Matematik dergisi Bölme-Bölünebilme-Rasyonel

MATEMATİK
BÖLME – BÖLÜNE BİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
BÖLÜNEBİLME KURA LLARI
ÖRNEK
1a2b dört basamaklı sayısı 4 ile tam bölünüyor. Bu sayı
2 İLE BÖLÜNEBİLME
3 ile de tam bölünüyorsa, a+b toplamının alabileceği
Sayımızın birler basamağı çift (son rakamı 0,2,4,6,8)
ise, sayımız iki ile tam bölünür.
en büyük değer kaçtır?
ÇÖZÜM
ÖRNEK
1a2b 4 ile tam bölünüyorsa,
1990, 20, 154 vb. iki ile bölünür.
1a20
1a24
1a28 olur.
a=0
a=2
a=1
a=3
a=5
a=4
3 İLE BÖLÜNEBİLME
a=6
a=8
a=7
Sayımızın rakamları toplamı üç ve üçün katı oluyorsa
sayımız üç ile tam bölünür.
a=9

685 sayısı iki ile bölünemez.

a+b=9+0
a+b=8+4
=9
ÖRNEK

a+b=7+8
= 12
= 15
olduğundan a + b toplamının en büyük değeri 15
1881, 1923, 191919 vb. üç ile bölünür.
bulunur.
1639 sayısı üç ile bölünemez.
1639  1 + 6 + 3 + 9 = 19  kalan 1 bulunur.
5 İLE BÖLÜNEBİLME
Sayımızın birler basamağı 0 veya 5 ise, sayımız beş ile
ÖRNEK
tam bölünür.
1ab üç basamaklı sayısı 3 ile tam bölünebiliyorsa, a+b
toplamı en çok kaç olur?
ÖRNEK
1300, 125, 305, 90 vb. beş ile bölünür.
ÇÖZÜM
1 + a + b = 3.k (k  Z),
a + b = 3.k  1 olur.
a + b ≤ 18 olacağından 3.k  1 ≤ 18, 3.k ≤ 19
19
1
k≤
,k≤6+
olduğundan k = 6 alınır.
3
3
ÖRNEK
2a3b dört basamaklı sayısı 5 ile bölündüğünde 2
kalanını veriyor. Aynı sayı 3 ile de tam bölünüyorsa, a+b
(k  Z)
toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
a + b = 3.6  1 = 17 bulunur.
ÇÖZÜM
4 İLE BÖLÜNE BİLME
b = 0 veya b = 5 olursa, 5 ile tam bölünür. 2 kalanını
Sayımızın son iki basamağından oluşan sayı dörde
vermesi için 2 eklenir. b = 2 veya b = 7 olur. Toplamın
bölünüyorsa veya son iki basamağı sıfır ise, sayımız
en büyük değeri sorulduğundan b = 7 için inceleme
dört ile tam bölünür.
yapılır.
b = 7 için 2 a 37 sayısı 3 ile tam bölüneceğinden,

ÖRNEK
0, 3, 6, 9 olur.
1004, 1972, 19096, 116 .100, 3200, 21800, vb.
a + b = 9 + 7 = 16
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
1
www.akademivizyon.com.tr
BÖLME – BÖLÜNEBİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
a) 8 ile tam bölünebilen sayılar 4 ile de tam
6 İLE BÖLÜNEBİLME
bölünür.
Sayımız çift ve üç ile de tam bölünebiliyorsa, sayımız altı
b) 4 ile tam bölünebilen sayılar 8 ile de tam
ile tam bölünür.
bölünemeyebilir.
ÖRNEK
3612, 129654 vb.
ÖRNEK
7 İLE BÖLÜNEBİLME
9888, 232000, 635032 vb.
a) Sayımızın birler basamağı iki ile çarpılır ve sol tarafta
9 İLE BÖLÜNEBİLME
kalan (birler basamağı hariç) sayıdan çıkarılır. Çıkan
Sayımızın rakamları toplamı dokuz veya dokuzun katı
sonuç yedinin katı ise sayımız yedi ile tam bölünür.
oluyorsa, sayımız dokuz ile tam bölünür. (3 ile
bölünebilmede olduğu gibi)
ÖRNEK
434 sayısı 7 ile tam bölünebilir mi?
43 4
–
8
a) 9 ile tam bölünebilen sayılar 3 ile de tam
bölünür.
2 katı
b) 3 ile tam bölünebilen sayılar 9 ile de tam
bölünemeyebilir.
35 sayısı 7’nin katı olduğundan 434 sayısı
yedi ile tam bölünür.
ÖRNEK
963054, 8118, 603 vb.
ÖRNEK
3254 sayısı 7 ile tam bölünebilir mi?
325 4
–
8
ÖRNEK
1a6b dört basamaklı sayısı 4 ile tam bölünüyor. Bu sayı
2 katı
9 ile de tam bölünüyorsa, a+b toplamının alabileceği
31 7
14 2 katı
en büyük değer kaçtır?
17 sayısı 7’nin katı olmadığından
ÇÖZÜM
–
b = 0, 4, 8 olduğunda 4 ile tam bölünebilir.
3254 sayısı yedi ile tam bölünemez.
b’nin en büyük değeri için, 1a68 sayısının 9 ile tam
b) Sayımız, birler basamağından başlayarak üçer üçer
bölünmesi gerekir. Buradan,
gruplara ayrılır. Birinci gruptaki sayılar 1, 3, 2 sayılarıyla
çarpılıp, ikinci gruptaki sayılar –1, –3, –2 sayılarıyla
a = 3 olur.
çarpılıp sonuçlar toplanır. Bu toplam 7 ile tam
a + b = 8 + 3 = 11 bulunur.
bölünürse, sayımızda 7 ile tam bölünür.
ÖRNEK
6 1 5 4 1 0 3  3 + 0 + 2 – 4 – 15 – 2 + 6 = –10
10 İLE BÖLÜNEBİLME
Sayımızın birler basamağı sıfır ise, on ile tam bölünür.
1, –2 –3 –1, 2 3 1
–10 sayısı 7 ile tam bölünemediğinden 6154103 sayısı
da 7 ile tam bölünemez.
ÖRNEK
1990, 100, 990 vb.
8 İLE BÖLÜNEBİLME
Sayımızın son üç basamağından oluşan sayı sekize tam
bölünüyorsa veya son üç basamağı sıfır ise, sayımız
Bir sayının 10 ile bölümünden kalan o
sekiz ile tam bölünür.
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
sayının birler basamağı (son rakamı)dır.
2
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
11 İLE BÖLÜNEBİLME
Sayımızın rakamlarına sağdan sola doğru +, – işaretleri
ÖRNEK
verilir. (+)’ya karşılık gelen rakamlar ve (–)’ye karşılık
(634ab) beş basamaklı sayısının 30 ile bölünebilmesi
için a yerine gelebilecek;
gelen rakamlar kendi aralarında toplanır. Çıkan sonuçlar
arasındaki fark 0 veya  11’in katı ise, sayı 11 ile tam
bölünür.
a) Kaç farklı değer vardır?
a b c d e f  (b  d  f )  (a  c  e)  0 v ey a 11' in katı
 
c) Değerler toplamı kaçtır?
b) En büyük değer kaçtır?
ÇÖZÜM
ÖRNEK
2 3 4 2 3 4 (4  2  3) (3  4  2)  9  9  0
 
Sayının 30 ile bölünebilmesi için hem 3 hem de 10 a
tam bölünmesi gerekir. O hâlde b = 0 olmalıdır.
olduğundan verilen sayı 11 e tam bölünür.
3 ile bölünebilmesi için de,
6 + 3 +4 + a + 0 = 3k olmalıdır.
12 VE DAHA BÜYÜK SAYILARDA
a + 13 = 3k
BÖLÜNEBİLME
2, 5, 8 olur.
Sayımız aralarında asal olacak şekilde ve en fazla iki
bölünebilme kuralını içine alacak şekilde çarpanlarına
ayrılır.
a) 3 farklı rakam vardır.

b) En büyük rakam 8 dir.
c) Toplamları 2 + 5 + 8 = 15 tir.
Buna göre, bir sayının
12 ile tam bölünmesi için hem 4 hem de 3 ile
15 ile tam bölünmesi için hem 5 hem de 3 ile
ÖRNEK
(74xy) dört basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayının 15 ile
tam bölünmesi için x yerine kaç farklı değer gelebilir?
18 ile tam bölünmesi için hem 2 hem de 9 ile
20 ile tam bölünmesi için hem 5 hem de 4 ile
24 ile tam bölünmesi için hem 8 hem de 3 ile
ÇÖZÜM
25 ile tam bölünmesi için (Sayımızın son iki rakamının
00, 25, 50, 75 olması gerekir.)
Sayının 15 ile tam bölünmesi için hem 3 hem de 5 ile
tam bölünmesi gerekir. O hâlde y yerine 0 veya 5
gelmelidir.
30 ile tam bölünmesi için hem 10 hem de 3 ile
36 ile tam bölünmesi için hem 4 hem de 9 ile
y = 0 için sayı 74 x 0 olur.
45 ile tam bölünmesi için hem 5 hem de 9 ile
7 + 4 + x + 0 = 3k olmalıdır.
55 ile tam bölünmesi için hem 5 hem de 11 ile
Buradan, x = 1, 4, 7 bulunur.
90 ile tam bölünmesi için hem 10 hem de 9 ile
y = 5 için sayı 74 x 5 olur.
tam bölünmesi gerekir.
7 + 4 + x + 5 = 3k olmalıdır.
Buradan, x = 2, 5, 8 bulunur.
Aralarında
asal
iki
sayıya
ayrı
O hâlde, altı rakam gelebilir.
ayrı
O hâlde iki rakam vardır.
bölünebilen sayılar, bunların çarpımına da
bölünür.
ÖRNEK
1a2b dört basamaklı sayısının 15 ile bölümünden kalan
2 ise, bu koşula uyan farklı a değerlerinin toplamı
kaçtır?
ÖRNEK
12! + 11! – 10! sayısı aşağıdakilerden hangisine
ÇÖZÜM
bölünemez?
15 ile bölümünden kalan 2 ise, 3 ile 5 ile de ayrı ayrı
bölündüğünde kalan 2 olmalıdır.
A) 175
B) 96
C) 71
D) 72
E) 55
b = 2 veya 7 olduğunda 5 ile bölündüğünde 2 kalanını
verir.
1a 22
1a 27
veya
ÇÖZÜM


12! + 11!  10! = 10!.(12.11 + 11  1) = 10!.(142)
a = 0, 3, 6,9
= 10!.71.2 çarpımında 11 çarpanı bulunmadığından
a = 1, 4, 7
(3 ile bölümünden kalan 2 olduğundan)
55 ile bölünemez.
Özel Acar Kalite Değer Milat Temel Lisesi


O halde, a 7 farklı değer alır.
3
www.akademitemellisesi.com
BÖLME – BÖLÜNEBİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
ÇÖZÜM
ÖRNEK
1
1
ve y =
alınırsa,
15
6
x=
ab iki basamaklı, 2xy üç basamaklı sayılardır.
2xy
 15
ab
15x ve 6y tamsayı olur.
1
1 2
2
6  10
6x + 4y = 6.
 4. 


15
6
5
3
15
olduğuna göre, x+y toplamının alabileceği en büyük
değer kaçtır?
3 
5 
16
olur. En az 15 katı bir tamsayı olur.
15
6x + 4y =
ÇÖZÜM
2xy = 15.ab olduğundan, 2xy sayısı 15 ile tam
bölünmelidir.
ÖRNEK
y = 0 veya 5 olur. En büyük değeri y = 5
a, b, x, y pozitif tam sayılardır.
2x5 sayısının 3 ile tam bölünmesi içinde
a
b
x
x = 2, 5, 8 olmalıdır.
x + y = 8 + 5 = 13 bulunur.
y
5
b
a
6
bölme işleminde, x+y toplamının alabileceği en küçük
değer kaçtır?
ÖRNEK
(1! + 2! + 3! +. . . + 60!) sayısının 5 ile bölümündeki
kalan kaçtır?
ÇÖZÜM
x a>5a=6
y b>6b=7
b
ÇÖZÜM
a
5
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + .......+ 60!
(her terimde 5 çarpanı olduğundan bu toplam 5 ile tam
bölünür.)
6
x = a.b + 5
y = a.b + 6
x = 47
y = 48
x + y = 47 + 48 = 95 en küçük değeri olur.
O hâlde, 1! + 2! + 3! + 4! toplamının yani 33 ün 5 ile
bölümündeki kalan 3 olur.
ÖRNEK
xN olmak üzere,
ÖRNEK
1< x < 100
A=2347
koşulunu sağlayan, 5 ile bölünen kaç sayı vardır?
B=347
olduğuna göre, A2.B3+3A sayısının 9 ile bölümünden
ÇÖZÜM
kalan kaçtır?
2 ≤ x ≤ 99,
99 5
19
ÇÖZÜM
5.1, 5.2, 5.3, …………5.19 olduğundan 19 tane 5 ile
A = 2347 sayısının 9 ile bölümünden kalan 7
bölünen sayı vardır.
olduğundan A yerine 7,
B = 347 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 olduğundan
B yerine 5 yazılır.
ÖRNEK
1< x  120
72.53 + 3.7 işleminin sonucunun 9 ile bölümünden kalan
sekiz bulunur.
koşulunu sağlayan, 6 ile bölünen kaç
doğal sayı
vardır?
ÖRNEK
x sayısının en az 15 katı, y sayısının da en az 6 katı bir
ÇÖZÜM
tam sayıdır.
2 ≤ x ≤ 120 6
20 tane
Buna göre, 6x+4y sayısının pozitif en az kaç katı bir
tamsayıdır?
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
4
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
30 6
5
ÖRNEK
21  x  210
koşulunu sağlayan, 7 ile bölünen kaç
doğal sayı
tane de aynı zamanda 6 ile bölünen sayı
vardır.
O halde, 30  5 = 25 bulunur.
vardır?
BİR DOĞA L SAY ININ TAM
ÇÖZÜM
BÖLENLERİ
21 ≤ x ≤ 210
210 7 , 20 7
30
a, b, c birbirinden farklı asal sayılar, x, y, z pozitif tam
sayılar olmak üzere,
2
A doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli,
30  2 = 28 tane 7 ile bölünen doğalsayı vardır.
A = ax . by . cz olsun.
ÖRNEK
– A doğal sayısının;
Pozitif Tam Bölenlerinin Sayısı
1  x  150
(x + 1).(y + 1).(z + 1)
koşulunu sağlayan, 3 ve 5 ile bölünen kaç tam sayı
vardır?
Pozitif tam bölenleri sayısı kadar, negatif tam
bölenleri sayısı vardır.
ÇÖZÜM
Tam Bölen Sayısı = 2x (Pozitif Tam Bölen
Sayısı)
okek (3, 5) = 15
1 ≤ x ≤ 150 15
10 tane
– A doğal sayısının;
Pozitif Tam Bölenlerinin Toplamı
a x 1  1 b y 1  1 c z 1  1


a 1
b 1
c 1
ÖRNEK
xN olmak üzere,
1< x < 150
koşulunu sağlayan, 3 veya 5 ile bölünen kaç sayı
vardır?
A doğal sayısının tam bölenleri toplamı sıfırdır.
ÇÖZÜM
– A doğal sayısının;
2 ≤ x ≤ 149
149 3 , 149 5 , 149 okek (3,5) = 15
49
29
9
Pozitif Tam Bölenlerinin Çarpımı
( x  1)( y  1)( z  1)
A
2
49 + 29  9 = 69 bulunur.
ÖRNEK
120 sayısının,
a. Kaç tane pozitif tam böleni vardır?
b. Pozitif tam bölenlerinin toplamı kaçtır?
ÖRNEK
c. Pozitif tam bölenlerinin çarpımı kaçtır?
xZ olmak üzere,
d. Tam bölenlerinin toplamı kaçtır?
1  x  150
koşulunu sağlayan, 5 ile bölünüp 6 ile bölünemeyen
kaç sayı vardır?
ÇÖZÜM
a) 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
A = ax . by . cz şeklinde yazalım.
ÇÖZÜM
1 ≤ x ≤ 150 5
30 tane 5 ile bölünen
Özel Acar Kalite Değer Milat Temel Lisesi
5
www.akademitemellisesi.com
BÖLME – BÖLÜNEBİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
Pozitif tam bölenleri = (1 +1).(4 + 1).(1 + 1)
120 2
60
2
30
2
15
3
5
5
120 = 23 . 31 . 51 yazılırsa,
= 2.5.2
x  3, y = 1, z = 1 

 olduğu görülür.
a = 2, b = 3, c = 5
= 20 olur.
Tam bölen sayısı = 2.20 = 40 bulunur.
1
O halde,120 sayısının
ÖRNEK
Pozitif Tam Bölenlerinin Sayısı:
4a  120
a
(x + 1).(y + 1).(z + 1) = (3+1).(1+1).(1+1) = 16
bulunur.
ifadesi pozitif tamsayı ise, bu koşulu sağlayan kaç
farklı a tamsayı değeri vardır?
Bunlar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60,
120
b) Pozitif bölenlerin toplamı
ÇÖZÜM
23 1  1 311  1 511  1 15 8 24



 
 360
2 1
3 1
5 1
1 2 4
A  Z+ olsun.
A
Yani 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24
+ 30 + 40 + 60 + 120 =360


4a  120
120
 4
120  31.23.51
a
a
120’nin pozitif bölen sayısı = (1 + 1).(3 + 1).(1 + 1)
= 2.4.2 = 16
c) Pozitif tam bölenlerin çarpımı
(3 1)(11)(11)
2
120
 1208 dir.
120
4
0
a
d) Pozitif tam bölenlerinin toplamı=360
değerlerini de alabilir.
Negatif tam bölenlerinin toplamı=–360
O halde, 16 + 3 = 19 farklı değer alır.
olacağından a sayısı 120, 60, 40
Tam bölenlerin toplamı 360–360=0 dır.
ÖRNEK
ÖRNEK
a ve b birer doğal sayıdır.
60 sayısının asal olmayan kaç pozitif tam böleni
vardır?
4a + 5b = 60
olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
ÇÖZÜM
60
2
30
15
2
3
5
1
5
ÇÖZÜM
4a + 5b = 60  4a = 60  5b
5
a = 15 –
b dir.
4
a doğal sayı olduğundan;
5
b = 4k ve 15 >
b olmalıdır.
4
60 = 22 . 31 . 51 asal bölenleri sayısı (2, 3, 5) üç tanedir.
Tam bölenleri (2+1)(1+1)(1+1) = 12
O hâlde 12 – 3 = 9 tane asal olmayan pozitif tamsayı
böleni vardır.
b = 0 için a = 15,
b = 4 için a = 10,
b = 8 için a = 5,
b = 12 için a = 0 bulunur.
ÖRNEK
A
O hâlde, değerler toplamı; 15+10 + 5 + 0 = 30 bulunur.
240
x
eşitliğinde A bir tamsayı ise, bu koşulu sağlayan kaç
tane x tamsayı değeri vardır?
ÖRNEK
C
ÇÖZÜM
140  2a
a
A sayısının tamsayı olabilmesi için,
eşitliğinde C pozitif tamsayı ise, bu koşulu sağlayan
240 sayısının x’e tam bölünmesi gerekir.
kaç farklı a tamsayı değeri vardır?
1
4
1
240 = 3 .2 .5
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
6
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
ÇÖZÜM
En küçük asal çarpan = 3
C  Z+ olduğundan,
Toplamı = 11 + 3 = 14 bulunur.
C
140
 2 ifadesinde a negatif değer alamaz. Pozitif
a
KESİR
değerlerden de 140 ve 70 değerlerini alamaz.
Tanım: a, b  Z ve b  0 olmak üzere,
140 = 22.51.71
ifadelere kesir denir.
Pozitif bölen sayısı = 3.2.2 = 12
a
biçimindeki
b
“a” sayısına kesrin payı
O halde, 12  2 (140 ve 70) = 10 bulunur.
“b” sayısına kesrin paydası
“––“ çizgisine kesir çizgisi adı verilir.
ÖRNEK
x bir doğal sayıdır. 6x . 10 sayısının 40 tane pozitif
tam böleni varsa, 15x sayısının kaç tane tamsayı
böleni vardır?
ÖRNEK
3 6
10
12
...... vb.
, ,
,
4 4
5
20
ÇÖZÜM
6x . 10 = (2 . 3)x . 2 . 5
BASİT KESİR
= 2x+1 . 3x. 5
a
kesrinde eğer payın mutlak değeri, paydanın
b
a
mutlak değerinden küçük ise,
kesrine basit kesir
b
formüle göre, (x+1+1).(x+1).(1+1) = 40 olmalıdır.
Tanım:
(x + 2).(x + 1).2 = 40
(x + 2).(x + 1) = 20
5 . 4
=20
denir.
Buradan, x+2 = 5 veya x+1 = 4 ten x=3 bulunur.
a
a
kesrinde a < b ise,
basit kesirdir.
b
b
15x=153=53.33 olduğundan P.T.B.Sayısı=4.4=16 dır.
Tamsayı böleni ise, 16.2=32 olur.
ÖRNEK
x
5
ÖRNEK
A=36.10n
kesri bir basit kesir ise, x’in alacağı tamsayı
değerleri toplamı kaçtır?
sayısının 1 ve kendisi hariç 208 tane tam böleni vardır.
Buna göre, A sayısı kaç basamaklıdır?
ÇÖZÜM
x
basit kesir ise x < 5’dir.
5
ÇÖZÜM
1 ve kendisi dahil 210 tane tam böleni vardır. Bunlardan
105 tanesi pozitif tam bölendir.
x < 5  –5 < x < 5 olduğundan,
A = 36.10n = 22.32.2n.5n = 32.2n+2.5n
x  {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} bu sayıların toplamı
sıfırdır.
Pozitif tam böleni = 105 = 3.(n + 3).(n + 1)  n = 4,
A = 36.104 sayısı 6 basamaklı olur.
BİLE ŞİK KE SİR
a
kesrinde eğer payın mutlak değeri, paydanın
b
a
mutlak değerinden büyük veya eşit ise,
kesrine
b
ÖRNEK
Tanım:
A = 442 + 332 – 222
olduğuna göre, A sayısının en büyük asal çarpanı ile
en küçük asal çarpanının toplamı kaçtır?
bileşik kesir denir.
a
a
kesrinde a b ise,
bileşik kesirdir.
b
b
ÇÖZÜM
A = (4.11)2 + (3.11)2  (2.11)2
= 112 (42 + 32  22)
ÖRNEK
= 112.(21) = 112.3.7

En büyük asal çarpan = 11
Özel Acar Kalite Değer Milat Temel Lisesi
7
4 5 10
, ,
... vb.
3 2 5
www.akademitemellisesi.com
BÖLME – BÖLÜNEBİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
ÖRNEK
2
ÖRNEK
2
olan bir kesrin payından 2 çıkarılır, paydasına
3
1
2 eklenirse değeri
oluyor.
2
2
1
1
, 3 , 7 ,
3
5
9
2
1
1 7
olur.
 2 
2
2 3
Değeri
SABİT KESİR
Bu kesrin değeri kaçtır?
Tanım:
a
 c , c  R şeklindeki kesirlere sabit kesir
b
denir.
ÇÖZÜM
Değeri
2
olan bir kesir (k  0 olmak üzere) genel olarak
3
ÖRNEK
ax  3
kesrinin sabit kesir olabilmesi için, a ne
x 1
olmalıdır?
2k
şeklinde gösterilir.
3k
Sorunun ifadesine göre,
2k - 2 1
dir.

3k + 2 2
Buradan, k değeri;
ÇÖZÜM
2(2k - 2) = 3k + 2
4k - 4 = 3k + 2
k = 6 olur.
2k 2  6 12
Buna göre kesir,
dir.


3k 3  6 18
x = 0 için 
a.0  3
3
0 1
x = 1 için 
a.1  3 a  3

1 1
2
ax  3
a3
 a = 3 bulunur.
3
x 1
2
ÖRNEK
RASYONEL SAYILAR
2x  3
kesrinin,
x5
Tanım: Q =  ; b  0, a, b  Z kümesine Rasyonel
a
b
a) Basit kesir olması için x yerine gelebilecek en
büyük tam sayı değeri kaçtır?


Sayılar Kümesi denir.
b) Bileşik kesir olması için, x yerine gelebilecek en
küçük tam sayı değeri kaçtır?
RASYONEL SAYILAR DA DÖRT
İŞLE M
ÇÖZÜM
1.TOPLAMA – ÇIKARMA İŞLEMİ:
a) 2x – 3 < x + 5 olduğuna göre,
Toplama - çıkarma işleminde paydalar eşit değilse
2x – x < 5 + 3
paydalar eşitlenerek işlem yapılır.
a c ac
 
(b  0)
b b
b
x < 8 olur.
Buna göre, basit kesir olması için x tam sayı olarak en
fazla 7 olabilir.
a c ad  bc
 
(b  0,d  0)
b d
bd
b) 2x – 3  x + 5
2x – x  5 + 3
Örnekler:
x  8 olur.
3
2
32
5



14 14
14
14
x yerine en küçük 8 gelmelidir.
5 3
5 3.2 5  6 11

 


8 4
8
8
8
8
2
TAMSAYILI KESİR
Tanım: a  Z
+
ve
6
b
b
basit kesir olmak üzere, a
c
c
1
1
5
4
1
3
6
3
3
4
5
20
20
20
5 
4 
şeklindeki kesirlere tamsayılı kesir denir.
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
8
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
+
+
1
2
5
8  5 ten 8 çıkmaz. Tam sayılar kesre 
3
6 3  6

4
5
20
20  katılarak işleme devam edilir.

x
x
206  5 20  3  8


20
20
a
rasyonel sayısının
b
toplamaya göre tersi; 
a
b
a
çarpmaya göre tersi;  
b
125 68 57
17



2
olur.
20 20 20
20
2. ÇARPMA İŞLE Mİ:
ÖRNEK
1

2 
2 o    

 3  

Rasyonel sayılarda çarpma işleminde paylar çarpımı
paya, paydalar çarpımı paydaya yazılır.
a c ac
 
dir. (b  0, d  0)
b d bd
1

b
a
2
işleminin sonucu kaçtır?
ÇÖZÜM
1

2 
2o    

 3  

ÖRNEK
4 125 4  125 5



25 16
25  16 4
ÖRNEK

 3 


 3 

3. BÖLME İŞLEMİ:
Rasyonel sayılarda bölme işleminde bölünen kesir (1.
kesir) aynen yazılır, bölen kesir (2. kesir) ters çevrilir 1.
kesir ile çarpılır.
 3
 1  
 2
2
5
  
2
2
2
4
2
   
5
25
 
1 
2
   3  
3  
3
2 
2
   3  
3  
3
işleminin sonucu kaçtır?
a c a d
:  
b d b c
ÇÖZÜM
1 
2

 3     3   3  1  3  2
3
3

 
 
3
3  1
2
2 6
2 
2

 3     3   3   3 
3
3
3
3

 

ÖRNEK
2
3  2
4 3
4
2
işleminin sonucu kaçtır?
ÖRNEK
a
 a  1


a  1  2a 
ÇÖZÜM
1
1
olduğuna göre, a kaçtır?
2
3  2   2  1    2 . 4   1  8  1  16
4 3 3 4 1 3 6 3
6
2
4
15
5


6
2
ÇÖZÜM
a
 a  1


a  1  2a 
1
 1
a
2a
3a

 1
1
a 1 a 1
a 1
3a  a  1  a  
Rasyonel sayıların dört işleminde işlem sırası:
1
2
I. Varsa önce parantez içi
II. Varsa Üslü işlemler
ÖRNEK
III. Varsa bölme – çarpma (İkisi peş peşe
1 1 1
  x
6 7 8
geldiğinde önceki işaretten işleme başlanır.)
IV. Varsa toplama-çıkarma
olduğuna göre,
19 22 25


toplamının x türünden
6
7
8
değeri nedir?
Özel Acar Kalite Değer Milat Temel Lisesi
9
www.akademitemellisesi.com
BÖLME – BÖLÜNEBİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
2. Ondalık sayıya çevirerek (payı paydaya bölerek de)
ÇÖZÜM
sıralama yapılır.
Verilen toplamın her kesri, tam sayısına ayrılırsa,
3. Negatif kesirlerde, pozitif kesirler için bulunan
19 22 25
1
1
1


 ( 3  )  ( 3  )  (3  )
6
7
8
6
7
8
= 9(
sonuçların tam tersi geçerlidir.
1 1 1
  )= 9 + x
6 7 8
ÖRNEK
13

45
ÖRNEK
2 3
2 3
kesirleri için
 ’dir.
,
7 7
7 7
1
a
1
ÖRNEK
1
b
c
9 9
9 9
kesirleri için
 ’tir.
,
4 5
4 5
işleminde, a+b+c toplamı kaçtır?
ÖRNEK
ÇÖZÜM
9
9
9
9
 ,  kesirleri için    ’tir.
4
4
5
5
6
a  3
 3
1
13
b
c
6
1
13
1
1
(b = 2, c = 6)


 b  2
1
13
6
c
6
b
c
45
 a
13
1
ÖRNEK
x < 0 olmak üzere,
a
a + b + c = 3 + 2 + 6 = 11 bulunur.
x
x
x
, b
, c
10
11
12
olduğuna göre, a, b ve c sıralaması nasıldır?
ÇÖZÜM
ÖRNEK
I. Yol:
6
2
2
0
1
x > 0 olarak düşündüğümüzde aynı sayıyı, küçük
sayıya bölersek, bölmenin sonucu büyük olur.
1
2
x
Yani c < b < a’dır. Fakat x < 0 olduğundan bulunan bu
sonucun tam tersi olur. a < b < c bulunur.
işleminde x kaçtır?
II. Yol:
ÇÖZÜM
6
2
2
1
(11, 12)O.K.E.K.= 132
0
x = –132 seçimi alındığında;
1
2
x  2 olmalı
6
2
,
2
1
2
2
1
,
-
1
2
1
x  3 olmalı
1
a = –13,2, b = –12, c = –11 olur.
2
1
2
x
3
a
-13,2
1
x  1 olmalı
b
c
-12
-11
+
0
a < b < c olur.
1
1
x
 1 olmalı
ÖRNEK
a
1
 1, x  1 bulunur.
x
11
101
1001
, b
,c
10
100
1000
olduğuna göre, a, b ve c sayılarının sıralaması için ne
söylenebilir?
RASYONEL SAYILARDA
ÇÖZÜM
SIRALAMA
I. yol: Bölme yapılırsa
1. Pozitif kesirlerde;
a = 1,1, b = 1, 01, c = 1, 001 olur.
a. Paydalar eşitlendiğinde payı büyük olan daha
O hâlde a > b > c bulunur.
büyüktür.
II. yol: Paydalar eşitlenirse
b. Paylar eşitlendiğinde paydası küçük olan daha
a
büyüktür.
1100
1010
1001
,b 
,c 
1000
1000
1000
O hâlde a > b > c bulunur.
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
10
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
Geriye 250 000 TL kaldığına göre paranın tamamı
kaç TL’dir?
ÖRNEK
3
x
5


4 60 6
olduğuna göre, x in alabileceği en büyük ve en küçük
tam sayıların toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
Ali

Veli

Selami

x
x
x
3
4
6
Paranın tamamı x TL olsun,
Eşitsizliği 60 ile çarpalım,
3
x
5


4 60 6
3
x
5
60   60 
 60 
4
60
6
Kalan

250 000
O hâlde,
x x x 250 000 x
  

3 4 6
1
1
( 4) (3) (2) (12) (12)
45 < x < 50 bulunur.
min(x) = 46, max(x) = 49 olduğuna göre,
sonuç; 46 + 49 = 95 tir.
4x +3x+2x+12.250 000 = 12x, 3x = 250 000 . 12
x = 1 000 000 TL olur.
ÖRNEK
2
3
ile
3
2
ÖRNEK
sayılarının ortasındaki sayının 12 katı kaçtır?
Enis boyama kitabının önce
ÇÖZÜM
kalanının
2 3


  
 3 2  .12   2  3 .6  13 .6  13 bulunur.


2
6
 32 2


3


1
sını boyadığında, geriye boyanmamış 10
6
sayfa kaldığına göre, Enis’in boyama kitabı kaç
sayfadır?
a
pozitif bir basit kesir ise,
b
2
2
sayfasını, sonra da
5
ÇÖZÜM
3
a a
a


...
b b2 b3
a
pozitif bir bileşik kesir ise,
b
a a2 a3


...
b b2 b3
5a = 10 sayfa
a=2
10a = 20 sayfa bulunur.
ÖRNEK
2 4
8
2
basit kesri için  
... dir.
3 9 27
3
ONDALIK SAYILA R
3 9 27
3
bileşik kesri için  
... dir.
2
2 4
8
Tanım: Paydaları 10 ve 10’nun pozitif tam kuvvetleri
olan kesirlere ondalıklı kesir veya ondalıklı sayı denir.
ÖRNEK
7
 0,7 ,
10
RASYONEL SAYILARDA KESİR
9
 0,09 ,
100
2 2.2
4


 0,4
5 5.2 10
PROBLEMİ
ÖRNEK
ÖRNEK
Bir miktar paranın
x+
1
1
1
ünü Ali,
ünü Veli,
sını da
4
6
3
toplamı bir tamsayı olduğuna göre, x sayısının
virgülden sonra ki basamağı kaçtır?
Selami almıştır.
Özel Acar Kalite Değer Milat Temel Lisesi
7
20
11
www.akademitemellisesi.com
BÖLME – BÖLÜNEBİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
ÇÖZÜM
0,1  0,2  0,3  .... 0,9 =
7
7
13
 1, x  1 

20
20 20
13
65
x

 0,65
20 100
1  2  3  .... 9

9
x
5 
x sayısının virgülden sonraki basamağı 65 olarak
bulunur.
1 2 3
9
   .....
9 9 9
9
9.10
2 5
9
ONDALIK SAYILA RDA DÖRT
İŞLE M
DEVİRLİ ONDALIK SAY ILA R
1. TOPLAMA – ÇIKA RMA:
Tanım: Bir rasyonel sayı, ondalıklı yazıldığında,
ondalıklı kısımdaki sayılar belli bir rakamdan sonra
tekrar ediyorsa böyle sayılara devirli ondalıklı sayılar
denir.
Toplama – çıkarma işlemleri yapılırken virgüllerin aynı
hizada olmasına dikkat edilir.
ÖRNEK
0,03 + 2,318 + 0,68
ÖRNEK
7
 0,212121   0, 21
33
1
 0,333   0, 3 ,
3
işleminin sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM
DEVİRLİ SAYISI RASYONEL SAYIYA
ÇEVİRME
Verilen devirli ondalık sayıda virgül yokmuş gibi sayının
tamamından devretmeyen kısmın tamamı çıkartılıp paya
yazılır. Paydaya ise virgülden sonra ki devreden rakam
sayısı kadar 9, virgülden sonra devretmeyen rakam
sayısı kadar 0 (sıfır) yazılır.
+
0,03
2,318
0,68
3,028
2. ÇARPMA :
İki ondalık sayı çarpılırken virgül yokmuş gibi çarpma
işlemi yapılır. Çarpanların ikisinde de bulunan ondalık
basamakların adeti kadar basamak, çarpımın sağından
başlanarak virgülle ayrılır.
abcde – ab
a,bcde=
9990
9
9
ÖRNEK
9
0
2,315 . 3,34
ab
a
0, a  , 0, ab 
99
9
işleminin sonucu kaçtır?
ÇÖZÜM
Devreden kısım sadece 9 ise, 9’un önündeki
x
rakam 1 arttırılır.
3,429 = 3,43 gibi
+
2,315
3,34
3 basamak
2 basamak
9260
6945
6945
7,73210
3 + 2 = 5 basamak ayrılır.
0,9  1, 1,9  2, 3,9  4, 7,9  8, a,9  a  1
2,39  2,4, 3,49  3,5,
3. BÖLME
4,279  4,28
Ondalık sayılar önce virgülden kurtarılır. Sonra bölme
işlemi yapılır.
ÖRNEK
0,7 
7
,
9
ÖRNEK
0, 29 
29
99
0,4
0,5
3,2


0,02 0,25 0,032
işleminin sonucu kaçtır?
ÖRNEK
0,1  0,2  0,3  .... 0,9
ÇÖZÜM
0,4  100
0,5  100
3,2  1000


 20  2  100  118
0,02  100 0,25  100 0,032  1000
toplamının sonucu kaçtır?
ÇÖZÜM
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
12
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
ÇÖZÜMLÜ TEST
1.
6.
A) 0
x 50.x
y
Yandaki bölme işleminde x  0 olmak
üzere bölen, bölünenin 50 katına eşit
444…444 17 basamaklı doğal sayısının 6 ile
bölümünden kalan kaçtır?
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
ve kalan sıfırdır.
Buna göre, y kaçtır?
A) 0,002
D) 0,2
B) 0,02
E) 0,5
C) 0,05
7.
2.
Yandaki
bölme
işleminde
ababab ab
9! + 10! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam
olarak bölünemez?
A) 22
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
bölünen kaç olur?
A) 10101
D) 111
3.
B) 1010
E) 101
C) 1001
acd üç, cd iki basamaklı doğal
sayılardır.
8.
acd cd
4
Buna göre, a + c + d toplamı
16
A) 5
kaçtır?
A) 10
4.
600.3x
Sayısının asal olmayan 69 tane tamsayı böleni
varsa, x kaçtır?
B) 11
C) 13
D) 14
Beş basamaklı a3b4c sayısı 9
bölünebilmektedir.
a + c = 11
olduğuna göre, b’nin alabileceği
çarpımı kaçtır?
5.
B) 8
C) 10
D) 16
C) 3
D) 2
E) 1
E) 15
ile
tam
9.
değerler
5x.4x+1
Sayısının asal olmayan pozitif bölen sayısı 76
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 9
A) 0
B) 4
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
E) 20
abab9 beş basamaklı, ab iki basamaklı sayılardır.
abab9 ab
m
10. 350 sayısı x tamsayısına bölündüğünde sonuç
n
Yukarıdaki bölme işlemine göre, m+n
toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
pozitif tamsayı çıkıyor.
Buna göre, x’in alabileceği kaç tane tamsayı
değeri vardır?
E) 4
A) 3
Özel Acar Kalite Değer Milat Temel Lisesi
13
B) 4
C) 6
D) 12
E) 24
www.akademitemellisesi.com
BÖLME – BÖLÜNEBİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
3
16. x  0,8 ve y  0,4 olduğuna göre,
3 4
11.

1 1
4 5

x y
5
İfadesinin sayısal değeri kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)
12.
39
10
29
10
B)
C)
19
10
D)
21
10
E)
10
39
A)
1
1
1 
1  30

1  .1  .1  ....1   
2
3
4 
x
4

8
27
B)
18
27
13.
C) 14
D) 21
27
8
E)
B) 
E) 28
2
3
C) 1
D)
2
3
E) 3
4
3
3
4
3
18.
4



sonsuz kesrinin değeri kaçtır?
A) 1
14.
12
9
D)
İşleminin sonucu kaçtır?
A) 3
B) 9
27
18
0,12 0,04 0,05


0,03 0,12 0,01
17.
eşitliğini sağlayan x sayısı kaçtır?
A) 7
C)
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A)
37 41 42
12 14 13


 a ve


25 27 29
25 27 29
toplamının a türünden değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
B) a  3
E) a2
A) a + 6
D) 6a  a2
5,6  2,2
8
1
x
9
eşitsizliğini sağlayan x sayısı kaçtır?
19.
C) 6a + a2
13
24
B)
7
12
C)
5
8
D)
2
3
E)
17
24
0,46 2,2 x

  A dır.
4,6
22 y
x ve y sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere,
A’nın en küçük bir tamsayı değeri için x + y
toplamı kaç olmalıdır?
A) 3
2
katına eşit olan kesrin payı
3
ile paydasının çarpımı 24 olduğuna göre, pay
ile paydanın toplamı kaçtır?
B) 5
C) 7
D) 9
E) 12
15. Payı paydasının
A) 5
B) 7
C) 10
D) 13
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
20.
0,a b  0,ba  1,8
eşitliğine göre, a + b toplamı kaçtır?
E) 15
A) 5
14
B) 7
C) 10
D) 13
E) 17
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
C şıkkında 26 = 2.13 çarpımı verilen ifadede
çarpan olarak bulunmadığından 26 sayısına
bölünemez.
Cevap C’dir.
ÇÖZÜMLER
1.
x = 50xy
y=
1
 0,02
50
8.
Cevap B’dir.
2.
ababab ab
ab
10101
00ab
ab
00ab
ab
00
600.3x = 23.3.52.3x
= 23 .52 .3x+1
69 + 3 = 72 tane tam böleni var.
36 = (3 + 1).(2 + 1).(x + 2)
36 = 12x + 24
12 = 12x
x=1
Cevap E’dir.
9.
Cevap A’dır.
5x .22x+2
(x + 1) (2x + 3)  2 = 76
x  1 (2x + 3) = 78

3.
5
6.13 = 78
100a + cd = 4.cd + 16
100a –16 = 3.cd
a = 1 için,
100 – 16 = 3.cd ise, cd = 28 olur.
a + c + d = 1 + 2 + 8 =11 bulunur.
Cevap E’dir.
Cevap B’dir.
10. 350
4.
2  350 = (1).21.52.71
175 5
35 5  350’nin negatif tam bölenleri sayısı
7 7
1
(1 + 1).(2 + 1).(1 + 1) = 2.3.2 = 12
Cevap D’dir.
a+3+b+4+c=7+a+c+b
 18  b

0
9
Alabileceği değerler çarpımı, 0.9 = 0 bulunur.
Cevap A’dır.
5.
abab9 ab
ab
1010
11.
00ab
ab
009
3 5 3 1 15 3
.  . 

1 4 4 5
4 20
75 3

20 20
78

20
39

10

1010 + 9 = 1019
1019 5
4  kalan
Cevap A’dır.
Cevap E’dir.
6.
12.
Son iki basamağı ayırırsak
444
...400

  44
15 tan e

15.4  60  6 ile kalansı z bölünür.
3 . 4 . 5 ......x  1 30

2 3 4
x
4
x  1 15

 x  1  15
2
2
 x  14
44 6
42 7
2
Cevap C’dir.
Cevap C’dir.
7.
9!(1 + 10) = 9!.11 dir.
Özel Acar Kalite Değer Milat Temel Lisesi
15
www.akademitemellisesi.com
BÖLME – BÖLÜNEBİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
4
0,12 0,04
124
4
13. 3 
17.

 0,05 

5
4
0,03 0,12
3
123
3
4
1
1
1 3
3 
x
 4   5  1 

3
3
3 3

2

4
3
3   x  x 2  3x  4  0


x
Cevap B’dir.
x
4
x
+1
 (x  4).(x + 1) = 0
 x = 4 veya x = 1 (olamaz, çünkü x pozitif)
x=4
5,6  2,2 5  0,6  2  0,2
Cevap D’dir.
18.

8
1
1
x
x
9
9
27  4
31
9

8 
8
9x  1
9x  1
37 41 42
9
14.


a
39
13
25 27 29
 31  72x  8 
 x, x 
bulunur.
72
24
12 14 13


x
 25 27 29
Cevap A’dır.
25 27 29


 ax
25 27 29
3=ax
x=a3
0,46 2,2 x
19.

 A
Cevap B’dir.
4,6
22 y

15.
a
a 2

b 3
 a = 2k
b = 3k
a.b = 2k.3k= 6k2
6k2 = 24
k2 = 4, k = 2 olur.

46
22
x
1
1 x

 A

 A
460 220 y
10 10 y

2
x
1 x
 A  A
10 y
5 y
A = 1 için
1 x
x
1
  1   1
5 y
y
5
2
b
3



x 4
 den x = 4, y = 5 olur. x + y = 9
y 5
Cevap D’dir.
a + b = 2k + 3k
= 5k = 5.2 = 10
Cevap C’dir.
20.

16.
x  0,8 
8
9
y  0,4 
4
9



1 1 1 1 9 9
9  18 27
  
 


x y 8 4 8 4
8
8
2
9 9
Cevap D’dir.
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
18  8
9
ab  b ba  a 10


90
90
9
10a  b  b 10b  a  a 10


90
90
9
10a 10b 10


90
90
9
a b 10
 
9 9
9
a  b 10

 a  b  10
9
9
0, a b  0,b a 

Cevap C’dir.
16
www.akademivizyon.com.tr
6.
KONU TEKRAR TESTİ 1
MATEMATİK
İki basamaklı xy sayısı x + y ile bölündüğünde
bölüm 7, kalan 3 olduğuna göre, x.y çarpımı
kaç olabilir?
A) 1
N L
4
1
1.
B) 3
C) 28
D) 36
E) 49
M L
3
2
Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, N’nin M
türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
4M  3
3
B)
4M  5
3
D)
4M  7
4
E)
4M  5
3
C)
4M  2
3
7.
Üç basamaklı abc sayısı 3 ile tam olarak
bölünebiliyor.
Buna göre, dört basamaklı abc0 sayısı
aşağıdakilerden hangisi ile daima bölünebilir?
A) 9
2.
C) 15
D) 18
E) 20
Bir bölme işleminde bölen 12, bölüm x, kalan ise 9
dur.
Buna göre, bölünen sayı 4 ile bölündüğünde
bölüm aşağıdakilerden hangisi olur?
A) 2x  2
D) 3x 1
B) 3x + 2
E) x + 3
C) 3x +1
8.
196 sayısının 1 ve kendisi hariç kaç tane
tamsayı böleni vardır?
A) 16
3.
B) 12
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
6 basamaklı 271a1b sayısı 12 ile tam
bölünebildiğine göre, a + b toplamının en
büyük değeri kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 15
9.
60000...0


 sayısının 360 tane tam böleni varsa,
m tane
m kaçtır?
4.
25 basamaklı 111…..1
bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
5.
B) 2
C) 5
sayısının
D) 7
9
A) 10
ile
B) 1
C) 2
D) 3
Özel Acar Kalite Değer Milat Temel Lisesi
C) 8
D) 7
E) 6
E) 8
10. 208 sayısının asal olmayan kaç tane pozitif
7777 + 64844 toplamının 4 ile bölümünden
kalan kaçtır?
A) 0
B) 9
çarpanı vardır?
A) 8
E) 4
17
B) 10
C) 12
D) 13
E) 15
www.akademitemellisesi.com
BÖLME – BÖLÜNEBİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
1
0,3  1,4
11.
1
16.
1
0,12
2
1
3
İşleminin sonucu kaçtır?
4
işleminin sonucu kaçtır?
44
43
A) 15
B)
C)
3
3
15
17
19
8
9
A)
B)
C)
D)
E)
13
13
26
26
26
12.
a
40
3
E) 10
17. a pozitif doğal sayıdır.
2
3
01a + 010a + 0,00a, …..
toplamının en az kaç katı daima bir tamsayıdır?
3
5
4
c
7
olduğuna göre, a, b, c sayıları arasındaki
sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
b
A) a < c < b
D) b < c < a
D)
B) a < b < c
E) c < b < a
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
D) 8
E) 10
C) b < a < c
18.
x  2,13
y  3, 86
xy
kaçtır?
2
Olduğuna göre,
13.
x 1
5
kesrinin basit kesir olabilmesi için x kaç farklı
tamsayı değeri alır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
A) 3
B) 4
E) 10
19.
2
1
4
3
6
5
14.
15.
6
3x
4
kesrini bileşik kesir yapan x tamsayı değerler
toplamı kaçtır?
A) 27
B) 25
C) 24
D) 21
B) 24
C) 37
D) 42
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
8
x
ifadesi x’in kaç değeri için tanımsızdır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 0
20.
1
x
5


5 60 12
olduğuna göre, x’in alabileceği en büyük
tamsayı değeri ile en küçük tamsayı değerinin
toplamı kaçtır?
A) 16
C) 6
x  1,15
y  2, 234
olduğuna göre, x + y toplamının kaç basamağı
devreder?
E) 53
A) 5
18
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
www.akademivizyon.com.tr
6.
KONU TEKRAR TESTİ 2
A B
4
3
1.
C B
2
2
MATEMATİK
8a2b4 beş basamaklı doğal sayısı 11 ile kalansız
bölünebilmektedir.
Bu sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Yukarıdaki bölme işlemine göre, A’nın C
türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) C  1
D) 2C + 1
B) 2C  1
E) 2C + 3
C) C + 1
7.
2.
A) 1
A ve B doğal sayılar olmak üzere,
B 11
A
A-3
olduğuna göre, B’nin en büyük değeri kaçtır?
A) 150
B) 153
C) 166
D) 179
Dört basamaklı 25xy sayısının 12 ile bölümünden
kalan 1’dir.
Buna göre, x’in alabileceği kaç farklı değer
vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
x ve y birer pozitif tamsayı olmak üzere,
3x + 2y = 18
Eşitliğini sağlayan x değerlerinin
kaçtır?
5.
B) 2
C) 4
D) 6
B) 7
C) 11
D) 16
Özel Acar Kalite Değer Milat Temel Lisesi
E) 5
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere,
2a  17
a 1
eşitliğini sağlayan
kaçtır?
b
çarpımı
B) 18
a
değerlerinin
C) 20
D) 22
toplamı
E) 24
E) 8
Beş basamaklı 2xy3z sayısı 36 ile tam olarak
bölünebiliyor.
Buna göre, x + y toplamının en büyük değeri
kaçtır?
A) 2
D) 4
E) 8
A) 6
A) 0
C) 3
a ve b pozitif tamsayı ve
a.b = 288
olduğuna göre, b’nin alabileceği kaç farklı
değer vardır?
A) 12
9.
4.
B) 2
E) 182
8.
3.
64a4 dört basamaklı sayısı 9 ile bölündüğünde
kalan 6’dır.
Buna göre, a kaçtır?
10. 25a7b beş basamaklı doğal sayısı hem 3 ile hem
de 4 ile tam olarak bölünebilmektedir.
a > b koşulunu sağlayan farklı a’ların toplamı
kaçtır?
E) 20
A) 10
19
B) 15
C) 20
D) 23
E) 20
www.akademitemellisesi.com
BÖLME – BÖLÜNEBİLME – RASYONEL VE ONDALIK SAYI
16. x ve y rakamdır.
3
4
11.
ile
4
5
x, y  y, x
rasyonel sayılarının ortasındaki rasyonel
xy
sayının 2 katı aşağıdakilerden hangisidir?
kesrinin değeri kaçtır?
A) 1,55
D) 5,5
12.
B) 3,1
E) 6,1
C) 4,2
2
3
xyz
5
4
koşuluğunu sağlayan x, y,
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
z
1 7 4
C)
,
,
2 10 5
1 3 7
D)
, ,
4 5 20
b
C) 1
D)
10
9
E)
10
7
5
13
2
c
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
9 11 17
,
,
20 20 20
3
25
Toplamı bir tamsayı olduğuna göre, A sayısının
virgülden sonraki basamağı aşağıdakilerden
hangisidir?
A
x
B) 54
C) 65
D) 88
E) 94
100
333
1000
z
3333
olduğuna göre, x, y, z arasındaki sıralama
aşağıdakilerden hangisidir?
C) 70
B) m + 3
E) 4  m
B) 3
C) 1
m
C) m + 2
için
D) 2
E) 3
D) 1
E) 2
C) y > x > z
1
2
2001  2000
2
3
20.
1
2
499  490  8
2
3
işleminin sonucu kaçtır?
toplamı kaçtır?
B) 60
toplamının
ax  2
2x  4
kesrinin sabit kesir olabilmesi
aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
A) 4
1,1  2, 2  3,3  ..... 9,9
A) 50
göre,
A) m + 4
D) 3  m
19.
B) y > z > x
E) x > y > z
2 1 3
 
3 4 5
4 5 2
 
5 4 5
cinsinden değeri nedir?
10
33
A) z > y > x
D) x > z > y
m
olduğuna
y
15.
9
10

1
a
3 7 4
B)
,
,
5 10 5
A) 44
14.
B)
1
sayıları
18.
13.
7
10
17. a, b, c  Z
1 3 7
A)
, ,
2 5 10
E)
A)
D) 80
Üniversiteye Hazırlık Matematik Dergisi / Sayı 3
A) 2
E) 90
20
B) 1
C) 0
www.akademivizyon.com.tr
a