi için sırasıyla en
fazla 2, 3 ve 4 açı ölçüsüne ihtiyaç duyulmuştu, o
halde n-genin belirlenebilmesinde de en fazla n – 1
tane açı ölçüsü lazımdır.
A) 14
B) 20
C) 27
D) 35
E) 44
Çözüm: Hemen 2n – 3 = 15 diyerek çokgenin 9
kenarlı olduğunu bulalım. Toplam köşegen sayısı
n(n  3)
formülü de
olduğundan, cevabımız 27
2
olmalıdır.
Doğru cevap: C.
Diğer yandan, 3-gen, 4-gen ve 5-genin belirlenebilmesi için sırasıyla en az 1, 2 ve 3 uzunluk ölçüsü
verilmeliydi, o halde n-genin belirlenebilmesi için
de en az n – 2 tane uzunluk ölçüsü verilmelidir.
Şu durumda denebilir ki;
Örnek. En az 10 tane uzunluk ölçüsüyle belli olabilen bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç
dik açı ölçüsüne bedeldir?
bir n-genin belirlenebilmesi için en fazla n – 1 tanesi açı ölçüsü ve en az n – 2 tanesi uzunluk ölçüsü
olmak üzere en az 2n – 3 tane bilgiye ihtiyaç vardır.
A) 40
Son kullandığımız en az cümlesi, verilen bilgilerin
birbirinden bağımsız olup olmadığının bilinmediğindendir. Demek istediği şu ki, verilen birkaç bilgiden bir diğer bilgi zaten çıkarılıyorsa fazla bilgi
verilmiş demektir. Bu da çizim için yeterli olmayacaktır. Yani, verilen herhangi bir bilgi, eldeki diğer
bilgilerden elde edilemiyorsa 2n – 3 tane bağımsız
bilgi n-geni çizmeye, çizemesek de varlığına delil
olmaya yeterdir.
B) 29
C) 24
D) 22
E) 20
Çözüm: Bir n-genin belirlenebilmesi için gereken
bilgilerden en az n – 2 tanesi uzunluk ölçüsü bilinmeliydi. Demek ki n = 12. Diğer yandan bir n-genin
iç açı ölçüleri toplamı da n – 2 tane 180, diğer deyişle 2n – 4 tane 90 olduğundan sorumuzun cevabı
212 – 4 = 20 olmalıdır.
Doğru cevap: E.
12
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
1.
20 kenarlı bir çokgenin kaç köşesi vardır?
A) 10
B) 19
C) 20
D) 21
E) 40
2.
20 köşesi olan bir çokgen kaç kenarlıdır?
A) 19
B) 20
C) 21
D) 40
E) 41
3.
Bir yirmigenin herhangi bir köşesinden kaç köşegen geçer?
A) 10
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
4.
Bir yirmigenin tek bir köşesinden geçen tüm köşegenler çizilirse, yirmigen kaç üçgene parçalanmış olur?
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
5.
Bir yirmigenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç
derecedir?
A) 3960
B) 3780
C) 3600 D) 3420 E) 3240
6.
Bir yirmigenin dış açılarının ölçüleri toplamı
kaç derecedir?
A) 180
B) 360
C) 3240
D) 3420
E) 3600
7.
İç açılarının ölçüleri toplamı dış açılarının ölçüleri toplamının 2 katı olan çokgen kaç kenarlıdır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
13
Çokgenler
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
8.
İç açılarının ölçüleri toplamı 20 tane dik açı ölçüsü olan çokgenin kaç kenarı vardır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
9.
Aşağıdakilerden hangisi n kenarlı bir çokgenin
köşegen sayısına eşittir?
n
A)  
2
n
C)    1
2
 2n 
B)  
2
n
D)    n
2
n
E)    n
2
10.
Köşegen sayısı kenar sayısına eşit olan çokgen
kaç kenarlıdır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
11.
Köşegen sayısı, kenar sayısının 3 katı olan çokgenin toplam kaç köşegeni vardır?
A) 54
B) 44
C) 35
D) 27
E) 20
12.
Köşegen sayısı, kenar sayısından 12 fazla olan
çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
A) 360
B) 540
C) 720
D) 900
E) 1080
13.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir n-genin köşegen sayısının kenar sayısına oranını verir?
B) n2− 3n
A) n − 3
D)
n3
2
C)
E)
n3
2
n2  3
2n
14
Çokgenler
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
14.
Köşegen sayısıyla kenar sayısının toplamı 28
olan çokgen kaç kenarlıdır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
15.
Bir konveks çokgenin iç açılarından en çok kaç
tanesi dar olabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
16.
Bir yıldızıl altıgenin köşe açılarının toplamı kaç
derecedir?
A) 360
B) 540
C) 720
D) 900
E) 1080
17.
Köşe açılarının toplamı 7 doğru açı ölçüsünün
toplamına eşit olan yıldızıl çokgen kaç köşelidir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
18.
Bir beşgenin çizilebilmesi için en az kaç uzunluk
veya açı ölçüsü bilgisine ihtiyaç vardır?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
19.
Çizilebilmesi için 21 bağımsız bilgiye gerek duyulan çokgenin kaç köşegeni vardır?
A) 20
B) 27
C) 35
D) 44
E) 54
20.
Bir yirmigenin çizilebilmesi için gereken bilgilerden en az kaç tanesi uzunluk ölçüsü olmalıdır?
A) 18
B) 19
C) 20
D) 35
E) 37
15
Çokgenler
Download