LYS Matematik II MF-TM Föy-13.qxp

B Ý R E Y
D E R S H A N E L E R Ý
Konu
D E R S H A N E L E R Ý
S I N I F
Ý Ç Ý
D E R S
A N L A T I M
F Ö Y Ü
Ders Adý
Bölüm
Sýnav
DAF No.
MATEMATÝK - II
MF
TM
LYS1
13
EÞÝTSÝZLÝKLER - I
Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr.
Adý Soyadý :...............................................................
B u k i t a p ç ý ð ý n h e r h a k k ý s a k l ý d ý r. T ü m h a k l a r ý b r y B i r e y E ð i t i m Ya y ý n c ý l ý k Pa z a r l a m a L t d . Þ t i . ’ e a i t t i r. K ý s m e n d e o l s a a l ý n t ý y a p ý l a m a z . M e t i n v e s o r u l a r,
kitapçýðý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayýt sistemiyle çoðaltýlamaz yayýmlanamaz.
ARALIK KAVRAMI
a)
–2
3
A  R ve B  R olmak üzere,
A=( – 4,3] ve B=( – 5, – 2)
a) A  B kümesini bulunuz.
Birey Dershaneleri
........................................... veya ...........................................
Örnek: 1
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Aþaðýda x gerçek sayýsýnýn alabileceði deðerler sayý doðrusu
üzerinde gösterilmiþtir.
Birey Dershaneleri
EÞÝTSÝZLÝKLER - I
b)
2
b) A  B kümesini bulunuz.
c)
–2
Birey Dershaneleri
........................................... veya ...........................................
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
........................................... veya ...........................................
Birey Dershaneleri
–1
c) A – B kümesini bulunuz.
1
d) Aý  B kümesini bulunuz.
e)
–3
2
4
6
...............................................................................................
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
........................................... veya ...........................................
Birey Dershaneleri
d)
1
2011-2012 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS1) - 13
x
ax+b
– b
+
a
a ile zýt iþaretli
a ile ayný iþaretli
–
Tabloda iþaretler bulunduktan sonra ax+b>0 eþitsizliði için
pozitif, ax+b<0 eþitsizliði için negatif kýsýmlar çözüm olarak
alýnýr.
b

ax+b  0 veya ax+b  0 eþitsizliklerinde ise kök  x  –  çöa

züm kümesine dahil edilir.
Örnek: 2
4x – 8  0
Birey Dershaneleri
II. DERECEDEN BÝR BÝLÝNMEYENLÝ EÞÝTSÝZLÝKLER VE
ÇÖZÜM KÜMESÝ
a  0 olmak üzere, a,b ve c birer gerçek sayý olsun.
ax2+bx+c<0, ax2+bx+c  0 ifadelerine ikinci dereceden
bir bilinmeyenli eþitsizlikler denir.
Çözüm kümesini bulmak için ax2+bx+c=0 denkleminin
(varsa) x1 ve x2 gerçek kökleri bulunarak iþaret tablosu hazýrlanýr.
Uyarı:
ax 2 + bx + c = 0 denkleminin gerçek kökleri x1 ile x2
ve x1< x2 olmak üzere, ax 2 + bx + c üç terimlisinin
işaret tablosu
x
x1
x2
–∞
+∞
ax 2 + bx + c
a ile aynı
işaretli
a ile zıt
işaretli
a ile aynı
işaretli
Örnek: 4
x2 – 2x – 3  0
eþitsizliðinin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek: 3
3x – 1 2 – 5x

–2
3
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
eþitsizliðinin çözüm kümesini bulunuz.
Birey Dershaneleri
Çözüm kümesini bulmak için ax+b=0 denkleminin kökü olan
b
x  – deðeri sayý doðrusuna yerleþtirilip iþaret tablosu haa
zýrlanýr.
Birey Dershaneleri
Eþitsizliði saðlayan x gerçek sayýlarýnýn kümesine eþitsizliðin çözüm kümesi denir.
Birey Dershaneleri
ax+b<0, ax+b  0 ifadelerine birinci dereceden bir bilinmeyenli eþitsizlik denir.
Birey Dershaneleri
a  0 olmak üzere, a ve b birer gerçek sayý olsun.
Birey Dershaneleri
I. DERECEDEN BÝR BÝLÝNMEYENLÝ EÞÝTSÝZLÝKLER VE
ÇÖZÜM KÜMESÝ
Birey Dershaneleri
B Ý R E Y D E R S H A N E L E R Ý S I N I F Ý Ç Ý D E R S A N L AT I M F Ö Y Ü
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
eþitsizliðini saðlayan x in alabileceði kaç farklý doðal sayý
deðeri vardýr?
2011-2012 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS1) - 13
2
Örnek: 5
9 – x2<0
eþitsizliðini saðlayan x in alabileceði en büyük negatif tam
sayý deðeri kaçtýr?
Birey Dershaneleri
B Ý R E Y D E R S H A N E L E R Ý S I N I F Ý Ç Ý D E R S A N L AT I M F Ö Y Ü
Örnek: 6
Birey Dershaneleri
x2 – 6x+9>0
x2+4  0
eþitsizliðinin çözüm kümesini bulunuz.
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
eþitsizliðinin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek: 8
Örnek: 7
Örnek: 9
x2+x+6>0
x2 – 10x+25  0
eþitsizliðinin çözüm kümesini bulunuz.
2
ax + bx + c = 0 denkleminde Δ = 0 ise işaret tablosu,
x
2
ax + bx + c
–∞
+∞
x 1= x 2
a ile aynı
işaretli
a ile aynı
işaretli
Birey Dershaneleri
Uyarı:
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
eþitsizliðinin çözüm kümesini bulunuz.
3
Uyarı:
ax 2 + bx + c = 0 denkleminde Δ < 0 ise işaret tablosu,
–∞
x
+∞
2
ax + bx + c
a ile aynı işaretli
2011-2012 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS1) - 13
Örnek: 10
x2+(m – 1)x+9>0
Birey Dershaneleri
eþitsizliði daima saðlandýðýna göre m nin en geniþ çözüm
kümesini bulunuz.
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
B Ý R E Y D E R S H A N E L E R Ý S I N I F Ý Ç Ý D E R S A N L AT I M F Ö Y Ü
Örnek: 12
x2+2x+a
üç terimlisi x in bütün deðerleri için 5 ten büyük olduðuna
göre, a için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?
A) – <a< – 2
B) – 2<a<1
D) 3<a<5
C) 1<a<3
E) 6<a<
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
(1998/ÖYS)
– x2+6x+m+1<0
eþitsizliði daima saðlandýðýna göre, m nin en geniþ çözüm
kümesini bulunuz.
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Örnek: 11
Örnek: 13
4 katýnýn 5 fazlasý, kendisinin karesinden büyük olan en
büyük tam sayý aþaðýdakilerden hangisidir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
(1997/ÖYS)
Birey Dershaneleri
Uyarı:
y
a ≠ 0 olmak üzere her x gerçek
sayısı için,
2
1 ax + bx + c > 0 eşitsizliğinin
daima sağlanması için,
eþitsizliðinin çözüm kümesi boþ küme olduðuna göre, m
nin alabileceði deðer kümesini bulunuz.
x
O
Birey Dershaneleri
2 ax 2 + bx + c < 0 eşitsizliğinin
(m – 1)x2 – 4x+2  0
y
daima sağlanması için,
O
Birey Dershaneleri
a < 0 ve Δ < 0
x
Birey Dershaneleri
a > 0 ve Δ < 0
Örnek: 14
2011-2012 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS1) - 13
4
KONU TESTÝ
eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
B) [4, )
A) [ – 4, 4)
C) (4, )
E) ( – , 4]
A  R ve B  R olmak üzere, A ve B aralýklarý gerçek sayý
doðrusu üzerinde gösterilmiþtir.
–2
D) [ – 1, )
Birey Dershaneleri
B) [3, )
A) ( – 3, 3]
E) ( – , – 3]
6.
E) ( – , 0)
A  R ve B  R olmak üzere,
B=( – 2, 6]
olduðuna göre, Aý B kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) ( – , – 2)
B) ( – , 4)
D) ( – 2, )
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
Yukarýda sayý doðrusu üzerinde gösterilen aralýklar aþaðýdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?
B) ( – 2, 4]
D) ( – 2, 4)
C) R – ( – 2, 4]
E) R – [ – 2, 4)
A) ( – , )
B) (3, )
D) [3, )
C) ( – , 3]
E) ( – , 3)
Birey Dershaneleri
R
4
Birey Dershaneleri
–2
Birey Dershaneleri
4.
A) ( – , – 2]  (4, )
E) ( – 2, 4]
1– 3x
4
–2
7.
Birey Dershaneleri
A) 2
C) [ – 2, 4)
Birey Dershaneleri
eþitsizliðini saðlayan x in alabileceði en büyük tam
sayý deðeri kaçtýr?
Birey Dershaneleri
3x – 5<8
Birey Dershaneleri
3.
C) ( – 2, 4)
A=(4, )
Birey Dershaneleri
D) ( – , – 3)
C) (3, )
B) [ – 1, 4]
Birey Dershaneleri
eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
Birey Dershaneleri
– 2x – 6>0
R
Buna göre, A  B kümesi aþaðýdakilerden hangisine
eþittir?
A) ( – , 4]
2.
R
4
–1
Birey Dershaneleri
D) ( – , 4)
5.
Birey Dershaneleri
3x – 12  0
1.
Birey Dershaneleri
EÞÝTSÝZLÝKLER – I
5
3  2x x  1 x  6


4
3
6
8.
eþitsizliðini saðlayan x in alabileceði en büyük tam
sayý deðeri kaçtýr?
A) – 6
B) – 2
C) 3
D) 4
E) 5
2011-2012 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS1) - 13
KONU TESTÝ
eþitsizliðini saðlayan x in alabileceði kaç farklý tam
sayý deðeri vardýr?
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) ( – 2, 5)
C) R
B) ( – 5, 2)
E) 
D) (2, 5)
eþitsizliðini saðlayan x in alabileceði kaç farklý tam
sayý deðeri vardýr?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) {4}
Birey Dershaneleri
A) 3
x 2 – 8x+16>0
14.
Birey Dershaneleri
x2 – 6x<0
10.
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
A) 12
– 2x2+5x – 8>0
13.
Birey Dershaneleri
(x – 7)(x+3)  0
9.
Birey Dershaneleri
EÞÝTSÝZLÝKLER – I
Birey Dershaneleri
B) ( – 2, 3)
D) 
C) ( – 3, 2)
E) (3, )
Birey Dershaneleri
eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) R
E) R
D) – 4
x 2 – 2x – 15<0
15.
eþitsizliðini saðlayan x in alabileceði farklý tam sayý
deðerleri toplamý kaçtýr?
Birey Dershaneleri
x2+3x+5>0
11.
C) R – {4}
B) { – 4}
B) 7
C) 6
D) 5
E) 3
eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
B) 
A) ( – 6, 1)
D) R
C) ( – 1, 6)
E) (6, )
2011-2012 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS1) - 13
Birey Dershaneleri
– x2+4x – 7<0
12.
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
A) 9
6
– x2 +11x+12  0
16.
eþitsizliðini saðlayan x in alabileceði kaç farklý tam
sayý deðeri vardýr?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
KONU TESTÝ
–
x
+
f(x) +
+
+
+
+
+
eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) R – { – 5}
C) [ – 5, )
B) R
D) 
E) { – 5}
Birey Dershaneleri
Buna göre, f(x) fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisi olabilir?
x2+10x+25  0
21.
Birey Dershaneleri
17. Aþaðýda y=f(x) fonksiyonunun iþaret tablosu verilmiþtir.
Birey Dershaneleri
EÞÝTSÝZLÝKLER – I
A) f(x)=x2 – 4
B) f(x)=x2+x+1
C) f(x)=x2 – 4x+3
D) f(x)=x2 – 14x+49
22. a<b olmak üzere,
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
E) f(x)=x2 – 3x – 28
B) – 3
C) – 2
D) – 1
E) 0
A) (a,b)
B) ( – a,b)
D) ( – b, – a)
C) (b,)
E) (b, – a)
eþitsizliðinin çözüm kümesi boþ küme olduðuna göre,
a nýn alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden
hangisidir?
B) (9, )
eþitsizliðini saðlayan en büyük x tam sayýsý kaçtýr?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
C) (0, 9)
E) ( – , 3)
x 2 – 5<0
eþitsizliðini saðlayan x in alabileceði kaç farklý tam
sayý deðeri vardýr?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Birey Dershaneleri
20.
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
D) (3, 9)
ax2 – 5ax – bx+5b>0
Birey Dershaneleri
A) (0, 3)
23. a<0<b olmak üzere,
Birey Dershaneleri
ax2 +6x+1 0
19.
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
A) – 4
Birey Dershaneleri
eþitsizliðinin çözüm kümesinin bir tane elemaný
olduðuna göre, c kaç olmalýdýr?
eþitsizliðininin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
Birey Dershaneleri
– 2x2 +4x+c+1  0
18.
(x – a)(x – b)<0
7
24.
(x – 5)(x+2)<5 – x
eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) ( – 5, 3)
B) (3, 5)
D) ( – 3, 5)
C) ( – 5, – 3)
E) (5, )
2011-2012 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS1) - 13
x 2  14
x–5
–2
eþitsizliðini saðlayan x in alabileceði kaç farklý tam
sayý deðeri vardýr?
B) 8
C) 9
D) 10
mx2 – 2mx+3>0
eþitsizliði daima saðlandýðýna göre, m nin en geniþ
çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) ( – , 0)
E) 11
Birey Dershaneleri
A) 7
29. m  0 olmak üzere,
Birey Dershaneleri
25.
KONU TESTÝ
Birey Dershaneleri
EÞÝTSÝZLÝKLER – I
C) (0, )
B) (0, 3)
E) ( – , 3) – {0}
Birey Dershaneleri
D) (3, )
Birey Dershaneleri
26. Karesi, 4 katýnýn 12 fazlasýndan küçük olan tam sayýlarýn toplamý kaçtýr?
B) 12
C) 9
D) 7
E) 5
30. m  0 olmak üzere,
f(x)=mx2 – 8x+m
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
A) 14
fonksiyonu daima negatif olduðuna göre, m nin alabileceði en büyük tam sayý deðeri kaçtýr?
A) – 6
B) – 5
C) – 4
D) – 3
E) – 2
B) 7
C) 12
D) 15
E) 21
28. Aþaðýda gerçek sayýlarda tanýmlý y=f(x) fonksiyonunun
Birey Dershaneleri
Birey Dershaneleri
A) 6
Birey Dershaneleri
olduðuna göre, f(x – 2)  0 eþitsizliðini saðlayan x in
alabileceði farklý tam sayý deðerleri toplamý kaçtýr?
Birey Dershaneleri
f(x)=x2 – 4x+3
27.
iþaret tablosu verilmiþtir.
–
Buna göre, f(x) fonksiyonu aþaðýdakilerden hangi olabilir?
A) f(x)=x2 – 3
B) f(x)=x2– 6x+9
C) f(x)=x2+6x – 9
D) f(x)= – x2+6x – 9
E)
1-E
16-D
f(x)= – 2x2– 12x – 18
Birey Dershaneleri
–
x
A) (4, )
B) ( – 2, 6)
D) ( – 4, 0)
3-C
4-E
5-B
6-E
7-E
8-C
9-B
17-B
18-B
19-B
20-C
21-E
22-A
23-A
24-D
8
+
Buna göre, m nin en geniþ çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
2-D
2011-2012 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS1) - 13
–
f(x) – – – – – – – – – – – – –
Birey Dershaneleri
f(x)
fonksiyonunun iþaret tablosu verilmiþtir.

–3
Birey Dershaneleri
–
x
31. Aþaðýda gerçek sayýlarda tanýmlý f(x)= – x2+mx – 4
10-C
25-C
11-A
26-A
C) ( – 2, 2)
E) ( – 4, 4)
12-D
27-C
28-E
13-E
29-B
14-C
30-B
15-B
31-E