HİPERPOLİK VE KÜRESEL UZAYLARDA SİMPLEKSLERİN AYRIT

advertisement
PERPOL K VE KÜRESEL UZAYLARDA
MPLEKSLER N AYRIT UZUNLUKLARINA
BA LI HAC MLER
Murat SAVA
DOKTORA TEZ
MATEMAT K
GAZ ÜN VERS TES
FEN B
MLER ENST TÜSÜ
TEMMUZ 2009
ANKARA
Murat SAVA taraf ndan haz rlanan “H PERPOL K VE KÜRESEL UZAYLARDA
MPLEKSLER N AYRIT UZUNLUKLARINA BA LI HAC MLER ” adl bu
tezin Doktora tezi olarak uygun oldu unu onaylar m.
Prof.Dr. Baki KARLI A
……………………………….
Tez Dan man , Matematik Anabilim Dal
Bu çal ma, jürimiz taraf ndan oy birli i ile Matematik Anabilim Dal nda Doktora
tezi olarak kabul edilmi tir.
Prof.Dr. H. Hilmi HACISAL HO LU
……………………………….
Ankara Üniversitesi
Prof.Dr. Baki KARLI A
……………………………….
Gazi Üniversitesi
Prof.Dr. Erdo an ES N
……………………………….
Gazi Üniversitesi
Prof.Dr. Sait HALICIO LU
……………………………….
Ankara Üniversitesi
Prof.Dr. Yusuf YAYLI
……………………………….
Ankara Üniversitesi
Tarih
:
17 / 07 /2009
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini
onam
r.
Prof. Dr. Nail ÜNSAL
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
……………………………….
TEZ B LD
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran
ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunuldu unu, ayr ca tez yaz m kurallar na uygun olarak haz rlanan bu
çal mada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kayna na eksiksiz at f
yap ld
bildiririm.
Murat SAVA
iv
PERPOL K VE KÜRESEL UZAYLARDA
MPLEKSLER N AYRIT UZUNLUKLARINA
BA LI HAC MLER
(Doktora Tezi)
Murat SAVA
GAZ ÜN VERS TES
FEN B
MLER ENST TÜSÜ
Temmuz 2009
ÖZET
Bu tezde Lobachevski ve Schlafli diferensiyel formülünden farkl olarak küresel
yada hiperbolik bir dörtyüzlünün sadece ayr t uzunluklar na ba
hacim
formüllleri elde edilmi tir. Bu formül gösterim olarak Schlafli diferensiyel
formülüne benzer oldu undan ayr t uzunluklar na ba
formülü olarak adland
lm
Schlafli diferensiyel
r. Elde edilen formülün özel küresel ve
hiperbolik dörtyüzlüler için formlar elde edilmi tir. Bunun yan ra özelde
ideal regüler hiperbolik dörtyüzlü için bu ayr t uzunluklar na ba
Schlafli
diferensiyel formülü ve Lobachevski formülü ile yap lan hesaplamalar
kar la
lm
olup elde edilen formülün do rulu u numeric olarak da
gösterilmi tir. Küresel ve hiperbolik simplekslerin Feynman integralleriyle
ili kileri, ayr t uzunluklar na ba
Schlafli diferensiyel formülünün Feynman
integrallerinin hesaplamalar ndaki uygulamalar verilmi tir.
Bilim Kodu
: 202.1.049
Anahtar Kelimeler : Hiperpolik ve küresel uzaylar, hacim, simpleks, Schlafli
diferensiyel formülü
Sayfa Adedi
: 56
Tez Yöneticisi
: Prof. Dr. Baki KARLI A
v
THE SCHLAFLI DIFFERENTIAL FORMULA BASED
ON EDGE LENGHTS OF SIMPLICES IN THE HIPERPOLIC
AND SPHERICAL SPACES
(Ph.D. Thesis)
Murat SAVA
GAZ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
July 2009
ABSTRACT
Within this thesis, dominant formulas depending on only edge lengths of a
spherical or hyperbolical tetrahedron which are different from Lobachevski
and Schlafli differential formula are obtained. Since these formulas are similar
to Schlafli differential formula, they are named as Schlafli differential formula
depending on edge lengths. Forms of these formulas for particular spherical and
hyperbolical tetrahedra are derived. Calculations with both Lobachevski
formula and Schlafli differential formula depending on edge lengths were
carried out for the ideal regular hyperbolical tetrahedron in order to make
comparison also. So the formulas are validated numerically. The relations of
spherical and hyperbolical simplices with Feynman integrals were given and the
application of Schlafli differential formula depending on edge lengths on
calculation of Feynman integrals was considered.
Science Code : 204.1.049
Key Words :Hyperbolic and spherical spaces, volume, simplex, Schlafli
differential formula
Page Number : 56
Adviser
: Prof. Dr. Baki KARLI A
vi
TE EKKÜR
Bu tez çal mam boyunca bana her konuda yard m ve katk lar
esirgemeyen hem
bilimsel hem de insani vas flar ndan dolay kendisini rehber edindi im, beni
yönlendiren de erli hocam Prof.Dr. Baki KARLI A’a, yine çal malar m s ras nda
beni destekleyen ve yard mc olan Doç.Dr. Fethi SOYALP’a, Yrd. Doç. Dr. Atakan
T. YAKUT’a, Dr. Mustafa Kemal ÖZTÜRK’e, Ahmet DEM RC ’ye, Hac
ÖZI IK’a, Ümit TOKE ER’e te ekkür ediyorum ve ükranlar
sunuyorum.
Ayr ca çal malar m süresince ailemin bana gösterdi i ilgi ve verdi i destek için
sonsuz te ekkür ederim.
vii
NDEK LER
Sayfa
ÖZET ..................................................................................................................... iv
ABSTRACT ............................................................................................................ v
TE EKKÜR ........................................................................................................... vi
NDEK LER ...................................................................................................... vii
EK LLER N L STES ........................................................................................ ixx
1. G
.................................................................................................................. 1
2. TEMEL KAVRAMLAR ...................................................................................... 4
2.1. Küresel Uzay ................................................................................................. 4
2.2. Lorentz Uzay ................................................................................................ 5
2.3. Hiperbolik Uzay ............................................................................................ 7
2.4. Küresel ve Hiperbolik Uzayda Baz Tan mlar ................................................ 8
3.1. Hiperbolik Dörtyüzlünün Ayr t Matrisi .........................................................13
3.2. Regüler Hiperbolik Dörtyüzlü .......................................................................18
4. KÜRESEL DÖRTYÜZLÜ
N AYRIT UZUNLUKLARINA BA LI
SCHLAFL D FERENS YEL FORMÜLÜ ........................................................22
4.1. Küresel Dörtyüzlünün Ayr t Matrisi..............................................................23
4.2. Regüler Küresel Dörtyüzlü ...........................................................................28
5. KÜRESEL VE H PERBOL K DÖRTYÜZLÜLER N HAC M
HESAPLAMALARININ FEYNMAN NTEGRALLER NE UYGULAMALARI............................................................................................................31
5.1. Öklidyen Simpleks, Feynman ntegrali ve Tepe Aç
Aras ndaki li ki .......33
6. SONUÇ ..............................................................................................................39
EKLER ...................................................................................................................40
viii
Sayfa
KAYNAKLAR ..................................................................................................... 541
ÖZGEÇM ............................................................................................................54
ix
EK LLER N L STES
ekil
Sayfa
ekil 3.1. Hiperbolik dörtyüzlü ...............................................................................12
ekil 3.2. Regüler hiperbolik dörtyüzlü ...................................................................19
ekil 3.3. deal hiperbolik dörtyüzlü .......................................................................20
ekil 3.4. deal regüler hiperbolik dörtyüzlü ............................................................20
ekil 3.5. Regüler ideal hiperbolik dörtyüzlünün hacmi ..........................................21
ekil 4.1. Küresel dörtyüzlü ....................................................................................22
ekil 4.2. Regüler küresel dörtyüzlü ........................................................................29
ekil 5.1. 3-boyutlu uzayda Feynman diyagram .....................................................32
ekil 5.2. 2-boyutlu uzayda Feynman diyagram ve
12
aç ..................................34
ekil 5.3. 3-boyutlu uzayda Feynman diyagram ve tepe aç
.................................35
1
1. G
Hiperbolik ve küresel uzaylarda bir polihedran n hacminin hesaplanmas oldukça
eski ve zor bir problemdir. Bu konuda bilinen ilk çal ma Lobachevski’ye ait olup
hiperbolik 3-orto emaya ait hacmi;
log 2sin u du
(1.1)
fonksiyonuyla hesaplam
r[1]. 1852 y nda Schlafli, küresel simpleksler için hacim
0
formülünü vermi tir[2]. Keyfi boyutlu uzaylarda hiperbolik ve küresel simplekslerin
hacimlerinin
hesaplanmas nda
Schlafli
oynamaktad r. Schlafli, dihedral aç lara ba
1
KdV
diferensiyel
formülü
önemli
rol
hacim fonksiyonunu(diferensiyelini)
n 1
n 1 i, j
Voln
2
ij
d
(1.2)
ij
1
i j
eklinde tan mlam
r. 1936 y nda H. Kneser, Schlafli difereniyel formülünün
hiperbolik ve küresel durumlar için ispat
farkl bir yöntemde yapm
r[3]. deal
bir dörtyüzlünün hacim formülü Milnor taraf ndan elde edilmi tir[4]. Peiro, semiRiemannian hiperkuadratiklerden yararlanarak Schlafli diferensiyel formülünün
hiperbolik ve küresel simpleksler için ispat
yapm
r[5]. Öklidyen durumda
simplekslerin hacimleri hakk nda çok say da çal ma yap lm olup bu alanda farkl
hacim formülleri elde edilmi tir[6-10]. Öklidyen uzaylarda genelde simplekslerin
hacimleri
hesaplan rken
simpleks
yap
alt
parçalara
ayr lmalar ndan
yararlan lmaktad r. Ancak hiperbolik ve küresel uzaylarda bu i lem bu kadar kolay
olmad
ndan, elementer hacim formülleri hala bilinmemektedir. Hiperbolik ve
küresel dörtyüzlüler için dihedral aç lara ba
sinüs teoremi ve buna ba
olan
hacim formülü Derevnin taraf ndan verilmi tir[11]. Di er taraftan hiperbolik ve
küresel dörtyüzlülerin tepe aç lar için sinüs teoremi Karl a ve Yakut taraf ndan elde
edilmi tir[12]. Bir ideal hiperbolik polihedronun hacmi Vinberg taraf ndan E .
2
1.2’deki Lobachevski fonksiyonu kullan larak hesaplanm
r[13]. Kellerhals kesik
orto emalar n hacimlerinin normal orto emalar n hacim formülleriyle ayn oldu unu
ispatlam
r. Kellerhals, Lambert kübünün de hacim formülünü elde etmi tir[14].
Özellikle hiperbolik dörtyüzlü için Kellerhals’ n kulland
çal malar dilogaritma fonksiyonuna ba
yöntemi baz alan ileri
olarak [15-18] de yap lm
r. Bu
çal malar n ço unda elde edilen hacim formülleri daha çok dihedral aç lara ba
,
dilogaritma yada Lobachevski fonksiyonunun kombinasyonlar ndan meydana
gelmektedir. Örne in W.Y. Hsiang taraf ndan hiperbolik polihedra için elde edilen
hacim formülü Lobachevski ve dilogaritma fonksiyonlar na ba
gösterim Cho ve Kim taraf ndan 1999 y nda yap lm
r[15]. Benzer bir
r[16]. Ayn hacim formülü,
ideal dörtyüzlüden yararlan larak 2001 y nda Murakami ve Yano taraf ndan elde
edilmi tir[17]. lk olarak ayr t uzunluklar na ba
hacim formülü kuantum 6j-
sembolü kullan larak [18] da verilmi tir. Ancak bu çal mada verilen hacim formülü
kompleks de erlidir ve kullan
de ildir. Bu çal may takip eden y llarda Derevnin
ve Mednykh küresel ve hiperbolik dörtyüzlüler için dihedral aç lara ba
hacim
formüllerini farkl bir yöntem kullanarak elde etmi lerdir. Formüllerinin do rulu unu
Schlafli diferensiyel formülüyle kar la rma yaparak göstermi lerdir[11, 19, 20].
Tez bu bölümle birlikte yedi ana bölümden olu maktad r. kinci bölümde tezde
kullan lacak hiperbolik ve küresel uzaylardaki temel tan m, teorem ve özellikler
verilmi tir.
Tezin üçüncü bölümünde hiperbolik dörtyüzlülerin ayr t uzunluklar yla dihedral
aç lar aras ndaki [21]’deki ba nt lardan yararlanarak sadece ayr t uzunluklar na
ba
Schlafli diferensiyel formülü elde edilmi tir[22]. Yine bu bölümde regüler ve
ideal regüler hiperbolik dörtyüzlüler için hacim formülleri elde edilmi tir. Ayr ca bu
bölümde ideal regüler hiperbolik dörtyüzlünün hacmi nümerik olarak hesaplanm ve
[4]’de J. Milnor’un elde etti i sonuçla kar la
lm
r.
Tezin dördüncü bölümünde ise küresel dörtyüzlülerin ayr t uzunluklar yla dihedral
aç lar aras ndaki ba nt lardan yararlanarak Schlafli diferensiyel formülü elde
3
edilmi tir. Ayr ca regüler küresel dörtyüzlünün hacim formülü de ayr t uzunluluklar
cinsinden bu bölümde verilmi tir.
Tezin be inci bölümünde ayr t uzunluklar na ba
Schlafli diferensiyel formülünün
[23]’de verilen Feynman integrallerinin hesaplanmas ndaki uygulamalar yap lm
r.
2, 3 ve 4-boyutlu uzaylarda Feynman integralinin hiperbolik ve küresel simplekslerin
hacimleri aras ndaki ili ki ortaya konmu tur.
Tezin alt nc bölümünde elde edilen sonuçlar, bu sonuçlar n küresel ve hiperbolik
uzaylarda dörtyüzlülerin hacim hesaplamalar nda sa lad
kolayl a yer verilmi tir.
Gram matrisi ile Ayr t matrisi aras ndaki ili kiden yola ç
larak tez konusuyla ilgili
aç k problem tan mlanm
r.
Tezin son bölümünde ise üçüncü ve dördüncü bölümünde elde edilen ayr t
uzunluklar na ba
hacim formüllerinin ispat nda kullan lan bilgisayar hesaplamalar
verilmi tir[22].
Bu tez çal mas nda ise temel hedef hiperbolik ve küresel uzaylarda dörtyüzlülerin
sadece ayr t uzunluklar na ba
, Schlafli diferensiyel formülü gibi kullan
hacim formülü elde etmektir. Bu hedefe ula
rken özellikle [21]’deki ayr t
uzunluklar yla dihedral aç lar aras ndaki geçi ba nt ndan yararlan lm
geçi
ba nt
uzunluklar
yard
bilinen
hesaplanabilmektedir.
bir
r. Bu
yla elde edilen yeni hacim formülüyle sadece kenar
bir
hiperbolik
yada
küresel
dörtyüzlünün
hacmi
4
2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1. Küresel Uzay
n-boyutlu küresel geometri için standart model;
Sn
x
Rn
1
x
ile tan mlanan R n
d E x, y
(2.1)
1
1
in S n birim küresidir. S n üzerindeki Öklidyen metrik;
x y
(2.2)
ile verilir. Fakat bu metrik R n
1
in vektör yap na dayan larak verildi inden S n ’ye
özgü bir metrik de ildir[24].
2.1. Tan m
x, y
S n iki vektör ve bu iki vektör aras ndaki Öklidyen aç
x, y olsun. x ve y
aras ndaki küresel uzunluk;
d S x, y
x, y
(2.3)
eklinde bir reel say
ve yeter art y
r. Burada 0
x olmas
d S x, y
r. E er y
ve d S x, y
olmas için gerek
x ise x ve y vektörlerine antipodaldir
denir[24].
2.1. Teorem
d S küresel uzunluk fonksiyonu S n üzerinde bir metriktir[24].
5
2.2. Tan m
d S metri i ile birlikte S n uzay , küresel n-uzay olarak adland
r[24].
2.3. Tan m
S n nin bir büyük çemberi R n
1
in 2-boyutlu alt vektör uzay ile S n nin arakesitidir.
S n iki farkl nokta olsun. x, y lineer ba ms z ise R n
x, y
gösterilen 2-boyutlu bir alt uzay
Sn
gererler. Böylece S x, y
1
in V x, y
ile
V x, y kümesi x
ve y yi içeren S n nin bir büyük çemberidir. S n nin jeodezikleri onun büyük
çemberleridir[24].
2.4. Tan m
S n nin küresel 1-düzlemi onun küresel do rular , küresel (n-1)-düzlemi onun
hiperdüzlemi olarak adland
r[24].
2.2. Lorentz Uzay
n 1
e1 , e2 ,..., en
V bir reel vektör uzay
1
xi ei ,
de V nin bir baz olsun. Her x
i 1
n 1
yi ei vektörleri için
y
i 1
x, y
L
=
x1 y1
xn y n
xn 1 y n
(2.4)
1
ile tan mlanan indefinit iç çarp ma Lorentzian iç çarp m, bu iç çarp mla birlikte V
uzay na Lorentz uzay denir. Özel olarak V= R n
Rn 1,
1
ve
ikilisine Minkowski n 1 -uzay denir ve R1n
uzay nda bir x vektörünün Lorentz normu;
, Rn
1
1
in standart baz ise
eklinde gösterilir. R1n
1
6
x
| x, x
L
|
1
(2.5)
2
ile, x ve y vektörü aras ndaki Lorentzian uzakl k da
d L ( x, y )
x
y
(2.6)
ile tan mlan r[24].
2.5. Tan m
x R1n
1
için, x
0 ise x vektörüne uzay benzeri(space-like) vektör denir[24].
2.6. Tan m
x R1n
1
için, x
0 oluyorsa x vektörüne (time-like) vektör denir[24].
2.1. Önerme
R1n
1)
1
nin bir V alt vektör uzay
Zaman benzeri olmas için gerek ve yeter art V nin en az bir zaman benzeri
vektöre sahip olmas
2)
n;
r,
Uzay benzeri olmas için gerek ve yeter art V deki s rdan farkl her vektörün
uzay benzeri olmas
3)
r,
k benzeri olmas için gerek ve yeter art V deki s rdan farkl her vektör için
x
0 olmas
r[24].
2.7. Tan m
x ve y R1n
1
de pozitif(negatif) zaman benzeri iki vektör olsun.
7
x, y
x y cosh ( x, y )
L
(2.7)
( x, y ) reel say
olacak ekilde negatif olmayan bir tek
Lorentz zaman benzeri (time-like)aç
vard r. x ve y aras ndaki
( x, y ) olarak tan mlan r[24].
2.3. Hiperbolik Uzay
H 0n
x
1
R1n
x, x
denir. H 0n uzay
1 kümesine de n-boyutlu birim pseudo-hiperbolik uzay
n iki ba lant
bile eni H 0n, ve H 0n, olmak üzere, bu bile enlerin
her biri n-boyutlu hiperbolik uzay n bir modeli olarak al nabilir. Biz literatüre ba
kalarak hiperbolik uzay n modeli olarak pozitif bile eni göz önüne alaca z, yani;
H on,
Hn
R1n
1
olarak alaca z[21].
2.8. Tan m
x, y
Hn
R1n
1
ve x ile y aras ndaki Lorentzian zaman benzeri aç
( x, y ) olsun. x
ve y aras ndaki hiperbolik uzunluk;
d H ( x, y)
( x, y)
(2.8)
eklinde tan ml bir reel say
cosh d H ( x, y )
x, y
r.
x, y
L
x y cosh ( x, y ) oldu undan;
L
olur[24].
2.2. Teorem
d H hiperbolik uzunluk fonksiyonu H n üzerinde bir metriktir[24].
(2.9)
8
2.9. Tan m
d H metri i ile birlikte H n uzay hiperbolik n-uzay olarak adland
r[24].
2.10. Tan m
H n nin bir do rusu R1n
1
in iki boyutlu zaman benzeri alt vektör uzay ile H n nin
arakesitidir. x, y
H n vektörleri R n
benzeri alt uzay
gererler. Böylece, L(x ,y) = H n
1
in V(x ,y) ile gösterilen iki boyutlu bir zaman
V(x ,y) , x, y den geçen H n nin
bir do rusudur[24].
2.11. Tan m
H n nin bir m-düzlemi R1n
1
in (m+1) boyutlu zaman benzeri alt vektör uzay ile
H n nin arakesitidir.
H n nin bir hiperbolik 1-düzlemi onun hiperbolik do rular , hiperbolik (n-1)-düzlemi
onun hiperdüzlemi olarak adland
r[24].
2.4. Küresel ve Hiperbolik Uzayda Baz Tan mlar
Bu bölümde X = H n ve S n olarak al nacakt r.
2.12. Tan m
X in bir alt kümesi C olsun. Her x, y C ayr k çifti için x ve y yi içeren do ru parças
C de kal yorsa (X= S n için y
-x ), C kümesine konveks küme denir[24, 25].
9
2.13. Tan m
X in bir H hiperdüzlemi, X uzay
iki yar -uzaya böler. Bu yar -uzaylar n s
hiperdüzlemdir[13].
2.14. Tan m
er x0 , x1 ,
, x n noktalar n’ den daha küçük boyutlu bir düzlemde kapsanm yorsa
bu nokta kümesine genel durumludur denir[13].
2.15. Tan m
X de bir konveks polihedron, bo tan farkl sonlu say da H i kapal yar -uzaylar
n
arakesitinden olu ur ve;
k
P
Hi
(2.10)
i 1
eklinde ifade edilir[13].
2.16. Tan m
X de n-boyutlu bir konveks polihedron P olsun. k=1,...,n+1 için P nin bir kyüzü(face), P nin (k+1) yüzünün bir kenar olarak tan mlan r[24].
2.17. Tan m
X de n-boyutlu bir konveks polihedron P olsun. P nin 0-yüzüne, P nin tepesi(vertex)
denir[24].
10
2.18. Tan m
X in her bir A alt kümesi için, A y içeren X in bütün konveks alt kümelerinin
arakesitine A n n konvekslik bölgesi denir[24, 26].
2.19. Tan m
X de n-boyutlu bir polihedron P olsun. E er P nin sonlu say da tepe noktas varsa ve
P, bu tepelerin konvekslik bölgesi ise (P S n için antipodal noktalar içermezse) P ye
çok tepeli (politop)denir[24].
2.20. Tan m
X de (n+1) tepe noktal , n-boyutlu bir politopa bir n-simpleks denir. 2-boyutlu
simplekse üçgen, 3-boyutlu simplekse dörtyüzlü(tedrahedron) denir[24].
2.21. Tan m
, X’de v1 , v2 ,..., vn
kar
ndaki yüzde
gösterilir(
ii
tepeli bir n-simpleks ve
1
i
olsun.
i
j
n-simpleksinin vi tepesinin
üzerindeki aç ya dihedral aç denir ve
ij
ile
)[21, 22].
2.22. Tan m
, H n ( S n ) de v1 , v2 ,..., vn
hiperbolik
(
ij
arccos
1
tepeli bir n-simpleks olsun.
uzakl k(küresel
vi , v j
)
eklindedir.
uzakl k)
’n n tepeleri aras ndaki
ij
arccos h
L
hiperbolik n-simpleksinin (küresel n-
simpleksinin) her hangi iki vi , v j tepesi aras ndaki uzakl a
uzunlu u denir[21].
vi , v j
n bir ayr t
11
2.23. Tan m
, v1 , v2 ,..., vn
tepeli hiperbolik veya küresel n-simpleks olsun. G
1
simetrik matrisine
cos
ij
n n Gram matrisi denir[21, 22].
2.24. Tan m
,
v1 , v2 ,..., vn
tepeli
1
vi , v j
M
cosh
hiperbolik(küresel)
(M
ij
vi , v j
cos
n-simpleks
olsun.
) simetrik matrisine
ij
hiperbolik(küresel) n-simpleksinin ayr t matrisi denir[21, 22].
[21]’de dihedral aç lar ayr t uzunluklar cinsinden ifade edildikten sonra literatürde
Ayr t matrisine Gram matrisi, Gram matrisine de Aç sal Gram matrisi denilmeye
ba lanm
r[27-29].
2.3. Teorem
, X de v1 , v2 ,..., vn
olsun.
ij
(0 i
KdV
ij
i
j
j
1
tepeli bir n-simpleks( n 1 ) ve
,
i
,
j
(n-1)-boyutlu yüzleri
n n 2-e boyutlu yüzü, bu yüzdeki dihedral aç lar
n 1 ) olmak üzere;
1
n 1
n 1 i, j
Voln
2
ij
d
ij
Vol0
ij
: 1
1
i j
Burada K uzay n e rili i ve V
Voln hacim fonksiyonudur[5].
(2.11)
12
3. H PERBOL K DÖRTYÜZLÜ
N AYRIT UZUNLUKLARINA BA LI
SCHLAFL D FERENS YEL FORMÜLÜ
Hn n 2
olmak üzere
1 i
P1 ,..., Pn
ij
1
i
tepeli,
j
i
n 2
,
’n n ei normalli düzlem içinde kalan yüzü
yüzü,
ij
yüzündeki dihedral aç
ij
,
n 1 olan bir hiperbolik simpleks olsun. H n deki tüm simplekslerin
j
kümesi üzerindeki V hacim formülünün diferensiyeli;
1 n1
Voln
n 1 i, j 1
dVol
2
ij
d
ij
Vol0
ij
1
(3.1)
i j
eklindedir. Burada
ij
de
ij
ij
,
’n n 2-e boyutlu yüzünü, Voln
2
ij
ij
’lerin hacmini,
’ler üzerindeki dihedral aç lar göstermektedir[5].
ekil 3.1. Hiperbolik dörtyüzlü
Schlafli diferensiyel formülünü 3-boyutlu hiperbolik uzayda bir hiperbolik dörtyüzlü
için indirgersek;
13
1 4
2 i, j 1
dVol
ij
d
ij
i j
eklini al r. Burada
ij
,
’n n ayr t uzunluklar
r[22].
3.1. Hiperbolik Dörtyüzlünün Ayr t Matrisi
, P1 ,..., P4 tepeli bir hiperbolik dörtyüzlü olsun. O halde;
M
cosh
matrisi
1
cosh
ij
i , j 1,...,4
cosh
cosh
12
13
14
cosh
1
cosh
cosh
’n n ayr t matrisidir ve burada
ij
cosh
cosh
12
1
cosh
23
24
ji
, i
23
cosh
cosh
34
cosh
1
13
14
24
34
j dir. M’nin 3 3 tipinde alt
matrisleri i yinci sat r ve j yinci sütunun silinmesinden elde edilir. M’nin alt
matrislerinin kofaktörleri ise M ij , st eklinde gösterilmektedir s, t 1,..., 4 [22].
3.1. Teorem
i
j
reel say
ve i, j 1,..., n 1 olmak üzere
n
matrisinin a
i) det M
n
n n 1
tane
2
ji
eklindeki pozitif
’nin ayr t uzunlu u olmas için gerek ve yeter art M
daki ko ullar sa lamas
r.
0
ii) M 1 ’in tüm asli alt matrisleri pozitif tan ml
iii) M ij
ij
0 [21].
r.
cosh
ij
14
3.2. Teorem
bir hiperbolik dörtyüzlü olsun. Buradan;
i)
det M
ii) M ii
iii)
0
0, i 1,..., 4
M kk M ll
sinh ij
sin kl
det M
, i, j, k , l 1,..., 4, i
j, k
l
[20, 22].
3.3. Teorem
bir hiperbolik dörtyüzlü olsun. Buradan;
sinh
sin
sinh
12 sin 34
12
burada S
34
sinh
sin
sinh
13 sin 24
13
24
sinh
sin
sinh
14 sin 23
14
23
S
det M
(3.2)
M11M 22 M 33 M 44 [20, 22].
3.4. Teorem
bir hiperbolik dörtyüzlü olsun.
dVol
1 4
Aij d
2 i, j 1
i j
ij
’n n ayr t uzunluklar na ba
hacim formülü
(3.3)
15
dir. Burada
ij
M ij ,ij
sinh
it
sinh
4
Aij
jt
M ss M is ,ij
M ss sinh
M it M it , jt
M jt M it , jt
M tt sinh
st
M is M is , js
st
M tt sinh
ij
M
i , j , s ,t 1
i j,s t
i , j s ,t
is
jt
M tt M it ,ij
M js M is , js
js
M ss sinh
js
M ss M ij , js
it
(3.4)
M tt M ij , jt
is
M st M tt M is , js
M ss M it , jt
sinh
ij
M ss M tt M it , js
M is , jt
M ss M tt
r[22].
spat
bir hiperbolik dörtyüzlü olsun. Buna göre Schlafli diferensiyel formülü;
1 4
2 i, j 1
dVol
ij
d
ij
i j
1
2
12
d
12
13
d
13
14
d
14
23
d
23
24
d
24
34
d
34
(3.5)
eklindedir. [21]’den hiperbolik dörtyüzlünün dihedral aç lar yla ayr t uzunluklar
aras nda
cos
M ij
ij
ba nt
dir.
ij
(3.6)
M ii M jj
n varl
’nin
kl
bilinmektedir. Burada
’ye göre total diferensiyeli;
ij
ij
kl
, k , l 1,..., 4 k
l ve k
l
16
d
ij
ij
d
ij
d
12
12
ij
13
13
d
ij
14
14
ij
d
23
23
d
ij
d
24
24
34
34
(3.7)
eklindedir. E .3.7, E . 3.5’te yerine yaz rsa;
2dV
13
12
12
14
12
12
14
13
13
12
12
14
14
14
14
13
12
12
23
14
23
23
13
12
12
24
14
24
24
13
12
12
34
14
34
34
34
34
34
d
14
d
23
d
24
d
34
24
24
24
34
34
34
24
23
23
13
23
24
24
24
14
13
34
34
23
23
23
d
14
24
24
23
14
13
34
34
14
23
23
12
13
24
24
14
14
13
34
34
13
23
23
d
12
24
24
13
14
13
34
12
23
23
13
34
24
24
12
14
13
13
23
12
13
12
12
23
14
13
34
(3.8)
elde edilir. E . 3.6 denkleminden;
cos
M ij
ij
kl
(3.9)
M ii M jj
kl
yaz r ve buradan;
M ii M jj
ij
kl
M ij
M ij
kl
sin
M ii M jj
kl
ij
M ii M jj
smi türevleri elde edilir. Yine E . 3.6’dan
(3.10)
17
M ij2
M ii M jj
sin
ij
(3.11)
M ii M jj
bulunur. E . 3.9, E . 3.10’da yerine yaz rsa;
M ii
M ij M jj
ij
M jj
kl
2M ii M jj
denklemi
i, j
ve i, j
M ii M jj
bulunur.
M M
M ij
kl
kl
2 M ii M jj M ii M jj
kl
MI
M ii
K smi
M
türevlerin
12
13
M ij2
M cosh 2
sinh
sinh
sinh
12
12
34
12
st
j, s t
sinh
12
sinh
12
(3.14)
24 M 33
23
M 44
M 33 M 13,12
14
M 33
(3.15)
M
M 44 M 14,12
(3.16)
M
M 23 M13,23 M 33 M12,23
sinh
2 için
M
M 14 M 14,24
sinh
(3.13)
1
M 12,12
M13 M13,23
sinh
12
23
i, j , s, t 1,..., 4 i
[30]’dan
s, t için bu özde lik;
12
14
sadele tirilmesinde
Jacobi özde li i kullan rsa
i, j
formunu al r. E . 3.12 ve E . 3.13’den k 1 ve l
12
(3.12)
2
ij
M
(3.17)
18
24
sinh
sinh
12
34
M 24 M 14,24
12
sinh
12
13
M 44
M 44 M 12,24
(3.18)
M
M 34 M 44 M13,23 M 33 M 14,24
sinh
12
12
M 33 M 44 M14,23
M 33 M 44
M 13,24
(3.19)
M
smi türevleri elde edilir. Bu e itlikler s ras yla
12
,
13
,
14
,
23
,
24
ve
34
ile
çarp larak toplan rsa;
12
M 12,12
sinh
A12
sinh
23
12
13
M 33 sinh
34
M 23 M 13,23
M 33 sinh
M
34
M 13 M 13,23 M 33 M 13,14
14
M 44 sinh
24
M 33 M 12,23
24
M 24 M 14,24
M 44 sinh
14
M 34 M 44 M 13,23 M 33 M 14,24
sinh
12
M 14 M 14,24
M 44 M 14,12
23
M 44 M 12,24
14
M 33 M 44 M 14,23 M 13,24
M 33 M 44
(3.20)
terimi elde edilir.
uzunluklar na ba
A12
terimi sadece
hiperbolik dörtyüzlüsünün ayr t
r. Benzer ekilde A13 , A14 , A23 , A24 ve A34 terimleri de elde edilir
ve ispat tamamlan r. Hiperbolik dörtyüzlüye ait ayr t uzunluklar na ba
hacim
formülü elde edilirken di er terimlerin elde edilmesinde kullan lan hesaplamalar EK1’de verilmi tir.
3.2. Regüler Hiperbolik Dörtyüzlü
3.5. Teorem
v1 , v2 , v3 ve v4 tepeli, tüm ayr t uzunluklar e it ve ayr t uzunlu u
hiperbolik düzgün dörtyüzlü vard r.
spat
olan bir
19
M simetrik bir matris olmak üzere;
1
cosh
cosh
cosh
M
i) M
3cosh
ii) M ii 1
M ii 1
M ii 1
olup M
iii) i
cosh
1
cosh
cosh
M jj1
kk
M jj1
kk mm
1
cosh
cosh
1
cosh
1 1 cosh
1
M
3
cosh
cosh
cosh
1
olup M
0
cosh
ll
M jj1
0 d r.
3cosh
ll nn
1
1 1 cosh
2
0
2cosh
1
cosh
1 1 3cosh
0
bütün asli alt matrislerinin determinant pozitif tan ml
j , i, j 1, 2,3, 4 olmak üzere M ij
v1 , v2 , v3 ve v4 tepeli,
cosh
1 cosh
r[21].
2
0 olup [21]’den
ayr t uzunluklu bir hiperbolik düzgün dörtyüzlü vard r. M
matrisi bu hiperbolik düzgün dörtyüzlünün ayr t matrisidir.
ekil 3.2. Regüler hiperbolik dörtyüzlü
20
Sonuç 3.1.
bir
12
regüler(düzgün)
13
14
23
ayr t uzunluklar na ba
dVol
3
24
hiperbolik
34
dörtyüzlü
t olmak üzere
olsun.
O
halde
hiperbolik dörtyüzlüsünün
hacmi;
t
cosh t 1
dt
1 2cosh t 3cosh t 1
(3.21)
r.
ekil 3.3. deal hiperbolik dörtyüzlü
ekil 3.4.
dörtyüzlü
deal
regüler
hiperbolik
Sonuç 3.2.
bir
12
Vol
regüler
13
14
3
23
ideal
24
hiperbolik
34
t
cosh t 1
dt
1 2cosh t 3cosh t 1
0
dörtyüzlü
olsun.
O
halde
t olmak üzere hiperbolik dörtyüzlünün hacmi;
(3.22)
21
denklemiyle hesaplan r. Bu integralin nümerik de eri 1,0149416… olup bir
hiperbolik dörtyüzlünün maksimum hacmidir. Bu sonuç Milnor’un [4]’deki
Lobachevski formülünü kullanarak elde etti i sonuçla ayn
ekil 3.5. Regüler ideal hiperbolik dörtyüzlünün hacmi
r.
22
4. KÜRESEL DÖRTYÜZLÜ
N AYRIT UZUNLUKLARINA BA LI
SCHLAFL D FERENS YEL FORMÜLÜ
Sn n 2
olmak üzere
1 i
P1 ,..., Pn
ij
1
tepeli,
i
j
i
n 2
,
’n n ei normalli düzlem içinde kalan yüzü
yüzü,
ij
yüzündeki dihedral aç
ij
,
n 1 olan bir küresel simpleks olsun. S n deki tüm simplekslerin kümesi
j
üzerindeki V hacim formülünün diferensiyeli;
1
dVol
n 1
n 1 i, j
Voln
2
ij
d
ij
Vol0
ij
1
(4.1)
1
i j
eklindedir. Burada
ij
de
ij
ij
,
’n n 2-e boyutlu yüzünü, Voln
2
’ler üzerindeki dihedral aç lar göstermektedir[5].
ekil 4.1. Küresel dörtyüzlü
ij
,
ij
’lerin hacmini,
23
Schlafli diferensiyel formülünü 3-boyutlu küresel uzay için indirgersek;
1 4
2 i, j 1
dVol
ij
d
(4.2)
ij
i j
eklini al r. Burada
ij
,
’n n ayr t uzunluklar na kar
k gelmektedir[22].
4.1. Küresel Dörtyüzlünün Ayr t Matrisi
, P1 ,..., P4 tepeli bir küresel dörtyüzlü olsun. O halde;
M
1
cos
cos
matrisi
ij
i , j 1,...,4
cos
cos
12
13
14
cos
1
cos
cos
12
23
24
’n n ayr t matrisidir ve burada
cos
cos
23
cos
cos
1
cos
34
cos
1
ij
ji
13
, i
14
24
34
j dir. M’nin 3 3 tipinde alt
matrisleri i yinci sat r ve j yinci sütunun silinmesinden elde edilir. M’nin alt
matrislerinin kofaktörleri ise M ij , st eklinde gösterilmektedir s, t 1,..., 4 [22].
4.1. Teorem
i
j ve i, j 1,..., n 1 olmak üzere
pozitif reel say
M
olmas
cos
ij
r[21].
n
n
n n 1
tane
2
ij
ji
0,
2
eklindeki
’nin ayr t uzunlu u olmas için gerek ve yeter
ayr t matrisinin simetrik pozitif tan ml ve kö egen elemanlar
art
n1
24
4.2. Teorem
bir küresel dörtyüzlü olsun. Buradan;
i) det M
ii) M ii
iii)
0
0, i 1,..., 4
M kk M ll
sinh ij
sin kl
det M
, i, j , k , l 1,..., 4, i
j, k
l [20, 22].
4.3. Teorem
bir küresel dörtyüzlü olsun. Buradan;
sinh
sin
sinh
12 sin 34
12
burada P
34
sinh
sin
sinh
13 sin 24
13
24
sinh
sin
sinh
14 sin 23
14
23
P
det M
(4.3)
M 11M 22 M 33 M 44 [20, 22].
4.4. Teorem
bir küresel dörtyüzlü olsun.
dVol
1 4
Aij d
2 i, j 1
i j
dir. Burada
ij
’n n ayr t uzunluklar na ba
hacim formülü
(4.4)
25
ij
M ij ,ij
sin
sin
4
Aij
it
M jt M it , jt
jt
M ss M it , jt
ij
js
M tt M ij , jt
M tt sin
sin
M tt M it ,ij
M tt sin
it
M st M tt M is , js
M it M it , jt
jt
M ss M ij , js
M ss sin
st
M ss M is ,ij
M ss sin
M js M is , js
M
i , j , s ,t 1
i j ,s t
i , j s ,t
M is M is , js
st
js
ij
is
is
M ss M tt M it , js
M is , jt
M ss M tt
(4.5)
eklindedir.
spat
bir küresel dörtyüzlü olsun. Buna göre Schlafli diferensiyel formülü;
1 4
2 i, j 1
dVol
ij
d
ij
i j
1
2
12
d
12
13
d
13
14
d
14
23
d
23
24
d
24
34
d
(4.6)
34
eklindedir. [21]’den küresel dörtyüzlünün dihedral aç lar yla ayr t uzunluklar
aras nda
cos
M ij
ij
ba nt
dir.
d
ij
(4.7)
M ii M jj
n varl
’nin
ij
ij
12
kl
d
bilinmektedir. Burada
ij
ij
kl
, k , l 1,..., 4 k
l ve k
l
’ye göre total diferensiyeli;
ij
12
13
d
ij
13
14
d
ij
14
23
d
ij
23
24
d
ij
24
d
34
34
(4.8)
26
eklindedir. E . 4.8, E . 4.6’da yerine yaz rsa;
2dV
13
12
12
13
12
12
13
13
13
12
13
14
14
14
13
12
12
13
23
23
23
13
12
12
13
24
24
24
13
12
12
13
34
34
34
34
34
34
d
14
d
23
d
24
d
34
24
24
24
34
34
34
24
23
23
13
23
24
24
24
14
14
34
34
23
23
23
d
14
24
24
23
14
14
34
34
14
23
23
12
13
24
24
14
14
14
34
34
13
23
23
d
12
24
24
13
14
14
34
12
23
23
13
34
24
24
12
14
14
13
12
23
12
13
12
12
23
14
14
34
(4.9)
elde edilir. E . 4.7 den;
cos
M ij
ij
kl
(4.10)
M ii M jj
kl
yaz r ve buradan;
M ii M jj
ij
kl
M ij
M ij
kl
sin
M ii M jj
kl
ij
M ii M jj
smi türevleri elde edilir. Yine E . 4.7’den
(4.11)
27
M ij2
M ii M jj
sin
ij
(4.12)
M ii M jj
bulunur. E . 4.12, E . 4.11’de yerine yaz rsa;
M ii
M ij M jj
ij
M jj
kl
denklemi
bulunur.
M M
i, j
ve i, j
M ii M jj
2M ii M jj
M ij
kl
2 M ii M jj M ii M jj
kl
MI
M ii
kl
M
K smi
türevlerin
M ij2
M 1 cos 2
sin
12
12
sin
34
sin
12
sin
12
sin
12
(4.15)
M 33 M 13,12
(4.16)
M
24 M 33
M 14 M 14,24
M 44 M 14,12
(4.17)
M
23 M 44
M 23 M13,23 M 33 M12,23
sin
2 için
M
M13 M13,23
sin
12
12
j, s t
(4.14)
st
M 12,12
sin
12
23
i, j , s, t 1,..., 4 i
[30]’den
s, t için bu özde lik
12
14
sadele tirilmesinde
Jacobi özde li i kullan rsa
i, j
formunu al r. E . 4.13 ve E . 4.14 den k 1 ve l
13
(4.13)
2
ij
M
14 M 33
(4.18)
28
24
sin
12
sin
12
34
M 24 M 14,24
sin
12
13
M 44 M 12,24
(4.19)
M 44 M
M 34 M 44 M13,23 M 33 M 14,24
sin
12
M 33 M 44 M14,23
M 13,24
(4.20)
M
12 M 33 M 44
smi türevleri elde edilir. Bu e itlikler s ras yla
12
,
13
,
14
,
23
,
24
ve
34
ile
çarp larak toplan rsa;
12
M 12,12
sin
A12
sin
23
12
13
M 13 M 13,23 M 33 M 13,14
M 33 sin
34
34
M 14 M 14,24
M 44 sin
24
M 23 M 13,23 M 33 M 12,23
M 33 sin
M
14
24
M 24 M14,24
M 44 sin
14
M 34 M 44 M 13,23 M 33 M 14,24
sin
12
M 44 M14,12
23
M 44 M12,24
14
M 33 M 44 M 14,23 M 13,24
M 33 M 44
(4.21)
terimi elde edilir. A12 terimi sadece
ba
küresel dörtyüzlüsünün ayr t uzunluklar na
r. Benzer ekilde A13 , A14 , A23 , A24 ve A34 terimleri de elde edilir ve ispat
tamamlan r. Küresel dörtyüzlüye ait ayr t uzunluklar na ba
hacim formülü elde
edilirken di er terimlerin elde edilmesinde kullan lan hesaplamalar EK-2’de
verilmi tir.
4.2. Regüler Küresel Dörtyüzlü
4.5. Teorem
v1 , v2 , v3 ve v4 tepeli, tüm ayr t uzunluklar e it ve ayr t uzunlu u
düzgün dörtyüzlü vard r.
olan bir küresel
29
ekil 4.2. Regüler küresel dörtyüzlü
spat
M bir simetrik matris olmak üzere;
M
1
cos
cos
cos
M
3cos
M ii
M ii
2 cos
ll
sin 2
cos
1
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos
cos
1
1 cos
1 cos
1
1
2
2
(4.22)
0
0
0
(4.23)
(4.24)
(4.25)
olup M’nin bütün asli alt matrislerinin determinant pozitiftir. O halde M pozitif
tan ml ve M, bir küresel regüler dörtyüzlüsünün ayr t matrisidir[21].
30
4.1. Sonuç
bir
12
regüler(düzgün)
13
14
uzunluklar na ba
dVol
r.
3
23
24
küresel
34
dörtyüzlü
t olmak üzere
olsun.
O
halde
küresel dörtyüzlüsünün ayr t
hacmi;
t
cos t 1
dt
1 2cos t 3cos t 1
(4.26)
31
5.
KÜRESEL
VE
H PERBOL K
DÖRTYÜZLÜLER N
HAC M
HESAPLAMALARININ FEYNMAN NTEGRALLER NE UYGULAMALARI
Bir ilmikli n-noktal Feynman diyagram
ile n-boyutlu Öklidyen simpleksin
geometrik gösterimi aras ndaki do rudan ba lant , sabit e rilikli Öklidyen olmayan
uzaylardaki (n-1)-boyutlu simpleksler yard
yla Feynman parametrik gösterimiyle
ili kilendirilerek [23] ve [31] de gösterilmi tir.
n-boyutlu uzayda tüm kütle vektörleri ayn orijinden ç ks nlar ve uç noktalar ndan
birle tirilsinler. Ortaya ç kan ekil temel bir Öklidyen simpleks belirtir ve Feynman
diyagram olarak adland
r. Öklidyen kütle vektörlerinin uzunluklar
gösterilmek üzere j ve l -yinci kütle vektörleri aras ndaki aç
jl
mi ile
olsun. Bu aç lar ai
ler birim vektörler olmak üzere
a j , al
cos
(5.1)
jl
eklinde elde edilir.
l iken
j
jj
0 ve cos
jj
1 dir.
j ve l -yinci kütle
vektörlerini birle tiren vektörler “momentum yüzü” olarak adland
rlar ve bu
vektörlerin uzunlu u;
m2j ml2 2m j ml cos
eklindedir.
1
2
jl
k 2jl
1
2
(5.2)
32
ekil 5.1. 3-boyutlu uzayda Feynman diyagram
Temel n-boyutlu simpleks
1
1
n n 1 yüze, n tane kütle yüzüne, n n 1 tane
2
2
momentum yüzüne ve n 1 tepe noktas na sahiptir. Tüm kütle yüzlerinin birle ti i
noktaya M “kütle birle im noktas (mass meeting point)”, denir.
. 5.1. deki bile enlerden olu an
1
cos
G
12
cos
1
...
cos 1n
...
c os
matrisi
cos
cos
12
2n
Öklidyen
1
n!
...
...
1n
2n
(5.3)
...
cnn
Gram
matrisidir[23].
Bu
matrisin
G ve j -inci sat r l -yinci sütunu at larak elde edilen alt
matrisin minörü G (jln
n
23
... cos
... cos
simpleksin
determinant ; det G
V
...
c3n
13
1)
ile gösterilmek üzere n-boyutlu simpleksin hacmi;
n
mi
i 1
G
(5.4)
33
eklindedir[23, 31]. j -inci kütle yüzünün at lmas yla elde edilen (n-1)-boyutlu
indirgenmi hiperyüzeyin hacmi ise
Vj
n 1
1
n
(n 1)!
i j
n 1
mi
G jj
(5.5)
eklindedir. Bir ilmekli n-point Feynman diyagram na kar
k gelen Feynman
integralinin genel hali
d nq
J ( N ) n ; v1 , v2 ,..., vN
N
pi
q
2
(5.6)
vi
2
i
m
i 1
biçimindedir[23, 31]. n
J ( n ) n ;1,1,...,1
i1
2n
N ve vi 1, i 1,..., n durumunda bu integral;
n
2
ekline dönü ür[23, 31].
kar
n
(n)
2
n! V ( n)
(n)
(5.7)
, M mass meeting noktas ndaki tepe aç
n ölçüsüne
(n)
’nin bilinmesi
k gelmektedir. E . 5.7’deki integralin hesaplanmas için
gerekmektedir.
(n)
ise n-boyutlu Öklidyen simpleksde (n-1)-boyutlu küresel yada
hiperbolik simpleksin hacmine kar
k gelmektedir.
5.1. Öklidyen Simpleks, Feynman ntegrali ve Tepe Aç
2-boyutlu uzayda Feynman diyagram bir üçgene kar
yüzü aras ndaki aç ya kar
k gelir.
Aras ndaki li ki
k gelmektedir.
12
iki kütle
34
ekil 5.2. 2-boyutlu uzayda Feynman diyagram ve
12
aç
ekil 5.1 deki verilere göre;
1 cos 2
G
V (2)
12
1
m1m2 sin
2
sin 2
12
12
(2)
12
bile enleri elde edilir. Bu bile enler E . 5.7’de yerine yaz rsa;
J (2) 2;1,1
i
12
m1m2 sin 12
(5.8)
elde edilir.
3-boyutlu uzayda Feynman diyagram bir dört yüzlüye kar
k gelir. Bu dört
yüzlünün üç tane kütle yüzü ve üç tane de momentum yüzü vard r. Kütle yüzleri
aras ndaki aç lar ise
12
,
13
ve
23
eklindedir. 3-boyutlu uzaydaki Öklidyen
dörtyüzlünün hacmi;
V (3)
1
m1m2 m3 G
6
(5.9)
35
formülü ile kolayca hesaplan r[23].
ekil 5.3. 3-boyutlu uzayda Feynman diyagram ve tepe aç
Yukar daki ekilden görüldü ü gibi
üçgenin alan na kar
12
,
13
ve
23
(3)
tepe aç
n ölçüsü bir küresel (hiperbolik)
k gelmektedir. Bu üçgende
12
,
13
ve
23
ayr t uzunluklar ,
de erleri ise bu ayr tlar aras ndaki dihedral aç lard r.
Üç boyutlu
uzayda yukar daki dörtyüzlüye ait Gram matrisinin determinant ;
G
1
cos
cos
cos
1
cos
12
13
12
cos
23
cos
1
13
23
1 cos 2
12
cos 2
13
cos 2
23
2 cos
12
co s
13
co s
23
(5.10)
eklindedir. Küresel simpleksin ayr t uzunluklar ile dihedral aç lar aras ndaki
cos
M ij
ij
M ii M jj
(5.11)
hiperbolik simpleksin ayr t uzunluklar ile dihedral aç lar aras ndaki
cos
M ij
ij
M ii M jj
(5.12)
36
ba nt lar vard r[21]. Küresel ve hiperbolik üçgenin dihedral aç lara ba
alan
formülleri ise s ras yla;
(3)
12
13
(5.13)
23
(3)
12
13
(5.14)
23
eklindedir[24]. Buradan;
arctan u arctan v arctan w arctan
u v w uvw
1 uv uw vw
(5.15)
olup E . 5.11 ve E . 5.12’den s ras yla küresel ve hiperbolik üçgen için
(3)
(3)
arctan
M cos
M
arctan
cos
12
1 cos
12
M cosh
M
ayr t uzunluklar na ba
cos
cosh
12
13
13
12
cos
23
1 cos
cosh
1 cosh
13
23
(5.16)
1
cosh
23
1 cosh
23
13
1
(5.17)
alan formülleri elde edilir[23]. Böylece kütle yüzleri
aras ndaki aç bilinen bir Feynman diyagram nda M kütle birle im noktas ndaki tepe
aç (kat aç ), ayr t uzunluklar ile dihedral aç lar aras ndaki geçi ba nt lar ndan
yararlan larak hesaplan r. Sonuç olarak 3-boyutlu uzayda Feynman integrali;
J (3) 3;1,1,1
i 2
2m1m2 m3
eklinde olur[23].
3
(5.18)
G
37
4-boyutlu uzayda Feynman diyagram 4-boyutlu Öklidyen simplekse kar
k gelir.
Bu simpleksin 4 kütle yüzü ve 6 tane momentum yüzü vard r. Ayr ca bu simpleks 5
tane tepeye ve 3-boyutlu hiperyüze sahiptir. 4-boyutlu uzayda; 4-boyutlu simpleksi
m1 , m2 , m3 ve m4
kütle yüzleri ve yüzler aras ndaki
12
,
13
,
14
,
23
,
24
ve
34
aç lar yla tan mlayal m. Buna göre Öklidyen simpleksin hacmi;
V (4)
1
m1m2 m3 m4 G
24
(5.19)
eklinde hesaplan r[23]. Burada;
G
det
1
cos
cos
cos
cos
1
12
cos
cos
13
14
cos
cos
12
1
cos
23
24
23
cos
cos
34
cos
1
13
14
24
(5.20)
34
biçimindedir. Bu verilere göre 4-boyutlu uzayda Feynman integrali;
J (4) 4;1,1,1,1
1
i
12
(4)
2
V (4)
(4)
2i 2
m1m2 m3 m4 G
(5.21)
eklindedir[23, 31]. Fiziksel problemlerde bu integralin hesaplanmas nda temel
problem
(4)
bile eninin nas l hesaplanaca
4-boyutlu uzayda
noktas ndaki tepe aç
(4)
r.
, 4-boyutlu Öklidyen simpleksin kütle yüzlerinin birle me
n ölçüsüne kar
k gelir. Bu tepe aç
n ölçüsü küresel
durumda bir 3-boyutlu küresel dörtyüzlünün hacmiyle, hiperbolik durumda da bir 3boyutlu hiperbolik dörtyüzlünün hacmi ile çak r. Öklidyen simplekse ait E .
5.20’deki kütle yüzleri aras ndaki matris kütle yüzlerinin birle im noktas ndaki
küresel dörtyüzlünün ayr t matrisiyle çak r. Bu ise özellikle bu dörtyüzlünün
hacminin hesaplanmas için büyük kolayl k sa lar. [23, 31] çal malar nda
(4)
nin
38
hesaplanmas için uzun ve karma k yöntemler tercih edilmi tir. Do rudan Schlafli
ve Lobachevski formüllerine geçi
yapmak için dörtyüzlülerin orto emalara
ayr lmas ile hacim hesaplamalar na gidilmi tir. Ancak [21] deki dihedral aç larla
ayr t uzunluklar
uzunluklar na ba
aras ndaki geçi
ba nt lar ndan ve [22] deki sadece ayr t
hacim formüllerinden do rudan
durumda E . 4.4’deki;
dVol
1 4
Aij d
2 i, j 1
ij
i j
formülünden, hiperbolik durumda ise E . 3.3’deki
dVol
1 4
Aij d
2 i, j 1
ij
i j
formüllerinden kolayl kla yap labilir.
(4)
nin hesaplanmas küresel
39
6. SONUÇ
Herkes taraf ndan bilindi i gibi kenar uzunluklar bilinen bir Öklidyen üçgenin
alan
hesaplamak için pratik bir formül bilinmektedir. Ancak hiperbolik ve küresel
üçgenlerin sadece kenar uzunluklar na ba
bir alan formülü bilinmemekteydi. Bu
tezin olu umunda bu sorunun cevab aranm
cevap
daha
da
ileriye
götürülerek
ve bu formüller elde edilmi tir. Bu
2-simplekslerden,
3-simplekslere
yani
dörtyüzlülere geçilerek hiperbolik ve küresel dörtyüzlülerin hacimleri sadece ayr t
uzunluklar na ba
olarak elde edilmi tir. Bu formül Schlafli diferensiyel formülüne
benzer oldu u için Ayr t Uzunluklar na Ba
adland lm
Schlafli Diferensiyel Formülü olarak
r. Lobachevski ve Schlafli diferensiyel formüllerinde dihedral aç lar
yada hem dihedral aç lar hem de ayr t uzunluklar bilinmeden hacim hesaplamak
mümkün de ilken, bu tezde elde edilen formülle sadece ayr t uzunluklar bilinen bir
dörtyüzlünün hacmi hesaplanabilmektedir.
3-boyutlu uzayda Gram matrisi ile Ayr t matrisi aras ndaki ili kiden elde edilen bu
formülün daha yüksek boyutlu uzaylarda elde edilmesi oldukça zordur. Bu tezde de
vurguland
gibi simplekslere ait hacim formülleri ve bile enleri Gram matrisi ve
Ayr t matrisi ile do rudan ili kilidir. Çal malar
Gram ve Ayr t matrisleri
aras ndaki ba nt lardan yararlanarak 3-boyutlu hiperbolik ve küresel uzayda sadece
tepe aç lar bilinen bir simplekslerin hacim formüllerini elde etmek
sürdürece iz.
eklinde
40
EKLER
41
EK- 1 Hiperbolik Dörtyüzlü çin Hesaplamalar
Hiperbolik dörtyüzlünün ayr t uzunluklar na ba
Schlafli diferensiyel formülü elde
edilirken kullan lan kofaktör ve kofaktörlerin k smi türevleri a
da verilmi tir.
M 11 = cosh 2
23
2 cosh
23
cosh
24
cosh
34
cosh 2
24
cosh 2
34
1
M 22 = cosh 2
13
2 cosh
13
cosh
14
cosh
34
cosh 2
14
cosh 2
34
1
M 33 = cosh 2
12
2 cosh
12
cosh
14
cosh
24
cosh 2
14
cosh 2
24
1
M 44 = cosh 2
12
2 cosh
12
cosh
13
cosh
23
cosh 2
13
cosh 2
23
1
M 12 = cosh
12
cosh
M 13 = cosh
13
13
cosh
M 14 = cosh
12
14
cosh
M 23 = cosh
12
23
cosh
M 24 = cosh
24
cosh
M 34 = cosh
= 0,
12
M 11
12
M 11
12
34
cosh
M 11
12
cosh
13
cosh
23
cosh
14
cosh
24
cosh
24
cosh
34
cosh
14
cosh
23
cosh
12
cosh
23
cosh
14
cosh
34
cosh
24
cosh
34
cosh
14
cosh
23
cosh
12
cosh
24
cosh
13
cosh
34
cosh
23
cosh
34
cosh
13
cosh
23
cosh
12
cosh
13
cosh
24
cosh
34
cosh
14
cosh
34
cosh
13
cosh
14
cosh
12
cosh
14
cosh
23
cosh
cosh
cosh
cosh
= 0,
13
cosh
34
cosh
13
cosh
13
cosh
14
cosh
23
cosh
13
cosh
M 11
13
24
cosh
12
cosh
=0
14
= 2 sinh
23
(cosh
23
cosh
24
cosh
34
)
= 2 sinh
24
(cosh
24
cosh
23
cosh
34
)
23
M 11
24
cosh
cosh
cosh
34
14
24
14
cosh 2
24
14
cosh 2
23
14
cosh
23
13
cosh
24
12
cosh
34
24
cosh 2
23
cosh 2
cosh
13
24
cosh 2
cosh
34
24
cosh
cosh
cosh 2
34
cosh
cosh
12
23
42
EK-1 (Devam) Hiperbolik Dörtyüzlü çin Hesaplamalar
M 11
= 2 sinh
34
(cosh
34
cosh
23
cosh
24
)
34
M 12
= sinh
12
(1 cosh 2
= sinh
13
(cosh
24
cosh
34
cosh
23
)
= sinh
14
(cosh
23
cosh
34
cosh
24
)
= sinh
23
(cosh
14
cosh
34
cosh
13
)
= sinh
24
(cosh
13
cosh
34
cosh
14
)
= sinh
34
(cosh
13
cosh
24
cosh
14
cosh
)
34
12
M 12
13
M 12
14
M 12
23
M 12
24
M 12
23
2 cosh
12
cosh
34
)
24
2 cosh
14
cosh
23
)
34
M 22
= 0,
M 22
12
M 22
= 0,
M 22
23
=0
24
= 2 sinh
13
(cosh
13
cosh
14
cosh
34
)
= 2 sinh
14
(cosh
14
cosh
13
cosh
34
)
= 2 sinh
34
(cosh
34
cosh
13
cosh
14
)
13
M 22
14
M 22
34
M 23
= sinh
12
(cosh
14
cosh
34
cosh
13
)
= sinh
13
(cosh
14
cosh
24
cosh
12
)
= sinh
14
(cosh
12
cosh
34
cosh
13
cosh
= sinh
23
(1 cosh 2
12
M 23
13
M 23
14
M 23
23
14
)
43
EK-1 (Devam) Hiperbolik Dörtyüzlü çin Hesaplamalar
M 23
= sinh
24
(cosh
13
cosh
14
cosh
34
)
= sinh
34
(cosh
12
cosh
14
cosh
24
)
24
M 23
34
M 33
= 0,
M 33
13
M 33
= 0,
M 33
23
=0
34
= 2 sinh
12
(cosh
12
cosh
14
cosh
24
)
= 2 sinh
14
(cosh
14
cosh
12
cosh
24
)
= 2 sinh
24
(cosh
24
cosh
12
cosh
14
)
12
M 33
14
M 33
24
M 13
= sinh
12
(cosh
34
cosh
23
)
= sinh
13
(1 cosh 2
= sinh
14
(cosh
23
cosh
24
cosh
34
)
= sinh
23
(cosh
14
cosh
24
cosh
12
)
= sinh
24
(cosh
12
cosh
34
2 cosh
= sinh
34
(cosh
12
cosh
24
cosh
24
cosh
12
M 13
24
)
13
M 13
14
M 13
23
M 13
13
cosh
24
M 13
14
)
34
M 44
= 0,
M 44
14
M 44
= 0,
24
M 44
=0
34
= 2 sinh
12
(cosh
12
cosh
13
cosh
23
)
= 2 sinh
13
(cosh
13
cosh
12
cosh
23
)
12
M 44
13
24
cosh
14
cosh
23
)
44
EK-1 (Devam) Hiperbolik Dörtyüzlü çin Hesaplamalar
M 44
= 2 sinh
23
(cosh
23
cosh
12
cosh
13
)
23
M 14
= sinh
12
(cosh
23
cosh
34
cosh
24
)
= sinh
13
(cosh
23
cosh
24
cosh
34
)
= sinh
14
(1 cosh 2
= sinh
23
(cosh
12
cosh
34
cosh
13
cosh
= sinh
24
(cosh
13
cosh
23
cosh
12
)
= sinh
34
(cosh
12
cosh
23
cosh
13
)
= sinh
12
(cosh
13
cosh
34
cosh
14
)
= sinh
13
(cosh
12
cosh
34
2 cosh
= sinh
14
(cosh
13
cosh
23
cosh
12
)
= sinh
23
(cosh
13
cosh
14
cosh
34
)
= sinh
24
(1 cosh 2
= sinh
34
(cosh
12
cosh
13
cosh
23
)
= sinh
12
(cosh
13
cosh
24
2 cosh
= sinh
13
(cosh
12
cosh
24
cosh
12
M 14
13
M 14
23
)
14
M 14
24
2 cosh
14
cosh
23
)
23
M 14
24
M 14
34
M 24
12
M 24
13
cosh
24
cosh
14
cosh
23
)
cosh
34
cosh
14
cosh
23
)
13
M 34
13
M 24
23
M 24
13
)
24
M 24
34
M 34
12
12
M 34
13
14
)
45
EK-1 (Devam) Hiperbolik Dörtyüzlü çin Hesaplamalar
M 34
= sinh
14
(cosh
12
cosh
23
cosh
13
)
= sinh
23
(cosh
12
cosh
14
cosh
24
)
= sinh
24
(cosh
12
cosh
13
cosh
23
)
= sinh
34
(1 cosh 2
14
M 34
23
M 34
24
M 34
34
12
)
46
EK- 2 Küresel Dörtyüzlü çin Hesaplamalar
Küresel dörtyüzlünün ayr t uzunluklar na ba
Schlafli diferensiyel formülü elde
edilirken kullan lan kofaktör ve kofaktörlerin k smi türevleri a
da verilmi tir.
cos 2
23
2 cos
23
cos
24
cos
34
cos 2
24
cos 2
34
1
M 22 = cos 2
13
2 cos
13
cos
14
cos
34
cos 2
14
cos 2
34
1
cos 2
12
2 cos
12
cos
14
cos
24
cos 2
14
cos 2
24
1
M 44 = cos 2
12
2 cos
12
cos
13
cos
23
cos 2
13
cos 2
23
cos
12
cos
14
cos
24
cos
34
cos
14
cos
23
cos
13
cos
14
cos
34
cos
34
cos
14
cos
23
cos
14
cos
13
cos
34
34
cos
13
cos
23
M 11 =
M 33 =
M 12 = cos
cos
13
cos
M 13 = cos
13
cos
M 14 = cos
12
M 23 = cos
12
cos
M 24 = cos
12
12
cos
M 34 = cos
13
cos
M 11
24
23
14
cos
13
14
13
23
34
cos
14
cos
cos
cos
13
cos
cos
12
24
cos
cos
12
23
cos
cos
12
24
cos
cos
12
cos
cos
cos
12
23
cos
24
34
cos
cos
cos
cos
cos
34
cos
cos
24
cos
cos
24
13
cos
23
13
cos
23
12
cos
cos
cos
=0
12
M 22
=0
12
M 33
12
= 2sin
12
(cos
12
cos
14
cos
24
)
cos
cos
34
14
34
14
24
14
cos 2
24
14
cos 2
23
14
cos
23
13
cos
24
12
cos
34
23
cos 2
cos
13
24
cos 2
cos
34
24
cos 2
cos
cos 2
24
cos
cos
12
34
cos
cos
1
23
47
EK-2 (Devam) Küresel Dörtyüzlü çin Hesaplamalar
M 44
= 2sin
12
(cos
cos
12
13
cos
23
)
12
M 12
= sin
12
(1 cos 2
= sin
12
(cos
24
cos
34
cos
23
)
= sin
12
(cos
23
cos
34
cos
24
)
= sin
12
(cos
14
cos
34
cos
13
)
= sin
12
(cos
13
cos
34
cos
14
)
= sin
12
(cos
13
cos
24
2 cos
12
cos
34
)
12
M 13
12
M 14
12
M 23
12
M 24
12
M 34
12
M 11
=0
13
M 22
= 2sin
13
(cos
13
cos
14
cos
34
)
13
(cos
13
cos
12
cos
23
)
13
M 33
=0
13
M 44
= 2sin
13
M 12
= sin
13
(cos
24
cos
34
cos
23
)
= sin
13
(1 cos 2
24
= sin
13
(cos
23
cos
24
cos
34
)
= sin
13
(cos
14
cos
24
cos
12
)
13
M 13
)
13
M 14
13
M 23
13
34
cos
14
cos
23
)
48
EK-2 (Devam) Küresel Dörtyüzlü çin Hesaplamalar
M 24
= sin
13
(cos
12
cos
34
2 cos
= sin
13
(cos
12
cos
24
cos
13
cos
24
cos
14
cos
23
)
2 cos
14
cos
23
)
13
M 34
)
14
13
M 11
=0
14
M 22
= 2sin
14
(cos
14
cos
13
cos
34
)
= 2sin
14
(cos
14
cos
12
cos
24
)
14
M 33
14
M 44
=0
14
M 12
= sin
14
(cos
23
cos
34
cos
24
)
= sin
14
(cos
23
cos
24
cos
34
)
= sin
14
(1 cos 2
= sin
14
(cos
12
cos
34
cos
13
cos
= sin
14
(cos
13
cos
23
cos
12
)
= sin
14
(cos
12
cos
23
cos
13
)
14
M 13
14
M 14
23
)
14
M 23
14
M 24
14
M 34
14
M 11
= 2 sin
23
M 22
=0
23
M 33
23
=0
23
(cos
23
cos
24
cos
34
)
24
49
EK-2 (Devam) Küresel Dörtyüzlü çin Hesaplamalar
M 44
= 2 sin
23
(cos
cos
23
12
cos
13
)
23
M 12
= sin
23
(cos
14
cos
34
cos
13
)
= sin
23
(cos
14
cos
24
cos
12
)
= sin
23
(cos
12
cos
34
cos
13
cos
= sin
23
(1 cos 2
= sin
23
(cos
13
cos
14
cos
34
)
= sin
23
(cos
12
cos
14
cos
24
)
23
M 13
23
M 14
24
2 cos
14
cos
23
)
cos
14
cos
23
)
23
M 23
14
)
23
M 24
23
M 34
23
M 11
= 2 sin
24
(cos
24
cos
23
cos
34
)
24
(cos
24
cos
12
cos
14
)
24
M 22
=0
24
M 33
= 2 sin
24
M 44
=0
24
M 12
= sin
24
(cos
13
cos
34
cos
= sin
24
(cos
12
cos
34
2 cos
= sin
24
(cos
13
cos
23
cos
12
)
= sin
24
(cos
13
cos
14
cos
34
)
14
)
24
M 13
13
24
M 14
24
M 23
24
cos
24
50
EK-2 (Devam) Küresel Dörtyüzlü çin Hesaplamalar
M 24
= sin
24
(1 cos 2
= sin
24
(cos
13
)
24
M 34
cos
12
13
cos
23
)
24
M 11
= 2 sin
34
cos
34
cos
23
cos
24
= 2sin
34
cos
34
cos
13
cos
14
12
34
M 22
34
M 33
=0
34
M 44
=0
34
M 12
= sin
34
cos
13
cos
24
2 cos
= sin
34
cos
12
cos
24
cos
14
= sin
34
cos
12
cos
23
cos
13
= sin
34
cos
12
cos
14
cos
24
= sin
34
cos
12
cos
13
cos
23
= sin
34
(1 cos 2
12
34
M 13
34
M 14
34
M 23
34
M 24
34
M 34
34
)
cos
34
cos
14
cos
23
51
KAYNAKLAR
1.
Lobachevski, N.I., “Imaginare geometrie und ihre abwendung auf einige
integrale”, Deutsche Übersetzung von H. Liebmann, Leipzig, 21-38, (1904).
2.
Schlafli, L., “On the multiple integral.
p1 a1 x b1 y ... h1 z 0, p2 0,..., pn
Pure Appl. Math. 2, 69–301 (1858).
dxdydz , whose limit are
0 and x 2
y 2 ... z 2 1 ”, Q. J.
3.
Kneser, H., “Der simplexinhalt in der nichteuklidischen geometrie”,
Deutsche Math. 1, 337–340 (1936).
4.
Milnor, J., “The Schlafli differential equality”, Collected Papers, 1, Publish
or Perish Inc., Houston, 20-250 (1994).
5.
Suarez-Peiro, E., “A Schlafli differential formula for simplices in semiRiemannian hyperquadrics, Gauss-Bonnet formulas for simplices in the de
Sitter sphere and the dual volume of a hyperbolic simplex”, Pas. J. Math.,
194(1): 229-255 (2000).
6.
Bartos, P., “Sinusova veta o siplexoch”, En. Casopis Pest. Math., 93: 273–
277 (1968).
7.
Erikson, F. “The law of sines for tedrahedra and simplices”, Geom.
Dedicata, 7: 71-80 (1978).
8.
nternet:
Rivin,
I.,
“A
multidimensional
law
of
sines”,
http://front.math.ucdavis.edu/search?a=Rivin&t=&q=&c=&n=40&s=Listings
(2002).
9.
Leng, G., Zhang, Y., “The generalized sine theorem and inequalities for
simplices”, Linear Algebra Appl., 278: 237-247 (1998).
10.
Cho,Y., “Volume of a tetrahedron in terms of dihedral angles and
circumradius”, Appl. Math. Lett., 18: 45-47 (2000).
11.
Derevnin, D.A., Mednykh, A.D., Pashkevich, M.G., “On volume of a
symmetric tedrahedron in hyperbolic and spherical spaces”, Siberian Math.
J., 45(5): 840–848 (2004).
12.
Karl a, B., Yakut, A.T., “Vertex angles of a simplex in hyperbolic space”,
Geom. Dedicata, 120: 49–58 (2006).
52
13.
Vinberg, E. B., “Geometry II, Encyclopaedia of Mathematical Sciences”,
Springer-Verlag, New York, 4-79 (1993).
14.
Kellerhals, R., “On the volume of hyperbolic polyhedra”, Math. Ann., 285,
541–569 (1989).
15.
Hsiang,W.Y., “On infinitesimal symmetrization and volume formula for
spherical or hyperbolic tetrahedrons”, Q. J. Math. Oxford, 39(2): 463–468
(1988).
16.
Cho, Y., Kim, H., “On the volume formula for hyperbolic tetrahedra”,
Discret. Comput. Geom., 22: 347–366 (1999).
17.
Murakami, J., Yano, M., “On the volume of hyperbolic and spherical
tetrahedron”, Comm. Anal. Geom., 13 (2): 379-400 (2005).
18.
Murakami, J., Ushijima, A., “A volume formula for hyperbolic tetrahedra in
terms of edge lengths”, J. Geom., 83: 153–163 (2005).
19.
Derevnin, D. A., Mednykh, A. D., “A formula for the volume of a hyperbolic
tetrahedron”, Russian Math. Surveys, 60(2): 346-348 (2005).
20.
Mednykh, A. D., Pashkevich, M. G., “Elementary formulas for a hyperbolic
tetrahedron”, Siberian Math. J., 47(4): 687-695 (2006).
21.
Karl a, B., “Edge matrix of hyperbolic simplices”, Geom. Dedicata, 109: 16 (2004).
22.
Yakut, A.T., Savas, M., Kader, S., “On the Schlafli differential formula based
on edge lengths of tetrahedron in H n and S n ”, Geom. Dedicata, 138: 99115 (2009).
23.
Davydychev A. I. and Delbourgo R. “A geometrical angle on Feynman
integrals”, J. Math. Phys., 39: 4299–4334 (1998).
24.
Ratcliffe, J.G., “Foundations of hyperbolic manifolds”, Springer-Verlag,
Berlin, 15-445 (1994).
25.
Hac saliho lu,H.H., “ ki ve üç boyutlu uzaylarda
geometriler”, A.Ü.Fen Fakültesi, Ankara, 18-43 (1998).
26.
Berger, M., “Geometry I”, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 196-217
(1987).
27.
Luo, Feng “Continuity of The Volume of Simplices in Classical Geometry”
Commun. Contemp. Math., 8(3): 411-431 (2006).
dönü ümler ve
53
28.
Guo, R., Luo, F., “Rigidity of polyhedral surfaces”, Geom. Topol., 13(3):
1265-1312 (2009).
29.
nternet: Luo, F., “On a Conjecture of Milnor about Volume of Simplexes”
http://www.math.rutgers.edu/~fluo/, 1-15 (2007).
30.
Prasolov, V. V., “Problems and theorems in linear algebra” Am. Math. Soc.,
Providence, 45-83 (1994).
31.
Davydychev A. I. and Delbourgo R., “Geometrical Approach To The
Evaluation Of Multileg Feynman Diagrams”, Acta Physica Polonica B,
29(10), 2891-2899 (1998).
54
ÖZGEÇM
Ki isel Bilgiler
Soyad , ad
: SAVA , Murat
Uyru u
: T.C.
Do um tarihi ve yeri
: 11.04.1981 Sivas/ ark la
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (312) 202 1081
Faks
: 0 (312) 202 1079
e-mail
: msavas@gazi.edu.tr
itim
Derece
E itim Birimi
Mezuniyet tarihi
Yüksek lisans
Gazi Üniversitesi / Matematik Bölümü
2004
Lisans
Ni de Üniversitesi/ Matematik Bölümü
2001
Lise
Mersin 19 may s Lisesi
1997
Deneyimi
l
Yer
Görev
2002- …
Gazi Üniversitesi
Ara rma Görevlisi
2001-2002
Konya
Matematik Ö retmeni
Yabanc Dil
ngilizce
Yay nlar
1. Yakut, A.T., Savas, M., Kader, S., “On the Schlafli differential formula based on
edge lengths of tetrahedron in H n and
(2009).
S n ”, Geom. Dedicata, 138: 99-115
55
2. Karl a, B., Savas, M., "On space analogues of the Euclid's theorems for a right
triangle", F. University Journal of Science and Engineering, 16(3): 457-463,
(2004)
Sunumlar
1. Karl a, B., Savas, M., “Area formulas for hyperbolic and spherical triangles
depending on edge lengths”, Departmental Seminar, Gazi University, 2006.
2. Karl a, B., Savas, M., “Schlafli differential formula depending on edge lengths
for symmetric tetrahedron in
H 3 and S 3 ”, XVIII. National Mathematics
Symposium, University of Kültür, Istanbul, 2005.
3. Karl a, B., Savas, M., "On the volume of a symmetric tetrahedron in hyperbolic
and spherical spaces", III. Geometry Congress, University of
Osmangazi,
Eskisehir, 2005.
4. Karl a, B., Savas, M., "Coordinate transformations for the volume of simplices
in semi-Euclidean space", II. Geometry Congress, University of
Sakarya,
Sakarya, 2004.
5. Karl a, B., Savas, M., "On space analogues of the euclid's theorems for a right
triangle", I. Geometry Congress, University of Firat, Elazig, 2003.
Kitaplar
1. Mathematics
Books
for
Primary
School
1-2-3-4(Lessons
Books-with
Commission), Ayd n Publishing, Ankara, 2005.
2. Mathematics Books for Primary School 1-2-3-4(Work Books-with Commission),
Ayd n Publishing, Ankara, 2005.
3. Mathematics
Books
for
Primary
School
Commission), Ayd n Publishing, Ankara, 2005.
1-2-3-4(Teacher
Books-with
56
Editörlük
1. International Workshop: Innovative Approaches to University & Small and
Medium Enterprises (SMEs) Cooperation-2009, Siauliai/Lithuania.
2. International Workshop: University-Industry Cooperation on The Employment2009, Ankara/Turkey.
3. UniKOBI Project International Final Conference-2009, Ankara/Turkey.
Organizasyon Komitesi Üyelikleri
1. International Workshop: Innovative Approaches to University & Small and
Medium Enterprises (SMEs) Cooperation-2009, Siauliai/Lithuania.
2. International Workshop: University-Industry Cooperation on The Employment2009, Ankara/Turkey.
3. UniKOBI Project International Final Conference-2009, Ankara/Turkey.
Hobiler
Futbol, müzik, satranç.
Download