14.12 Oyun Teorisi

14.12 Oyun Teorisi
Muhamet Yıldız
Güz 2005
Ders 18-20: Eksik Bilgi Dinamik Oyunlar
Yol haritası
1. Çifte İhale
2. Ardaşık Rasyonelite
3. Mükemmel Bayesyen Nash Dengesi
4. Ekonomik Uygulamalar
(a) Eksik bilgili ardaşık pazarlık
(b) İtibar
1
Bir Örnek
1,2
calis
I
Firma
Ise al
calisma
yuksek
p
0,1
Ise alma
0,0
Doga
I
1-p
calis
1,1
Ise al
dusuk
calisma
-1,2
Ise alma
0,0
Bir oyuncunun özel bilgisine, o oyuncunun ”tip”i deniyor. Mesela, yukarıdaki örnekte,
işçinin iki tipi var: Yüksek ve Düşük. Firmanın özel bilgisi olmadığından, firmanın tek
bir tipi vardır. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, eksik bilgli oyunlar, Doğa’nın her bir
oyuncunun tipini seçtiği ve oyuncuları özel olarak bilgilendirdiği kusurlu bilgili oyunlarla
modellenmiştir. Bu tip oyunlar eksik bilgili oyunlar ya da Bayezyen oyunlar olarak adlandırılırlar.
Formel olarak, eksik bilgili statik bir oyun şöyledir. Ilk olarak, Doğa bir t = (t1 , t2 , . . . , tn ) ∈
T seçer, öyle ki, her t ∈ T p(t) olasıliğıyla seçilir. Burada, ti ∈ Ti oyuncu i’nin, i ∈ N =
1, 2, ..., n, tipidir. Sonra, her oyuncu kendi tipini öğrenir, ama diğer oyuncuların tiplerini
öğrenmez. Son olarak, oyuncular, sadece kendi tiplerini bilerek, eylemlerini eşzamanlı
olarak seçerler. Tüm oyuncuların eylemlerinin herhangi bir listesini a = (a1 , a2 , . . . , a2 ) ∈
A ile ifade ediyoruz, öyle ki, ai ∈ Ai oyuncu i’nin eylemidir. Oyun (N, T, A, p) ile gösterilir.
Her zamanki gibi, bir oyuncunun stratejisi her bilgi kümesinde hangi eylemi seçeceğini
belirler. Burada, bilgi kümeleri tiplere, ti ∈ Ti , denk gelir. Dolayısıyla, oyuncu i’nin bir
stratejisi si : Ti → Ai şeklinde, oyuncunun tiplerini eylemlerine atayan bir fonksiyondur.
Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin dört stratejisi vardır: (Çalış,Çalış) - yüksek veya düşük
kabiliyetli olmasından bağımsız olarak çalışacağı anlamına gelir, (Çalış, Kaytar) - yüksek
kabiliyetli ise çalışacağıve düßük kabiliyetli ise kaytaracağı anlamına gelir, (Kaytar, Çalış)
ve(Kaytar, Kaytar).
2
2
Bu dengedeki sorun nedir?
1,2
calis
I
Firma
Ise al
calisma
yuksek
p
0,1
Ise alma
0,0
Doga
I
1-p
calis
1,1
Ise al
dusuk
calisma
-1,2
Ise alma
0,0
Bir oyuncunun özel bilgisine, o oyuncunun ”tip”i deniyor. Mesela, yukarıdaki örnekte,
işçinin iki tipi var: Yüksek ve Düşük. Firmanın özel bilgisi olmadığından, firmanın tek
bir tipi vardır. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, eksik bilgli oyunlar, Doğa’nın her bir
oyuncunun tipini seçtiği ve oyuncuları özel olarak bilgilendirdiği kusurlu bilgili oyunlarla
modellenmiştir. Bu tip oyunlar eksik bilgili oyunlar ya da Bayezyen oyunlar olarak adlandırılırlar.
Formel olarak, eksik bilgili statik bir oyun şöyledir. Ilk olarak, Doğa bir t = (t1 , t2 , . . . , tn ) ∈
T seçer, öyle ki, her t ∈ T p(t) olasıliğıyla seçilir. Burada, ti ∈ Ti oyuncu i’nin, i ∈ N =
1, 2, ..., n, tipidir. Sonra, her oyuncu kendi tipini öğrenir, ama diğer oyuncuların tiplerini
öğrenmez. Son olarak, oyuncular, sadece kendi tiplerini bilerek, eylemlerini eşzamanlı
olarak seçerler. Tüm oyuncuların eylemlerinin herhangi bir listesini a = (a1 , a2 , . . . , a2 ) ∈
A ile ifade ediyoruz, öyle ki, ai ∈ Ai oyuncu i’nin eylemidir. Oyun (N, T, A, p) ile gösterilir.
Her zamanki gibi, bir oyuncunun stratejisi her bilgi kümesinde hangi eylemi seçeceğini
belirler. Burada, bilgi kümeleri tiplere, ti ∈ Ti , denk gelir. Dolayısıyla, oyuncu i’nin bir
stratejisi si : Ti → Ai şeklinde, oyuncunun tiplerini eylemlerine atayan bir fonksiyondur.
Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin dört stratejisi vardır: (Çalış,Çalış) - yüksek veya düşük
kabiliyetli olmasından bağımsız olarak çalışacağı anlamına gelir, (Çalış, Kaytar) - yüksek
kabiliyetli ise çalışacağıve düßük kabiliyetli ise kaytaracağı anlamına gelir, (Kaytar, Çalış)
ve(Kaytar, Kaytar).
3
2
What is wrong with this equilibrium?
X
What isBuwrong
with (2,6)
this
equilibrium?
1 dengedeki
sorun
nedir?
T
B
X
1
2
L
(0,1)
R
L
(3,2)
2
T
(0,1)
Beliefs
B
R
(-1,3)
L
(2,6)
(1,5)
R
L
(3,2)
(-1,3)
R
(1,5)
İnanışlar
X
Beliefs of an agent at a given
1
(2,6)
nformation set is a
Beliefs
probability distribution on
T
B
X
he information set.
• Beliefs of an agent at a given
1
(2,6)
For each information set, we
information set is a P
P
must specify the beliefs of
2
probability distribution
on
T
he agent who moves at that
B
the informationLset.
R
L
R
nformation set.
• For each information
set, we (-1,3) (1,5)
(0,1) (3,2)
P
P
must specify the beliefs of
2
the agent who moves at that
L
R
L
R
• Bir oyuncunun
information
set. verili bir bilgi kümesindeki inanışları o bilgi
(0,1) (3,2)
(-1,3) (1,5)
kümesi üzerine bir olasılık dağılımıdır.
• Her bilgi kümesi için o kümede oynayacak olan oyuncu için
3
olasılıkları belirtmeliyiz.
4
3
Ardaşık Rasyonelite
Bir oyuncu ardaşık rasyoneldir ancak ve ancak, oynayacayı
her bilgi kümesinde, bu kümede olduğu veriliyken, bu kümede verili
inanışları doğrultusunda beklenen faydasını maksimize eder
Bir Örnek
1,2
calis
I
Firma
Ise al
calisma
yuksek
p
0,1
Ise alma
0,0
Doga
I
1-p
calis
1,1
Ise al
dusuk
calisma
-1,2
Ise alma
0,0
Bir oyuncunun özel bilgisine, o oyuncunun ”tip”i deniyor. Mesela, yukarıdaki örnekte,
işçinin iki tipi var: Yüksek ve Düşük. Firmanın özel bilgisi olmadığından, firmanın tek
bir tipi vardır. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, eksik bilgli oyunlar, Doğa’nın her bir
oyuncunun tipini seçtiği ve oyuncuları özel olarak bilgilendirdiği kusurlu bilgili oyunlarla
modellenmiştir. Bu tip oyunlar eksik bilgili oyunlar ya da Bayezyen oyunlar olarak adlandırılırlar.
5
Formel olarak, eksik bilgili statik bir oyun şöyledir. Ilk olarak, Doğa bir t = (t1 , t2 , . . . , tn ) ∈
T seçer, öyle ki, her t ∈ T p(t) olasıliğıyla seçilir. Burada, ti ∈ Ti oyuncu i’nin, i ∈ N =
1, 2, ..., n, tipidir. Sonra, her oyuncu kendi tipini öğrenir, ama diğer oyuncuların tiplerini
öğrenmez. Son olarak, oyuncular, sadece kendi tiplerini bilerek, eylemlerini eşzamanlı
olarak seçerler. Tüm oyuncuların eylemlerinin herhangi bir listesini a = (a1 , a2 , . . . , a2 ) ∈
Another
example
Başka bir
Örnek
Another
example
X
1
T
2
L
X
1
T
B
2
R
L
R
(0,1)
(3,2)
(0,1)
(3,2)
(2,6)
(2,6)
B
L
L
(-1,3)
(-1,3)
R
R
(1,5)
(1,5)
Example
Example
Örnek
1
T
2
L
2
.1
1
T
B
.9
.1
R
L
R
(0,10) (3,2)
(0,10) (3,2)
L
B
.9
L
(-1,3)
(-1,3)
6
R
R
(1,5)
(1,5)
5
5
“Consistency”
Tutarlılık
Definition: Given any (possibly mixed)
strategy
profile
s, an information
set is
said icin,
Tanım:
Herhangi
bir strateji
vektörü s (karma
olabilir)
to be on the path of play iff the
bir bilgi kümesi oyun yolu üzerindedir ancak ve ancak bilgi
information set is reached with positive
kümesine,
oyuncular s’e
probability
if sadıkalırlarsa,
players stickpozitif
to s.olasılıkla ulaşılır.
Definition:
Given
anyvektörü
strategy
profile
s andbir oyun
Tanım:
Herhangi
bir strateji
s için
ve herhangi
any information set I on the path of play of
yolu üzerinde bir I bilgi kümesi için, bir oyuncunun I’daki inanışları
s, a player’s beliefs at I is said to be
s ile tutarlı’dır
ancak with
ve ancak
inanışlar
Bayes kuralı
ve s’i kullanarak
consistent
s iff
the beliefs
are derived
using the Bayes’ rule and s.
çıkarılmıştır.
Example
Örnek
1
T
B
2
L
(0,10)
R
L
(3,2)
(-1,3)
R
(1,5)
6
7
Örnek
Example
1
E
X
2
T
B
2
0
0
3
L
R
1
2
1
L
3
3
3
R
0
1
2
0
1
1
“Consistency”
Tutarlılık
• Given s and an information set I, even if I is
s ve Ioff
bilgithe
kümesi
oyun
yolu üzerinde
olmasa bile,
pathveriliyken,
of play, Ithe
beliefs
must be
Bayes’
rule
andves s kullanılarak
inanışlarderived
’mümkünusing
olan’ the
heryerde
Bayes
kuralı
“whenever possible,”
bulunmalı.
• e.g., if players tremble with very small
yani, eğer oyuncuların elleri çok düşük bir olasılıkla titrese ve
probability so that I is on the path, the
bu yüzden I oyun yolu üzerinde olsa, inanışlar Bayes kuralı ve s’i
beliefs must be very close to the ones
kullanılarak
bulunanlara
olmalı.
derived
usingçok
theyekın
Bayes’
rule and s.
8
7
Örnek
Example
1
E
X
2
T
B
2
0
0
3
L
R
1
2
1
L
3
3
3
R
0
1
2
0
1
1
Sequential
Rationality
Ardaşık Rasyonellik
A strategy
profile ardaşık
is said torasyoneldir
be sequentially
Bir
strateji vektörü
ancakrational
ve ancak, her
iff, at each information set, the player who is to
move maximizes his expected utility
1. given his beliefs at the information set, and
1. bilgi kümesindeki inanışları veriliyken
2. given that the other players play according to
the strategy
profilediğer
in the
continuation
2. oyunun
geri kalanında
oyuncular
stratejigame
vektörüne göre
(and given that he is at the information set) .
bilgi kümesinde, oynayacak olan oyuncu
oynayacakları veriliyken (kendisinin de bu bilgi kümesinde
olduğu veriliyken)
beklenen faydasını maksimize eder.
9
8
Mükemmel Bayesyen Nash Dengesi
Perfect Bayesian Nash Equilibrium
Bir Mükemmel Bayesyen Nash Dengesi bir (s,b) strateji vektörü
A Perfect Bayesian Nash Equilibrium is a pair
(s,b) of strategy profile and a set of beliefs
such that
strateji vektörü, s, inanışlar, b, veriliyken ardaşık rasyoneldir
1. Strategy profile s is sequentially rational
ve
given beliefs b, and
2.
Beliefs
consistent with s.
inanışlar,
b, s b
ileare
tutarlıdır.
ve inanışlar ikilisidir, öyle ki,
1.
2.
Subgame-perfect
Nash
Bayesian Nash
Perfect Bayesian
Bayesyen Nash −→ Mükemmel Bayesyen
Nash −→ Alt-oyun mükemmel
Örnek
Example
1
E
X
2
T
B
2
0
0
3
L
R
1
2
1
L
3
3
3
R
0
1
2
10
0
1
1
9
Bira-Börek
Beer
– Quiche
Beer – Quiche
3
31
1
’t
don’t
don
el el
du du
2
20
0
1
10
0
du
du el
el
’t
don’t
don
beer
beer
el
duel
du
don
don ’ t
’t
quiche
quiche
{.1}
{.1}
tw
tw
beer {.9}
beer {.9}
ts
ts
quiche
quiche
du du
el el
0
01
1
1
11
1
3
30
0
0
00
0
2
21
1
don
don ’t
’t
Beer: Bira, Quiche: Börek, Don’t: yapma, Duel: duello anlamındadır.
Bira-Börek, Bir Denge
Beer – Quiche, An equilibrium
Beer
– Quiche, An equilibrium
1
0
3
31
1
beer
beer
’t .1
don’t .1
don
el el
du du
2
20
0
1
10
0
du
du el
el
.9 beer {.9}
.9 beer {.9}
t
’
don’t
n
do
quiche
quiche
{.1}
{.1}
tw
tw
ts
ts
el
duel
du
1 d
1 d on’ t
on’
t
du du
el el
01
1
quiche 0
quiche 0
don
don ’t
’t
11
1
3
30
0
0
00
0
2
21
1
Beer: Bira, Quiche: Börek, Don’t: yapma, Duel: duello anlamındadır.
11
10
10
Örnek
Example
Example
2
1
1
2
1
1
(5,2)
(5,2)
2
2
(3,3)
(3,3)
(1,-5)
(1,-5)
.9
.9
.1
.1
(4,4)
(4,4)
1
1
(-1,4)
(-1,4)
1
1
(0,-5)
(0,-5)
(-1,3)
(-1,3)
(0,2)
(0,2)
Örnek - Çözüm
Example
–– solved
Example
solved
2
1 D 1 D E E 2
1
1
(1,-5)
(1,-5)
P P .9
.9
.1
.1
(4,4)
(4,4)
1
1
(-1,4)
(-1,4)
(3,3)
(3,3)
(5,2)
(5,2)
2
2
1
1
(0,2)
(0,2)
(0,-5)
(0,-5)
(-1,3)
(-1,3)
12
11
11
Ardaşık Pazarlık
1. 1 periyotluk pazarlık - 2 tip
2. 2 periyotluk pazarlık - 2 tip
3. 1 periyotluk pazarlık - sürekli
4. 2 periyotluk pazarlık - sürekli
13
Pazarlık
SequentialArdaşık
bargaining
1-p 1-periyot
A seller S with valuation 0
A buyer B with valuation v;
H
S
– B knows v, S does not
– v = 2 with probability S
– = 1 with probability 1-S
sets a price p t 0;
either
p
Y
– buys, yielding (p,v-p)
– or does not, yielding (0,0).
L
p
2-p
p
N
Y
0
0
p
1-p
N
0
0
• Bir satıcıS, değeri 0
• Bir aliçı B, değeri v;
12
– B v’yi biliyor, S bilmiyor
– v=2, π olasılıkla
– v=1, 1 − π olasılıkla
• S fiyat bildirir p ≥ 0;
• B
– ya satın alır, (p,v-p) kazanır
– ya da satın almaz, ve (0,0) kazanır
14
Çözüm
Solution
US(p)
B buys iff v t p;
1. If p d 1, both types buy:
1
S gets p.
2. If 1 < p d 2, only H-type
buys: S gets Sp.
3. If p > 2, no one buys.
S offers
1 if S < !, 1.
2 if S > !.
1
2
p
B satın alır ancak ve ancak v ≥ p;
(a) Eğer p ≤ 1, her iki tip satın alır, S p kazanır.
(b) Eğer 1 < p ≤ 2, sadece H tipi satın alır, S πp kazanır.
(c) Eğer p > 2, hiçbir tip satın almaz.
2. S
Sequential bargaining 2-period
• 1 eğer π < 1/2
1. At t = 0, S sets a price
p01/2
t 0;
• 2 eğer π >
A seller S with valuation
2. B either
0
teklifinde bulunur
– buys, yielding (p0,v-p0)
A buyer B with valuation
– or does not, then
v;
3. At t = 1, S sets another
– B knows v, S does not
price p1 t 0;
– v = 2 with probability S
– = 1 with probability 1-S
4. B either
–
–
buys, yielding (Gp1Gv-p1))
or does not, yielding (0,0)
15
13
Ardaşık Pazarlık 2-periyot
• Bir satıcıS, değeri 0
• Bir aliçı B, değeri v;
– B v’yi biliyor, S bilmiyor
– v=2, π olasılıkla
– v=1, 1 − π olasılıkla
1. t=0’da S fiyat belirler, p0 ≥ 0
2. B
• ya satın alır, (p0 , v − p0 ) kazançları doğar
• ya da almaz, o zaman
3. t=1’de, S başka bir fiyat belirler, p1 ≥ 0
4. B
• ya satın alır, (δp1 , δ(v − p1 )) kazançları doğar
• ya da almaz, (0,0) kazançları doğar
16
Çözüm, 2-periyot
1. Let µ = P r(v = 2|t = 1gecmisinde).
Solution, 2-period
2. t=1’de, satın al ancak ve ancak v ≥ p;
2|history
at t=1).
Solution,
2-period
3. Eğer
µ>P
1/2,
p1 = 2=
1. Let
= Pr(v
2. At t = 1, buy iff v t p;
1. If
LetP P> =!,Pr(v
3.
p1 ==22|history at t=1).
2. If
At=Pt 1/2,
1,1buy
v t p; karma yap
5. Eğer
µ
arasında
1.
4.
<= !,
pve1 =2iff
2
3. If
If P
P => !,
!, mix
p1 = between
5.
1 and 2.
6. B4.içinIfv=1
ise,
eğer
p
≤
1
ise,
t=0’da satın alır.
0
= 1.
P < !,
p1 buys
6. B with
v=1
at t=0 if p0 d 1.
5. If
If Pp =>!,
and 2.d S.
1, mix
= Pbetween
Pr(v
= 2|p
2|p100,,t=1)
7.
01 ise,
7. Eğer
p0 >
µP =
r(v =
t = 1) ≤ π.
6. B with v=1 buys at t=0 if p0 d 1.
7. If p0 > 1, P = Pr(v = 2|p0,t=1) d S.
4. Eğer µ > 1/2, p1 = 1
Çözüm, devamı π < 1/2
1. µ = P r(v = 2|p0 , t = 1) ≤ π < 1/2.
Solution, cont. S <1/2
2. t=1 anında, satın al ancak ve ancak v ≥ p
P = Pr(v
= 2|p0,t=1)
d S <1/2.
Solution,
cont.
S <1/2
2. At t = 1, buy iff v t p;
pPB==t=0’da
Pr(v
2|p0,t=1)
d S <1/2.
3.
1. =satın
4. v=2’li
alır eğer
1
2. B
Atwith
t = 1,v=2
buybuys
iff vattt=0
p; if
4.
3. p1 =(2-p
1. ) t G GÙ p d G.
0
0
4.
B
with
v=2
buys
at
t=0
if
5. p0 = 1:
GÙGGG
p0 d G. 5. p0 SGSG
= 1: (2-p0) t G
SG
5. p0 = 1:
SGSG SG GGG 3. p1 = 1
17
14
14
Çözüm, devamı π > 1/2
• Eğer v=2, p0 > 2 − δ’da alıyorsa, o zaman
– µ = P r(v = 2|p0 > 2 − δ, t = 1) = 0
– p1 = 1
– v=2, p0 > 2 − δ’da almamalı.
• Eğer v=2, 2 > p0 > 2 − δ’da almıyorsa, o zaman
– µ = P r(v = 2|p0 > 2 − δ, t = 1) = π > 1/2;
– p1 = 2
– v=2, 2 > p0 > 2 − δ’da almalı.
• Saf strateji dengesi yoktur.
18
–
–
–
= Pr(v
= 02|p
= 0;
P–=PPr(v
= 2|p
> G,t=1)
= S!;
0 > G,t=1)
p1–=p12;= 1;
2 should
p > G.
v –= v2 =should
buynot
at 2buy
> pat
0 > 0G.
• Ifpure-strategy
v=2 is not buying
at 2> p0 > G, then
• No
equilibrium.
– P = Pr(v = 2|p0 > G,t=1) = S!;
Karma
dengesi, π
– p1 =strateji
2;
– v = 2 should buy at 2 > p0 > G.
> 1/2
Mixed-strategy equilibrium, S >1/2
• No
pure-strategy
equilibrium.
1. p0 > 2 −
δ icin,
µ(p0 ) = 1/2;
1. 0 )For
>r(v
G
P(p
2. β(p
= 1 p−0 P
= 2,
p00 daalir)
0) = !;
Mixed-strategy equilibrium, S >1/2
2. E(p0) = 1- Pr(v=2 buys at p0)
P
( p0 )pS > G1P(p ) = !;
1S
1. EFor
œ 0E ( p0 )S 1 S œ E ( p0 )
.
0
S
E 2.
( p0 )S (1 S ) 2
E(p0) = 1- Pr(v=2 buys at p0)
Mixed-strategy equilibrium, S >1/2
3.P v = E2( is
indifferent
towards buying at p1 : S
p0 )S
1
œ E ( p0 )S 1 S œ E ( p0 ) 0 .
p0 )Salmak
(’da
S konusunda
) 2
3. v=2, pE01.
kayıtsızdır:
) = (2- p0)/G S
2-For
p0(1=p0GJ(p
> G
P(pJ(p
0) Ù
0) =0 !;
3.where
2J(p
is )indifferent
towards
1-Pr(p
Pr(v=2
buys atbuying
p0) at p0:
2.v = E(p
0 0)= =
1=1|p0).
P
2-E p( p00=)SGJ(p0) 1Ù J(p0) = (2- p0)/G
1S
œ E ( p0 )S 1 S œ E ( p0 )
.
(10) =
S
E ( p0 )SJ(p
S )Pr(p
2 1=1|p0).
where
öyle ki,3. v = 2 is indifferent towards buying at p0:
2- p0 = GJ(p0) Ù J(p0) = (2- p0)/G
where J(p0) = Pr(p1=1|p0).
15
15
15
Ardaşık Pazarlık v ∈ [0, 1]
1 periyot
• B, p’de alır ancak ve ancak v ≥ p;
• S, U (p) = pP r(v ≥ p) kazanır;
• v ∈ [0, a] ⇒ U (p) = p(a − p)/a;
• p = a/2.
19
Sequential
bargaining, v in [0,1]
– v in [0,a] => U(p) = p(a-p)/a;
– p = a/2.
• 1 period:
– B buys at p iff v t p;
Ardaşık
Pazarlık
– S gets
U(p) = p Pr(v
t p);
– v in [0,a] => U(p) = p(a-p)/a;
2 periyot:
(p0 , p1 )
– p = a/2.
v ∈ [0, 1]
Sequential
bargaining,
• t=0’da, B, p’de alır
ancak ve ancak vv≥ in
a(p [0,1]
);
0
• • 2p periods:
(p ,p )
= a(p )/2 0 1
1
0
–Sequential
At t = 0, B buysbargaining,
at p0 iff v t a(p0); v in [0,1]
• –
a(p
a(pkayıtsızdır:
p01)=tipi
0)/2;
•– 2Type
periods:
(pindifferent:
0,p1)
a(p0) is
– At a(p
t = 0,
B buys at p iff v t a(p0); )/2
0) – p0 = G(a(p00) – p1 ) = Ga(p
0
– p1 = a(p0)/2;
Ùa(p0) = p0/(1-G/2)
Sequential
v2 in [0,1]
is indifferent:
Type a(p0) bargaining,
• S– gets
p0 ·
§ p0 ·
§
¸ p0 G0)¨ – p1 )¸ = Ga(p0)/2
a(p¨1
0) –
• S
1pG0 /=2 G(a(p
© 2 G ¹
¹
©
• 2 periods: (p0,p1Ùa(p
)
)
=
p
0
0/(1-G/2)
2
• FOC: 2 p
2
G
p
G / 2
0
0 iff v t a(p1);
– At
t
=
0,
B
buys
at
p
0 0 Ÿ p0
0 2
1
• S gets
· 3G / 4
§ p201 1 G §/ 2 2 p0G ·
– p1 = a(p0)/2;¨1
¸
¸ p0 G ¨
© 2 G ¹
© 1 G / 2 ¹
– Type
a(p0) is indifferent:
2
• FOC:
2 p0
2Gp0
1 G / 2
a(p
p1 p)0= Ga(p0)/2
10) – p0 =G(a(p0) –
0Ÿ
1 G / 2 2 G
21 3G / 4
kazanır.
Ùa(p0) = p0/(1-G/2)
2
• S gets §
p ·
§ p ·
• birinci derece1
türevden
gelen koşul:
0
¸ p0 G ¨ 0 ¸
¨
1
G
/
2
© 2 G ¹
¹
©
• FOC:
1
2 p0
2Gp0
1 G / 2 2 G
0 Ÿ p0
16
1 G / 22
21 3G / 4
16
16
20