Cebir Notları - Soruhane.com

www.mustafayagci.com, 2005
Cebir Notları
Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com
Fonksiyonlar
Ey şu anda bu notları okuyan vatandaş! Eğer bağıntı konusunu tam manasıyla bilmiyorsan, derhal
bu notları okumayı bırak ve bağıntıya çalış, öyle
gel! Şimdi, ‘’Bu şakaydı’’ desem, bağıntıya çalışmazsın, ‘’Şaka değildi’’ desem ‘Niye bağırıyosun ki?’’ diyeceksin. Ben en iyisi ‘’şakaydı ama
her şakada bir ciddiyet payı vardır!’’ diyeyim, sen
de beni kırma, git bağıntıya çalış! Şimdi bağıntıyı
bilen arkadaşlar için fonksiyonu tanımlayalım.
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A×B’nin her
bir alt kümesine bağıntı dendiğini biliyoruz. A’dan
B’ye bir f bağıntısı, eğer A’nın her bir elemanını
B’nin yalnız bir elemanı ile eşliyorsa, f bağıntısına
A’dan B’ye bir fonksiyon denir.
f
B, A 
→
B veya x
y = f(x) biçimlerinf: A
den biri ile gösterilir. Burada x’e bağımsız değişken, y’ye ise bağımlı değişken adı verilir.
Bir bağıntı ne zaman fonksiyon olur? Çok
önemli olan bu durumu iyi anlaşılması umuduyla
hikayeleştirmekte fayda görüyorum. Hatta bu durum o kadar önemli ki burayı anlayamayan birinin
fonksiyonu anladığından şüphe duyulabilir.
f’nin A’dan B’ye bir bağıntı olduğunu düşünün.
A’nın elemanlarını birer insan, B’nin elemanlarını
da birer otel olarak düşünelim. Hava da oldukça
soğuk. Kendini sıcak bir otele atamayanın vay haline! A’daki tüm insanların B’deki otellere yerleşmeleri lazım. Yani boşta insan kalmamalı. Bununla birlikte boşta otel kalsa n’olur ki? Hiçbirşey
olmaz. Mühim olan her insanın mutlaka bir yere
yerleştirilmesidir. Ama bu tek şart değil. Dikkat
etmemiz gereken ikinci husus ise; iki veya daha
fazla insanın tek bir otelde kalabileceği, ama tek
bir insanın aynı anda birden fazla otelde kalamayacağı. İşte, kabaca, bu iki şartın ikisini birden
sağlayan bağıntılara fonksiyon diyeceğiz.
Şimdi burada anlattıklarımızı matematiksel örnekler üzerine oturtmaya çalışalım.
Örnek. A = {a, b, c} ve B = {1, 3, 5} olmak üzere
A’dan B’ye tanımlanan
f : {(a, 1), (b, 5)}
g : {(a, 1), (a, 3), (b, 3), (c, 5)}
h : {(a, 3), (b, 1), (a, 1)}
k : {(a, 5), (b, 1), (c, 5)}
t: ∅
bağıntılardan hangisi veya hangilerinin bir fonksiyon olduklarını bulunuz.
Çözüm: Önce insanlarımızı ve otellerimizi tanıyalım. a, b, c adında üç insan ve 1, 3, 5 adında üç
otelimiz var. Amacımızı unutmayalım. Tüm insanların mutlaka bir otele yerleşmesi lazım ve 1 insanın 1’den fazla otele gitmediğini teyid etmeliyiz.
Buna göre; f bağıntısı fonksiyon değildir, çünkü c
insanı açıkta kalmış. g bağıntısında otele yerleşmeyen insan yok ama a insanı aynı anda hem 1
hem 3 oteline gitmiş, nasıl olmuşsa? Anlayacağınız g bağıntısı fonksiyon olma şansını yitirdi. h
bağıntısı da g bağıntısıyla aynı sorunu taşıyor, dolayısıyla aynı kaderi paylaşıyor, fonksiyon değildir. k bağıntısı, içlerinden fonksiyon olan tek bağıntıdır. ‘’Ama 3 oteline kimse gitmemiş ki?’’
demiyorsunuz değil mi? Otel boşta kalabilirdi,
unutmayın, insan boşta kalmayacak. t’nin fonksiyon olmasına ise bin şahit ister. Bul gel, olsun!
Yoksa olmaz. Fonksiyon tanımını tekrar okursanız
anlarsınız.
Her bağıntının fonksiyon olmadığını ama her
fonksiyonun temelde bir bağıntı olduğunu hatırlayınız. Bağıntıları şema ile de gösterebiliyorduk O
halde fonksiyonları da şemalandırabiliriz. Şimdi
de şemaları verilmiş bağıntıların hangisi veya
hangilerinin bir fonksiyon olduğunu bulmaya yönelik bir soru çözelim.
Örnek. Aşağıda şemaları verilen f, g, h, k bağıntılarından hangisi veya hangileri bir fonksiyondur?
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
x eksenini dik kesen farklı doğrular çizin. Yeterince çok olsun. Bu doğrular bağıntının grafiğini her
yerde sadece ve sadece tek bir yerde kesiyorsa bağıntı fonksiyondur. Bir kere bile olsa bir noktada
kesmiyorsa veya bir kere bile olsa 1’den fazla
noktada kesiyorsa, bağıntı kesinlikle fonksiyon
değildir.
Örnek. ’den ’ye f(x) = x + 2 diye tanımlanmış
bir bağıntı, fonksiyon belirtir mi?
Çözüm: x’in bir reel sayı olup, (x + 2)’nin de daima doğal sayı olduğunu göstermemiz lazım. Tabii
ki olabiliyorsa! Olamadığını çoktan anlamışsınızdır. Örneğin, –3 bir reel sayıdır ama f(–3) = –1
olduğundan ve –1 bir doğal sayı olmadığından f
bir fonksiyon değildir. –3 yerine tamsayıya eşit
olmayan bir kesirli ifade veya bir irrasyonel sayı
yazsaydık da bunlara karşılık bulamayacaktık.
Çözüm: Dört bağıntı da A’dan B’ye tanımlanmış.
O halde hepsinde a, b, c birer insan ve 1, 2, 3 birer
otel. Uzatmayalım. Fonksiyon olanlar f ve h’dır. g
fonksiyon değil çünkü b insanı hem 2, hem de 3
oteline gitmiş. k bağıntısında ise c insanı herhangi
bir otele gitmemiş.
Bağıntılar şema ile gösterildikleri gibi, bir de grafikleri çizilerek gösterilebilirlerdi. Fonksiyonlar da
öyle. Bir bağıntının elemanı olan sıralı ikiliyi koordinat düzleminde bir nokta gibi düşünür ve o
noktayı işaretlerdik. Kimi zaman noktalar yan yana gelerek, bir doğru veya doğru parçası görüntüsü meydana getirirdi. Şimdi biz de fonksiyon grafiğindeki doğru, doğru parçası veya eğriler üzerinde noktalar alarak bu noktaların apsislerinin insan,
ordinatlarının otel olduğunu düşüneceğiz. Liste
yöntemi veya şema ile verilen bağıntıların fonksiyon olup olmadıklarını incelerken ne yapıyorsak;
aynılarını burada da yapacağız.
Alıştırmalar 1
1.
f, ’den ’ye tanımlanan bir bağıntı olsun.
y = f(x) ise aşağıdakilerden hangisi fonksiyon
belirtmez?
A) y = 3x + 5
D) 2y – x = 2
Bir örnekle anlatmak istediklerimize açıklık getirelim.
B) y – |x| = 1
C) |y| = x – 3
2
E) y = x – 3x + 1
2.
f:
Örnek. Aşağıdaki grafiklere sahip
f:
f:
f:
, f(x) =
3x + 2
3
, f(x) = 4x – 1
, f(x) = x2 + 3
, f(x) = x – 2
f:
, f(x) = x + 1
bağıntılarından kaç tanesi fonksiyon belirtir?
’den ’ye tanımlı f, g, h bağıntılarından hangisi
veya hangileri bir fonksiyondur?
Çözüm: Eğriler üzerindeki herhangi bir noktanın
apsisinin insan, ordinatının otel olduğunu tekrar
hatırlatalım. Buna göre f ve g bağıntılarının grafikleri bize kendilerinin fonksiyon olmadıklarını anlatır. Çünkü f eğrisi üzerinde apsisi 0 olan iki farklı nokta, g eğrisi üzerinde de apsisi 0 olan 3 farklı
nokta var. Halbuki bu imkansız. Yorumumuz 0 insanının, birinde 2, diğerinde 3 otele gittiğini söylüyor. Fakat h bağıntısının grafiğinde böyle bir şeye rastlamıyoruz. Yani h eğrisi üzerinde, apsisi
aynı olup da ordinatı farklı olan iki nokta yok.
Bu incelemeyi şöyle yaparsak daha iyi olur:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
3.
A = {1, 2, 3} ve B = {2, 3, 4} iken f : A
B ise
aşağıdaki f bağıntılarından fonksiyon olmayan
hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
2
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2)}
f = {(1, 4), (2, 3), (3, 3)}
f = {(1, 4), (2, 4), (3, 3)}
f = {(1, 4), (2, 3), (2, 2)}
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
Örnek. f(x) =
Cevaplar. 1. C 2.C 3. E
x − 4 +1
12 − x + 9
fonksiyonunun en geniş
tanım aralığını bulunuz.
Çözüm: Yine ifadenin içinde kareköklü ifadeler
olduğundan, kök içlerini negatif yapmamalıyız,
ayrıca ifade kesirli olduğundan paydayı da sıfır
yapmaktan çekinmeliyiz. Başka görünen tehlike
yok.
Hem x – 4 ≥ 0 olması gerektiğinden x ≥ 4 olmalı,
hem de x + 9 ≥ 0 olması gerektiğinden x ≥ – 9 olmalı. O halde ikisini de birden sağlayan aralığı
almalıyız.
Diğer yandan x = 135 olursa payda sıfır olur. Bunun da tanım kümesinden atılması lazım. En geniş
tanım aralığı: [4, ∞) – {135}.
Tanım, görüntü, değer kümesi. f : A
B fonksiyonunda, A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine de fonksiyonun değer kümesi denir. A kümesindeki elemanların görüntülerinin
kümesine de görüntü kümesi denir ve f(A) ile
gösterilir.
f(A) ⊂ B olduğuna dikkat edilmelidir.
Örnek. A = {–1, 2, 3} olmak üzere f fonksiyonu
A’dan ’ye y = f(x) = x + 4 şeklinde tanımlanmış
olsun.
Tanım, görüntü ve değer kümesini bulunuz.
Çözüm: f : X Y notasyonunda X daima tanım, Y
de daima değer kümesidir. O halde sorumuzda tanım kümesi A, değer kümesi ’dir.
Görüntü kümesi f(A) demek olduğundan A’nın
elemanlarının teker teker f altındaki görüntülerini
bulmalıyız.
f(–1) = –1 + 4 = 3
f(2) = 2 + 4 = 6
f(3) = 3 + 4 = 7
olduğundan görüntü kümesi f(A) = {3, 6, 7}.
Alıştırmalar 2
1.
f(x) = x − 4 + 9 − x fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz.
A) (–4, ∞)
D) [–9, –4)
B) [4, ∞)
E) [4, 9]
C) (–∞, 9)
2.
2x +1
fonksiyonunun en geniş tanım
x3 − 9 x
aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Örnek. Yan şemada verilen f
fonksiyonunun tanım, görüntü ve
değer kümelerini belirterek, elemanlarını yazınız.
Çözüm: Tanım kümesinin A = {a, b, c} ve değer
kümesinin B = {1, 2, 3, 4} olduğunu hemen belirtelim. Görüntü kümesi ise f(A) = {2, 3}’tür.
f = {(a, 2), (b, 3), (c, 3)}.
f(x) =
A)
D)
B) – {0}
– {–3, 3, 0} E) ∅
C)
– {–3, 0}
3.
A = {x : x = 3n, n∈ } olarak veriliyor.
x
B fonksiyonu için f(x) = + 1 olduğuna
f:A
3
göre f(A) görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Örnek. f(x) = x − 6 + x + 1 fonksiyonunun en
geniş tanım aralığını yazınız.
Çözüm: En geniş tanım aralığı demek, tanım kümesinde f ’nin fonksiyon olmasını bozmayacak
tüm elemanların kümesi demektir. Hani bazı x’ler
için bu ifade reel sayılar kümesinde hesaplanamaz
ya, işte bu ifadeyi reel yapmayan sayıları, tanım
kümesine dahil etmeyeceğiz. Küpköklü ifade için
sorun yoktur, kareköklü ifadenin kök içi negatif
olmamalıdır.
x – 6 ≥ 0 ise x ≥ 6.
Dolayısıyla en geniş tanım aralığı: [6, ∞).
3
A)
B)
C)
D)
E)
3
3 ile tam bölünen tamsayılar kümesi
3’ün katı olan doğal sayılar kümesi
Doğal sayılar kümesi
Tamsayılar kümesi
Rasyonel sayılar kümesi
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
dıklarımı okuyun, fikriniz değişir. 5 mektubun 4
farklı posta kutusuna atılma sorusuyla, 5 insanın 4
farklı otelde kalabilme sorusu aslında aynıdır. Her
insanın bir otele yerleşmesi gerekirdi, burada da
her mektup mutlaka gönderilmeli. Diğer yandan
bir insan 1’den fazla otelde kalamazdı, bir mektup
da 1’den fazla posta kutusuna atılamaz. 1’den fazla insan 1 otelde kalabilirdi, 1’den fazla mektup da
1’den fazla posta kutusuna atılabilir. Şimdi, siz
söyleyin bakalım, bir fark var mı? Bu yüzden, sorumuzu A’dan B’ye yazılabilecek fonksiyon sayısı
gibi çözeceğiz. Cevap: 45.
Bu sorunun aynısı değişik formatlarda da sorulabilir.
Örneğin, ‘’5 kişi 6 farklı asansöre kaç farklı şekilde binebilir?’’ şeklindeki bir soru da aslında fonksiyon sayısı sorusudur. Cevabı da 65 olur.
Alıştırmalar 3
4.
3
f(x) =
x −4
fonksiyonunun en geniş tanım arax −1
lığı hangisidir?
A)
D)
– {64}
B)
E)
– {1}
– {–1}
C)
– {–1, 1}
5.
x − 2 + 4 2 − x reel sayısı kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Cevaplar. 1. E 2. D 3. D 4. C 5. B
Fonksiyon sayısı. f bağıntısı, A’dan B’ye tanımlanmış olsun. s(A) = m ve s(B) = n ise A’dan
B’ye yazılabilecek 2m⋅n tane bağıntının nm tanesi
fonksiyondur. E doğal olarak, 2m⋅n – nm tanesi
fonksiyon değildir.
Buna şöyle bir açıklama getirelim: m tane insan
ve n tane otel varmış. Her insanın n tane otel
seçeneği vardır. Dikkat edin, birisi bir otele gidince, diğer birisi de hala o otele gidebilir. Çarpım yoluyla sayma metodunu kullanırsanız,
toplam m⋅n tane yerleşimin mümkün olduğunu
anlarsınız.
1.
A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} olduğuna göre
A’dan B’ye tanımlanabilecek bağıntılardan kaç
tanesi fonksiyondur?
A) 15
B) 125
C) 243
D) 250
E) 215
2.
s(A) = 3 ve s(B) = 2 iken A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon olmayan kaç bağıntı vardır?
A) 50
Örnek. A = {x : –3 < x < 7, x∈ }
B = {x : |x| < 2, x∈ }
olduğuna göre A’dan B’ye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
Çözüm: A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ve B = {–
1, 0, 1} olduğundan s(A) = 9 ve s(B) = 3’tür. Dolayısıyla cevabımız 39 olmalıdır.
B) 55
C) 56
D) 58
E) 60
3.
4 mektup, 3 farklı posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?
A) 12
B) 24
C) 27
D) 64
E) 81
4.
Örnek. s(A) = 4 olduğu bilinen bir A kümesinden
s(B) = 3 olduğu bilinen bir B kümesine tanımlanan
tüm bağıntılardan kaç tanesi fonksiyon değildir?
Çözüm: A’dan B’ye yazılabilecek bağıntı sayısı
212 = 4096 olup, bunlardan sadece 34 = 81 tanesi
fonksiyondur.
Dolayısıyla fonksiyon olmayanların sayısı 4096 –
81 = 4015.
A kentinden B kentine otobüs, tren ve uçak ile gidilebildiğine göre, A’dan B’ye gitmek isteyen 5
kişi bunu kaç farklı şekilde gerçekleştirebilir?
A) 8
B) 15
C) 125
D) 243
E) 250
5.
A = {a, b, c, d} kümesi veriliyor.
A’dan A’ya tanımlanabilecek fonksiyonların
kaç tanesi a elemanını d elemanına bağlar?
Örnek. Gönderilmesi gereken 5 mektup, 4 farklı
posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?
Çözüm: Bu sorunun fonksiyon dersinde ne yeri
var demeyin. Diyorsanız bile bundan sonra yaz-
A) 3
4
B) 4
C) 16
D) 64
E) 256
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
Eşit fonksiyonlar. İki fonksiyonun eşit olması
şöyle tanımlanır:
6.
3 farklı asansörün bulunduğu bir apartmana giren
4 farklı kişi kaç değişik şekilde asansörle çıkmak istedikleri kata çıkabilirler?
A) 3
B) 4
C) 12
D) 64
f:A
B, f(x) = y ve g: A
B, g(x) = y olmak
üzere; ∀x∈A için f(x) = g(x) ise f ve g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir ve f = g ile
gösterilir.
Yani, herhangi bir tanım kümesi için aynı görüntü kümesini veren fonksiyonlar eşittir.
E) 81
7.
A = {a, b, c, d} kümesi veriliyor.
A’dan A’ya tanımlanabilecek fonksiyonların
kaç tanesi a elemanını d elemanına ve b elemanını c elemanına bağlar?
A) 3
B) 4
C) 16
D) 64
Örnek. A = {0, 1} ve B = {3, 4} kümeleriyle
f:A
B, f(x) = x + 3
g : A B, g(x) = x2 + 3
fonksiyonları veriliyor. f = g olup olmadığını gösteriniz.
Çözüm: x = 0 için f(0) = g(0) = 3 ve x = 1 için f(1)
= g(1) = 4 olduğundan f = g’dir. Hatta f = g = {(0,
3), (1, 4)}’tür.
Buradan kendimize çıkarmamız gereken ders şu:
İki fonksiyonun eşit olmaları için kurallarının aynı
olması gerekmiyormuş. Sadece tanım kümesinin
elemanlarını her iki fonksiyonda da x gördüğümüz
yere yazdığımızda çıkan değerler her ikisinde birbirine eşit oluyorsa (yani görüntü kümeleri de eşit
ise) fonksiyonlara eşit diyoruz.
E) 256
Cevaplar. 1 B 2 C 3 E 4 D 5 D 6 E 7 C
f(γ)’yı hesaplamak. Şimdiye kadar verdiğimiz örneklerde A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon için
A ve B sonlu kümelerini kullanmıştık. Şimdi sonsuz elemana sahip kümelerde işlemlere başlayacağız. Tabi böyle fonksiyonları liste yöntemi veya
şema ile göstermek bayağı bir zor olacak. Bunun
için başka bir gösterim arayışına gireceğiz.
Liste yöntemi ile
f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), … , (n, 2n), …}
şeklinde gösterilen bir fonksiyonun ne manaya
geldiğini daha önce öğrenmiştik. Hatta şemasını
da çizmiş ve 1’in 2’ye, 2’nin 4’e, 3’ün 6’ya, 4’ün
8’e, 5’in 10’a ve genel olarak n’nin 2n’ye gittiğini
bu şemada oklar yardımıyla göstermiştik. Bakın
ne kadar da uzun iş. Şimdi bu işi daha kısa bir şekilde halledeceğiz.
Madem f fonksiyonu kimi yakaladıysa 2 katına
götürüyor, herhangi bir x sayısını da 2x’e götürür
diyeceğiz. Bunu f(x) = 2x diye göstereceğiz. Az
Fonksiyonlarda işlemler.
f:A
,g:B
ve A∩B ≠ ∅ olmak üzere;
i. (f + g) : (A∩B)
ii. (f − g) : (A∩B)
iii. (f⋅g) : (A∩B)
, (f + g)(x) = f(x) + g(x)
, (f − g)(x) = f(x) − g(x)
, (f⋅g)(x) = f(x)⋅g(x)
iv. c∈ iken (c.f) : A
, (c⋅f)(x) = c⋅f(x)
v. g(x) ≠ 0 olmak üzere;
f
f
f ( x)
’dir.
( ) : (A∩B)
, ( )(x) =
g
g
g ( x)
kullanılmakla birlikte f : x
2x diye de gösterilebilir. Biz daha çok ilk notasyonu (gösterimi) kullanacağız. Hatta bize bu şekilde verilen bir f fonksiyonunda herhangi bir γ sayısı için f(γ ’yı, x gördüğümüz her yere γ yazarak hesaplayacağız.
Örnek. f :
, f(x) = x – 1 ve g :
2
= x – 1 fonksiyonları için;
i. (f + g)(x) = ?
ii. (3f – g)(x) = ?
iii. (f⋅g)(x) = ?
)
iv. ( f + 2 g )(3) = ?
Örneğin;
f(x) = 3x + 5 ise f(9) = 3⋅9 + 5 = 32
g(a) = 2a + 1 ise g(x + 1) = 2(x + 1) + 1
h(y) = y3 ise h(2n – 1) = (2n – 1)3
f(x) = max{2x – 1, x + 1} ise f(3) = 5
f(x, y) = x + y ise f(3, 8) = 3 + 8 = 11
2f −g
Çözüm:
i. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x – 1 + x2 – 1
= x2 + x – 2
ii. (3f – g)(x) = 3⋅f(x) – g(x)
= 3⋅(x – 1) – (x2 – 1)
= 3x – 3 – x2 + 1
5
, g(x)
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
= –x2 + 3x – 2
iii. (f⋅g)(x) = f(x)⋅g(x) = (x – 1)⋅(x2 – 1)
= x3 – x2 – x + 1
f (3) + 2 g (3)
iv. ( f + 2 g )(3) =
2 f (3) − g (3)
2f −g
2 + 2 ⋅ 8 18
=
=
2⋅2 −8 − 4
3.
f(2x – 1) = 4x – 11 ise f(x) kaçtır?
A) 4x – 1
D) 2x + 9
2
, f(x, y) = max {x2 + 1, y}
, g(x, y) = min {x2 – 1, 2y}
g: 2
olduğuna göre f(–2, 3) + 2⋅g(2, –5) = ?
Çözüm: max{a, b} işlemi a ile b’den hangisi büyük ise onu cevap olarak alır, min{a, b} işlemi de
a ile b’den küçük olanı cevap olarak alır.
f(–2, 3) = max{(–2)2 + 1, 3} = max{4, 5} = 5
g(2, –5) = min{22 – 1, 2⋅(–5)}= min{3, –10} = –10
olduğundan f(–2, 3) + 2⋅g(2, –5) = –15.
C) 2x – 9
4.
Örnek.
f:
B) 2x – 11
E) 2x – 10
f(x + 1) =
x – 2 ise f(10) kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
5.
f(x2 + x) = x2 + x + 2 ise f(1) kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
6.
f(x) = max {x + 2, 3x – 1}
g(x) = min {2x – 1, x + 3}
olduğuna göre f(g(2)) kaçtır?
Örnek. f(x + 3) = 2x2 – 5 ise f(2x – 1) nedir?
Çözüm: Bize verilen fonksiyon kuralında parantez içini (2x – 1)’e çevirmeliyiz.
A) 5
x + 3 2x – 1 dolayısıyla x 2x – 4
işlemlerini yaparsak; x yerine 2x – 4 yazarsak
emelimize ulaşacağımızı anlarız.
f(2x – 1) = 2⋅(2x – 4)2 – 5 = 8x2 – 32x + 27
f(m2 – m) = 2m2 – 2m + 1 ise f(7) kaçtır?
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
7.
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
8.
Örnek. f(x2 + x + 1) = 2x2 + 2x ise f(1) kaçtır?
Çözüm: f(1)’i bulmak için parantez içini 1 yapmalıyız. Bunun için de (x2 + x) görülen yerlere 0
yazmamız gerektiği anlaşılıyor. Buradan f(1) = 0
olarak bulunur.
Aslında şöyle de düşünülebilir: f fonksiyonu parantez içine ne yazılırsa, ondan 1 çıkartıp sonra
onu 2 ile çarpıyormuş, o halde f(1) = 0.
f(x) = x − 16 fonksiyonu
x+8
– {8} ‘de tanımlanan
bir fonksiyondur.
f fonksiyonunun grafiği üzerinde apsisi ve ordinatı tamsayı olan kaç farklı nokta vardır?
A) 4
B) 9
C) 12
D) 16
E) 24
9.
(f + g)(x) = x2 – x + 1 ve f(x) = 3x + 2 ise g(3) kaçtır?
Alıştırmalar 4
1.
A) –4
B) –3
C) 2
D) 3
E) 4
f(x) = xx + x2 – 2x – 1 ise f(–2) kaçtır?
10.
A) –2
2.
B) 0
C) 2
D) 3
f(x) = 2x2 + 4 ve g(x) = x – 1 için (2f – g)(1) = ?
E) 5
A) –6
x
f(x + 2) = 2 + x – 2 ise f(3) kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
6
B) –3
C) 3
D) 6
E) 12
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
nın tanım kümesinde olmaması lazım. Halbuki her
tamsayının 4 fazlası da bir tamsayıdır. Dolayısıyla
f örtendir.
11.
,
f :{1, 2, 3, 4, 5}
x +1
fonksiyonunun görüntü kümesinde
f(x) =
2
kaç tane tamsayı vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Uyarı. x eksenine paralel çizilen
doğrular, fonksiyon grafiğini her
yerde en az 1 kere kesiyorsa f örtendir.
E) 5
12.
İçine fonksiyon. f : A
B fonksiyonunda görüntü kümesi ile değer kümesi eşit değilse f içinedir. f(A) ≠ B ise yani.
Kısacası, örten olmayan fonksiyona içine denir.
f(2x – 1) = 6x – 1 ve f(3k + 1) = 23 ise k kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
13.
, f(x) = x – 4 fonksiyonunun içine
Örnek. f :
olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm: f ’nin içine olduğunu kanıtlamak için en
az 1 otelin boşta kaldığını göstermek yeter. En küçük doğal sayı 0 olduğu için –4’ten küçük oteller
daima boşta kalır. Bundan dolayı f içinedir.
f : A B, f(x) = 3x – 1 ve B = [5, 14) ise A kümesini bulunuz.
A) [2, 5)
D) [2, 5]
B) (2, 5]
E) (1, 6)
C) (2, 5)
14.
Uyarı. x eksenine paralel çizilen
doğruların fonksiyon grafiğini kesmediği en az 1 nokta varsa f içinedir.
x = 2t + 1 ve y = t + 5 parametrik denklemi ile verilen y = f(x) fonksiyonunda f(1) kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Birebir (1-1) fonksiyon. f : A
B fonksiyonunda A’daki her eleman B’de farklı bir eleman
ile eşleşmişse f birebirdir.
Diğer bir deyişle, tanım kümesindeki tüm elemanlar birbiriyle küs ise, dolayısıyla iki veya
daha çok insan 1 otelde kalmıyorsa, f birebirdir.
15.
f(x) = ax + b olmak üzere; f(3) = 9 ve f(2) = 5 olmak üzere a⋅b çarpımı kaçtır?
A) –12
B) –10
C) –8
D) –7
E) –6
Örnek. f :
, f(x) = x – 4 fonksiyonunun birebir olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm: f ’nin 1-1 olması için her farklı insanın
farklı bir otele gitmesi lazım. Yani iki farklı insanın gittiği otel aynı olmayacak. İki farklı tamsayının 4 eksikleri de farklı tamsayılar olacağından f
birebirdir.
Cevaplar. 1 D 2 B 3 C 4 B 5 D 6 D 7 E 8
D 9 A 10 E 11 C 12 A 13 A 14 B 15 A
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
Örten fonksiyon. f : A
B fonksiyonunda değer kümesi ile görüntü kümesi eşit ise f fonksiyonu örtendir. f(A) = B ise yani.
Diğer bir deyişle, bir tane bile boş otel kalmıyorsa, f örtendir.
Uyarı. x eksenine çizilen paralel
doğrular, fonksiyon grafiğini her
yerde ama her yerde sadece tek 1
kere kesiyorsa, f birebirdir. Örneğin, içine fonksiyona verdiğim grafik örneği 1-1
değildir.
Örnek. f :
, f(x) = x – 4 fonksiyonunun örten
olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm: f ’nin örten fonksiyon olmaması için değer kümesinde en az 1 tane otel boşta kalmalı. İnsanların ve otellerin birer tamsayı olduğunu unutmayın. Her sayı 4 eksiği ile eşleştiğine göre değer
kümesinde boşta bir eleman olması için 4 fazlası
Bir f fonksiyonu hem birebir hem örtense f ’ye birebir ve örten, hem birebir hem içineyse f ’ye birebir ve içine fonksiyon denir.
Bu isimleri çok aramışa benziyorlar. ☺
7
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
Alıştırmalar 5
Birim (Özdeş, Etkisiz) fonksiyon. f : A
B
fonksiyonunda her x için f(x) = x oluyorsa f birim fonksiyondur.
Anlayacağınız herkesin kendi oteli var ve herkes kendi oteline gidiyor.
Bu fonksiyon I ile gösterilir
5.1
Aşağıda grafikleri verilen f, g, h, t
Örnek. f(x) = (a – 2)x + b – 3 birim fonksiyonu ise
a⋅b çarpımı kaçtır?
Çözüm: f(x) = (a – 2)x + b – 3 = x olmalı. İki
fonksiyon birbirine eşit iken aynı dereceli terimlerinin katsayılarının da aynı olması gerektiğini
söylemiştik. a – 2 = 1 ve b – 3 = 0 olduğundan a =
3 ve b = 3 bulunur, dolayısıyla a⋅b = 9’dur.
Uyarı. Birim fonksiyonun grafiği y = x doğrusunun grafiği yani birinci açıortay doğrusu dediğimiz doğrudur.
fonksiyonlarının hangileri örten, hangileri içine,
hangileri birebirdir?
5.2
Aşağıda şemaları verilen f, g, h
Sabit fonksiyon. c∈ olmak üzere, her x için
f(x) = c oluyorsa, f sabit fonksiyondur.
Yani, x’den bağımsız olan fonksiyona sabit
fonksiyon denir. Otellerin biri deniz görüyor
diye, her insanın o otele gittiğini düşünüyoruz.
fonksiyonlarının hangileri örten, hangileri içine,
hangileri birebirdir?
Örnek. f(x) = (a – 2)x + 3 sabit fonksiyon ise a +
f(a) toplamı kaçtır?
Çözüm: Sabit fonksiyonun x’den bağımsız olduğunu söylemiştik. O halde x’li terimin katsayısını
0’a eşitleyerek yokmuş gibi davranmasını sağlayacağız.
a – 2 = 0 ise a = 2 olur.
a + f(a) = 2 + f(2) = 2 + 3 = 5.
5.3
f:
g:
h:
, f(x) = 3x – 1
, g(x) = x2
, h(x) = x + 2
k : [2, ∞)
, k(x) = x – 5
[2, ∞), t(x) = x2 + 2
t:
kurallarına sahip f, g, h, k, t, n fonksiyonlarının
hangileri örten, hangileri içine, hangileri birebirdir?
Uyarı. Sabit fonksiyonun grafiği, (y = 3 doğrusu
gibi) x eksenine paralel bir doğrudur.
Sıfır fonksiyonu. Her x reel sayısı için 0’a eşit
olan fonksiyonlara sıfır fonksiyonu denir.
Sabit fonksiyonda c = 0 olduğunu düşünün.
5.4
f:
, f(x) = (a – 2)x + 3 fonksiyonu sabit
fonksiyon ise a kaç olmalıdır?
Örnek. f(x) = (a – 2)x2 + (b – 3)x + c + 4 sıfır
fonksiyonu ise a + f(b) + 2c kaçtır?
Çözüm: Sıfır fonksiyonunda tüm terimlerin katsayılarını ve hatta sabit terimi dahi 0’a eşitliyoruz.
a – 2 = 0, b – 3 = 0 ve c + 4 = 0 olduğundan a = 2,
b = 3, f(b) = f(3) = 0 ve c = – 4’tür.
a + f(b) + 2c = 2 + (–8) = – 6.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
5.5
f:
– {2}
, f(x) =
ax + 3
fonksiyonu sabit
x−2
fonksiyon ise a kaçtır?
Uyarı. Sıfır fonksiyonu, y = 0 demek olduğundan
sabit fonksiyonun grafiği x eksenidir.
A)
8
−2
3
B)
−3
2
C) –3
D) 2
E) –6
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
5.6
5.13
, f(x) = (3 – a)x + 2 fonksiyonu sabit
f:
fonksiyon ise a + f(a) kaçtır?
f(x) = (a + 3)x + 1 sabit fonksiyon, g(x) = x – 4a +
2b birim fonksiyon ise a⋅b çarpımı kaçtır?
A) 3
A) –18
B) 4
C) 5
D) 6
E) 2
C) 6
D) 10
E) 18
5.14
5.7
f :
B) –12
f(x) = (a – b)x + a – 2b birim fonksiyon ve
2
, f(x) = ax 2 + bx + 3 fonksiyonu sabit
g(x) = a − 3 x sabit fonksiyon ise a + b + c kaçtır?
3x − 2 x + 1
x−c
fonksiyon ise a + b + f(123) toplamı kaçtır?
A) −3
B) 0
C) 3
D) 6
E) 9
5.8
2
3
B)
C)
4
3
D)
7
3
E)
11
3
5.15
, f(x) = (a – 3)x2 + (b + 2)x + c – 4 birim
f:
fonksiyon ise a – b + c kaçtır?
1
3
A)
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
f:
– {1}
,
ax + 2
f(x) =
fonksiyonu sabit fonksiyon ise
x −1
f(2) + f(3) +… + f(12) toplamı kaçtır?
E) 4
5.9
A) –20
B) –22
C) 20
D) 22
E) 24
2
f(x) = x y − y − 2 fonksiyonu özdeş fonksiyon ise
y’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
5.16
f(x) = (a + 2)x2 + (b – 3)x + c – 2 fonksiyonu sıfır
fonksiyonu ise a⋅b⋅c çarpımı kaçtır?
E) 2
A) –16
5.10
E) 12
x+4
olması için a kaç olmalıdır?
C) 0
D) 6
f(x) = 4ax + 16 − x sabit fonksiyon ise a + f(a) top-
x+a
B) –2
C) –6
5.17
2
f(x) = x + 3 x fonksiyonunun etkisiz fonksiyon
A) –3
B) –12
lamı kaçtır?
D) 2
E) 3
A)
13
4
B)
15
4
C)
17
4
D)
19
4
E)
21
4
5.11
f:
dir?
Cevaplar. 5.1 Örten(g, t), İçine(f, h), Birebir(t)
5.2 Örten(g). İçine(f, h), Birebir(g) 5.3 Örten(f, t),
İçine(g, h, k), Birebir(f, h, k) 5.4 C 5.5 B 5.6 C
5.7 D 5.8 A 5.9 D 5.10 E 5.11 C 5.12 C 5.13 E
5.14 E 5.15 B 5.16 B 5.17 E
iken aşağıdakilerden hangisi birebir-
A) f(x) = |x|
D) h(x) = x2 + 1
B) g(x) = x2
E) x
C) m(x) = 3x
Fonksiyonun tersi nedir, nasıl bulunur?
f:A
B, y = f(x) birebir
ve örten fonksiyon iken y =
f(x) fonksiyonunun tersi;
5.12
, f(x) = 6 x 2 + mx + 10 fonksiyonu sabit
2
f:
ax + 2 x − 5
f -1: B A, x = f -1(y)
f(x) = y ↔ f -1(y) = x
(x, y)∈f ↔ (y, x)∈f -1
fonksiyon ise m⋅a çarpımı kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
9
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
Buradan anlamamız gereken şudur: f -1, f ne yapıyorsa tersini yapıyor. Yani f, x’i y’ye götürüyorsa,
f -1, y’yi x’e götürüyordur. O halde f -1’nin tersini
yapan bir fonksiyon varsa, o da x’i y’ye götürecektir yani f ile aynı davranacaktır. Buradan (f -1)-1 = f
eşitliğine ulaşırız.
Bu duruma örneklerin bulunduğu soldaki tabloyu
mutlaka inceleyiniz. Anla2x + 5
madığınız yerler olursa mutx +1
–4x – 1 laka sorunuz.
−4
Peki bu son tablo ile birlikte
tüm fonksiyonların terslerini
3x + 1
8x − 1
alabilmeyi öğrendik mi? Ta8
3
bii
ki hayır! Yukardaki örx2 + 5
x−5
neklerin tamamında fonksi7
yonda tek bir tane x görünü(x – 3)7
x +3
yordu. x2 + 6x + 1 gibi 1’den
fazla x bulunduran fonksiyonların terslerini yukarda yaptığımız gibi alamayız. Öğrettiğimiz bu yol,
içinde sadece 1 tane x bulunan (görünen desek daha doğru olur) fonksiyonlar için geçerliydi. O halde böyle fonksiyonları da tek x görünür hale yani
tamkareye çevirmeliyiz.
f(x)
Örnek. f :
, f(x) = x + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm: f fonksiyonu tüm x’leri (x + 1)’e götürüyorsa f -1 fonksiyonu da (x + 1)’leri x’e götürür.
Yani f -1 yakaladığını 1 eksiğine götürüyor. O halde x’leri de (x – 1)’e götürür. Bu yüzden bu durumu f -1(x) = x – 1 şeklinde yazabiliriz.
Şimdi yukardaki çözümü analiz edelim.
f(x) = x + 1 iken f -1(x) = x – 1 bulduk. Yani yine f 1
yapacağını yapmış, f ne yapmışsa tersini yapmış.
Biz bu durumu genelleyeceğiz.
f fonksiyonu x’e ne yapmışsa, f -1 fonksiyonu da
x’e tersini yapar. Burada tersten kastımız da şudur:
f, x’e ekleme yaptıysa, f -1 çıkartma yapar. Çarpma
yaptıysa bölme yapar. Karesini aldıysa karekökünü alır gibi…
x2 + 6x + 1 = x2 + 6x + 9 – 8 = (x + 3)2 – 8
olduğundan f(x) = x2 + 6x + 1 fonksiyonunun tersi
f -1(x) = x + 8 − 3 olabilir.
ax + b
Peki fonksiyon, f(x) =
şeklinde olsa ne
cx + d
yapacaktık? Hadi bakalım, şimdi n’olcak? Merak
etmeyin, buna da bir cevabımız elbet olacak!
f -1(x)
x
–x
x–2
x+5
x
3
Bu duruma soldaki tablodaki
gibi bir liste yapabiliriz. Fakat
bu tabloda x’e hep tek bir işlem
uygulanmış… Eğer 1’den fazla
işleme tabi tutulmuşsa, yine tersini yapacak ama hangisinden
3x
başlayarak tersini yapacak?
Şimdi bu duruma bir açıklık gex
– 4x tireyim.
−4
f(x) = 3x + 1 ise yani f fonksix2
yonu x’i önce 3 ile çarpmış,
x
sonra 1 eklemiş. Acaba şimdi f 5
x5
x
1
önce 3’e bölüp sonra 1 mi çıkartacak? Yoksa önce 1 çıkartıp, sonra da 3’e mi
bölecek? Ben buna şöyle bir örnek veriyorum:
f, x’i Adana’dan alıp İstanbul’a götürmüş ama bunu yaparken mecburen Ankara’dan geçmişler.
Adana’dan Ankara’ya gitmeyi 3 ile çarpmak, Ankara’dan İstanbul’a gitmeyi de 1 çıkartmak gibi
düşünün. Şimdi f -1 fonksiyonu x’i İstanbul’dan
Adana’ya getirecek. O da önce Ankara’ya getirmek zorunda. O halde Ankara’dan İstanbul’a getirmenin tersini yapacak. Yani 1 çıkartmayacak da
1 ekleyecek. Sonra da 3’e bölecek. Uzun lafın kısası, f -1 fonksiyonu f fonksiyonunun yaptıklarının
tersini yapar, hem de bunu ters sırada yapar. En
son yaptığı işlemin tersini en başta yapar yani.
f(x)
x
–x
x+2
x–5
f -1(x)
x−5
2
Şimdi, sizle bir oyun oynayalım. Hani iki farklı
tablo yapmıştık fonksiyonların terslerini bulmaya
dair. O tablolarda sağ sütundaki fonksiyonlardan
herhangi birini seçip, onu soldaki eşinde x gördüğünüz yere yazın. Yani soldaki fonksiyondaki x’i
atın, onun yerine sağ eşindeki fonksiyonu yazın.
Lütfen okumayı bırakın ve bu işlemi yapın.
N’oluyor bir bakın bakalım… x çıktı değil mi?
İşin garip tarafı, hangisini seçersek seçelim sonuçta x çıkıyor.
O zaman şu yorumu yapmamızda hiç mi hiç sakınca yok:
Bir fonksiyonun tersi, o fonksiyonda x yerine yazılınca fonksiyonu x’e, yani ilk haline dönüştüren
değerdir. Her fonksiyonun anasının karnında x olduğunu ve hayatın onları (3x)’e (5x + 1)’e çevirdiğini düşünüyoruz. Biri geliyor ve tüm yaşadıklarını siliyor. İşte o birine, kendisinin tersi diyoruz.
ax + b
fonksiyonun tersiBu bakış açısıyla f(x) =
cx + d
ni bulalım. Bu fonksiyonun tersine t diyelim. t
gerçekten f’nin tersiyse; t’yi x yerine yazdığımızda, ifade x’e dönüşmeli.
10
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
at + b
= x → at + b = xct + xd
ct + d
→ at – xct = xd – b
→ t(a – xc) = xd – b
xd − b − dx + b
→ t = f -1(x) =
=
a − cx
cx − a
f
-1
’nin tanım kümesi f ’nin değer kümesi olduax + b
ğundan; f(x) =
fonksiyonunun tersinin alıcx + d
−d
a
nabilmesi için – {
}
– { } olarak tac
c
nımlanmalıdır.
Buradan çıkan sonucu, aklımızda kolay tutabilmek
amacıyla şöyle anlatalım:
ax + b
f(x) =
fonksiyonunda a ile d’nin yer ve
cx + d
işaret değiştirmesi f -1’ni verir.
a ile d mutlak değerce eşit ama ters işaretlilerse
yani a = – d ise f = f -1 olacağına dikkat ediniz.
Alıştırmalar 6
Aşağıdaki soruların tamamı uygun koşullar altında
sorulmuştur.
1.
f(x) = –3x +2 ise f -1(x) kuralı nedir?
A) x − 2 B) 3x – 2
Şimdi bir fonksiyonun tersinin ne manaya geldiğini az çok anlamış bulunduğunuzdan neden fonksiyonların terslerinin alınabilmeleri için birebir ve
örten olmaları gerektiğini yorumlayalım. Birebir
olmak ne demekti? Önce onu hatırlayalım: 1’den
fazla insan 1 otele gitmeyecekti. Bir an için gittiğini düşünün. Mesela, f fonksiyonu A kümesindeki
1 ve 2 elemanlarını, B kümesindeki 3 elemanına
götürmüş olsun. Bu f fonksiyonun tersi f’nin yaptığının tersini yapmayacak mı? Yapacak! Peki,
3’ü, geri 1’e mi yoksa 2’ye mi götürecek? İkisine
birden götüremez, çünkü f’nin tersine göre 3 bir
insan, 1 ve 2 birer oteldir. Bundan dolayı bu imkansızdır. Birebir olması gerekliliğini inat etmiyorsanız anlamış olmanız lazım. Peki neden örten
olmalı? Sebebi aynı. Bir an için örten olmadığını
düşünün. Yani f ’ye göre, boşta otel olsun. E f ’ye
göre otel olan şey, f ’nin tersine göre insan değil
mi? Boştaki otel boştaki insan manasına gelir ki, o
zaman da f ’nin tersi fonksiyon olamaz. Umarım
anlamışsınızdır.
3
C) 2 − x D) x + 2 E) − x − 2
3
3
3
2.
f(x) = 2 x − 3 ise f -1(x) kuralı nedir?
3x − 7
2x + 3
3x + 7
2x − 3
D)
3x − 7
7x − 3
3x + 2
3x − 3
E)
2x − 7
A)
B)
C)
7x − 3
3x − 2
3.
f(x + 2) = 3x – 5 ise f -1(x) kuralı nedir?
A) x + 5 B) x – 2
3
C)
x+7
3
D)
x + 11
3
E)
x − 11
3
4.
f(x) = 3 + 21−x ise f -1(67) kaçtır?
A) –6
ax + b
fonksiyonunun tersinin alıcx + d
nabilmesi için şu şartlar sağlanmalı:
Birincisi; f fonksiyonunun tanım kümesi
–
−d
−d
{
} olmalı, aksi takdirde
insanı gidecek
c
c
otel bulamaz.
− dx + b
İkincisi; f -1(x) =
olduğundan f -1’in tacx − a
a
nım kümesi de – { } olmalı (aynı sebepten).
c
B) –5
C) –4
D) 3
E) 7
O halde; f(x) =
5.
y = 2 x – 1 fonksiyonunun tersinin kuralı ne3
dir?
A) 2 x + 1
3
D) 3 x + 1
2
11
2
B) 3 x + 3
2
2
2
1
E) x +
3
2
C) 3 x − 1
2
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
6.
14.
f(x) = x2 + 2x ise f -1(x) hangisi olabilir?
A) x2 – 2x
D)
B) x − 2
x
2
7.
f(x) = 3x+1 + x + 1 ise f(0) + f -1(4) toplamı kaçtır?
C) x − 2
A) 0
E) x + 1 − 1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
15.
2
f(
-1
f(x) = x – 4x – 1 ise f (x) ne olabilir?
x
A)
+1
4
D) x + 2 − 5
x +1
B)
4
E) 2 x
A) 342
C) x + 5 + 2
C) –2
C) 4
D) 19
8
E) 10
7
 2x − 1
, x ≥1

ise f -1(–3) kaçtır?
f(x) =  x + 1
x

,
x <1
 3
f(x) = x2 + 4x + 7 ise f -1(7) kaç olabilir?
B) –3
B) 7
16.
8.
A) –4
x+2
) = x – 1 ise f -1(7) kaçtır?
x −1
D) –2 2
E) –3 2
A) –9
B) –1
C) 1
D) 3
E) 9
9.
f(x) = x2 – 4x + 5 ise f -1(x) ne olabilir?
17.
A) x + 1
B) x + 2 − 1
x=
D) x − 2
E) x − 1 − 2
C) x − 1 + 2
2 f ( x)
olduğuna göre f -1(–3) kaçtır?
3 f ( x) + 1
A) 0,5
B) 0,75
C) 1
D) 2
E) 3
10.
18.
−x
-1
+ 1 ise f (x) kuralı nedir?
2
2
x
−x
B)
C) 2 – x2
A) 2 –
+1
4
2
D) –2x2 + 2
E) 3 – x2
f(x) =
f(x) = 2 x − 3 için f(x) = f -1(x) ise a kaçtır?
x+a
A) –3
f(x) = 2x+1 – 1 ve f -1(2k + 1) = 3 ise k kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
f:A
f(x2 – x + 1) = x – 2 ise f -1(1) kaçtır?
B) 3
C) 5
D) 7
E) 11
f(x) = x2 – 3x – 1 ise f -1(3)’ün alabileceği değerler nelerdir?
C){4} D){–1}
E) 3
B, f(x) = y ve g : B
C, g(y) = z ise
g○f:A
C, (g ○ f)(x) = g(f(x)) = z kuralı ile tanımlı fonksiyona f ile g’nin bileşke fonksiyonu
denir.
‘’g bileşke f ’’ diye okunur.
13.
A){–4, 1} B){–1, 4}
D) 2
Fonksiyonlarda bileşke işlemi. A, B, C boş olmayan birer küme olmak üzere;
12.
A) 2
C) –1
Cevaplar. 6.1 C 6.2 C 6.3 D 6.4 B 6.5 B 6.6 E
6.7 C 6.8 A 6.9 C 6.10 D 6.11 E 6.12 D 6.13 B
6.14 E 6.15 E 6.16 A 6.17 B 6.18 B
11.
A) 3
B) –2
E){–4}
12
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
İkincisi, fonksiyonlardan biri diğerinin tersi oldux−d
ğu an. Yani; ax + b =
olduğunda. Bu duc
1
−d
rumda a = ve b =
olmalıdır.
c
c
Üçüncüsü ise f(g(x)) = g(f(x)) olduğu an. Yani;
a(cx + d) + b = c(ax + b) + d olmalı ki buradan da
a −1 b
= bulunur.
c −1 d
Yani; A’dan B’ye f fonksiyonunu ve B’den C’ye
de g fonksiyonunu kullanarak, A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona (g ○ f) fonksiyonu denir.
Örnek. f :
, f(x) = 2x + 5 ve g :
g(x) = 3x + 1 için
a. (f ○ g)(x) kuralı nedir?
b. (g ○ f)(x) kuralı nedir?
c. (f -1 ○ g)(x) kuralı nedir?
d. (f ○ g-1)(x) kuralı nedir?
e. (f -1 ○ g-1)(x) kuralı nedir?
Çözüm:
a. (f ○ g)(x) = f(g(x)) = 2⋅(3x + 1) + 5
= 6x + 7
b. (g ○ f)(x) = g(f(x)) = 3⋅(2x + 5) + 1
= 6x + 16
c. (f -1○ g)(x) = f -1(g(x))
(3 x + 1) − 5 3 x − 4
=
=
2
2
-1
-1
d. (f ○ g )(x) = f(g (x))
x −1
2 x + 13
)+5=
= 2(
3
3
-1
-1
-1 -1
e. (f ○ g )(x) = (f (g (x))
x −1
−5
x − 16
3
=
=
2
6
,
Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır. Yani f
○ g ○ h = f ○ (g ○ h) = (f ○ g) ○ h eşitliğinden
sözedebiliriz. İşlem de
(f ○ g ○ h)(x) = f[(g ○ h)(x)] = f[g(h(x))]
şeklinde yapılır.
Örnek. f(x) = 2x, g(x) = x – 1, h(x) = x2 fonksiyonları için (f ○ g ○ h)(x) kuralını bulunuz.
Çözüm: (f ○ g ○ h)(x) = f[(g ○ h)(x)] olduğundan
önce (g ○ h)(x) fonksiyonunun kuralını bulmalıyız. (g ○ h)(x) = g(h(x)) = x2 – 1 olur.
f[(g ○ h)(x)] = f(x2 – 1) = 2x2 – 2.
Bileşke işleminin etkisiz (birim) elemanı f(x) = x
birim fonksiyonudur.
f:A
A,
f○I=I○f=f
Bir A kümesinde tanımlı f fonksiyonu için, f : A
A, f(x) fonksiyonu ile I birim fonksiyonunun bileşkesi
(f ○ I)(x) = f(I(x)) = f(x) ve
(I ○ f)(x) = I(f(x)) = f(x)
olduğu görülmektedir.
Şimdi bu çözümler üzerine bir iki laflayalım. Çıkacak ilk sonuç şu olabilir: (f ○ g)(x) ile (g ○ f)(x)
farklı şeylerdir. Tabii ki, ‘’töbe eşit olamazlar’’
manasında demedik bunu. Eşit oldukları durumları
ilerde inceleyeceğiz.
İkinci bir sonuç da (f -1 ○ g-1)(x) = (g ○ f)-1(x) çıkması. Bu bir şans değildi. De Morgan’ın bileşke
fonksiyonlar için bulduğu bu eşitliği bilmekte fayda vardır:
(x ○ y)-1 = y-1 ○ x-1
Alıştırmalar 7
1.
f(x) = {(1, 3), (2, 5), (3, 3), (4, 5)}
g(x) = {(1, 0), (2, 3), (3, 3), (4, 6), (5, 7)}
olduğuna göre (f ○ g)(3) + (g ○ f)(2) toplamı
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Örnek. f(x) = ax + b ve g(x) = cx + d iken
(f ○ g)(x) = (g ○ f)(x)
ise a, b, c, d arasında olması gereken bağıntıları
yazınız.
Çözüm: Bu eşitlik üç farklı durumda mümkündür.
Birincisi, her iki fonksiyon da eşit olduğu an yani
a = c ve b = d olmalıdır.
A) –10
B) –5
C) 0
D) 5
E) 10
2.
f(x) = 2x + 5 ise (f ○ f)(x + 1) kuralı nedir?
A) 2x + 6
D) 4x + 7
13
B) 2x + 7
E) 4x + 19
C) 4x + 6
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
3.
10.
f(x) = x + 1 ve g(x) = x2 – 1 iken a ≠ b olmak üzere
(g ○ f)(a) = (f ○ g)(b) ise b2 değeri a cinsinden
nedir?
5x + 1
f(x) =
ise (f -1○ f ○ f -1) fonksiyonunun kux−2
ralı nedir?
2x − 1
x−5
2x + 1
E)
x−5
A) 2 x − 1
C) x + 1
B)
5− x
2
D) x + 1
5− x
A) a
x−5
B) a – 2
C) a + 2
D) 2
E) a2 + 2a
11.
f(x) = x + 1 ve g(x) = 32x−1 ise (f ○ g)(1) kaçtır?
4.
A) 1
3 x + 5, x ≥ 2
ise (f ○ f)(–2) kaçtır?
− x + 1 x < 2
f(x) = 
A) –2
B) 3
C) 14
D) –1
E) –14
A) x3 – 1
D) x18 + 1
B) 216⋅x C) 224⋅x
D) 232⋅x
D) 4
E) 6
f(x) = x3 – 3x2 + 3x ve g(x) = x3 + 1 ise (f ○ g)(x2)
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
f:
, f(x) = 8x ise
(f ○ f ○ f ○ f ○ f ○ f ○ f ○ f)(x) neye eşittir?
A) 28⋅x
C) 3
12.
5.
B) 2
B) x2 + 1
E) x18
C) x18 – 1
13.
E) 240⋅x
f(x) = 1 – 2x ve (g ○ f -1)-1(x) = 2x + 3 ise g(0) kaçtır?
6.
A) –2
f(x) = 2x + 5, g(x) = 3x – 1 ise (f ○ g) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
14.
A) 6x + 3
D) 6x + 4
B) 6x + 2
E) 6x + 6
h(x) = 2x – 3, (f ○ g-1 ○ h)(x) = 2x ise (g ○ f -1)(2)
kaçtır?
C) 6x
7.
A) –1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
f(x) = 3x – 2, g(x) = 4x + 5 ise (g ○ f)(7) kaçtır ?
15.
A) 80
B) 81
C) 82
D) 83
E) 84
g(x – 1) = 2x + 3 ve (g ○ f)(x) = 3⋅g(x) ise f(2)
kaçtır?
8.
A) 5
B) 7
C) 8
D) 9
E) 11
g(x) = 2x – 2 ve (g ○ f)(x) = 2x – 4 iken f(x)’in
kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
16.
A) x – 1
D) 2x – 1
B) x + 1
E) 2x + 1
C) – x – 1
f(x) = 2x ve g(x) = 4x iken (f ○ g)(x)⋅(g ○ f)(x) =
32 ise x kaçtır?
9.
g(x) = 2x + 1 ve (g ○ f)(x) = x – 1 iken f(4) kaçtır?
A)
A) –2
17.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
2
5
B)
3
2
C)
3
5
D)
4
3
E)
2
3
(f ○ f)(x) = 9x + 2 ise f(x)’in alabileceği değerleri
bulunuz.
A) –3x – 1
D) –3x – 3
14
B) 3x – 3
E) –3x + 1
C) 3x
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
18.
26.
g(x) = x2 – 4x + 3 ve (f ○ g)(x) = 2x2 – 8x – 10 ise
f(8) kaçtır?
3x
(f ○ g)(x) = (g ○ f)(x) ve 2f(x) – g-1(x) =
ise
2x + 5
g(2) kaç olabilir?
A) –10
B) –5
C) 10
D) 5
A) 0
B) 1
C) 23
D) 35
E) 42
E) 2
27.
19.
(f ○ f)(x) = 4x + 9 ise f(x)’in alabileceği değerleri
bulunuz.
-1
f = {(–2, 5), (–3, 4), (5, –2)} iken f(–2) + f (4) +
(f ○ f)( –2) toplamı kaçtır?
A) –3
B) 0
C) 4
D) 5
A) –2x + 3
D) –2x – 9
E) 10
B) 2x – 3
E) –2x + 7
C) 2x + 5
28.
20.
(f ○ g)(x) = x2 – x + 2 ve f(x) = 2x – 1 ise
g(x)’in kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
2
f(x) = x – 1, g(x) = x – 1 ve h(x) = 3x – 3 ise
(h ○ g ○ f)(x) kuralı nedir?
A) 3x2 – 6x – 3
D) 3x2 – 6x + 3
2
A) x − x + 3
B) 3x2 + 6x + 3 C) 3x2 + 6x – 3
E) 3x2 + 6x
2
2
C) x − x + 1
2
B) x + 7
2
2
4
E) 2x2 – 2x + 3
D) x – x + 3
21.
f(x) = x – 3, g(x) = x2 – x + 1 olduğuna göre
(f ○ g-1)-1(x) kuralı nedir?
A) x2 + 5x + 7
D) x2 – x – 2
B) x2 + 5x + 5
E) x2 + 5x – 7
29.
f(x) = x2 + x + 5 ve (g ○ f)(x) = 3x2 + 3x + 13 ise
g(x) aşağıdakilerden hangisidir?
C) x2 – x + 4
A) 3x – 2
D) 2x + 3
B) 2x – 3
E) x2 + x + 3
C) x + 3
22.
f(x) = x2 – 1, g(x) = |x + 1| ise
(g ○ f)(x) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
A) |x2 – 2|
D) |x12 + 2x|
B) x2 + 2
E) x2
30.
(f ○ g)(x) = 2 x
C) |x2 – 1| – 1
A)
23.
B) 4
C) 7
D) 10
E) 11
C) 4
D) 6
C) 0
D) 2
3
2
D) 2
E) 4
B) 1
C) 2
D)
5
2
E) 3
f(x + 3) = 2x – 5 ve g(2x – 1) = 4x + 1 ise
(f ○ g)(3) kaçtır?
E) 8
A) 9
g-1(5) = f(2) = –3 ise (g ○ f)(2) kaçtır?
B) –1
C)
32.
25.
A) –3
1
2
2
1
A)
2
f(x) = 2⋅(x!) ve g(x) = (2x)! olduğuna göre
(g ○ f)(1) sayısı (f ○ g)(1)’in kaç katıdır?
B) 2
ve f(x) = 42x−1 ise g(3) kaçtır?
f(x) = 2x – 3 ve h(x) = 3x + 1 için
[f -1 ○ (g ○ h)](x) = 5x ise g(4) kaçtır?
24.
A) 1
B)
− 2 x +1
31.
f(3) = 4 ve g(7) = 4 ise (g-1 ○ f)-1(7) kaçtır?
A) 3
1
4
2
E) 5
15
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
33.
40.
f(x) = |x – 2| ve g(x) = |x| – 3 ise (f ○ g)(x) = 6 eşitliğini sağlayan x’lerin kümesini bulunuz.
f(x) = ax + b ve g(x) = bx + a olup,
(f ○ g)(x) = (g ○ f)(x) verildiğine göre a ile b
arasında bulunması gereken bağıntıyı bulunuz.
A) {–10, –1, 1, 10}
C) {–1, 1}
B) {–11, –1, 1, 11}
D) {–11, 11}
E) ∅
A) a + b = 0
D) a + b = 1
B) a – b = 10
E) 2a + b = 0
C) 2a + b = 1
34.
f(x) = x + 6 ve g(x) = 8x ise (g ○ f)(x) = g3(x)
denklemini sağlayan x kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
Cevaplar. 1 E 2 E 3 E 4 C 5 C 6 A 7 B 8 A
9 D 10 E 11 D 12 D 13 B 14 A 15 E 16 C 17
A 18 A 19 B 20 A 21 A 22 E 23 A 24 D 25 E
26 A 27 D 28 A 29 A 30 C 31 C 32 C 33 D 34
A 35 B 36 C 37 A 38 B 39 B 40 D
E) 16
35.
f(x, y) =(3x, –y) ise (f ○ f)(1, –2) kaçtır?
A) (3, 2)
D) (3, –2)
B) (9, –2)
E) (–3, 2)
Permutasyon fonksiyon. A sonlu (sayılabilir
elemanlı) bir küme olmak üzere; A’dan A’ya tanımlanabilecek birebir her fonksiyona A’nın bir
permutasyonu denir.
Bu fonksiyonun tanım kümesi ile değer kümesi
aynı olduğundan daima örtendir.
Yani, A’dan A’ya tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyonlara permutasyon fonksiyon denir.
C) (9, 2)
36.
f(x) = 3ax + b ve g(x) = x − 2 iken
3
(f ○ g)(x) = (g ○ f)(x) ise b kaçtır?
A) –3a
D) –3a – 1
B) 3a
E) 3a + 1
A = {1, 2, 3} olmak üzere; f = {(1, 2), (2, 3), (3,
1)} yukarda söylendiği üzere hem A’dan A’ya tanımlandığından hem de birebir ve örten olduğundan A’nın bir permutasyonudur.
Bunu daha kısa bir şekilde şöyle göstereceğiz:
C) 3a – 1
37.
 1 2 3
 .
 2 3 1
g(x) = 2x + 4 ve (g ○ f)(x) = 2x için f(2a + 3) = –7
ise a kaçtır?
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
f = 
Uyarı. f =  a b c  notasyonundan anlaşılması


E) 1
c
gereken f(a) = c, f(b) = a ve f(c) = b olduğudur.
Böyle yazılan fonksiyonlarda üst satır tanım kümesi, alt satır değer (aynı zamanda görüntü) kümesidir.
s(A) = n ise A kümesinde tanımlı farklı permutasyon fonksiyon sayısı n!’dir.
38.
f(x) = 4x – 1 ve (f -1 ○ g)(x) = 3x + 2 ise g-1(1) kaçtır?
−2
−1
1
1
A)
B)
C)
D)
E) 2
3
2
3
2
Örnek. f =  1 2 3  ve g =  1 2 3  olduğuna
 3 1 2
2 3 1




göre (g ○ f) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm: (g ○ f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 1
(g ○ f)(2) = g(f(2)) = g(3) = 2
(g ○ f)(3) = g(f(3)) = g(1) = 3
39.
Tanımlı olduğu yerlerde f ve g fonksiyonları için;
(f -1 ○ g)(x) = x + 1 ve (f ○ g)(x) = 2x – 7 ise
2
(f ○ f)(2) kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
a b
olduğundan (g ○ f) =  1 2 3  olur.
1 2 3


E) 2
Son sütunu işlemlere sokmasak da olurdu, zira
permutasyon fonksiyon birebir ve örten olduğundan 3’ten başka birşey olamazdı.
16
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
1 2 4
-1
Örnek. (g-1 ○ f) = 
 olarak veriliyor. f =
5.
f =  1 2 3  ve (f ○ g) =  1 2 3  olduğuna göre
1 2 4
2 3 1


1 2 4
 ise g fonksiyonunun kuralını bulunuz.

 2 4 1
g(2) + g–1(2) toplamı kaçtır?
Çözüm: Her zamanki gibi bileşke fonksiyonu yorumlayarak işe başlayacağız.
(g-1 ○ f)(1) = g-1(f(1)) = g-1(4) = 1 olduğundan g(1)
= 4 ve
(g-1 ○ f)(2) = g-1(f(2)) = g-1(1) = 2 olduğundan g(2)
1 2 4
 olur.
= 1 olduğundan, g = 
 4 1 2
Dikkat! Üçüncü sütunu yine hesaplamadık.
A) 2
 1 2 3
 ve g =
 3 1 2
B) 3
1 2 3
A) 

1 2 3
1 2 3
D) 

2 3 1
1 2 3
 olduğuna göre

 2 1 3
C) 4
 1 2 3
 ve g =
 3 1 2
D) 5
E) 6
1 2 3
 olduğuna göre

2
1
3


A) 2
 3 2 1
C) 4
D) 5
E) 6
8.4 A
1 3 2
D)  1
2 3
 2 3 1 


d
a
–1
(f ○ g )(a) + (f
E) Hiçbiri
Parçalı fonksiyon. Tanım aralığının alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara
parçalı fonksiyon denir.
Alt aralıkların bölündüğü noktalara ise kritik
noktalar denir.
–1
a b
c
 3 − x, x < 1
Örnek. f(x) = 
ise (f ○ f)(0) kaça
2 x + 4, x ≥ 1
eşittir?
Çözüm: Bu yazılımdan anlamamız gereken,
x > 1 iken fonksiyon (3 – x)’miş gibi davranıyor,
x ≥ 1 iken de (2x + 4) gibi.
Anlayacağınız burada ‘1’ kritik noktadır.
(f ○ f)(0) = f(f(0)) olduğundan önce f(0)’ı hesaplamamız gerekiyor. 0 < 1 olduğundan ilk kuralı
kullanacağız. f(0) = 3 – 0 = 3. Şimdi de f(3)’e bakalım: 3 ≥ 1 olduğundan ikinci kuralı kullanacağız.
f(3) = 2⋅3 + 4 = 10
○ g)(b) kaçtır?
B) b + d
C) c + d
D) a + d E) b + c
4.
f =  1 2 3 4  ve g =  1 2 3 4  ise
3 1 2 4


–1
 4 2 1 3
–1
(f ○ g )(1) + (f ○ g )(4) toplamı kaçtır?
A) 3
B) 3
Cevaplar. 8.1 A 8.2 B 8.3 E
8.5 C 8.6 B 8.7 D
f =  a b c d  ve g =  a b c d  iken




A) a + b
1 2 3
C) 

 1 2 3


 3 1 2
olduğuna göre (g ○ f)(2) + g–1(2) toplamı kaçtır?
3.
b c d
1 2 3

1 3 2
1 2 3
E) 

 3 1 2
B) 
1 2 3
–1
–1
 ve (f ○ g ) =
2 3 1
B)  1 2 3 


2 3
 1 2 3 


1
2
3


C) 
 3 2 1 


 1 2 3
 olarak veriliyor.

 2 1 3
f = 
(f ○ g) fonksiyonunun kuralı hangisidir?
A)  1
E) 6
7.
2.
f = 
D) 5
f –1○ h = g ise h fonksiyonun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
(f ○ g)(2) + (g ○ f)(2) toplamı kaçtır?
A) 2
C) 4
f = 
1.
 1 2 3
 ve g =
 3 2 1
B) 3
6.
Alıştırmalar 8
f = 
 3 1 2


B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
17
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
dar arttığını tayin edeceğiz. Bu oranın her zaman
korunacağını söyleyeceğiz.
f(1) = 2
f(4) = 8
eşitliklerinden x değeri 3 arttığında y değerinin 6
arttığını görüyoruz. f(4)’ün f(5) olması halinde x
değeri 1 artmış, o halde y değeri 2 artmalı.
8 + 2 = 10.
Çift ve Tek fonksiyon.
f:A
ve ∀x∈A için –x∈A olmak üzere;
f(–x) = f(x) ↔ f fonksiyonu çift fonksiyon
f(–x) = –f(x) ↔ f fonksiyonu tek fonksiyon diye
tanımlanır.
Yani, bir fonksiyonda x gördüğümüz yere –x yazdığımızda fonksiyonda bir değişiklik olmuyorsa f
’ye çift fonksiyon, ilk fonksiyonun ters işaretlisi
çıkıyorsa da tek fonksiyon denir.
Örneğin;
f(x) = x2 için f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x) olduğundan f
çift fonksiyondur.
f(x) = x3 için f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x) olduğundan f tek fonksiyondur.
f(x) = |x| için f(–x) = |–x| = |x| = f(x) olduğundan f
çift fonksiyondur.
f(x) = sin x için f(–x) = sin(–x) = – sin x = –f(x) olduğundan f tek fonksiyondur.
f(x) = cos x için f(–x) = cos(–x) = cos x = f(x) olduğundan f çift fonksiyondur.
Alıştırmalar 9
1.
f doğrusaldır. f(0) = 3 ve f(1) = –4 ise f(4) kaçtır?
A) –21
B) –22
C) –23
D) –24
E) –25
2.
f doğrusaldır. f(–1) = 1 ve f -1(2) = 3 ise f(11) kaçtır?
A) 3
Uyarı. Bir fonksiyon tek veya çift olmak zorunda
değildir. Tıpkı reel sayılardaki gibi. 3.5 sayısı tek
de değildir, çift de. f(x) = x2 + x olduğunu düşünelim. f(–x) = x2 – x olur ki bulduğumuz bu değer ne
f(x)’e ne de –f(x)’e eşittir.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
3.
f lineer bir fonksiyondur. (f ○ f)(x) = 9x – 20 ise
f(–2)’nin alabileceği değerlerden biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çift fonksiyonlar, x için hangi değeri alıyorsa –x
için de aynı değeri alacağından grafikleri y eksenine göre simetriktir. Tek fonksiyonlar ise x için
hangi değeri alıyorsa –x için o değerin ters işaretlisini alacağından grafikleri orijine göre simetriktir.
A) 16
B) 8
C) 3
D) –6
E) –12
4.
f doğrusaldır. f(x) = ax + 5 ve (f ○ f)(1) = 19 ise a
kaçtır?
Doğrusal (Lineer) fonksiyon. a, b ∈
iken
f(x) = ax + b şeklindeki birinci dereceden fonksiyonlara doğrusal veya lineer fonksiyonlar
denir.
Neden ‘doğrusal’ denmiş diye merak ediyorsanız, birinci dereceden denklemlerin grafiklerinin birer doğru olduğunu hatırlayınız derim.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 7/2
E) 7
5.
f doğrusaldır. f -1(2) = 4 ve f -1(5) = 5 ise f(7) kaçtır?
Örnek. f(x) doğrusal bir fonksiyon olsun. f(1) = 2
ve f(4) = 8 ise f(5) kaçtır?
Çözüm: İki yoldan çözelim.
Birinci yol. f(x) = ax + b olsun. f(1) = a + b = 2 ve
f(4) = 4a + b = 8. Gerisi iki bilinmeyenli iki denklem çözmeye kalıyor. Buradan a = 2 ve b = 0 bulunacağından f(x) = 2x olur. O halde f(5) = 10.
İkinci yol. Doğrunun eğimi heryerde sabit olduğundan, x’in belli bir artış miktarında y’nin ne ka-
A) 6
B) 8
C) 10
D) 11
E) 12
6.
f lineer bir fonksiyondur.
f(2) = 3 ve f(4) = 10 ise f -1(24) kaçtır?
A) 6
18
B) 7
C) 8
D) 10
E) 14
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
7.
15.
f doğrusal fonksiyonunun grafiği, x eksenini –4
apsisli noktada, y eksenini de 3 ordinatlı noktada
kesmektedir.
Buna göre f(8) kaçtır?
Reel sayılarda tanımlı,
 x + 5, x < 1
f(x) = 
9 − x, x ≥ 1
fonksiyonu için f(x) > 0 koşulunu sağlayan kaç
tane x tamsayısı vardır?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
E) 16
A) 6
8.
Aşağıdakilerden hangisi çift fonksiyondur?
A) |x| + x2 + 3
D) x⋅|x|
B) (1 – x)2
x3 + x
E) 2
x +2
C) x–3
D) 15
E) 20
Fonksiyonları birbiri cinsinden yazma. Herhangi bir fonksiyonun kuralı verilir ve bu fonksiyon
kuralından elde edilebilecek başka bir fonksiyonun kuralının ilk kural cinsinden yazılması istenir.
Bu tarz problemlerde neyin ne cinsinden bulunması isteniyorsa önce her iki fonksiyonun da kuralı belirlenir. Daha sonra bu kurallarda ortak olan
bir ifade bulunur ve birinden çekilerek diğerinde
yerine yazılarak istenen bulunur.
Aşağıdakilerden hangisi tek fonksiyondur?
B) x–2
E) (x – 2)2
C) 13
Cevaplar. 1 E 2 B 3 A 4 B 5 D 6 C 7 B 8 A
9 D 10 E 11 D 12 C 13 E 14 C 15 C
9.
A) x3 – x + 1
D) x3 + 3x + sin x
B) 8
C) x2 + x
10.
Örnek. f(x) = 5x + 2 ise f(x – 1) fonksiyonunu f(x)
cinsinden yazınız.
Çözüm: f(x) zaten verilmiş, biz hemen f(x – 1)
fonksiyonunun kuralını bulalım.
f(x – 1) = 5(x – 1) + 2 = 5x – 3.
Şimdi tekrar soruya dönelim.
Bizden f(x – 1)’in f(x) cinsinden değeri isteniyor.
Peki elimizdeki f(x – 1) ne cinsinden? x cinsinden.
O zaman x yerine f(x)’li bir şeyler yazabilirsek soruyu çözmüş olacağız. Verilen denklemden x’i çekelim.
f ( x) − 2
x=
5
olur. Bunu f(x – 1) kuralında yerine yazalım:
f ( x) − 2
) – 3 = f(x) – 5.
f(x – 1) = 5(
5
Aslında cevabı bulduktan sonra, dönüp verilenlere
bakınca ne kadar da uzatmış olduğumuzu anlayacaksınız. (5x – 3)’ün (5x + 2)’den 5 eksik olduğu
zaten ayan beyan ortada. Ama bazı denklemler
vardır ki bunu görmek bu kadar kolay değildir.
Bunun için biz genel çözüm tekniğini mutlaka öğrenelim.
f tek fonksiyon ve 3⋅f(x) = f(–x) + 8x ise f(5) = ?
A) –10
B) –5
C) 0
D) 5
E) 10
11.
f çift fonksiyon ve 2⋅f(x) + f(–x) = 6x2 ise f(2) = ?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
12.
Kuralı x20, |–x|, x2 + x, cos x, xx olan f(x) fonksiyonlarından kaç tanesi çifttir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
13.
Kuralı x3 + 5x, 4x + 5, x2x, 2x, x – 2, |x – 2| olan
f(x) fonksiyonlarından kaç tanesi ne tek ne çift
fonksiyondur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
14.
 x − 2, x > 3
ise (f ○ f)(4) kaçtır?
f(x) = 
2 x − 1, x ≤ 3
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Örnek. f(x) = 2x ise f(x + 3) fonksiyonunu f(x – 1)
fonksiyonu türünden yazınız.
Çözüm: f(x – 1) = 2x−1 olduğunu kaydedelim. f(x
+ 3) = 2x+3 = 24⋅2x−1 = 16⋅f(x – 1)
E) 5
19
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
Şimdi bundan sonraki sorularda ve genel olarak bu
tip problemlerin hepsinde kullanılan bir işlemin
pratik yapılmasını öğreneceğiz. Eğer a değeri b
cinsinden verilmiş ve b değeri a cinsinden soruluyorsa, verilen fonksiyonun tersini alıp a yerine b,
b yerine a yazacağız.
Örneğin;
a−2
a = 5b + 2 ise b =
,
5
b−2
ise b = 11a + 2,
a=
11
2b + 3
7a + 3
a=
ise b =
,
4b − 7
4a − 2
− 2x + 1
f ( x) + 1
.
ise f(x) =
x=
3 f ( x) + 2
3x − 1
3.
f(x) = 2x – 1 olduğuna göre f(4x + 1)’in f(2x) cinsinden değeri nedir?
A) f(2x) + 3
D) 2⋅f(2x) – 3
B) f(2x) + 1
E) 2⋅f(2x) + 3
C) 2⋅f(2x)
4.
1
ise f(3x)’in f(x) cinsinden değeri
x
aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) = 1 –
A) f ( x) + 2
B) f ( x) − 2
3
D)
x −1
ise f(x – 1) fonksiyonunu
x +1
f(x + 2) cinsinden yazınız.
x +1
Çözüm: f(x + 2) =
olduğundan yukardaki
x+3
pratik yol gereği
− 3 f ( x + 2) + 1
x=
f ( x + 2) − 1
buluruz. Bunu
x−2
f(x – 1) =
x
eşitliğinde, eşitliğin sağ tarafında x gördüğümüz
yerlere yazarsak
5 f ( x + 2) − 3
f(x – 1) =
3 f ( x + 2) − 1
bulunur.
3
3
f
(
x) + 1
E)
3
3 f ( x) − 1
3
C) f (x )
3
5.
Örnek. f(x) =
f(x) =
3x − 1
ise x’in f(x)’e bağlı değeri aşağı4x − 2
dakilerden hangisidir?
A)
D)
2 f ( x) − 1
4 f ( x) + 3
2 f ( x) − 1
4 f ( x) − 2
B)
2 f ( x) − 1
4 f ( x) − 3
E) 3 f ( x) − 1
4 f ( x) − 2
C) f (x)
3
6.
f(x) = 2x + 5 ise f(2x + 1)’in f(x)’e bağlı değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(x) + 2
D) 2⋅f(x) + 1
B) 2⋅f(x) – 1
E) 2⋅f(x) – 3
C) f(x) + 1
7.
f(x) = 4x−1 ise f( x − 2 ) ifadesinin f(x) cinsinden
Alıştırmalar 10
2
yazılışı hangisidir?
1.
A) f (x)
f(x) = 4x ise f(x + 1) – f(x) aşağıdakilerden hangisiyle eşittir?
64
D) f (x)
A) 4
B) f(x)
C) 2⋅f(x)
D) 3⋅f(x) E) 4⋅f(x)
f (x )
2
E) 1
f ( x)
B)
C)
f (x)
4
8.
2.
f(x) =
f(x) = 2x + 3 ise f(2x + 1)’in f(x)’e bağlı değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(x) + 2
D) 2⋅f(x) – 1
B) f(x) + 1
E) 2⋅f(x) + 3
5 x + 5− x
iken f(2x)’in f(x) türünden değeri
2
hangisidir?
C) 2⋅f(x) + 1
A) 2⋅f 2(x) – 2
B) f 2(x) – 2
2
D) f ( x ) − 4
E) 4⋅f 2(x) – 1
2
20
C) 2⋅f 2(x) – 1
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
9.
5.
f(x + 1) = 2x – 4 ise f(2x)’in f(3x) türünden değeri hangisidir?
Yanda f fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
A = {–3, –2, 0, 2, 4} kümesinin görüntüsü olan
f(A) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2 f (3 x) − 6
6
D) 4⋅f(3x) – 6
2 f (3 x ) − 6
3
E) 6⋅f(3x) – 12
A)
B)
C) f(3x)
A) {2, 0, –4, 3}
C) {2, 0, 3, 1}
Cevaplar. 1 D 2 D 3 E 4 A 5 D 6 E 7 A 8 C
9B
Alıştırmalar 11
6.
Yandaki f fonksiyonunun grafiğine göre f(x) > 0 olmasını sağlayan kaç tane x tamsayısı vardır?
1.
Yanda grafiği verilen f fonksiyonuna göre;
f(–3) + f(2) + f(0) toplamı
kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 0
D) 3
A) 3
D) 6
E) 5
C) 5
Yanda grafiği verilen f fonksiyonunda kaç tane x tamsayısı için x⋅f(x) > 0 olur?
Yanda grafiği verilen f fonksiyonuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f(–4) = f(4) = 0
D) f(6) > 0
B) f(3) < f(5)
E) f(–2) < 0
A) 2
D) 5
C) f(2) < 0
B) 3
E) 6
C) 4
8.
3.
Yanda grafiği verilen f fonksiyonunda; (f ○ f)(x) = 2 ise x’in değeri kaç olabilir?
Yanda grafiği verilen f fonksiyonuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
B) f(–3) = 0
D) f(0) = 3
A) 2
D) 5
E) f(5) < 0
B) 3
E) 6
C) 4
9.
4.
Yanda grafiği verilen f fonksiyonu için;
f -1(3) + f -1(0) = 3⋅f -1(3 + x)
ise x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Yanda grafiği verilen f
fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–2, 4)
C) [–5, 0]
B) 4
E) Sonsuz
7.
2.
A) f(–4) > 0
C) f(3) < 0
B) {3, 2, 1, 0, –4}
D) {–2}
E) {2, 0, –4}
B) [–5, 3)
D) [–5, 4)
A) –2
E) [–4, 3)
21
B) –1
C) 2
D) 4
E) 6
Mustafa YAĞCI
Fonksiyonlar
10.
15.
Yanda hem f fonksiyonun
hem de g fonksiyonunun
grafikleri verilmiştir.
Şekle göre;
(f ○ g ○ f -1)(2) kaçtır?
Yanda verilen f ’nin grafiğine göre
(f ○ f)(x) = 3 ise x’in değeri kaçtır?
A) –2
A) –2
B) 0
C) 2
D) 4
B) 0
C) 3
D) 4
E) 5
D) 3
E) 4
E) 6
16.
Yandaki grafik f fonksiyonuna aittir.
Buna göre
[f ○ f ○… ○ f](f(0) + 5)
kaçtır?
11.
Şekilde grafiği verilen f(x)
fonksiyonuna göre; (f ○ f)(a)
= 3 ise a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) –2
B) 2
C) 4
A) –2
D) 5
E) 7
B) 0
C) 2
17.
Aşağıda grafikleri verilen f ve g fonksiyonları için
12.
Yanda f fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. Ayrıca
 x − 3, f ( x ) < 0
g(x) = 
6 − x , f ( x ) > 0
olduğuna göre (g ○ g)(5) kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
(g-1 ○ g)(8) + (f ○ g ○ f -1)(2) + (f -1 ○ g-1)(4) = ?
A) 7
D) 5
C) 0
A) –6
C) –10
D) 1
E) 2
B) 1
B) – 8
D) –12
D) 8
E) 12
E) –14
f(x + 4) fonksiyonun grafiği
yanda verilmiştir.
Buna göre f(0) + 2⋅f(4) toplamı kaçtır?
Yandaki grafikte f ve g fonksiyonları çizilmiştir.
(f ○ g)(0)/(g ○ f)(0)
oranı kaçtır?
4
C)
3
E) 11
19.
14.
2
A)
3
D) 10
Yanda f(x + 2) doğrusal fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre f -1(10) kaçtır?
Grafiği yanda verilen f fonksiyonuna göre
(f ○ f ○ f)( –3) kaçtır?
B) –1
C) 9
18.
E) 6
13.
A) –2
B) 8
A) 0
5
D)
3
B) 2
C) 4
Cevaplar. 1 E 2 E 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 E
9 A 10 E 11 B 12 C 13 E 14 A 15 D 16 C 17 B
18 C 19 C
E) 2
22