{ } { { } { }e }H ) 3

Soyut Cebire Giriş
ARASINAV SORULARININ CEVAPLARI
1. Her (m, n) ∈ K için mn = nm olduğundan, (m, n) β (m, n) ve böylece β nın yansıma
özelliği vardır. (m, n), (r , s ) ∈ K için (m, n) β (r , s ) ⇔ ms = nr ⇒ rn = sm ⇒ (r , s ) β (m, n) olduğundan, β nın yansıma özelliği vardır. β nın geçişme özelliğine sahip olduğu şöyle
görülebilir: (m, n), (r , s ), (t , u ) ∈ K için
(m, n) β (r , s), (r , s) β (t , u ) ⇒ ms = nr , ru = st
⇒ msu = nru = nst , s ≠ 0 ⇒ mu = nt ⇒ (m, n) β (t , u )
[(1,3)]β = {(r , s ) : r , s ∈ Z , s ≠ 0} = {(r ,3r ) : r ∈ Z , r ≠ 0}.
2. x, y ∈ G, x ∗ y = z olsun. Bu takdirde,
z = x∗ y ⇒ x∗z = x∗x∗ y = y ⇒ x∗z∗z = y∗z
⇒ x = y ∗ z ⇒ y ∗ y ∗ z = y ∗ x ⇒ z = y ∗ x ⇒ x ∗ y = y ∗ x.
3.a) G = Z , H = 2Z , K = 3Z alalım. 2,3 ∈ H ∪ K , fakat 2 + 3 ∉ H ∪ K .
b) ⇒: H∪K ≤ G, H⊄K ve K⊄H ise, h∈H\K ve k∈K\H alalım. Bu takdirde, h,k∈H∪K
fakat hk∉ H∪K olur. Çelişki. (Grup işlemi olarak çarpımsal gösterim kullanılmıştır.)
⇐: H ⊆ K ise, H ∪ K = K ve K ⊆ H ise, H ∪ K = H .
4. α = (1 3)(2 4)(1 2 5 4 3)(1 5)(1 2)(2 3) = (1 5 4)(2 3)
a) α = 3 ⋅ 2 = 6
b) α −1 = (1 4 5)(2 3)
5. Lagrange Teoremine göre K
H ve H
c) α = (1 4)(1 5)(2 3) tektir.
G olduğundan, H ∈ {60,100} .
6. H ∩ K = M olsun. Lagrange Teoremine göre
M
H
ve
M
K .
H
ile K
aralarında asal ise, M = 1 , yani H ∩ K = {e} olur.
7.a) x ∈ G alalım. Eğer x ∈ H ise, x 2 ∈ H . Eğer x ∉ H ise, x 2 ∉ xH dir ve
G = H ∪ xH ayrık birleşiminden x 2 ∈ H olduğu sonucu çıkar.
b) G = S 3 , H =< (1 2) > , x = (1 3) . SolG(H)= {H , (1 3) H , (2 3) H } ve (G : H ) = 3
olup x 3 = x ∉ H dir.
8. Her h ∈ H ve k ∈ K için, hkh −1k −1 = h(kh −1k −1 ) = (hkh −1 )k −1 ifadeleri ve H < G, K < G
olduğu göz önüne alınarak,
hkh −1k −1 ∈ H ∩ K
olduğu görülür.
H ∩ K = {e} ise,
hkh −1k −1 = e ve böylece hk = kh olduğu görülür.
9. G / M devirli grup olduğu halde G nin Abel grubu olmadığını farzedelim. Bu takdirde,
G / M ≠ {M } olur. G / M =< zM > olacak biçimde bir z∈G\M bulunur. Şimdi herhangi bir
x∈G için xM=zkM olacak biçimde k ∈ Z bulunur; m∈M olmak üzere, x=zkm olsun. Bu
durumda, zkm=mzk=x olacağından zx=z(zkm)=zk+1m=z(zkm)=xz elde edilir. Bu, z∈G\M
olması ile çelişir.
10. G = Z ve G ' = Z 4 grupları için Oto(G ) ≅ Oto(G ' ) ≅ Z2 dir.