idris aydın - Google Groups

Sevgili Öğrencilerim;
Almış olduğunuz bu konu özetli fasikül özellikle matematikle uğraşmayı seven öğrenciler için
hazırlanmıştır.Zaten ismininde HOBİ BAHÇESİ olması bundan dolayıdır.Değerli arkadaşlar fasikül
üç bölümden oluşmaktadır,
1.bölümde sizleri fazla teorik bilgi ile sıkmayan kısa ve öz konu özeti ile birlikte öğretici –
kavratıcı sorular var.Buralara çıkmış sorulardan da ekledim ki karşılaştırma yapılabilsin diye,
2.bölümde konuyu pekiştirmeye yarayacak uygulama testleri ile soru çözüm hızınızı
artırabilirsiniz,
3.bölüm ise HOBİ BAHÇESİ olarak adlandırdığım kısım ki macera arayan öğrencilere
birebir diye bilirim.Dolayısıyla konuyu tam öğrenmeden oraya sakııııın geçmeyin derim uzman
tavsiyesi,
Kitabı hazırlarken İstanbul FEM DERSHANELERİ ve Kayseri SERHAT DERSHANELERİ ‘n
de uzuuuuun yıllar yapmış olduğum öğretmenliğim sırasında biriktirdiğim ve oluşturduğum soruları
kullandım. Öğrencilerimin ısrarları sonucunda böyle bir fasikül oluşturup soruların daha düzenli
olması için gayret ettim.
HOBİ BAHÇESİ nin hazırlık aşamasında ve tashihinde yardımcı olan değerli arkadaşlarım
M.Fatih Yağmur ve Mehmet Gökhan Demirezen’ e teşekkür ederim.
Fasikül içerisinde çok orijinal sorular olup bazı soruların çok daha orijinal çözümleri
mevcuttur.Yazılılardan önce mutlaka çözmeniz gerekir diye düşünüyorum.Faydalı olur dileğiyle iyi
çalışmalar teşekkür ederim.
İDRİS AYDIN
Ofis ve Danışmanlık Merkezi
HOBİ BAHÇESİ
İDRİS AYDIN (kayserİ)
0532 237 73 60
için irtibat
M.Gökhan demİrezen (İstanbul)
0532 545 15 45
KAYSERİ/// www.facebook/idrisaydın(matematikhobibahcesi)
Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının kitabı hazırlayan yazarın izni olmaksızın
elektronik, mekanik, fotokopi veya herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve
depolanması yasaktır.
BASKI TARİHİ
1. Baskı 2015
MATEMATİK HOBİ BAHÇESİ
İNTEGRAL fasİkülü
İNTEGRAL ALMA
KURALLARI
bölüm 1
Zor iş, zamanında yapmamız gerekip de yapmadığımız kolay şeylerin birikmesiyle oluşur.
Nice hastalar vardır ki onlara ilaç yerine ümit aşılamak daha hayırlıdır.
İnsan yenilince tükenmez, pes edince tükenir.
Dostlarınıza bir gün düşmanınız olabileceklermiş gibi, düşmanlarınıza ise bir gün dostunuz olabileceklermiş gibi davranın.
Kim kendini sabra zorlarsa, Allah onu sabretmeye muvaffak kılar.
Beklemesini becerenin her şey ayağına gelir.
Bir araya gelmek başlangıçtır. Bir arada durmak ilerlemedir.
Birlikte çalışmak başarıdır.
Her bildiğini söyleme, ama her söylediğini daima bil.
KONU ÖZETİ
İntegral ALMA KURALLARI
Örnek...
Tanım:
d   3
x  2 dx  
dx  
Türevi f(x) olan F(x) fonksiyonunu elde etme iş-
ifadesinin sonucunu bulunuz.
lemine integral denir.
cevap: x3  2
 f  x  dx  F  x   c
Örnek...
f  x    d  x2  1
BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ:
olduğuna göre, f(4) değeri kaçtır?
1. Sabit bir çarpan integral dışına çıkabilir.
cevap: 8
 c f  x  dx c  f  x  dx
Örnek...
f  x     x3  x  3  dx
2. İntegral operatörü dağılma özelliğine sahiptir.
 f  x   g  x   h  x  dx 
olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır?
cevap: 3
  f  x  dx  g  x  dx  h  x  dx
Örnek...
3. Belirsiz integralin türevi aşağıdaki şekildedir.
f  x     x2  3x  1 dx
'
  f(x)dx   f  x 
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun x = 4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
d
 f  x  dx   f  x 
dx  
cevap: 5
Örnek...
4. Belirsiz integralin diferansiyeli integral sem-
 x.f  x .dx  2x
bolü altındaki ifadeye eşittir.
d f  x  dx  f  x  dx
2
 3x  2
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
cevap: f(x)  4 
1
3
x
KONU ÖZETİ
İntegral ALMA KURALLARI
İNTEGRAL ALMA KURALLARI:
2.

1.
n
 x dx 
xn1
c
n 1
f '(x)
dx  ln f(x)  c
f(x)
Örnek...
1
Örnek...
x
3
 x dx 
dx 
cevap: ln x  c
x4
c
4
cevap:
Örnek...
3
 x  1dx 
Örnek...

3
x2 dx 
cevap:
3.ln x  1  c
5
3
cevap: x 3  c
5
Örnek...
Örnek...
x
2x
 x2  7dx 
2
dx 
cevap:
cevap:
ln x2  7  c
1
 c
x
Örnek...
Örnek...
  3x
2
2x  3
 x2  3x  7dx 
 2 dx 
cevap:
cevap: x  2x  c
ln x2  3x  7  c
3
Örnek...
Örnek...
dx
 x4
x 1
 x2  2xdx 

cevap: 
1
3x3
cevap:
c
2
1
.ln x2  2x  c
2
KONU ÖZETİ
İntegral ALMA KURALLARI
a, p, q  R+, a  1 olmak üzere,
3.
px  q
a
4.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
İNTEGRALİ:
px  q
1 a
dx  .
c
p lna
 sinxdx  cosx  c
 cos x dx  sin x  c
1 px q
px  q
c
 e dx  p .e
dx
2
 cos2 x   1 tan x  dx  tan x  c
dx
2
 sin2 x   1 cot x  dx   cot x  c
Örnek...
3
x
dx 
cevap:
3x
c
ln 3
Örnek...
 sin 3xdx 
cevap:  .cos 3x  c
1
3
Örnek...
2x 1
5
dx 
cevap:
Örnek...
52x 1
c
2.ln5
 cos  2x  3 dx 
cevap:
1
.sin(2x  3)  c
2
Örnek...
x 1
a
dx 
cevap:
Örnek...
a x 1
c
ln a
 tan
2
x dx 
cevap: tan x  x  c
Örnek...
2x 3
e
dx 
Örnek...
cevap:
  cot
e2x 3
c
2
2
x  4  dx 
cevap: 3x  cot x  c
3
KONU ÖZETİ
İntegral ALMA KURALLARI
5.
TERS TRİGONOMETRİK
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
1. Değişken Değiştirme Yöntemi
f(x) fonksiyonunun türevi de integralin içinde

varsa bu yöntem uygulanır.
dx
1  x2
 arcsin x  c   arccos x  c
f(x) = u iken f(x) . dx = du olur ve yerine yazılır.
dx
 1  x2
 arctan x  c   arc cot x  c
 f  x .f   x .dx   u.du 
u2
f 2  x
c 
c
2
2
Örnek...

3
1  x2
dx 
Örnek...
 x
cevap: 3.arcsin x  c
2
 3x  .  2x  3  dx
6
integralini hesaplayınız.
cevap:
(x 2  3x)7
c
7
Örnek…
dx
 2  2x2

cevap:
1
.arctan x  c
2
Örnek...

Örnek…

2x  3 
4
integralini hesaplayınız.
5
5  5x
dx
2
dx 
cevap:
cevap:
5.arcsin x  c
4

1
6.(2x  3)3
c
KONU ÖZETİ
İntegral ALMA KURALLARI
Örnek...
Örnek...
 e
x
 2 .ex dx
3
 arcsin x 3

integralini hesaplayınız.
1  x2
dx
integralini hesaplayınız.
cevap:
(e x  2)4
c
4
cevap:
Örnek...
(arcsin x)4
c
4
Örnek...
3
x2  2
.x dx
dx
 x.sin2 ln x 
integralini hesaplayınız.
integralini hesaplayınız.
2
3x 2
c
cevap:
2.ln3
cevap:  cot(ln x)  c
Örnek...
e
sin x
Örnek...
.cos x dx
sin2x
 2  sin2 x dx
integralini hesaplayınız.
cevap: esin x  c
integralini hesaplayınız.
cevap:
Örnek...
ln sin2 x  2  c
Örnek...
cos ln x 
 x dx
cos x dx
 sin2 x  1
integralini hesaplayınız.
integralini hesaplayınız.
cevap: sin(ln x)  c
cevap: arctan(sinx)  c
5
KONU ÖZETİ
İntegral ALMA KURALLARI
2. Kesirli Fonksiyonların İntegrali:
Örnek...
tan x

1  tan x  . cos2 x
2
i)
dx
k
 ax  b dx
integralini hesaplayınız.
cevap:
1
.ln tan2 x  1  c
2
Bu tür kesirde paydanın türevi pay kısmında
varsa logaritmalı formülden yararlanılır.
Örnek...
5
 3x  2 dx 
cevap:
Örnek...

5
.ln 3x  2  c
3
dx
x . ln x 
3
Örnek...
integralini hesaplayınız.
x
cevap:

1
2.ln2 x
 1  x2
c
dx 
cevap:
1
.ln x2  1  c
2
Örnek...
x 1
 x2  2x  5 dx 
cevap:
Örnek...
1
.ln x2  2x  5  c
2
Örnek...
 cos
2
 tan x dx 
3x . sin3x . dx
integralini hesaplayınız.
cevap: ln sec x  c
cevap:

cos3 x
c
9
Örnek...
 cot x dx 
cevap: ln sin x  c
6
KONU ÖZETİ
İntegral ALMA KURALLARI
f x 
ii)
P x
Q x
dx
rasyonel ifadesinde payın derecesi paydanın
derecesinden büyük veya eşitse pay paydaya
bölünür.
f  x 
 ax2  bx  c
iii)
dx
eğer ax2  bx  c polinomu çarpanlarına ayrılıyorsa
ifade basit kesirlerine ayrılarak integrali alınır. Basit
kesirlerine ayrılmıyorsa arctanx formülüne benzetilerek çözülür.
P x
Rx
 T  x 
Q x
Qx
**
1
2
x 4
şeklinde yazılır ve sonra ayrı ayrı integralleri
alınır.

2x  1
**
x3  27
A
B

x2 x2

A
Bx  C
 2
x  3 x  3x  9
Örnek...
x
 x2
dx
Örnek...
integralini hesaplayınız.
cevap:
3x  1
 x2  1 dx
x  2.ln x  2  c
integralini hesaplayınız.
cevap:
ln x  1  2.ln x  1  c
Örnek...

3x2  2x  3
x2  1
Örnek...
dx
3x  1
 x2  2x  3 dx
integralini hesaplayınız.
cevap: 3x  ln x2  1  c
integralini hesaplayınız.
cevap: 2.ln x  3  ln x  1  c
7
KONU ÖZETİ
İntegral ALMA KURALLARI
3. KÖKLÜ FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ:
Örnek...
Basit köklü integrallerde değiştirdiğimiz değişen
köklü ifadeyi ortadan kaldıracak şekilde olmalıdır.
dx
 x2  9
integralini hesaplayınız.
cevap:
U  x  ise t 2  U(x)
1
x
.arctan( )  c
3
3
3 U(x)
ise t 3  U(x)
dönüşümleri yapılır.
Örnek...
Örnek...
4x
 1  4x 4

dx
2x  3 dx
integralini hesaplayınız.
integralini hesaplayınız.
cevap:
cevap: arctan(2x2 )  c
(2x  3)3
c
3
Örnek...
 x.
x2  7 .dx
integralini hesaplayınız.
cevap:
3
(x 2  7)2
c
3
Örnek...
dx
 x2  4x  5
integralini hesaplayınız.
Örnek...
cevap: arctan(x  2)  c

.
x 1 1
.dx
x 1
3
integralini hesaplayınız.
cevap:
8
66
3
. (x  1)7  .6 (x  1)4  c
7
2
KONU ÖZETİ
İntegral ALMA KURALLARI
4. SİNÜS VE COSİNÜS İNTEGRALLERİ:
Köklü İntegrallerin Trigonometrik
Dönüşümleri
 cos
p
Eğer integral operatörü altında aşağıdaki şekilde köklü terimler varsa karşılarındaki gibi
trigonometrik dönüşümler yapılır.
2
2
şeklindeki integraller ile karşılaştıdığımızda
aşağıdaki işlemler yapılır,
i) p veya q dan birisi tek sayı olduğunda,
için x = r. sin 
i)
r x
ii)
r 2  x2 için x = r. tan 
Örnek...
 cos
5
iii)
x.sinq x dx
x2  r 2 için x = r. sec 
x. sin3 x dx
integralini hesaplayınız.
cevap:
cos8 x cos6 x

c
8
6
cevap:
sin5 x sin7 x

c
5
7
Örnek...

9  4x2 dx
integralini hesaplayınız.
cevap:
9x 9
2x
 .arcsin( )  c
12 4
3
Örnek...
 sin
4
x. cos3 x dx
integralini hesaplayınız.
9
KONU ÖZETİ
İntegral ALMA KURALLARI
5. KISMİ İNTEGRASYON YÖNTEMİ:
ii) p ve q çift sayı olduğunda,
 f  x  .g  x . dx
cos2x  cos2 x  sin2 x
Böyle fonksiyonların daha kolayca integrallenebilmesini sağlamak amacıyla parçalı (kısmi)
integralleme aşağıdaki gibi yapılır.
 2cos2 x  1
 1 2sin2 x
 udv  u.v   v du
formülleri kullanılır.
Kısaca u'nun seçimindeki öncelik sırası şöyledir:
1. Logaritmik fonksiyon
Örnek...
 cos
2
2. Ters trigonometrik fonksiyon (arc…)
dx
3. Polinom fonksiyon
integralini hesaplayınız.
cevap:
4. Trigonometrik fonksiyon
1
x
.sin 2x   c
4
2
5. Üstel fonksiyon
Bu
sırayı
akılda
kalması
için
kısaca
"L A P T Ü" sözcüğü ile ifade edebiliriz.
Örnek...
x . e
x
dx
integralini hesaplayınız.
Örnek...
cevap: x.ex  ex  c
 sin
2
x . cos2 x.dx
integralini hesaplayınız.
cevap:
x sin 4x

c
8
32
10