ç Çarp mlar Önerme Önermenin spat Tan m

ç Çarpmlar
Bir
p : E −→ B vektör demeti üzerinde bir iç çarpm,her
L lifte bir iç çarpma kst<, >: E
E −→ R dönü³ümüdür.
lama yapan pozitif simetrik lineer formda bir
Önerme
Bir
B nin
p : E −→ B
vektör demeti üzerinde bir iç çarpmn var olmas için gerek ³art
kompakt Haussdorf ya da daha genel bir ifadeyle parakompakt olmasdr.
Burada kullanlan parakompaktl§n tanmn verelim.Bir
X
uzay,Hausdor ve
uzayn her açk örtüsü birim aral§n bir parçalan³,açk örtünün baz kümelerinde
Σβ ϕβ = 1 olacak ³ekilde X in her noktasnn yaknnda sadece sonlu sayda
ϕβ : X −→ [0, 1] dönü³ümler koleksiyonuna sahip ise
parakompakttr.X kompakt Hausdorrf oldu§unda böyle fonksiyonlar in³a etmek
destekli
ϕβ nin
sfrdan farkl oldu§u
Urysohn Lemmas'nn kullanmyla kolaydr.
Cebirsel topolojide kulland§mz uzaylarn bir ço§u parakompakttr.
Önermenin spat
p : E −→ B vektör demeti için bir iç çarpm öncelikle hα : p−1 (Uα ) −→
Uα × Rn yerel a³ikarla³trmalar kullanlarak < v, w >= Σβ ϕβ p(v) < v, w >α(β) ile
in³a edilebilir.Burada {ϕβ }, birim aral§n Uα (β) da içerilen ϕβ larn destekledi§i
Bir
ayr³mdr.
Bir alt vektör uzaynn her zaman ortagonal tümleyeni ile birlikte direk toplamn
bir bile³eni oldu§unu söyleyebiliriz.“imdi bu durumun parakompakt bir baz üzerinden vektör demetleri için de geçerli klaca§z.Bunun için öncelikle alt vektör
demeti tanmn verelim.
Tanm
p : E −→ B bir vektör demeti olmak üzere ,E nin her li ile bir vektör uzaynda
E0 ⊂ E altuzay için p : E0 −→ B kstlan³ bir vektör demeti ise E0 bir
kesi³en
alt vektör demetidir.
Önerme
E −→ B, B parakompakt bazl bir vektör demeti L
ve E0 ⊂ E bir alt vektör demeti
E0⊥ ⊂ E alt vektör demeti vardr ki E0 E0⊥ ≈ E dir.
ise öyle bir
spat
⊥
, E nin E0 daki vektörlere
⊥
ortagonal olan tüm vektörleri içeren alt uzay olsun.E0 −→ B do§al projeksiyonun
bir vektör demeti oldu§unu iddia ediyoruz.E§er bunu gösterirsek (v, w) 7→ v + w
E
üzerinde seçilmi³ bir iç çarpma ba§l kalarak,E0
1
2
dönü³ümünün varl§ ile
E0⊥
E0
L
E0⊥
in
E
ye izomorf oldu§unu söyleyebilece§iz.
B × Rn çarpm
boyutuna m dersek her
in yerel a³ikarlk ko³ulu§unu sa§lad§n göstermek için
olarak alabiliriz.E0 bir vektör demeti oldu§undan,E0 n
b0 ∈ B
E
yi
m tane b 7→ (b, si (b)) ba§msz yerel bölüme(section)
m tane ba§msz yerel bölümünden (section) olu³an bu kümeyi E nin
n tane b 7→ (b, si (b)) ba§msz yerel bölümünden(section) olu³an kümeye geni³lete−1
biliriz.Bunun için yapmak için öncelikle sm+1 , ..., sn vektörlerini p
(b0 ) li üzerinde
noktas yaknnda
sahiptir.E0 n
seçelim ve daha sonra ayn vektörleri tüm çevre lier üzerinde alalm.Çünkü e§er
s1 , ..., sm , sm+1 , ..., sn ler b0 da ba§msz ise determinant fonksiyonunun süreklili§inb nin çevresinde de de ba§msz kalacaklardr.Verilen iç çarpm da kullanarak
her lifteki s1 , ..., sm , sm+1 , ..., sn e Gram-Schmidt ortagonalle³tirmesini uygularsak
0
yeni si bölümleri(section) elde ederiz.Gram-Schmidt ortagonalletirme forrmulleri
0
si lerin sürekli oldu§unu ve ilk m tanesinin her bir lifte E0 için bir baz oldu§unu
0
−1
gösterir.si bölümleri(sections) bize h : p
(U ) −→ U × Rn yerel a³ikarla³trmasnn
0
n
tanmlanmasn sa§lar öyle ki h(b, si (b)), R in i-nci standart baz vektörüne e³itm
⊥
n−m
⊥
⊥
tir.Buradaki h, E0 U × R
e , E0 da U × R
e ta³d§ndan , h|E0 , E0 in
den
yerel a³ikarla³trlmasdr.
E0
alt demeti olarak
E
nin kendisi alnd§ndaispatn son bölümünden bir iç
çarpml her vektör demeti için iç çarpm standart iç çarpma ta³yan bir yerel
a³ikarla³trmann her zaman bulunabilece§ini çkarabiliriz.
Önerme
B kompakt Hausdor uzay olmak üzere her E −→ B vektör
E 0 −→ B vektör demeti vardr ki E ⊕ E 0 a³ikar demettir.
demeti için öyle bir
spat
Yapy kurmak için öncelikle sonucun sa§land§n kabul edelim.Bu nedenle E
B×Rn a³ikar demetinin alt demetidir.Öyleyse E nin bu çarpm içindeki kapsamasn
n
çarpmnn R i örten projeksiyonu ile birle³tirilmesi her bir lif üzerinde injeksiyon
n
olan E −→ R dönü³ümünü üretir.Biz buradaki mant§n tersini yürütece§iz,yani
n
önce her bir lifte lineer olan E −→ R dönü³ümünü in³a edip daha sonra bunun E
n
nin gömmesini(embedding) B × R de direkt toplamn bir bile³eni olarak verdi§ini
görece§iz.
x ∈ B
Ux kom³ulu§una sahip0,x te sfrdan farkl olan bir ϕx : B −→
[0, 1) dönü³ümü vardr.Burada x de§i³tikçe ϕ−1
x (0, 1] kümeleri B nin bir açk örtüsünü
Her
noktas üzerinde
tir.Uryshon Lemmas'ndan
Ux
E nin
a³ikar oldu§u bir
in d³nda
olu³turur ve kompaktlktan bu örtünün bir sonlu alt örtüsü oldu§unu söyleye-
Ux ve ϕx leri srasyla Ui ve ϕi ile gösterelim.p,E −→ B
Πi hi , hi : p−1 (Ui ) −→ Ui × Rn yerel a³ikarla³trmas ile Πi den
Rn e olan projeksiyonun birle³tirilmesi olmak üzere gi : E −→ Rn dönü³ümünü
gi (v) = ϕi (p(v))[Πi hi (v)] ile tanmlayalm.Öyleyse gi , ϕ−1
üzerindeki her lifte
i
N
n
bir lineer injeksiyondur ,bu nedenle R , R
lerin çarpm olmak üzere gi leri
biliriz.“imdi buradaki
projeksiyonu ve
3
g : E −→ RN
dönü³ümünün koordinatlar yaparsak,g her bir lif üzerinde bir li-
neer injeksiyondur.
g dönü³ümüm f : E −→ B×RN dönü³ümünün ikinci koordinatdr.Bu dönü³üme
n
N
ait ilk koordinat pdir.f nin görüntüsü B × R çarpmnn alt demetidir,çünkü R
−1
n
den R
in i − nci faktörüne giden örten projeksiyon ,ϕi (0, 1] üzerindeki yerel
n
a³ikarla³trmann ikinci koordinatn verir.Böylece E nin B × R in bir alt demetine
izomorf oldu§unu elde etmi³ oluyoruz ve buradan önceki önerme ile birlikte öyle bir
tümleyen
E0
alt demeti vardr ki
E
L
E 0 ,B × Rn e
izomorftur.