11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant

11.Konu
Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Asal sayılar
Bir tam sayının bölenleri
Modüler aritmetik
Bölünebilme kuralları
Lineer modüler aritmetik
Euler fonksiyonu
Özel bazı teoremler
Diofant denklemler
Alıştırmalar
1. Asal sayılar
1.Tanım: -1,0,1 den farklı bir p sayısının –p,-1,1,p den başka böleni yoksa bu
sayıya asal sayı denir. -1,0,1 den farklı asal olmayan bir sayıya bileşik sayı
denir.
1.Örnek: 2,-3,5,7,-11,29,41,-97,8191 asal sayılar
4,15,27,76 bileşik sayılar
( ) ( ) yanlıştır. 3+5 ≠ 2+4
Uyarı: p tam sayı asal ise –p de asaldır.
1.Teorem: Herhangi bir p asal sayısı, bir a tam sayısı ile ya aralarında
asaldır, veya p sayısı a sayısına böler.
İspat:
p asal olduğundan OBEB(p,a) ya 1 dir, veya p dir.
OBEB(p,a)=1 ise (a,p)=1.
OBEB(p,a)=p ise p|a.
2.Teorem:
ve p asal sayı olsun.
( ) (
)
İspat:
ise teorem doğrudur. p nin yı bölmediğini varsayalım.
(
)
ve ( )
.
3.Teorem: :
ve p asal sayı olsun.
(∏
)
(
)
İspat: Tümevarım yöntemi.
n=1 ise doğrudur.
B(n): (∏
) (
B(n+1): (∏
) (
(∏
) ( (∏
(
) veya
)
(
)
) veya
)
1
1.Sonuç: : p,
(∏
)
ve asal sayılar olsun.
(
)
2.Tanım: Bir tam sayını çarpanlarına ayırmak demek, bu tam sayıyı asal
sayıların çarpımı olarak yazmak demektir.
4.Teorem (Aritmetiğin Temel Teoremi): 1 den büyük her tam sayı ya
asaldır, ya da bu tam sayı asal sayıların çarpımı olarak çarpanların sırası önemli
olmamak üzere bir tek biçimde yazılabilir.
5.Teorem: Pozitif bir tam sayının 1 den farklı pozitif bölenlerinin en
küçüğü asal sayıdır.
6.Teorem:
olacak biçimde en büyük pozitif tam sayı k
olduğuna göre, a nin k den küçük veya k ya eşit olan pozitif bir asal böleni
vardır.
İspat: p sayı a sayının en küçük asal böleni olsun.
ve
.
olduğunu varsalayım.
ve
ve
ve
(
)
Bu sonuç k nin
ifadesini doğrulayan en büyük
tam sayı olması ile çelişir.
2.Örnek: 359 sayısının asal sayı olduğunu gösteriniz.
Karesi 359 küçük olan en büyük sayı 18 dir. 2,3,5,7,11,13,17
sayılarından 359 a böleni olan bulunmadığından 359 asal sayıdır.
2. Bir tam sayının bölenleri
3.Teorem: Pozitif bir a tam sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi,
olduğuna göre a pozitif bölenlerinin ( ) sayısı,
(
) (
)
(
) dir.
3.Örnek: 1400 sayısının kaç tane pozitif böleni vardır?
(3+1)(2+1)(1+1)=4.3.2=24
4.Teorem: Pozitif bir a tam sayının pozitif bölenlerinin sayısı ( ) olduğuna
( )
göre, a nin pozitif bölenlerinin çarpımı
dır.
4.Örnek: 60 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı
(2+1)(1+1)(1+1)=2.3.2=12 12:2=6
5.Teorem: Pozitif bir a tam sayısının asal çarpanlarının kuvvetlerine bağlı
olarak yazılış biçimi,
olduğuna göre a nın pozitif
bölenlerinin toplamı ( ) ise,
( )
dir.
5.Örnek: 120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı
2
(
)
(
)
( )
( )
=15.4.6=360
3. Modüler aritmetik
3.Tanım:
olsun.
için,
sayısı m sayısına bölünüyorsa x
sayısı y saysyna m modülüne göre denktir, denir.
Simgesi:
(
)
için m modülüne göre denk olmadığı:
(
)
(
)
Tamıma göre,
(
)
5.Örnek:
(
)
(
) olduğundan
(
)
(
) olduğundan
6.Teorem:
(
ve
)
dir.
7.Teorem:
(
8.Teorem:
(
a)
b)
c)
d)
e)
f)
9.Teorem:
(
ve
)
olsun.
x ile y nin m ye bölünmesinden elde edilen kalanlar eşittir.
(
ve
olmak üzere
) ise aşağıdaki önermeler doğrudur:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ve
olsun.
)
(
10.Teorem:
(
11.Teorem:
olsun.
)
ve
)
(
(
) ve
olsun.
)
)
(
)
(
)
4. Bölünebilme kuralları
12.Teorem:
olsun.
3
a) a nın 2 ile bölünebilmesi için birler basamağındaki rakamın gösterdiği
sayının 2 ile bölünmesi gerekir ve yeter
b) a nın 5 ile bölünebilmesi için birler basamağındaki rakamın gösterdiği
sayının 5 ile bölünmesi gerekir ve yeter
c) a nın 3 ile bölünebilmesi için basamaklardaki rakamların gösterdiği
sayıların toplamı 3 ile bölünebilmesi gerekir ve yeter
d) a nın 9 ile bölünebilmesi için basamaklardaki rakamların gösterdiği
sayıların toplamı 9 ile bölünebilmesi gerekir ve yeter
5. Lineer modüler aritmetik
(
) denkleme m
4.Tanım:
ve
olsun.
(
) açık önermesi
modüllü lineer denklem denir.
için doğru
ise a m modüllü lineer denkleminin bir kökü veya bir çözümü denir.
(
)
13.Teorem:
ve
olsun.
olmak
(
) açık önermesinin deki doğruluk kümesinin boş
üzerine,
kümeden farklı olması için, d nin b yi bölmesi gerekir ve yeter.
(
İspat:
( )
(
( )
) açık önermesinin deki doğruluk kümesi D olsun.
(
)
ve
(
)
)
(
=
)
(
(
)
(
)
(
)
(
14.Teorem:
ve
olsun
önermesinin deki doğruluk kümesinin D olduğuna göre,
(
15.Teorem:
)
) açık
̅ )
ve
olsun.
(
)
olsun.
(
) açık önermesinin
a) d sayısı b sayısını bölmüyorsa,
deki doğruluk kümesi boş kümedir.
(
) açık önermesinin
b) d sayısı b sayısını bölüyorsa,
deki doğruluk kümesi m nın farklı kalan sınıflarından d tanesinin
birleşimidir.
6. Euler fonksiyonu
4
5.Tanım:
olsun. ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların
sayısı ( ) olduğuna göre
dan ye tanımlanan
fonksiyonuna Euler`in
fonksiyonu denir.
6.Örnek: ( )
18 ile asal pozitif tam sayılarının kümesi A={1,5,7,11,13,17}.
( )
( )
16.Teorem:
olsun. asal ise ( )
7.Örnek:
( )
(
)
(
)
aralarında asalolsun.
17.Teorem:
( )
ise
( ) ( )
7. Özel bazı teoremler
)
17.Teorem (Wilson): asal sayı ise (
(
)
tam sayısı pozitif bir m tam sayısı ile asal ise
18.Teorem (Euler):
(
)
( )
19.Teorem (Fermat):
bölünemiyorsa,
(
tam sayısı pozitif bir p asal sayısı ile
)
8. Diophant denklemler
)
5.Tanım: (
biçimde yazılan denklemlere Diophant
denklemler denir, burada
değişkenlerin değerleri tam sayılar, P
tamsayılı fonksiyondur (katsayıları tam sayılar olan polinomlar da olabilir).

Örnek
Bu eşitlikte her bir x değeri için tek bir y çözümü vardır (
kümesi; (X, 1 − X) şeklindedir her X Z için
). Bu eşitliğin çözüm
Bu defa x'in herhangi bir tam sayı olamayacağı fakat sadece tek sayı olabileceği görülüyor (
). Bu eşitliğin çözüm kümesi; (1-2y, y) şeklindedir her y Z için
5
Bu eşitliğin çözüm kümesi boş kümedir. Her ve tam sayı seçimi için bu denklemin sol
tarafı her zaman 3'ün katı olduğu halde sağ tarafı hiç bir zaman 3'ün katı olamaz.
Şeklindedir. Burada a, b ve c tam katsayılar
ve tamsayı değişkenlerdir.
Burada
tamsayıları dik üçgenin kenar uzunluklarını da temsil ettiği için Pisagor üçlemi
olarak da adlandırılır.
Fermat Denklemi
Bu eşitliğin
yoktur.
,n>2
tamsayı değişkenlerinden en az birinin 0 olması durumu dışında çözümü
Pell'in Denklemi
, n>0 ve n tamsayısı tam kare değildir
11.Alıştırmalar
1. 179, 539,267,781 sayılarından hangileri asal sayı, hangileri bileşik
sayıdır?
2. 4680,1273 ve 1321 sayılarından her birinin kaç tane pozitif böleni vardır?
3. 4680,1273 ve 1321 sayılarından her birinin pozitif bölenleri toplamı
nedir?
4.
için
(
)olduğunu gösteriniz.
5.
(
) açık önermesini doğrulayan en küçük pozitif
tam sayı hangisidir?
6.
sayısının 6 ile bölünmesinden elde edilen kalan nedir?
7.
sayısının 7 ile bölünmesinden elde edilen kalan nedir?
8. Her n doğal sayısı için (
) sayısının 7 sayısına bölündüğünü
gösteriniz.
9. Her n doğal sayısı için
sayısının 7 sayısına bölündüğünü
gösteriniz.
10.Her n doğal sayısı için
sayısının 8 sayısına
bölündüğünü gösteriniz.
11.Her n doğal sayısı için
sayısının 8 sayısına bölündüğünü
gösteriniz.
12.Aşağıdaki açık önermelerden her birinin deki doğruluk kümesi nedir?
a)
(
) b)
(
)
( )
( )
( )
13. asal sayı olsun. ( )
önermesinin doğru olup olmadığını gösteriniz.
(
) sayısının p ile bölündüğünü gösteriniz.
14. asal sayı ise
15.
(
) denkleminin çözüm cümlesini bulunuz.
6
16.
, p asal sayı ise
sayısının p ile bölündüğünü gösteriniz.
7