KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls Momentum) Önceki bölümlerde kuvvet, hız ve zaman içeren problemlerin impuls ve momentum prensibi kullanılarak kolayca çözülebileceğini ifade etmiştik. Bu bölümde bir rijit cisim için impuls ve momentum denklemini elde edeceğiz. Burada, düzlemsel hareketin üç hali öteleme, sabit bir eksen etrafında dönme ve genel düzlemsel hareket ele alınacaktır. Lineer Momentum: Bir rijit cismin lineer momentumu, cismi oluşturan partiküllerin lineer momentumlarının vektörel toplamından elde edilir, = ∑ . Bu ifade =∑ şeklinde yazılarak basitleştirilebilir. = Bu denklem, bir cismin lineer momentumun büyüklüğü olan bir vektör olduğunu ⁄ dir ve yönü ifade eder. Lineer momentumun birim sistemindeki birimi kütle merkezinin hızının yönüyle aynıdır. KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Açısal Momentum) Açısal Momentum: Genel düzlemsel hareket yapan rijit cismi ele alalım. Şekilde verilen anda keyfi seçilen bir noktasının hızı ve cismin açısal hızı dır. Bağıl hız ifadesi kullanılarak partikülünün hızı = + ⁄ partikülünün noktası etrafındaki açısal momentumu partikülün lineer momentumunun P noktasına göre momentidir. = × Partikülüm Momentum diyagramı partikülünün bağıl hız ifadesini, kartezyen koordinat sistemindeki birim vektörler yardımıyla açısal momentum denkleminde yerine yazarsak = + × =− → yazılarak cismin toplam kütlesi + + + × + + üzerinde integral alınır. ∑ = KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Açısal Momentum) =− ∫ + ∫ + ∫ cismin noktasından geçen hareket düzlemine dik eksen (z-ekseni) etrafındaki açısal momentumudur. =∫ ve =∫ olduğundan sağdaki ilk iki terimdeki integraller ağırlık merkezi nin noktasına göre yerini göstermektedir. Ayrıca, son integral cismin noktasından geçen eksene (z-ekseni) göre atalet momentidir. Bu dönüşümler yerlerine yazılırsa, =− noktası cismin kütle merkezi yukarıdaki ifade + + noktası ile çakışırsa = = olacağından = Bu denklem, bir rijit cismin noktasına göre açısal momentumunun cismin noktasından geçen eksene göre kütle atalet momenti ile cismin açısal hızının çarpımına eşit olduğunu ifade eder. ’ nin büyüklüğü olup yönü hareket düzlemine daima dik olan ’nın yönüyle tanımlanır. birim sisteminde açısal ⁄ dir. momentumun birimi KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Açısal Momentum) noktası sabit bir nokta veya noktasının hızı çizgisi boyunca ise, + yazılabilir. Yukarıda verilen eşitlik G noktasının hız bileşenleri ve ile cismin atalet momenti cinsinden de yazılabilir. noktasının koordinatları , olduğundan paralel eksenler teoremi kullanılarak = + + yazılabilir. = − + + + + Denklemdeki vektörel çarpım işlemleri yapılarak ve li terimler birbirine eşitlenirse = − = + şeklinde iki skaler denklem elde edilir. Bu ifadeler denklemde yerine yazıldığında = + + KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Açısal Momentum) = + + Cismin Momentum diyagramı Bir cismin noktasına göre açısal momentumu, cismin lineer momentumu veya ve bileşenlerinin P noktasına göre momentleri ile açısal momentum ’nın toplamına eşittir. serbest bir vektör olduğundan ’nin büyüklüğü ve doğrultusu sabit kalmak şartıyla, cismin herhangi bir noktasına etki edebileceğine dikkat ediniz. Ayrıca, açısal momentum lineer momentumun momenti olduğundan ’nin tesir çizgisi cismin kütle merkezi ’den geçmek zorundadır. KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Öteleme) Öteleme: Kütlesi olan rijit cisim doğrusal veya eğrisel ötelenme hareketi yapıyorsa, kütle merkezinin hızı = ve açısal hızı = dır. Böylece cismin noktası etrafında hesaplanan lineer momentumu ve açısal momentumu = = Açısal momentum cisim üzerinde veya dışında bir noktası etrafında hesaplanırsa, lineer momentumun momenti de bu noktaya göre alınmalıdır. Moment kolu olduğundan = olur. KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Sabit Eksen Etrafında Dönme) Sabit Eksen Etrafında Dönme: Kütlesi olan rijit cisim noktasından geçen sabit bir eksen etrafında dönüyorsa, noktası etrafında hesaplanan lineer momentumu ve açısal momentumu = = Bazı durumlarda, cismin açısal momentumunu cismin noktası etrafında hesaplamak uygun olur. Bu durumda, noktasına göre moment alınırken ve ’nin her ikisinin momentleri hesaba katılmalıdır. veya daima = = + ⁄ ’ya dik olduğundan ⁄ ⁄ = + Köşeli parantez içinde verilen ifadenin cismin atalet momenti olduğu görülebilir. = ⁄ dan geçen eksen etrafındaki kütle KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Genel Düzlemsel Hareket) Genel Düzlemsel Hareket: Kütlesi olan rijit cisim genel düzlemsel hareket yapıyorsa, cismin noktası etrafındaki lineer momentumu ve açısal momentumu = = Açısal momentum cismin üzerindeki veya dışındaki, bir noktası etrafında hesaplanırsa, noktasına göre moment alınırken ve nin her ikisinin bu noktaya göre momentleri hesaba katılmalıdır. = + KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi) İmpuls ve Momentum Prensibi: Rijit cisim için impuls ve momentum prensibi, hareket denklemi ile kinematiğin birleşiminden elde edilir. Bu denklem kuvvet, hız ve zaman içeren problemlerin doğrudan çözümüne imkan verir. Lineer İmpuls ve Momentum Prensibi: Öteleme hareketi yapan rijit cisim için hareket denklemi ∑ = = şeklinde yazılır. Cismin kütlesi sabit olduğundan ∑ = Denklemin her iki tarafını ile çarpar ve = sınır şartları altında integrali alınırsa ∑∫ = de = ve = de = − Bu denklem, lineer impuls ve momentum prensibi olarak bilinir. ve arasında cisme etkiyen dış kuvvetlerin neden olduğu bütün impulsların toplamının bu zaman aralığında cismin lineer momentumundaki değişime eşit olduğunu ifade eder. KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi) Açısal İmpuls ve Momentum Prensibi: Cisim genel düzlemsel hareket yapıyorsa ∑ = = Belirli bir cisim için kütle atalet momenti sabit olduğundan ∑ Denklemin her iki tarafını ile çarpar ve şartları altında integral alınırsa, ∑∫ Benzer şekilde, = = = de = ve = de = sınır − noktasından geçen sabit bir eksen etrafında dönen cisim için ∑∫ = − Denklemlerine açısal impuls ve momentum prensibi denir. Bu iki denklem ve arasında cisme etkiyen bütün açısal impulsların toplamının bu zaman aralığında rijit cismin açısal momentumundaki değişime eşit olduğunu ifade eder. KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi) Özet olarak, hareket − düzleminde oluşmaktaysa impuls ve momentum prensiplerini kullanarak cismin düzlemsel hareketini tanımlayan +∑∫ = + ∑∫ = +∑∫ = üç skaler denklem yazılabilir. İlk iki denklem − düzlemindeki lineer impuls ve momentum prensibini tanımlarken üçüncü denklem zekseni etrafındaki açısal impuls ve momentum prensibini tanımlar. Şekilde, lineer momentumlarının cismin kütle merkezine uygulandıklarına, açısal momentumları ise serbest vektör olduğundan bir moment gibi cisim üzerinde herhangi bir noktaya uygulanabilir. İmpuls diyagramı çizilirken zamanla değişen ve vektörleri integral şeklinde gösterilmelidir. Ancak, ve vektörleri ve arasında sabit ise integral sonucu − ve − olur. Böylesi bir durum cismin ağırlığı için söz konusu olabilir. Skaler denklemler, birbirine bağlı elemanlardan oluşan sistemlere, sistemi oluşturan elemanlar birbirinden ayrılmadan uygulanabilir. Bu durumda bağlantı noktalarındaki tepki kuvvetleri iç kuvvet olacağından bu kuvvetlerin impulsları dikkate alınmaz. KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi) İmpuls ve Momentum Prensibinin şematik gösterimi KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi) Lineer Momentumun Korunumu. Birbirine bağlı rijit cisim sistemine etkiyen lineer impulsların toplamı sifır ise sistemin lineer momentumu sabittir veya korunur. Bu durum sembolik olarak ∑( ) = ∑( ) şeklinde yazılabilir. Bu denkleme lineer momentumun korunumu denir. Lineer impulsların küçük veya non-impulsif olduğu belli bir doğrultuda kullanılması hesaplamalarda kayda değer hatalar oluşturmaz. Küçük kuvvetler kısa zaman aralıklarında uygulandıklarında non-impulsif sayılabilirler. Örneğin, bir tenis raketinin tenis topuna çok kısa bir zaman aralığı olan çarpışma süresinde, yani ∆ aralığında, uyguladığı impuls büyüktür ve ihmal edilemez. Ancak tenis topunun ağırlığı çok küçük olduğundan çok kısa bir aralık olan ∆ müddetinde bu kuvvetin impulsu ihmal edilebilir. KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi) Açısal Momentumun Korunumu. Sisteme etkiyen dış kuvvetlerin meydana getirdiği açısal impulsların toplamı sıfır veya non-impulsif ise birbirine bağlı rijit cisim sisteminin, sistemin kütle merkezi etrafındaki veya sabit bir noktası etrafındaki, açısal momentumu korunur. ∑( ç ) = ∑( ç ) Bu denkleme açısal momentumun korunumu denir. Sistem bir tek cisimden ibaretse açısal momentumun korunumu noktasına uygulanırsa = olur. Bu denklemi anlaşılabilir kılmak için, sıçrama tahtasından atlayarak seri bir taklalar dizisinden sonra suya dalmak isteyen bir yüzücüyü ele alalım. Yüzücü tahtadan zıpladıktan sonra havada iken kollarını ve ayaklarını karnına yaklaştırarak vücudunun atalet momentini küçültür, sabit olmak zorunda olduğundan açısal hızı artar. Suya çarpmadan hemen önce vücudunu tekrar açarak atalet momentini artırır ve açısal hızı azalır. Yüzücünün ağırlığı hareket boyunca lineer impuls meydana getirdiğinden bu örnek aynı zamanda cismin açısal momentumu korunurken lineer momentumunun korunmadığını gösterir. Buna benzer durumlar, lineer impuls oluşturan dış kuvvetlerin doğrultusu kütle merkezinden veya sabit bir dönme ekseninden geçmesi durumunda da ortaya çıkar. ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi) Ağırlığı disk merkezinden pimle sabitlenmiştir. = sabit moment ve çevresine sarılı ip vasıtasıyla = konsantre kuvvete maruz disk başlangıçta hareketsizdir. Dış kuvvetler etkisiyle harekete geçen diskin 2 saniye sonraki açısal hızını belirleyiniz. ’ daki pimde oluşan tepki kuvvetinin bileşenleri hesaplayınız. ÇÖZÜM Serbest Cisim Diyagramı. Diskin kütle merkezi pimle bağlı olduğundan ötelenme hareketi oluşmaz. Uygulanan dış kuvvetler sadece diskin saat yönünde dönmesine neden olur. Diskin sabit dönme eksenine göre kütle atalet momenti = = . ⁄ . = . ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi) İmpuls ve Momentum Prensibi + ∑∫ = ; + = + ∑∫ = ; + − + ∑∫ Denklem = , ; + ün çözümünden, − + = , = = . , = . = ⁄ ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi) B bloğunun kütlesi 6 kg’dır. Blok, kütle atalet momenti = . olan disk çevresine sarılı ipe bağlıdır. Aşağı doğru / hızla hareket eden bloğun saniyedeki hızını hesaplayınız. İpin kütlesini ihmal ediniz. . Cismin Serbest Cisim ve Momentum Diyagramı ÇÖZÜM. Serbest Cisim Diyagramı. Diskin hareketine bloğun ağırlığı neden olmakta olup bu kuvvet sabittir. Bloğun aşağı doğru hızıyla hareket etmesi diskin saat yönünde açısal hızıyla dönmesine sebep olur. ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi) İmpuls Momentum Prensibi. Açısal momentum prensibini noktasına göre yazarak ve elimine edilebilir. +∑∫ Disk için; . + . + ∑∫ Blok için; − = ⁄ + − = . = . =− Kinematikten. ⁄ )⁄ . Hız ve açısal hız arasındaki ilişki = / olup =( = / ve ⁄ . = = dir. Diskin açısal hızı, bloğun hızı cinsinden denklemde yerine yazılıp iki denklem için ortak çözüm yapılarak belirlenir. = ⁄ () ÖRNEK (II. YÖNTEM) İmpuls Momentum Diyagramı. Bloğun hızını, blok, ip ve diskin oluşturduğu bir sistem olarak göz önüne alarak daha doğrudan bir yaklaşımla da elde edebiliriz. İmpuls ve momentum diyagramlarını kullanarak noktasına göre Açısal impuls ve momentum prensibini yazabiliriz. Açısal İmpuls ve Momentum Prensibi. Kinematikten =( ⁄ . ve = = olduğunu hatırlayınız. ⁄ )⁄ . = / ÖRNEK = ç ç + ( ( ⁄ = ) + . . + ( ) + . + . / = ç = ⁄ ) = ( ) ⁄ + . . () + . ⁄ ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi) 100 kg makaranın kütle atalet yarıçapı = . ’dir. Makara göbeğinin çevresine sarılı ipe, saniye cinsinden olmak üzere, büyüklüğü zamana bağlı değişen =( + ) yatay kuvveti uygulanmaktadır. Başlangıçta hareketsiz olan makaranın, saniyedeki açısal hızını belirleyiniz. Makara zeminde kaymadan yuvarlanmaktadır. ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi) Cismin Serbest Cisim ve Momentum Diyagramı ÇÖZÜM Serbest Cisim Diyagramı. Serbest cisim diyagramından değişken kuvvetinin değişken sürtünme kuvvetine neden olduğu görülür. ve tarafından meydana getirilen impulslar integralle belirlenmelidir. kuvveti, makaranın kütle merkezinin sağa doğru hızı kazanmasına sebep olur. Bu yüzden makaranın açısal hızı saatin dönme yönünde olur. Makaranın kütle merkezine göre kütle atalet momenti = = . = . ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi) +∫ +∫ = + −∫ . −∫ = = ( ) Serbest cisim ve momentum diyagram + ∫ + . + ∫ . + ∑∫ = + ∫ . = . = . ( ) ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi) Kinematik. Makara kaymadan yuvarlandığı için ani dönme merkezi A noktasındadır. Bu durumda, makaranın kütle merkezinin hızı, açısal hız cinsinden = . şeklinde ifade edilir. denklemlerde yerine yazılarak Denklem ( ) ve ( ) den bilinmeyen ∫ impulsu elimine edilirse, = . /