VI. BÖLÜM DÜZLEMDE VEKTÖRLER YÖNLÜ DO⁄RU PARÇASI Tan›m : Düzlemde A ve B noktalar› verilsin. [AB] n›n A dan B ye do¤ru yönlendirildi¤ini düflünelim. Böyle do¤ru parçalar›na, yönlü do¤ru parçalar› denir. → AB yönlü do¤ru parças›, AB ile gösterilir. Yönlü do¤ru parças›nda; A bafllang›ç noktas›, B ise bitim noktas›d›r. B A E Tan›m : Bir d do¤rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar› alal›m. d → → do¤rusuna, AB ve CD yönlü do¤ru parçalar›n›n tafl›y›c›s›; d do¤rusunun düzlemindeki konumuna → → da AB ve CD n›n do¤rultusu denir. D → d C Birbirine paralel olan do¤rular›n do¤rultular› ayn›d›r. AB yönlü do¤ru parças›nda yön, A dan B ye do¤rudur. B A → A ve B noktalar› aras›ndaki uzakl›¤a, AB n›n uzunlu¤u denir ve → | AB | ile gösterilir. Bir yönlü do¤ru parças›; yönü, uzunlu¤u ve do¤rultusu ile bellidir. Tan›m : Tafl›y›c›lar› ayn› veya paralel olan yönlü do¤ru parçalar›na, paralel yönlü do¤ru parçalar› denir. D d d1 d2 H C B F A G E A, B, C, D ∈ d ise → → AB // CD E, F ∈ d G, H ∈ d2 ve d // d ise 1 2 → → EF // GH 1 Tan›m : Yönleri z›t ve tafl›y›c›lar› ayn› veya birbirine paralel olan yönlü do¤ru parçalar›na, z›t (ters) yönlü do¤ru parçalar› denir. D d d1 C B A B d2 C D A → → AB // CD z›t yönlü do¤ru parçalar›d›r. → → Bafllang›ç ve bitim noktas› ayn› olan yönlü do¤ru parças›, AA ile gösterilir. AA yönlü do¤ru parças›n›n uzunlu¤u s›f›r, yönlü ve do¤rultusu belirsizdir. 135 Tan›m : Do¤rultular› ve yönleri ayn›, uzunluklar› eflit olan yönlü do¤ru parçalar›na, efl yönlü D do¤ru parçalar› denir. → → → → → A → → F B AB ≡ CD fleklinde gösterilir. → d C → AB ve CD efl yönlü do¤ru parçalar› 2 E d1 → AB ≡ CD ve AB // CD ve | AB | = | CD | yaz›l›r. → → AB yönlü do¤ru parças›na d›fl›ndaki E noktas›ndan EF // AB ve |EF| = |AB| olacak flekilde bir EF → → yönlü do¤ru parças› çizilir. Burada, AB ≡ EF olur. Örnek : Yandaki flekilde; A, B ve C ∈ d dir. Uç noktalar› A, B ve C olan yönlü do¤ru parçalar›n› yazal›m. d C B A → Çözüm : AB yönlü do¤ru parças›nda; A bafllang›ç, → B bitim noktas›d›r. BA yönlü do¤ru parças›nda; B bafllang›ç, A bitim noktas›d›r. d do¤rusu AB yönlü do¤ru parças›n›n do¤rultusudur. Yönü A dan B ye do¤rudur. →→→ →→→ →→→ →→→ → CA CA,BC CA BC BCCB BC CB CB CB yönlü do¤ru parçalar›nda, bafllang›ç ve bitim noktalar›n› söyleyiniz. AC AC AC AC , CA ve d do¤rusu yukar›da yaz›lan yönlü do¤ru parçalar›n›n tafl›y›c›s›d›r. Örnek : fiekilde; d1 // d2 ve |AB| = |EF| = |KL| = 2 birim, |CD| = |GH| = |MN| = 1 birim ise birbirine efl yönlü do¤ru parçalar›n› ve z›t yönlü do¤ru parçalar›n› yazal›m. B A H C G K D E L M F d1 N d2 Çözüm : → →→ → →→ → →→→ →→→ → → → CD EF KL MN CDKL EFEF EF KLKL MNMN CD CD yönleri ve do¤rultular› ayn›, uzunluklar› eflit oldu¤undan; ile ve ile MN n›n → →→→ → → →→ →→→ → → → → EF≡KLKLMN MNCD CD EF KL CD AB ve EF n›n do¤rultular› ayn›, uzunluklar› eflit olmas›na karfl›n yönleri EF EF ve ≡ MN d›r. → → z›t oldu¤undan; AB ≡/ EF d›r. → → →→ →→ → →→→ →→ →→ →→ → EF MN CDCD EF KL GH MN;AB CDMN CDEF , EF , KL KL ile MN ayn› yönlü do¤ru parçalar›d›r. AB ile → → → →→ →→ → → →→ → → → → → →→ MNMNCDCD CD EF,EFKLKL KLGH MN CDMN EF ile AB ; AB , EF ile z›t yönlü do¤ru parçalar›d›r. Düzlemde yönlü do¤ru parçalar› kümesinde tan›ml› efl (≡) olma ba¤›nt›s›n›n, denklik ba¤›nt›s› oldu¤unu gösterelim. → → 1. Her yönlü do¤ru parças› kendine eflittir. AB ≡ AB dir. (yans›ma özelli¤i) → → → → → → → → → → →→ → → → EF her KL AB MN, CD yönlü do¤ru parçalar› EFiçin, AB KL EF MN≡KL CDMN 2. Düzlemin ⇒ CD ≡ AB olur. ( simetri özelli¤i) → → → → → → → → → → → →→ → → → → → EF her KL AB MN, CD ve EF yönlü do¤ru parçalar› 3. Düzlemin ve CD ≡ EF ⇒ AB ≡ EF olur. KL EF MN≡KL CDMN EFiçin, AB (geçiflme özelli¤i) Yönlü do¤ru parçalar› aras›ndaki efl (≡) olma ba¤›nt›s›n›n; yans›ma, simetri ve geçiflme özellikleri oldu¤undan , denklik ba¤›nt›s›d›r. Bu nedenle yönlü do¤ru parçalar› kümesinde efl olma ba¤›nt›s›, kümeyi denklik s›n›flar›na ay›r›r. 136 ALIfiTIRMALAR 1. d B Yandaki yönlü do¤ru parças›n›n; bafllang›ç noktas›n›, bitim noktas›n›, do¤rultusunu, yönünü belirtiniz. A A 2. Yandaki ABC üçgeninin kenarlar›n›n orta noktalar›; D, E ve F dir. Birbirine efl yönlü do¤ru parçalar›n› yaz›n›z. F E B D C D 3. C Yandaki ABCD eflkenar dörtgeninden yararlanarak, afla¤›da yaz›lan ba¤›nt›lar›n do¤ru ya da yanl›fl olduklar›n› belirtiniz. → → → a. AB ≡ DC → →→ → → → BC≡ CB AC CA b. AD → → → → → → → → → → O OD≡OB OD OC OB OD AO OC OB AO≡OC OC c. OD d. AO AO OB B A VEKTÖR Tan›m : Yönlü do¤ru parçalar› aras›ndaki efl olma denklik ba¤›nt›s› ile ayr›lan denklik s›n›flar›n›n her birine, vektör denir. → Vektörler Áu, Áv, Áw, ... gibi harflerle gösterilir. A Áu vektörü, AB yönlü do¤ru parças›na denk olan bütün yönlü do¤ru parçalar›n›n temsilcisi olan vektördür. G D u N → F u v M → → → → AB ≡ CD ≡ EF ≡ ... ≡ u → L → v K → E .............................................. Tan›m H → v → C → B u → → → → GH ≡ KL ≡ MN ≡ ... ≡ v : Bafllang›ç ve bitim noktas› ayn› olan vektörlere, s›f›r vektörü denir. → AA ≡ BB ≡ .... ≡ Á0 ile gösterilir. Bir vektör; yönü, do¤rultusu ve uzunlu¤u de¤iflmemek üzere yer de¤ifltirebilir. Böyle vektörler, eflit vektörlerdir. Áu ve Áq eflit vektörler ise, Áu = Áq fleklinde gösterilir. → → → AB vektörünün uzunlu¤u (normu), || AB || veya | AB | ile gösterilir. Normu (uzunlu¤u) 1 birim olan vektörü, birim vektör denir. A B C D → Örne¤in; |AB|= 5 birim ise || AB || = 5 birimdir. → → → → KL ise MN|| CD || = 5 birimdir. EFbirim |CD|= 5 → →→ → → → → →→ → EF KLABMN EF KL AB MN= CD vektöve CD vektörlerinin do¤rultular› ve yönü ayn›, uzunluklar› eflit oldu¤undan, rüdür. Do¤rultular› ayn› yönleri z›t olan vektörlere ise, z›t (ters) vektörler denir. F → → → → → MN CD fiekildeki EF ve GH , AB z›t vektörlerdir. 137 E G H d → → Yandaki flekilde; AB ve BA vektörleri do¤rultular› ayn›, A → → A uzuklar› eflit z›t vektörler olup, AB =– BA yaz›l›r. Örnek B B : Yandaki flekilde, ABCD paralelkenar›nda eflit vektörleri yazal›m. D → → → → → C → EF ve KL BA MN= CD , Çözüm : [AB]//[CD] ve |AB|=|DC| ⇒ AB = DC → →→ → → → → → → → O CA BC= CB , AC AD CA= AC BC ve CB DA [AD]//[BC] ve |AD|=|BC| ⇒ |AO| = |OC| ve A, O, C noktalar› do¤rusald›r. →→ → →→ → → →→ → → →→→ B A → → AO AO=AO OC OCOC OA OA OA −OC −OC AO OC OA −OC olur. ve =−OC ANAL‹T‹K DÜZLEMDE VERTÖRLER Tan›m : Analitik düzlemde, A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktalar› verilsin. y B(x 2 , y 2 ) → → AB vektörüne eflit ve bafllang›ç noktas› orijin olan OP vektörünü çizelim. → → OP vektörüne, AB vektörünün yer (veya konum) vektörü denir. A(x 1, y1 ) P(a, b) → → AB = OP oldu¤undan, OPBA paralelkenard›r. P(a,b) ise a=x2–x1 ve b=y2–y1 olur. Bu durumda; A(x1,y1) ve B(x2,y2) olmak üzere, x O → → AB vektörünün yer vektörü, (x2–x1, y2–y1)=(a,b) olur. OP =(a,b) fleklinde → gösterilir. a reel say›s›na, OP konum vektörünün birinci bilefleni; b reel say›s›na da ikinci bilefleni denir. Bir Vektörün Normu (Uzunlu¤u) → → OP =(a,b) vektörü verilsin. OP =(a,b) yer vektörünün uzunlu¤u → y P(a, b) → (normu), || OP || veya | OP | ile gösterilir. OP′P dik üçgeninden, → || OP ||= a2 + b 2 bileflenleri cinsinden yaz›l›r. → → → → −OC AO OC OA =(x Analitik düzlemde her A(x1,y1) noktas›na, 1,y1) yer vektörü karfl›l›k gelir. Her vektöre de analitik düzlemde bir nokta karfl›l›k gelir. → → → x P′ O → −OC AO OC OA vektörü yerine ÁA vektörü de yaz›labilir. → Örnek : A(2,3), B(3,5) noktalar› veriliyor. AB nün yer vektörünün bileflenlerini bularak uzunlu¤unu hesaplayal›m. y → → → B 5 Çözüm : AB =(x2–x1, y2–y1)=(3–2,5–3)=(1,2) → OP = AB =(1,2) den, AB vektörünün birinci bilefleni 1 ve ikinci bilefleni 2 A 3 → olur. AB vektörünün normu, → P → 2 2 2 2 || AB ||=|| OP ||= a + b = 1 + 2 = 5 birim bulunur. → Örnek : A(2, –3) ve B(a, 1) noktalar› veriliyor. || AB ||=5 birim ise a reel say›lar›n› bulal›m. → → Çözüm : AB =(a–2,1+3) ⇒ || AB ||= a = 5 veya a = –1 bulunur. O 2 (a – 2)2 + 4 2 = 5 ⇒ (a – 2)2 = 9 oldu¤undan 138 3 x ‹ki Vektörün Eflitli¤i ÁA(x1,y1) ve ÁB(x2,y2) vektörleri verilsin. ÁA = ÁB ⇔ x1 = x2 ve y1 = y2 dir. : ÁA=(a+2b,4), ÁB=(–1,b–a) vektörleri veriliyor. ÁA=ÁB ise a+b de¤erini bulal›m. Örnek Çözüm : ÁA = ÁB ⇒ (a+2b,4) = (–1,b–a) ⇒ a+2b = –1 ve 4 = b–a olur. a + 2b = –1 ⇒ b = 1 ve a = –3 tür. Buradan, a+b = –3+1 = –2 bulunur. B – A = 4 → Örnek : A(3,a) ve B(b,–2) noktalar› veriliyor. AB = (–3,2) ise a+b de¤erini bulal›m. → Çözüm : AB = (b – 3,–2 – a) = (–3,2) ⇒ b – 3 = –3 ⇒ b = 0, –2 – a = 2 ⇒ a = –4 ⇒ a + b = –4 olur. ‹ki Vektörün Toplam› ve Fark› y C(X1 , + x2 , y1+ y ) 2 Analitik düzlemde, ÁA=(x1,y1) ve ÁB=(x2,y2) vektörleri verilsin. A(x1, y1) → → A–B ÁA + ÁB = (x1 + x2, y1 + y2) ve ÁA – ÁB = (x1 – x2, y1 – y2) fleklinde tan›mlan›r. B(x 2 , y 2 ) → → A+B → → → → OBOB vektörlerinin toplam› fiekilde, OAOA ve x O → paralelkenar kural›na göre OC vektörüdür. A(x1, y1) ⇒ ÁA = (x1, y1) B = (x2, y2) ⇒ ÁB = (x2, y2) OBCA paralelkenar›nda, C(x1 + x2, y1 + y2) dir. Bu durumda, → ÁA + ÁB = ÁC = (x1 + x2, y1 + y2) ve BA = ÁA – ÁB = (x1 – x2, y1 – y2) olur. y : ÁA = (–3,4) ve ÁB = (1,2) vektörleri verilsin. Örnek → → A + B = (−2, 6 ) ÁA + ÁB ve ÁA – ÁB vektörlerini bulal›m. 6 → A(–3, 4) Çözüm : ÁA = (–3,4) ve ÁB = (1,2) vektörleri için, ÁA + ÁB = (x1+x2, y1+y2) = (–3+1,4+2)=(–2,6) → 4 → ÁA – ÁB = (x1–x2, y1–y2) = (–3–1,4–2)=(–4,2) olur. –4 → 2 A − B = (−4, 2) –3 –2 –1 → O B(1, 2) 1 x → Örnek : A(1,2) ve B(–3,–2) noktalar› ile ÁC = (–1,5) vektörü veriliyor. AB + ÁC ve ÁC – AB vektörlerini bulal›m. → Çözüm : AB = ÁB – ÁA = (–3 –1, –2 –2) = (–4,–4) olur. → AB + ÁC = (–4,–4) + (–1,5) = (–4 –1,–4 + 5) = (–5,1) ve → ÁC – AB = (–1,5) – (–4,–4) = (–1 + 4,5 + 4) = (3,9) bulunur. 139 Vektörler Kümesinde Toplama ‹flleminin Özellikleri Düzlemde vektörler kümesi V olsun: 1. ∀ ÁA, ÁB ∈ V için ÁA, ÁB ∈ V dir. ‹ki vektörün toplam› yine bir vektör oldu¤undan, V vektörler kümesi toplama ifllemine göre kapal›d›r. ÁA=(x1,y1) ve ÁB=(x2,y2) ise ÁA +ÁB=(x1+x2,y1+y2)=(x0,y0)=ÁC ∈ V dir. 2. ∀ ÁA, ÁB ∈ V için ÁA + ÁB = ÁB + ÁA dür. V kümesinde toplama iflleminin de¤iflme özelli¤i vard›r. ÁA=(x1,y1) ve ÁB=(x2,y2) ise ÁA +ÁB=(x1+x2,y1+y2)=(x2+x1,y2+y1)= ÁB + ÁA olur. 3. ∀ ÁA, ÁB, ÁC ∈ V için ÁA + (ÁB + ÁC)=(ÁA + ÁB) + ÁC dür. V kümesinde toplama iflleminin birleflme özelli¤i vard›r. ÁA=(x1,y1), ÁB=(x2,y2) ve ÁC=(x3,y3) ise, ÁA + (ÁB + ÁC)=(x1,y1)+(x2+x3,y2+y3)=(x1+x2+x3,y1+y2+y3)=(x1+x2,y1+y2)+(x3,y3) = (ÁA + ÁB) + ÁC oldu¤u görülür. 4. ∀ ÁA ∈ V için ÁA + Á0 = Á0 + ÁA = ÁA olur. Á0 vektörü, toplama iflleminin birim (etkisiz) eleman›d›r. ÁA=(x1,y1) ve Á0=(0,0) ise ÁA +Á0=(x1+0,y1+0)=(x1,y1)=ÁA olur. 5. ∀ ÁA ∈ V için ÁA + ÁB = ÁB + ÁA = Á0 olacak flekilde, ÁB = –ÁA vard›r. ÁB vektörüne, ÁA vektörünün toplama ifllemine göre tersi denir. ÁA=(x1,y1) ve ÁB=–ÁA =(–x1,–y1) ise ÁA +ÁB=(x1–x1,y1–y1)=(0,0)= Á0 dür. ÁA=(x1,y1) vektörünün toplama ifllemine göre tersi, –ÁA =(–x1,–y1) vektörüdür. Bir Vektörün Bir Reel Say› ile Çarp›m› V vektörler kümesinde her ÁA = (x1,y1) vektörü ve k ∈ R için k.ÁA = k.(x1,y1) = (k.x1,k.y1) fleklinde tan›mlan›r. k.ÁA = ÁB olsun. k < 0 ise, ÁB ile ÁA ters yönlü ve ||ÁB|| = –k||ÁA||, k > 0 ise, ÁB ile ÁA ayn› yönlü ve ||ÁB|| = k||ÁA||, k = 0 ise, ÁB = Á0 olur. k ≠ 0 ve ÁB = k.ÁA ise; ÁA ve ÁB vektörlerinin do¤rultular› ayn› oldu¤undan, ÁB // ÁA dür. Örnek : ÁA = (–1,2) ve ÁB = (2,3) vektörleri veriliyor. 2ÁA – 3ÁB vektörünü bulal›m. Çözüm : ÁA = (–1,2), B = (2,3) vektörleri için, 2ÁA – 3ÁB = 2(–1,2) – 3(2,3) = (–2,4) + (–6,– 9) = (–2 – 6,4 – 9) = (–8,–5) olur. Örnek : ÁA = (2,–1), ÁB = (3,1) ve ÁC = (1,–4) vektörleri veriliyor. xÁA + yÁB = ÁC ise x ve y reel say›lar›n› bulal›m. Çözüm : ÁA=(2,–1), ÁB=(3,1) ve ÁC=(1,–4) vektörleri için, xÁA + yÁB = ÁC ⇒ x(2,–1)+y(3,1)=(1,–4) ⇒ (2x,–x)+(3y,y)=(1,–4) ⇒ (2x+3y,–x+y)=(1,–4) olur. Buradan, 2x + 3y = 1 denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin çözümünden, x = 13 , y = − 7 bulunur. − x + y = −4 5 5 140 VEKTÖRLER‹N B‹R REEL SAYI ‹LE ÇARPIMININ ÖZELL‹KLER‹ ÁA=(x1,y1) ve ÁB=(x2,y2) vektörleri verilsin. k, p ∈ R ise: 1. k.(ÁA+ÁB)=kÁA+kÁB dür. k.(ÁA+ÁB)=k.(x1+x2,y1+y2)=(kx1+kx2,ky1+ky2)=(kx1,ky1)+(kx2,ky2)=k.(x1,y1)+k.(x2,y2)=k.ÁA+kÁB olur. 2. (k+p)ÁA=kÁA+pÁA dür. (k+p)ÁA=(k+p)(x1,y1) = ((k+p).x1,(k+p).y1)=(kx1+px1, ky1+py1) = (kx1, ky1) + (px1, py1) = k.(x1, y1) + p.(x1, y1) = kÁA+pÁA olur. 3. k.(p.ÁA) = p.(k.ÁA) = (k.p)ÁA dür. k.(p.ÁA) = k.(p.(x1,y1)) = k.(px1,py1) = (kpx1,kpy1) = (kp)(x1,y1) = k.p.ÁA olur. 4. –1.ÁA = –1(x1,y1) = (–x1,–y1) = –ÁA 1.ÁA = 1(x1,y1) = (x1,y1) = ÁA 0.ÁA = 0(x1,y1) = (0,0) = Á0 k.Á0 = k(0,0) = (0,0) = Á0 olur. ‹K‹ VEKTÖRÜN PARALELL‹⁄‹ ÁA≠Á0, ÁB≠Á0 ve k≠0 olmak üzere, ÁB=k.ÁA ⇔ ÁB // ÁA dür. ÁB=(x0,y0) ve ÁA=(x1,y1) ise (x0,y0)=k(x1,y1) ⇒ (x0,y0)=(kx1,ky1) ⇒ x0= kx1 ve y0= ky1 eflitliklerinden, x0 x1 = y0 y1 Örnek = k olacakt›r. Bulunan oran, iki vektörün paralellik flart›d›r. : ÁA= (a–1,2) ve ÁB (3,–4) vektörleri veriliyor. ÁA // ÁB ise ÁA vektörünün normunu bulal›m. Çözüm : A // ÁB ⇔ ÁA=kÁB dür. (a–1,2)=k(3,–4) ⇒ (a–1,2)=(3k,–4k) ⇒ a–1=3k ve 2=–4k olur. Buradan, a −1 2 1 = =k ⇒ a =− 3 −4 2 bulunur. 1 3 ÁA= − −1,2 = − ,2 dir. ÁA vektörünün normu, ||ÁA||= 2 2 Örnek rini bulal›m. 9 25 5 +4 = = 4 4 2 olur. → : A(3,–2), B(–1,5) noktalar› ile ÁC=(a–2, 2a+1) vektörleri veriliyor. AB // ÁC ise a de¤e→ → → Çözüm : AB = OB – OA = (–1,5)–(3,–2)=(–1,5)+(–3,2)=(–4,7) → AB // ÁC ⇒ Örnek ¤unu bulal›m. 7 −4 2 = ⇒ –8a–4=7a–14 ⇒ a= bulunur. a − 2 2a +1 3 → → : ÁA=(2,1), ÁB=(–1,4) ve ÁC=(0,–3) vektörleri veriliyor. 2 AB + 3 BC vektörünün uzunlu→ → Çözüm : AB = ÁB– ÁA=(–1,4)–(2,1)=(–3, 3) ve BC = ÁC – ÁB= (0,–3)–(–1,4)=(1,–7) → → 2 AB + 3 BC = 2(–3,3)+3(1,–7)=(–6+3,6–21)=(–3,–15) bulunur. → → Vektörün uzunlu¤u ise, ||2 AB + 3 BC || = (−3)2 + (−15)2 = 9 + 225 = 234 = 3 26 birim bulunur. 141 ALIfiTIRMALAR → → → → → → → → → 1. AC CA CA BC BC vektörlerinin CB CB Analitik düzlemde; A(–1,3), B(2,–3) ve C(–1,–4) noktalar› veriliyor. AB , AC ve bileflenlerini bulunuz. 2. ÁA=(3,5), ÁB=(0,–4), ÁC=(–7,0) ve ÁD=(–2,–5) vektörlerini analitik düzlemde gösteriniz. 3. A(–2,5) ve B(1,1) noktalar› veriliyor. AB vektörünü ve konum (yer) vektörünü analitik düzlemde → → gösteriniz. AB vektörünün normunu bulunuz. → 4. A(7, –5) ve B(a, 3) noktalar› veriliyor. || AB || =17 ise a reel say›lar›n› bulunuz. 5. A(2,3), B(–5,–1), C(a,–2) ve D(4,b) noktalar› veriliyor. AB = CD ise a ve b reel say›lar›n› bulunuz. 6. ÁA=(3,–1) ve ÁC=(6,11) vektörleri veriliyor. → → a) ÁA ve ÁB vektörlerinin toplama ifllemine göre terslerini bulunuz. b) ÁA + ÁB ve ÁB – ÁA vektörlerini bulunuz. → → c) AB ve BA vektörlerini bulunuz. 7. A(2,7), B(–6,3) ve C(–3,4) noktalar› veriliyor. → → → →→ → → → → → ACABCA CB CB a)ACABCA + BC ve – BC vektörlerini bulunuz. → → → → → →→ → → → AB CA CB3AC CB b) AC 2 ABCA– BC ve + 2 BC vektörlerini bulunuz. 8. ÁA + ÁB= (–4, 5) ve 2ÁA – 3ÁB=(–18, –5) ise ÁA ve ÁB vektörlerini bulunuz. 9. AB = (8,–3) ve ÁB= (–1, 9) ise ||ÁA|| nu hesaplay›n›z. → 10. ÁA= (–1, 2), ÁB= (4, –1) ve ÁC= (–16, 11) vektörleri veriliyor. xÁA + yÁB= ÁC eflitli¤ini sa¤layan x ve y reel say›lar›n› bulunuz. 11. ÁA=(3, –1) ve ÁB=(a+1, 3–2a) vektörleri veriliyor. ÁA // ÁB ise a de¤eri kaçt›r? → 12. AB =(5, –8) ve ÁA=(3, k) vektörleri veriliyor. ÁA // ÁB ise k de¤eri kaçt›r? → → 13. A(7, –4) ve B(4, a) noktalar› ile ÁC= (6, –8) vektörü veriliyor. AB // ÁC ise AB vektörünün uzunlu¤unu bulunuz. 142 B‹R‹M VEKTÖR Tan›m : Uzunlu¤u 1 birim olarak vektöre, birim vektöre denir. ||ÁA||= 1 birim ise, ÁA vektörü birim vektördür. : ÁA= 5 ,− 12 vektörünün birim vektör oldu¤unu gösterelim. Örnek 13 13 2 2 5 12 25 144 169 + = = 1 birim olur. + − = 13 13 169 169 169 Çözüm : ||ÁA||= Bu durumda ÁA vektörü birim vektördür. Analitik düzlemde Áe1= (1, 0) ve Áe2= (0, 1) birim vektörlerine, taban birim vektörler denir. Bu vektörler; standart (temel veya baz) birim vektörleri olarak da adland›r›l›r. y → e2 = (0, 1) Áe1 yatay birim vektörü, ÁΙ ile Áe2 düfley birim vektörü, Áj ile gösterilir. Bir ÁA vektörü ile ayn› yönde ve do¤rultuda ÁΙ gibi bir birim O vektör vard›r. ÁA=(x1,y1) vektörü ile ayn› do¤rultu ve yöndeki birim vektör, ÁΙ = 1 → x → e1 = (1, 0) → .A veya y || A || → A = (x1 , y 1 ) ÁΙ = x1 x2 + y2 1 1 → ||||ÁΙ i|| ||= = ve ÁΙ i = → Örnek , x 12 x12 + y 12 dir. Çünkü x12 + y12 y1 + y12 x 12 + y12 = x12 + y12 x12 + y12 I O = 1 birim x → k = 1 > 0 = k.Á A oldu¤undan, ÁΙ ile ÁA vektörleri ayn› yönde ve do¤rultudad›r. .A → → || A || || A || 1 : ÁA=(–1, ñ3) vektörü ile ayn› do¤rultudaki birim vektörleri bulal›m. Çözüm : ÁA=(–1, ñ3) vektörü için, ||ÁA||= 1 ÁA ile ayn› yöndeki birim vektör, ÁΙ 1 = → (−1)2 + ( 3 )2 = 2 dir. → .A = || A || ÁA ile ters yöndeki birim vektör, ÁΙ2 = − 1 → 1 3 1 ve (−1, 3 ) = − , 2 2 2 → .A = − || A || 143 1 1 3 bulunur. (−1, 3 ) = ,− 2 2 2 VEKTÖRLER‹N L‹NEER B‹LEfi‹M‹ Tan›m : ÁA ve ÁB vektörleri verilsin. x, y ∈ R olmak üzere x.ÁA + y.ÁB= ÁC ise ÁC vektörüne, ÁA ve ÁB vektörlerinin lineer bileflimi denir. V vektörler kümesinin her eleman› ÁA ve ÁB vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde yaz›labiliyorsa; {ÁA, ÁB} kümesi V kümesini gerer (örter) denir. Örne¤in, ÁA= (–5, 3) ve ÁB= (2, 7) vektörleri için, ÁC= 2ÁA – ÁB= (–12, –1) ÁD= 4ÁA+3ÁB= (–14, 33) vektörleri ÁA ve ÁB vektörlerinin lineer bileflimidir. Örnek yazal›m. : ÁC=(–2, 3) vektörünü, ÁA= (–1,3) ve ÁB= (1, –2) vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde Çözüm : ÁC= (–2, 3) vektörü ÁA= (–1, 3) ve ÁB= (1, –2) vektörlerinin lineer bileflimi ise; x, y ∈ R olmak üzere, ÁC= xÁA+yÁB dür. (–2, 3)= x(–1, 3)+y(1, –2) ve (–2, 3) = (–x+y, 3x–2y) olur. −x + y = −2 denklem sisteminde, x=–1 ve y=–3 olur. Buradan, ÁC=–ÁA–3ÁB fleklinde yaz›l›r. 3x − 2y = 3 Örnek : ÁA = (–1, 0) ve ÁB=(0,2) vektörleri veriliyor. {ÁA, ÁB} kümesinin V= RxR vektörler kümesini gerdi¤ini gösterelim. Çözüm : ∀ÁC ∈ V için xÁA + yÁB = ÁC = (a,b) olsun. x(–1, 0) + y(0, 2) = (a, b) ⇒ (–x, 0) + (0, 2y) = (a, b) ⇒ (–x, 2y)=(a, b) den x = –a ve y = b bulunur. 2 ÁC vektörü, ÁA ve ÁB vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde yaz›ld›¤›ndan {ÁA, ÁB} kümesi V vektörler kümesini gerer. Düzlemde her ÁA = (x1, y1) vektörünü taban birim vektörlerin lineer bileflimi fleklinde y yazabiliriz. → → → → fiekilden; OA = OP + PA ⇒ OA = x1 Áe1 + y1 Áe2 olur. → → A = (x1 , y 1 ) y 1e 2 Çünkü ÁA = (x1,y1)= x1(1,0)+ y1(0,1) = x1 Áe1 + y1 Áe2 fleklinde de ifade edilebilir. ÁA= x1 Áe1 + y1 Áe2 vektörlerindeki x1 Áe1 vektörüne, vektörünün yatay → e2 bilefleni; y1 Áe2 vektörüne de, düfley bilefleni denir. O Örnek → e1 →P x x1 e1 : ÁA= (–7, 6) vektörünü Áe1 ve Áe2 vektörlerinin lineer bileflimi olarak yazal›m. Çözüm : ÁA= (–7, 6)= –7(1, 0) + 6(0, 1)=–7 Áe1 + 6Áe2 olur. Örnek : ÁA= 2 Áe1 – 5Áe2 ve ÁB= –3 Áe1 + 4Áe2 vektörleri veriliyor. |ÁA+ÁB| normunu bulal›m. Çözüm : ÁA= 2 Áe1 – 5Áe2 =(2, –5) ve ÁB= –3 Áe1 + 4Áe2 = (–3, 4) tür. ÁA+ÁB=(2 – 3) Áe1 +(–5+4)Áe2 = –Áe1 – Áe2 =(–1, –1) oldu¤undan, |ÁA+ÁB|= (−1)2 + (−1)2 = 2 birimdir. 144 ‹ki Vektörün Lineer Ba¤›ml›l›¤› Tan›m›: Düzlemde s›f›rdan farkl› ÁA ve ÁB vektörleri verilsin. k1ÁA + k2ÁB= Á0 eflitli¤ini sa¤layan en az biri s›f›rdan farkl› k1 ve k2 reel say›lar› varsa, ÁA ve ÁB vektörlerine, lineer (do¤rusal) ba¤›ml› vektörler denir. k1 ve k2 nin en az biri s›f›rdan farkl› ve k1ÁA + k2ÁB= Á0 ise ÁA= – k2 .ÁB veya ÁA= k.ÁB ise, ÁA // ÁB dür. k1 Bu durumda düzlemde ÁA ve ÁB vektörleri lineer ba¤›ml› ise ÁA // ÁB olur. Örnek : ÁA= (3, –4) ve ÁB= (–9, 12) vektörlerinin lineer ba¤›ml› oldu¤unu gösterelim. Çözüm : k1ÁA + k2ÁB= Á0 ⇒ k1(3, –4) + k2(–9, 12)= (0, 0) ⇒ (3k1 – 9k2, –4k1 + 12k2)= (0, 0) 3k 1 − 9k 2 = 0 denklem sisteminin k1 = 3k2 fleklindeki sonsuz çözümü oldu¤undan, −4k 1 +12k 2 = 0 ÁA ve ÁB vektörleri lineer ba¤›ml›d›r veya ÁB= –3ÁA oldu¤undan , ÁA // ÁB dür. Bulunan bu sonuç, vektörlerin lineer ba¤›ml› oldu¤unu gösterir. Örnek : ÁA=– Áe1 + 2Áe2 ve ÁB=m Áe1 – 6Áe2 vektörleri lineer ba¤›ml› ise m de¤erini bulal›m. Çözüm : ÁA=– Áe1 + 2Áe2 = (–1, 2) ve ÁB=m Áe1 – 6Áe2 = (m, –6) bulunur. ÁA ve ÁB vektörleri lineer ba¤›ml› ise ÁA // ÁB ve − Örnek 1 2 =− olmal›d›r. Buradan, m= 3 bulunur. m 6 : Düzlemdeki her vektörün s›f›r vektörü ile lineer ba¤›ml› oldu¤unu gösterelim. Çözüm : ÁA= (x1 , y1) olsun. k1 , k2 ∈ R olmak üzere k1ÁA + k2Á0 = Á0 eflitli¤i, k1 = 0 ve k2 ≠ 0 için daima sa¤lan›r. Tan›m gere¤ince, ÁA ve Á0 vektörleri lineer ba¤›ml›d›r. Lineer Ba¤›ml› Vektörler Kümesi V= {ÁA1, ÁA2, ÁA3,...., ÁAn} vektörler kümesi ile k1, k2, k3,....,kn ∈ R say›lar› verilsin. k1, k2, k3,....,kn reel say›lar›ndan en az biri s›f›rdan farkl› olmak üzere k1ÁA1 + k2ÁA2 + k3ÁA3+...+knÁAn = Á0 eflitli¤i sa¤lan›yorsa V kümesine, lineer (do¤rusal) ba¤›ml› vektörler kümesi denir. Örnek : ÁA= (6, –4) ve ÁB= (–9, 6) vektörleri veriliyor. {ÁA, ÁB} kümesinin lineer ba¤›ml› küme oldu¤unu gösterelim. Çözüm : − 6 4 oldu¤undan, ÁA // ÁB dür. Bu durumda k1ÁA + k2ÁB= Á0 eflitli¤inde k1 ve k2 den =− 9 6 en az biri s›f›rdan farkl›d›r. O hâlde, {ÁA, ÁB} kümesi lineer ba¤›ml› bir kümedir. Örnek : ÁA= (1, 2), ÁB= (–1, 3) ve ÁC= (4, –2) vektörleri veriliyor. {ÁA, ÁB, ÁC} kümesinin lineer ba¤›ml› oldu¤unu gösterelim. Çözüm : x, y, z ∈ R için; xÁA + yÁB + zÁC= Á0 ⇒ x(1, 2) + y(–1, 3) + z(4, –2)= (0, 0) ⇒ (x–y+4z, 2x+3y–2z) = (0, 0) x − y + 4z = 0 denklem sistemi elde edilir. z= k olsun. Bu de¤eri denklemlerde yerine yazal›m. 2x + 3y − 2z = 0 x − y = −4k denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin çözümünden; x= –2k, y= 2k bulunur. 2x + 3y = 2k xÁA + yÁB + zÁC= Á0 sisteminde; x, y ve z den en az biri için s›f›rdan farkl› çözümünün oldu¤u görülür. 145 Buradan; k=1 al›rsak, –2ÁA + 2ÁB + ÁC= Á0 olur. Bu durumda {ÁA, ÁB, ÁC} kümesi lineer ba¤›ml› bir kümedir. –2ÁA + 2ÁB + ÁC= Á0 ⇒ ÁC = –2ÁA – 2ÁB fleklinde ÁC vektörü, ÁA ve ÁB vektörlerinin lineer bileflimi olarak yaz›labilir. Düzlemde bu üç vektör lineer ba¤›ml› oldu¤undan herhangi birini di¤er ikisinin lineer bileflimi fleklinde yazabiliriz. Örnek : ÁA = (k–1, 35 ) ve ÁB= (2, k+1) vektörleri lineer ba¤›ml› iki vektör ise 2 pozitif k say›s› kaçt›r? Çözüm : ÁA // ÁB olmal›d›r. 35 k –1 = 2 k +1 2 k2–1= 35 .2 2 k2= 36 k= +6 bulunur. k= –6 ∉ IR+ Tan›m : Bir eleman› Á0 vektörü olan her vektör kümesi Lineer ba¤›ml› bir vektör kümesidir. Örnek : Áϑ= (Á0, (m–1) Áa1, (n–2) Áa2, (k–3) Áa3) vektör kümesi verilsin Áϑ vektörü lineer ba¤›ml› bir vektör kümesi ise m+n+k toplam› kaçt›r? Çözüm : t.Á0 + (m–1) Áa1, (n–2) Áa2, (k–3) Áa3 = Á0 t= 1 ve m–1= 0, n–2 = 0, k–3 = 0 m= 1 n= 2 k= 3 oldu¤undan t= 1 kabul edilirse t≠ 0 olup eflitlik sa¤land›¤›ndan m+n+k= 1+2+3= 6 bulunur. Bu durumda Áϑ vektörü lineer ba¤›ml› bir vektördür. ‹ki Vektörün Lineer Ba¤›ms›zl›¤› Tan›m : Düzlemde ÁA ≠ Á0 ve ÁB ≠ Á0 olmak üzere k1ÁA + k2ÁB= Á0 eflitli¤ini sa¤layan yaln›z k1 = k2 = 0 de¤erleri varsa ÁA ve ÁB vektörlerine, lineer ba¤›ms›z vektörler denir. Örnek : ÁA= (2, –5) ve ÁB= (3, 7) vektörlerinin lineer ba¤›ms›z olduklar›n› gösterelim. Çözüm : k1ÁA + k2ÁB= Á0 ⇒ k1(2, –5) + k2(3, 7)= (0, 0) ⇒ (2k1 + 3k2, –5k1 + 7k2)= (0, 0) eflitli¤inden, 2k 1 + 3k 2 = 0 sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin bir tek çözümü, k1 = k2 = 0 d›r. O hâlde, −5k 1 + 7k 2 = 0 ÁA ve ÁB vektörleri lineer ba¤›ms›zd›r. ‹ki vektör lineer ba¤›ms›z ise, paralel de¤il, yani k ∈ R olmak üzere ÁA ≠ k.ÁB dür. Örnek : Standart vektörlerin lineer ba¤›ms›z oldular›n› gösterelim. Çözüm : Áe1 = (1, 0) ve Áe2 = (0, 1) için, k1 Áe1 + k2 Áe2 = Á0 ⇒ k1(1, 0) + k2(0, 1)= (0, 0) ⇒ (k1, k2)= (0, 0) ⇒ k1 = k2 = 0 d›r. Burada, Áe1 ve Áe2 vektörlerinin lineer ba¤›ms›z oldu¤u görülür. Bu durumda birbirine dik olan iki vektörün lineer ba¤›ms›z iki vektör oldu¤unu söyleyebilir misiniz? 146 ALIfiTIRMALAR 1. Afla¤›daki vektörlerin birim vektör oldu¤unu gösteriniz. a. ÁA= – 1 , 3 2 2 b. ÁB= (cosα, sinα) 1 7 3 4 − c. − , , ÁC= 2 5 5 2 7 vektörü birim vektör ise a reel say›lar›n›n toplam›n› bulunuz. 13 2. ÁA= a, a + 3. ÁA= (1, 7) vektörü ile ayn› do¤rultudaki birim vektörleri bulunuz. 4. Afla¤›daki vektörleri taban (standart) birim vektörlerin lineer bileflimi olarak yaz›n›z. a. ÁA= (3, 0) 5. b. ÁB= (–5, –7) c. ÁC= (–2, 0) ÁA= (5, –1), ÁB= (–2, 7) ve ÁC= (5, 32) vektörleri veriliyor. xÁA + yÁA= ÁC ise x ve y de¤erlerini bulunuz. 6. ÁA= Áe1 + 3Áe2, ÁB= 5Áe1 –Áe2 vektörleri veriliyor. 3ÁA – 5ÁB vektörünü ve uzunlu¤unu bulunuz. 7. ÁA= (k–1, 3), ÁB= (1, k+1) vektörleri lineer ba¤›ml› ise k de¤erlerini bulunuz. 8. ÁA= (3, 1), ÁB= (2, a) ve ÁC= (b, –1) vektörleri veriliyor. OA = BC ise a + b kaçt›r? 9. ÁA= (1, 2), ÁB= (3, –1) ve ÁC= (–3, 8) vektörleri veriliyor. x.ÁA + y.ÁB= ÁC eflitli¤ini sa¤layan x ve y → → de¤erlerinin toplam› kaçt›r? 10. ÁA= (2m + 1, 3) ve ÁB= (m, 2) vektörleri lineer ba¤›ml› ise m kaçt›r? → → →→ → GH AB AB MN// CD ise m de¤eri kaçt›r? 11. A(3, –4), B(2, 1), C(m, –7) ve D(4, m + 9) noktalar› veriliyor. 147