Hazırlayan Taha Burak ŞENKALP İSTATİSTİK-1 Doç. Dr. ERGİNBAY UĞURLU Aritmetik Ortalama • Üzerinde inceleme yapılan veri setindeki elemanların toplanıp incelenen eleman sayısına bölünmesiyle elde edilen yer ölçüsüne aritmetik ortalama denir. Serideki bütün değerlerden etkilenir. • Halk dilinde ortalama ifadesi kullanıldığında ilk akla gelen kavram aritmetik ortalamadır. • Örnek: – Sınav notlarının ortalaması, – Yaz aylarında m2 ’ye düşen ortalama yağış miktarı Aritmetik Ortalamanın Bazı Özellikleri •Aritmetik dizi şeklinde artış veya azalışı gösteren serileri eniyi temsil eden parametrik merkezi eğilim ölçüsüdür. •Serideki birimlerin a.o.dan sapmalarının toplamı sıfırdır. •Serideki birimlerin a.o.dan sapmaların kareleri toplamı minimumdur. • Örnek gözlemlerin tümü a gibi bir sabit ile çarpılırsa bu yeni veri setinin aritmetik ortalaması da eski veri setinin aritmetik ortalamasının a ile çarpımı kadar değişir. • Örnek gözlemlerin tümü a gibi bir sabit ile toplanırsa bu yeni veri setinin aritmetik ortalaması da eski veri setinin aritmetik ortalamasının a ile toplamı kadar değişir. • Aritmetik ortalama tüm verileri hesaplama fonksiyonu içinde kullanması nedeni ile güçlü bir istatistiktir. • Aritmetik ortalama verilerdeki uç değerlerden etkilenmesi ise bu istatistiğin zayıf yönünü oluşturur. Basit Seriler İçin Aritmetik Ortalama Örnek: Bir fabrikada çalışan 5 endüstri mühendisinin bildiği yabancı dil sayıları aşağıda verilmiştir. Buna göre bu mühendislerin bildiği yabancı dil sayısının aritmetik ortalamasını hesaplayınız. Gruplanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama Örnek: Bir Samsung bayisindeki LCD televizyonların ekran boyutlarına göre satış miktarları verilmiştir. Frekans dağılımının aritmetik ortalamasını hesaplayınız. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama • Sınıflanmış serilerde her bir sınıf içindeki değerlerin neler olduğu bilinmediğinden ve yalnızca her bir sınıfın frekans değerleri bilindiğinden sınıfı temsil etmek üzere sınıf orta noktaları hesaplanır. • Kullanılan formül gruplanmış seriler için kullanılan formüle benzerdir. 2.Ağırlıklı Aritmetik Ortalama. • Gözlemler belli bir kritere göre ağırlıklandırılmış ise ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılır. Ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılırken tüm gözlemlerin ağırlıkları eşit ise aritmetik ortalama ile aynı sonucu verir. İndex sayıların hesaplanmasında, yüzdelerin ortalamasında çarpımların ortalamasının alınmasında kullanılır. • Basit seriler için Örnek : Bir öğrenci w kredili, f adet dersten x notu almıştır Geometrik Ortalama • Bir veri setinde bulunan n adet elemanın çarpımının n nci dereceden kökünün alınmasıyla elde edilen yer ölçüsüdür • Geometrik ortalamanın formülüne bakıldığında hesaplama zorluğu olduğundan logaritma ifadesi kullanılır. Genellikle basit seriler için kullanışlı olup negatif sayılar için kullanışlı değildir. Geometrik Ortalama’nın Kullanım Alanları • Ortalama oranları, • Değişim Oranları, • Logaritmik dağılış gösteren veri setleri, için kullanışlıdır. Örnek: fiyat indeksleri, faiz formülleri. Harmonik Ortalama • Bir veri setinde bulunan n adet elemanın çarpma işlemine göre terslerinin aritmetik ortalamasının tersinin alınmasıyla elde edilen yer ölçüsüdür. Genellikle basit seriler için kullanışlıdır. Harmonik Ortalama’nın Kullanım Alanları • Belirli fiyat tipleri, • Zaman serileri, için kullanışlıdır. Harmonik Ortalama Formülleri; Harmonik Ortalamanın Özellikleri • Serideki terimlerden biri sıfır ise harmonik ortalama sıfır çıkar. • Seri terimleri farklı işaretli olursa harmonik ortalamanın sonucu anlam taşımaz. Mesela verilerimiz 4, -2, 1,2,5 olsun. Buna göre HO=5,05 çıkar. Bu sonuç, bir ortalama maksimum değerden daha büyük bir değere sahip olamayacağı için, ortalama olarak kabul edilmez. • HO ≤ GO ≤ AO ilişkisi vardır. • HO sınırlı hallerde kullanılır. Tersine çevrildiğinde taşıyacağı anlama önem verilen oran türündeki niceliklerin ortalamasını bulmak için kullanılır. Bu niceliklere örnek olarak fiyat=para/mal, prodüktivite=iş/emek, verim=ürün/ekim alanı, hız=uzaklık/zaman verilebilir.
