PowerPoint Sunusu

Ana menü
Ana menü
Tanım: f : A
R
, y = f(x) fonksiyonu ve a
A da sürekli
Olmak üzere ,
lim xa
f ( x)  f (a )
xa
Limiti bir reel sayı ise; bu değere , f
fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi
denir.
f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi f’(a) veya
Ana menü
df
(a )
dx
sembolleri ile gösterilir.
Bir fonksiyonun türevini daha kısa yoldan bulmamızı sağlayacak bazı
teoremler:
f ( x )  a, ( a  R )  f ' ( x )  0
n 1
f ( x)  ax  f ( x)  a.n.x , a  R
n
y  u ( x)  v( x)  w( x)  y '  u ' ( x)  v' ( x)  w' ( x)
Ana menü
devam etmek için tıklayınız
y  a.u ( x)  y '  n.a.u ( x) .u ' ( x)
n
n 1
f ( x)  u ( x).v( x)  f ' ( x)  u '.v  u.v'
u ( x)
u '.v  v'.u
y
 y' 
2
v( x)
v
Ana menü
devam etmek için tıklayınız
c
c
( )' 
f
x2
( f )' 
n
f'
n.n f n 1
Örneğin;
f'
( f )' 
3
3
3. f
Ana menü
2
devam etmek için tıklayınız
f(x), f(x)>0 ise
f
y  f  y'  . f ' 
f'
yoktur, f(x)=0 ise
-f’(x), f(x)= -1 ise
y  f ( x)  y ' 
y  sgn( h)  y' 
Ana menü
0, f  Z ise
yoktur, f  Z
0,
h  0 ise
yoktur, h  0 ise
t
t doğrusunun eğimi:
mt  tan 
A
f ' ( x)  mt
y
x
f(x)
Ana menü
devam etmek için tıklayınız
f fonksiyonunun A noktasındaki
teğet doğrusunun denklemi;
A
y  y1  mt .( x  x1 )
Ana menü
y
x
Bir hareketli cismin t zamana bağlı yol denklemi S=f(t) olsun.
d ( s)
v(t ) 
 f ' (t )
d (t )
d (v )
a (t ) 
 f " (t )
d (t )
Ana menü
Tanım = x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen
bağıntılara kapalı fonksiyon denir.
Bu durumda;
f ' ( x)
f ( x)  
f ' ( y)
Ana menü
f’(x)= x’e göre türev (y sabit)
f’(y)= y’ye göre türev (x sabit)
Tanım : y=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri
t R
olmak üzere t parametresine bağlı olarak
x = h(t)
y =g(t)
Biçiminde tanımlanırsa, bu fonksiyona parametrik
fonksiyon denir.
bu durumda;
dy
dy
g ' (t )
dt


olur.
dx
dx
h' (t )
dt
Ana menü
1
(log a x)' 
x. ln a
1
(ln x )' 
x
u'
(log a u )' 
u. ln a
u'
(ln u )' 
u
Ana menü
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
örnekleri görmek için tıklayınız
1
2
(tanx)'  1  tan x 

sec
x
2
cos x
2
(secx)’ = secx.tanx
(cosecx) = -cosecx.cotx
1
(cotx)'  (1  cot x)   2
sin x
2
Ana menü
 cosec 2 x
f 1 ( y)  x
y  f (x)
f
Birebir olmalıdır!
f : A B
f 1 B  A
f 1
x  A için f' (x) var ve f' (x)  0 ise,
1
1
( f )' ( y ) 

dir.
1
f ' ( x) f ' ( f ( y ))
1
Ana menü
örnekleri görmek için tıklayınız
(arcsin x)' 
1
(arccos x)'  
1 x2
1
1 x2
1
(arctan x)' 
1 x2
( arc sec x)' 
(arccos x)'  
1
x . x 1
(arc cot x)'  
Ana menü
2
1
1 x2
, x 1
1
x x2 1
örnekleri görmek için tıklayınız
, x 1
(a )'  a . ln a
x
x
(e )  e
x
x
(a )  u'.a . ln a
u
(e )'  u'.e
u
Ana menü
u
u
A  R olmak üzere f : A  R , y  f(x) fonksiyonu
A kümesinde türevli bir fonksiyon ise;
y'  f' (x) 
dy df

'e
dx dx
d2y d2 f
y  f ( x)  2  2 ' e
dx
dx
''
''
f fonksiyonun 1. mertebeden türevi denir.
f fonksiyonun 2. mertebeden türevi denir.
aynı şekilde, n  N  ve n  1 olmak üzere;
n
d
x
y n  f n ( x)  n ' e f fonksiyonu nun n. dereceden türevi denir.
dx
Ana menü
y  2 x 3  y '  6
f ( x)  4 x 3  5x 2  7 x  6 ise f' (1)  ?
= 4.3.x 31  5.2.x 21  7.x  0 12 10  7  10
dy
y  2(3x  1) ise
?
dx
2
dy
 y '  6.(3x 2  1) 2 .(6 x)
dx
Ana menü
Konuya devam etmek Örneklere devam
için tıklayınız
etmek için tıklayınız
y  2(3x  1) 2 .( x 2  1)3  y'  ?
u
v
y'  2.2(3x  1).3( x 2  1)3 2(3x  1) 2 .3( x 2  1).2 x
Ana menü
Konuya devam etmek Örneklere devam
için tıklayınız
etmek için tıklayınız
g ( x)
f ( x)  3
, g(1)  2 g' (1)  -1ise f' (1)  ?
x 3
g' (x).(x 3  3)  2 x.g ( x)
g ' (1)  2( g (1))
f(x) 

2
2
(x  3)
16
 4  4 1


16
2
Ana menü
Konuya devam etmek Örneklere devam
için tıklayınız
etmek için tıklayınız
f ( x)  3 2 x  3
f ' ( x) 
(2 x  3)'
3.3 (2 x  3)
f ' (12) 
Ana menü
İse f’(12) nedir?
2
=
f ' ( x) 
2
3. (2 x  3) 2
2
3
2
2


2
3.9 27
27
Konuya devam etmek Örneklere devam
için tıklayınız etmek için tıklayınız
türevin geometrik yorumu
x  1 fonksiyonunun x=1 noktasındaki teğetinin
f ( x) 
x ve normalinin eğimi kaçtır?
x  x 1
1.x  1.( x  1)


2
x2
x
1
 2 1
x
y  x 2  mx  n eğrisinin apsisi x=1 noktasındaki
teğetinin denkleminin y=x+1 olması için
n-m=?
Ana menü
Ana menü
f ( x)  x. x  4 ise f' (x)  ?
2
x2  4  0
x=2, x=-2 (k.n.)
f ' ( x)  1. x 2  4  x.2 x. sgn( x 2  4)
f ' (3)  1. 9  4  2.9. sgn( 9  4)
f ' (3)  5  18  23
Ana menü
Konuya devam etmek Örneklere devam
için tıklayınız etmek için tıklayınız
1
2
f ( x)  x 2  2 x  3 ise f ' (1)  ?, f' (2)  ?, f' ( )  ?
g(x)
g ( x)  x 2  3 x  3
 x  1 için g(x)  
g ' ( x)  2 x  2
y=1-2+3=2
f min , f' (1)  0
 x  2  f ' (2)  yok
x
1
1
 f ' ( )  0( g  )
2
2
Ana menü
Konuya devam etmek Örneklere devam
için tıklayınız etmek için tıklayınız
f ( x)  sgn( x 2  2 x)
f ( x)  sgn( x 2  2 x)
g(x)
ise f’(2)=?
g ' ( x)  2 x  2
g ' (2)  2.2  2  6  0
f ' (2)  0
Ana menü
Konuya devam etmek
için tıklayınız
Hareket denklemi: d  2t  3t 3  1 olan bir hareketlininin
3sn. Sonraki aldığı yolu , hız ve ivmesini hesaplayınız.
t  3  s  2.3  3.27 1  58m.
v
ds
 2  9t 2  2  9.9  83 m
sn
dt
dv
a
 18t  18.3  54 m 2
sn
dt
Ana menü
Konuya devam etmek
için tıklayınız
2 x 2  xy  y 3  2
ise f’(1)=?
x  1  2  y  y3  2
f ( x, y)  2 x 2  xy  y 3  2  0
 y( y 2  1)  0
f 'x
4x  y
f ' (1)  

f'y
x  3y2
y0
Ana menü
40

 4  mt
1 0
Konuya devam etmek
için tıklayınız
x  2t 2  3t
y  t2  4
ise
dy
‘in t =-1 için değeri nedir?
dx
dy
dy dt
 2t

 2
dt dx 6t  1
dt
Ana menü
2

7
Konuya devam etmek
için tıklayınız


d
ln( x 2  x  1)5  ?
dx
d u'
5.u 4 .u '
  2
dx u ( x  x  1)
5.( x 2  x  1) 4 .(2 x  1)

( x 2  x  1)5
5.(2 x  1)
=
( x 2  x  1)
Ana menü
Konuya devam etmek
için tıklayınız
f ( x)  sin 3x  cos 2 x ise f' ( )  ?
3. cos 3x  2. cos x.( sin x)
f ' ( )  3
d
(sin 3 (cos( 3 x)))  ?
dx
 3. sin 2 (cos x). cos(cos 3x).( sin 3x).3
Ana menü
Konuya devam etmek
için tıklayınız
f ( x)  3 x  2 x  1
2
ise ( f 1 )' ( f ( x))  ?
1
1

 2
f ' ( x) 9 x  2
f : 1, 7  R f ( x)  x 2  2 x  4 ise (f -1 )(4)  ?
( f 1 )( y ) 
Ana menü
1
1

f ' ( x) f ' (2)
y 4 x ?
1
1

2x  4 2  4
1

6
 4  x2  2x  4
x  4  x  2 -4 olamaz
Konuya devam etmek
için tıklayınız
dy
y  arccos 1  4 x ise
?
dx
u
dy  ( 1  4 x )

dx
1  (1  4 x)
4
 ( 2 1  4 x )
4x
Ana menü

2
4 x  16 x 2
Konuya devam etmek
için tıklayınız
f ( x)  4
x 2 1
fonksiyonun türevini bulunuz.
x 21
f ' ( x)  ( x 1).4 . ln 4
2
f ( x)  e
sin x
 2 x.4 . ln 4
x 21
fonksiyonunun türevini bulunuz.
f ' ( x)  (sin x)'.esin x  cos x.esin x
Ana menü
Konuya devam etmek
için tıklayınız
1
y  f ( x) 
x
f ' ( x)  
fonksiyonunun n. türevi ne olur?
1
1
1 1!


1
.

(

1
)
. 2
x2
x2
x
2
1
2 2!
f ' ' ( x)   3  2. 3  (1) . 3
x
x
x
f ( n ) ( x)  
x ( n 1)
Olur.
3
1
3 3!
f ' ' ' ( x)   4  3. 4  (1) . 4
x
x
x
Ana menü
n!
Konuya devam etmek
için tıklayınız
Örneklere devam
etmek için tıklayınız
y  x.e x ise y (40)  ?
y '  1.e x  x.e x  (1  x).e x
y ( 40)  (40  x).e x
y ''  2.e x  ( x.e x )  (2  x)e x
Ana menü
Konuya devam etmek
için tıklayınız
( fog ) ( x)  f g ( x).g ( x)
'
'
'
y  u  y  n.u
n 1
y  f (u )
t  h(x)
n
,
u  g (t )
dy dy du dt

. .
dx du dt dx
Ana menü
,
.u
(zincir kuralı)
'
Olsaydı;
g ( x)  x  5 x  5
2
f ' g (1).g ' (1)
10
.
= 30
Ana menü
3
f ( x)  x 7  x 3
ise (fog)(-1)=?
f ' ( x)  7 x 6  3x 2
f ' (1)  7  3  10
g ' (1)  2  5  3
g ' ( x)  2 x  5
Konuya devam etmek
için tıklayınız