14 Ocak 2009 F˙IZ3101 KUVANTUM F˙IZ˙I˘G˙II ¨Odev 3 1. Kütlesi m

Teslim : 14 Ocak 2009
FİZ3101 KUVANTUM FİZİĞİ I
Ödev 3
1. Kütlesi m olan bir parçacığın yerçekimi
{
V (z) =
mgz
+∞
z>0
z <= 0
etkisi altında düz bir zemin üzerinde tam esnek çarpışma yaparak dikey eksende zıpladığını düşünelim.
Burada g yeçekimi ivmesi ise,
(a) Parçacığın enerji düzeylerini ve dalga fonksiyonlarını bulun.
(b) İletim katsayısını hesaplayın.
2. V (x) = −α[δ(x − a) + δ(x + a)] potansiyeli için iletim katsayısını hesaplayın. (α pozitif gerçel sayıdır.)
3. |φ1 i ve |φ2 i ortonormal taban durumlarının lineer kombinasyonu olarak verilen |αi = 5i|φ1 i + |φ2 i ve
|βi = i|φ1 i − 5i|φ2 i durumları olsun
(a) hα + β| durumunu bulun.
(b) hα|βi ve hβ|αi iç çarpımlarını hesaplayın.
(c) |αi ve |βi durumlarının Schwarz eşitsizliğini sağladığını gösterin.
(d) |αi ve |βi durumlarının üçgen eşitsizliğini sağladığını gösterin.
4. Herhangi A ve B operatörleri için,
(a) (A + A† ), i(A + A† ), i(A − A† ) ve {A, A† }† operatörlerinin Hermityenliği hakkında ne söylenebilir?
(b) eA eB = eA+B e[A,B]/2 olduğunu gösterin.
(c) Baker-Hausdorff lemma ifadesini türetin :
1
1
eA Be−A = B + [A, B] + 2!
[A, [A, B]] + 3!
[A, [A, [A, B]]] + . . .
(d) Hermityen bir operatörün beklenen değerinin gerçel, antihermityen bir operatörün beklenen değerinin
ise sanal olduğunu gösterin.
5. Aşağıdaki cebirsel komütatör eşitliklerinin doğru olduğunu gösterin.
(a) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C]
(b) [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0
(c) [A, B]† = [B † , A† ]
6. Aşağıdaki operatörlerin hermityen eşleniklerini bulun.
(a)
7. Bir A =
i(x2 + 1)
d
+ ix
dx
(b)
i
d2
d
+
2
dx
dx
( 0 1 )
operatörü için eiθA = cos θ + iA sin θ eşitliğinin sağlandığını gösterin.
1 0
8. Üç boyutlu vektör uzayında bir A operatörü {|1i, |2i, |3i} ortonormal tabanında


0 0
1
A =  0 −1 0 
1 0
0
matrisi ile verilsin.
(a) A matrisi Hermityen midir? Bu matrisin normalize edilmiş özvektörlerini ve özdeğerlerini bulun. Hermityen bir matrisin normalize edilmiş özvektörleri ortonormalite ve kapalılık özelliklerini
sağlar. A matrisinin özvektörleri bu şartları sağlıyor mu?
(b) A operatörünün normalize edilmiş özvektörleri ile projeksiyon operatörleri (matrisleri) kurun.
(c) Projeksiyon operatörlerinin bir |αi = a|1i+b|2i+c|3i vektörünün ilgili özvektör üzerine izdüşümünü
aldığını gösterin.
(d) A operatörünün normalize edilmiş özvektörleri ile birimsel U operatörünü (matrisini) kurun.
U † AU benzerlik dönüşümü ile A matrisinin köşegenleştirileceğini ve köşegen elemanların A’nın
özdeğerleri olduğunu gösterin.
9.


−1 0 0
1 0 
H = ~ω0  0
0
0 −1

1
B = b 0
0
0
1
0

0
0 
1
(a) H ve B operatörleri fiziksel gözlemlenebilir olabilir mi?
(b) Bu iki operatörün ortak özvektörlerinin olduğunu gösterin.
(c) Ortak özvektör tabanını belirleyin.
10. Aşağıdaki operatörler hangi şartlar sağlanırsa birimseldir?
(a)
1 + iA
1 − iA
(b)
A + iB
√
A2 + B 2
11. (xpx + px x)2 operatörünün 2(x2 p2x + p2x x2 ) + 3~2 ’ye eşit olduğunu gösterin.