05.10.2013 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar 1 EME 3105 • • • • • • • • • Sistem Simülasyonu Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 5 Sürekli Dağılımlar (1) Sürekli Dağılımlar (2) 3 Dağılım 4 Birikimli Dagilim Fonksiyonu F(x) x−a b−a Normal (µ,σ2) Kapalı form yok Uniform (a,b) a<x<b E[X] a+b 2 µ V[X] (b − a) 12 1− e− λ x e− kλ x (k λ x)n 1− ∑ n! n=0 k−1 Erlang (λ, k) Gamma (β,α) k pozitif tamsayı ise , Erlang k Degilse , Kapalı form yok 1/ λ 1/ λ2 k /λ k / λ2 αβ αβ 2 β ⎛ 1⎞ Γ⎜ ⎟ α ⎝α⎠ α 1− e−( x/β ) Weibull (β,α) Kapali form yok σ2 E[X] Birikimli Dagilim Fonk. F(x) Dağılım 2 Üstel (λ) Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential) Dağılım Erlang Dağılımı Gamma Dağılımı Weibull Dağılımı Lognormal Dağılım Beta Dağılımı Üçgen (Triangular) Dağılım ( Lognormal (µl,σl2) µ = ln µl / σ l2 + µl2 ( σ = ln (σ + µ 2 2 l 2 l Beta (α1,α2) Kapali form yok Üçgensel a=minimum b= maksimum m= mode ⎧ (x − a)2 ⎪ ⎪ (b − a )( m − a ) ⎨ (b − x)2 ⎪ 1− ⎪ (b − a )(b − m ) ⎩ 1 ) )/µ ) 2 l a≤x≤m m≤x≤b e µ+ σ2 2 V[X] β α 2 2 ⎪⎧ ⎛ 2 ⎞ 1 ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎪⎫ ⎨2Γ ⎜⎝ ⎟⎠ − ⎜ Γ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎟ ⎬ α α ⎝ α ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ e 2 2 µ +σ 2 ⎛⎜ eσ −1⎞⎟ ⎝ ⎠ α1 α1 + α 2 α 1α 2 (α 1 + α 2 )2 (α 1 + α 2 + 1) a+b+m 3 a 2 + b 2 + m 2 − ab − am − bm 18 05.10.2013 Normal Dağılım ve Lognormal Dağılım Sürekli Düzgün Dağılım ve Üçgensel Dağılım 5 6 Sürekli Düzgün Dağılım Üçgensel Dağılım Normal Dağılım Üstel Dağılım ve Erlang Dağılımı 7 Üstel Dağılım ve Weibull Dağılımı 8 Üstel Dağılım Lognormal Dağılım Erlang Dağılımi 2 05.10.2013 Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin Modellenmesi (1) Beta Dağılımı 9 10 Teorem: Olayların gerceklesmesi ortalaması λ(olay/br.zaman) olan poisson sürecine uyuyorsa, olayların olusları arasında geçen süre ortalaması 1/λ (br.zaman/olay) olan Üstel dağılıma uyar. Örnek: Müşteriler sisteme ortalaması 10 (müşteri/saat) olan Poisson Sürecine uygun olarak geliyorsa, müşteri gelişleri arasında geçen süre ortalaması 1/10 (saat/musteri) olan Üstel dağılıma uyar. Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin Modellenmesi (2) 11 Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin Modellenmesi (3) 12 • Eğer süreler tamamen rassalsa, simulasyonda çoğu zaman Üstel dağılımla modellenir. • Süreleri modellemek için Gamma ve Weibull dagilimlari da kullanilabilir (Üstel dağılım, bu iki dağılımın özel bir durumudur). • Pratikte servis süreleri Üstel Dağılımın açıklayabildiginden daha uzunsa, servis süresinin modellenmesinde Weibull dağılımı daha uygun olabilir. • Sürekli Rassal Değişkenleri modellemede Normal Dağılım kullanılırken negatif değerler alabildiği göz önünde bulundurulmalıdır. 3 05.10.2013 Arızaya Kadarki Sürenin Modellenmesi (1) 13 Arızaya Kadarki Sürenin Modellenmesi (2) 14 Arıza zamanları Üstel, Gamma ve Weibull gibi bir cok dağılımla modellenebilir. • Eğer arızalar tamamen rassal olarak oluyorsa, a r ı z a ya k a d a r k i s ü r e Ü s t e l d a ğ ı l ı m l a modellenebilir. • Gamma dağılımı, her parçanın arızaya kadarki sürelerinin üstel oldugu yedek parcaların bulundurulduğu durumda modellemede kullanılır. Sistemde bir çok parça varsa ve arıza seri bağlı bir çok parcadaki hatalardan dolayı oluşuyorsa genellikle arızaya kadarki süreyi modellemek icin Weibull dağılımı uygundur. Çoğu arıza aşınmadan kaynaklanıyorsa, normal dağılım modelleme için oldukça uygun olabilir. Bazı parça tipleri için arızaya kadarki süreleri modellemek için Lognormal dağılım kullanılabilir. Veri Seti Yetersiz yada Veri Yoksa 15 Gelişlerarası yada servis süresinin rassal oldugu biliniyorsa, fakat dağılımıyla ilgili bilgi yoksa Rassal degiskenin en küçük, en büyük ve en sık gerçekleşen değerleri hakkında varsayım yapılabılıyorsa Ceşitli dağılım formlari sağladiği için veri yoksa Beta dağılıma da kullanılabilir. 4