04.05.2014 Barış DEMİR Ayrıca, şekilde P noktası çemberin dışında olduğundan, | MP |> r ÇEMBERDE KUVVET FONKSİYONU olacaktır. Bu nedenle P noktasının kuvveti Düzlemde merkezi M (a, b) ve yarıçapı r olarak verilen bir çembere K (P ) =| MP |2 -r 2 > 0 göre, bir P ( x0 , y0 ) noktasının kuvveti dır. K : R2 R , K (P ) =| MK |2 -r 2 fonksiyonu ile tanımlanır. Bu fonksiyon özünde, R2 de verilen bir P noktasını, R de bir sayı ile eşlemektedir. Fonksiyonun kuralında görüldüğü üzere bu sayı, merkez ile P noktası arasındaki uzaklığın karesinden, yarıçapın karesinin çıkarılmasıyla elde edilmektedir. Fonksiyonda koordinatlar yerine yazılırsa, 2 O halde, çemberin dışındaki bir noktanın bu çembere göre kuvveti daima pozitiftir. 2. Soldaki şekildeki gibi, çemberin dışındaki bir P noktasından, [PT] teğetini ve çemberi A ve B noktalarında kesen PB kesenini çizelim. B 2 K (P ) = ( x 0 - a ) + ( y 0 - b ) - r 2 T olduğu göz önünde tutulursa, çember denklemi ile fonksiyonun ne derece ilgili olduğu anlaşılmaktadır. P A B 2 2 olduğu görülür. Çemberin denkleminin ( x - a ) + ( y - b ) = r 2 T Sağdaki şekilde görüleceği üzere, [BT] ve [AT] çizilirse ) = m(PBT ) olacağından PBT üçgeni ile PTA üçgeni m( ATP Örnek 1 (x - 1)2 + ( y + 3)2 = 13 çemberine göre aşağıdaki noktaların benzer olacaktır. Bu benzerlik gereği kuvvetlerini hesaplayınız. | PT | | PB | = | AP | | PT | olduğundan, a. (5,7) b. (3,0) c. (2, -1) | PT |2 =| PA | ⋅ | PB | Çözüm: Doğrudan doğruya fonksiyonun kuralını ilgilendiren bir örnek olduğundan 2 P A bulunur. Birinci yorumda teğetin karesinin aslında P noktasının kuvvetine eşit olduğunu göstermiştik. 2 a. K (P ) = ( 5 - 1 ) + ( 7 + 3 ) - 13 = 103 O halde, K (P ) =| PA | ⋅ | PB | b. K (P ) = (3 - 1)2 + (0 + 3)2 - 13 = 0 dir. c. 2 K (P ) = ( 2 - 1 ) + (-1 + 3) - 13 = -8 2 Demek ki, P noktasının kuvveti, aynı zamanda bu noktadan çizilen herhangi bir kesenle de ifade edilebilir. Bu durumu aşağıdaki gibi genelleyebiliriz. P A bulunur. Bu örnekte görüldüğü üzere, bir noktasının verilen bir çembere göre kuvveti pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Şimdi bunların ne anlama geldiğini anlamaya çalışalım. B C Kuvvet fonksiyonunun geometrik yorumu 1. Şekildeki gibi, çemberin dışında bir P noktası verilsin. D P | PA | ⋅ | PB |=| PC |⋅ | PD | M T Tanım gereği, K (P ) =| MP | -r dir. Öte yandan, çizilen [PT] 2 3. P 2 teğetine göre, PMT dik üçgeninde | PT |2 =| MP |2 -r 2 dir. M P noktası çemberin üzerinde olduğunda ise | MP |= r olacağından K (P ) = 0 dır. Esasında bu kuvvetin tanımından da sezilebilirdi. O halde, çemberin dışındaki bir P noktanın kuvveti, bu noktadan çembere çizilen teğet parçasının karesine eşittir. K (P ) =| PT |2 O halde, çembere ait bir P noktasının bu çembere göre kuvveti 0 dır. 04.05.2014 Barış DEMİR Demek ki, P noktasının kuvvetini, bu noktadan geçen herhangi bir kiriş ile aşağıdaki gibi genelleyebiliriz. 4. Şekildeki gibi çemberin içinde bir P noktası verilsin. B D P M B A Öncelikle | MP |< r olduğundan, K (P ) =| MP |2 -r 2 < 0 O halde, çemberin içindeki bir P noktasının bu çembere kuvveti negatiftir. Ayrıca, şekildeki gibi P noktasından geçen en kısa kiriş [AB] yi çizersek, [MP ] ^ [BA] olduğundan, | PA |2 = r 2 - | MP |2 olur. Dikkat edilirse bu eşitliğin sağ tarafı P noktasının kuvvetinin negatifine eşittir. O halde, çember içindeki bir P noktasının bu çembere göre kuvvetinin mutlak değeri, P noktasından geçen en kısa kirişin yarısının karesine eşittir. | PA |2 = -K (P ) 5. Soldaki şekildeki gibi, çemberin içindeki bir P noktasından geçen en kısa [AB] kirişi ile rastgele bir [CD] kirişi çizelim. B B D P D P A C A C Sağdaki şekilde olduğu gibi, [BD] ve [CA] çizilirse ) = m(DCA ) ve m(BPD ) = m( APC ) olduğundan, DBP m(DBA üçgeni ile ACP üçgeni benzerdir. | PA |=| PB | ve bu benzerlik | PD | | PB | olduğundan = | PA | | PC | | PA | ⋅ | PB |=| PC | ⋅ | PD | yani | PA |2 =| PC | ⋅ | PD | olur. Dikkat edilirse eşitliğin solu, kuvvetin negatif işaretlisine eşittir (bir önceki çıkarım). O halde, -K (P ) =| PC | ⋅ | PD | dir. C | PA | ⋅ | PB |=| PC | ⋅ | PD | olduğunu görebiliriz. gereği A P