v (t ) v (t ) v (t ) vTH iN i (t ) iN i (t ) i (t ) vTH Sonuç: • Lineer, zamanla değişmeyen direnç ve bağımsız kaynaklardan oluşmuş N 1-kapılısı akım kontrollu ise bağlı bulunduğu devrenin çözümünü etkilemiyecek şekilde Thevenin eşdeğeri ile ifade edilir. •Lineer, zamanla değişmeyen direnç ve bağımsız kaynaklardan oluşmuş N 1-kapılısı gerilim kontrollu ise bağlı bulunduğu devrenin çözümünü etkilemiyecek şekilde Norton eşdeğeri ile ifade edilir. Eleman Tanım Bağıntıları f R (v, i, t ) 0 v i fC (v, q, t ) 0 q i q v f m ( , q, t ) 0 memristor endüktans Kapasite direnç f L ( , i, t ) 0 Ø Direnç Elemanı: v ve i arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman Endüktans Elemanı: Ø ve i arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman Kapasite Elemanı: v ve q arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman Memristor Elemanı: Ø ve q arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman 2-uçlu Kapasite ve Endüktans Elemanları Lineer ve Zamanla Değişmeyen Kapasite Endüktans dv(t ) dt dq (t ) dv(t ) C dt dt i (t ) C di (t ) dt d (t ) di (t ) L dt dt v(t ) L Zamanla Değişen ve Lineer Olmayan Lineer olmayan ve zamanla değişenleri ifade edebilmek için akı ( ) ve yük (q ) kullanılır: t q(t ) ˆ i ( )d t [C] (t ) ˆ v( )d [Wb] L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Kapasite f C ( q, v ) 0 yük kontrollü v vˆ( q ) gerilim kontrollü q qˆ (v) qˆ (v ) türetilebilir bir fonksiyon ise dq d (qˆ (v)) dv ˆ i dt dv dt dv C (v) ˆ dqˆ (v) i C (v ) dv dt Endüktans f L ( , i) 0 akı kontrollü i iˆ( ) akım kontrollü ˆ(i ) ˆ(i ) türetilebilir bir fonksiyon ise d d (ˆ(i )) di ˆ v dt di dt dˆ(i ) di v L(i ) L(i ) ˆ di dt Kapasite Lineer Zamanla Değişmeyen Endüktans Lineer Olmayan Zamanla Değişmeyen L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Kapasite Lineer Zamanla Değişen q(t ) C (t )v(t ) dv(t ) dC (t ) i (t ) C (t ) v(t ) dt dt q(t ) (2 sin t )v(t ) C (t ) 2 sin t Endüktans (t ) L(t )i(t ) v(t ) L(t ) di (t ) dL(t ) i (t ) dt dt (t ) (2 sin t )i(t ) L(t ) 2 sin t di (t ) dv(t ) v ( t ) ( 2 sin t ) (cos t )i (t ) i (t ) (2 sin t ) (cos t )v(t ) dt dt L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Zamanla Değişmeyen Lineer Kapasite ve Endüktans Elemanlarının Özellikleri Kapasite Bellek Özelliği t 1 v(t ) i ( )d C v (t ) sadece i (t ) ‘ye değil, i ( ) ‘nun t aralığındaki tüm geçmiş değerlerine de bağlı t0 t v(t0 ) 1 v(t ) v(t0 ) i ( )d , t t0 Ct 0 Endüktans t 1 i (t ) v( )d L i (t ) sadece v (t ) ‘ye değil,v ( ) ‘nun t aralığındaki tüm geçmiş değerlerine de bağlı t0 i (t0 ) t 1 i (t ) i (t0 ) v( )d , t t0 Lt 0 v(t0 ) ilk koşul, geçmiş i ( ) , t v(t0 ) ilk koşul, geçmiş v ( ), t değerlerinin v (t ) ‘ye etkisini veriyor. değerlerinin i (t ) ‘ye etkisini veriyor. Kapasite Süreklilik Özelliği iC (t ), [ta , tb ] aralığında sınırlı değerler alıyorsa, kapasite gerilimi vC (t ), (ta , tb ) aralığında sürekli bir fonksiyondur. ta T tb vC (T ) vC (T ) Endüktans vL (t ), [ta , tb ] aralığında sınırlı değerler alıyorsa, kapasite gerilimi iL (t ) , (ta , tb ) aralığında sürekli bir fonksiyondur. ta T tb iL (T ) iL (T ) L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Kayıpsızlık Özelliği Tanım: (Enerji) [t1, t2 ] aralığında bir elemana aktarılan toplam enerji w(t1, t2 ) [Joules] ‘dur. t2 w(t1, t2 ) ˆ v(t )i (t )dt t1 Kapasite Yük kontrollü kapasite elemanına ilişkin enerji kapasite gerilimi veya yük fonksiyonundan bağımsızdır. t1 ve t 2 anlarındaki yük değerleri ile t2 belirlenir. wC (t1, t2 ) v(q) t1 wC (q1, q2 ) Örnek: dq dt dt wL (1, 2 ) v(q)dq q1 wC (q1 , q2 ) 1 q 22 q12 2C wL (t1, t2 ) i ( ) t1 q2 q vC ( q ) C Endüktans Akı kontrollü endüktans elemanına ilişkin enerji endüktans akımı veya akı fonksiyonundan bağımsızdır. t ve t anlarındaki akı değerleri ile 1 2 t2 belirlenir. iL ( ) wL (1 , 2 ) 2 i( )d 1 L d dt dt 1 22 12 2L sonuç Kapasite Periyodik bir fonksiyon ile uyarıldığında, yük kontrollü kapasiteye ilişkin enerji bir peryod boyunca sıfırdır 1 1 2 WC (Q ) Q CV 2 2C 2 Bir kapasiteden alınabilecek maksimum enerji miktarı Endüktans Periyodik bir fonksiyon ile uyarıldığında, yük kontrollü kapasiteye ilişkin enerji bir peryod boyunca sıfırdır 1 2 1 WL ( ) LI 2 2L 2 Bir endüktanstan alınabilecek maksimum enerji miktarı 1. Mertebeden Lineer Devreler RTH iC vC vTH E.T.B+KGY dvC iC C CvC dt vC vTH vC RTH C RTH C E.T.B+KAY GN vL iL iN diL LiL dt i i iL L N GN L GN L vL L Durum Denklemleri, Kalman (1960) x ax bu, x(0) x0 L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York 1. Mertebeden Diferansiyel Denklem Çözümü x ax dx ax dt x(0) x0 x (t ) C t dx adt x 0 Inx (t ) InC at x(t ) In at C x(t ) Ceat t x (0) Cea 0 x(t ) eat x0 x ax u x(0) x0 varsayım: x(t ) S (t )e at d ( S (t )e at ) a ( S (t )e at ) u(t) dt dS(t) at at aS (t )e e aS (t )e at u(t) dt t dS(t) at e u(t) dt dS(t) e atu(t) dt varsayım: x(t ) S (t )e at t S (t ) e a u()d S (0) 0 t x(t ) S (0)e at e a (t )u ( ) d , 0 0 0 x(0) S (0)e a 0 e a (t )u ( )d , 0 t x(t ) e at x(0) e a (t )u ( ) d 0 t x(t ) e at x(0) e a (t )u ( ) d öz çözüm 0 zorlanmış çözüm t t