1. Verilen Topoloji ve Fonksiyonlarla Yeni Topoloji

1. Verilen Topoloji ve
Fonksiyonlarla Yeni Topoloji
Üretmek
Bir önceki bölümde, X boş kümeden farklı bir küme ve B ⊂ P(X) olmak üzere,
B tarafından üretilen topolojiden bahsedildi. Bu topolojiyi τ ile österelim. Her
B ∈ B için X’den {0, 1}’e tanımlı B’nin karakteristik fonksiyonu χB olmak
üzere,
B → {χB : B ∈ B}, B → χB
olarak tanımlanan fonksiyonun birebir ve örten olduğu dikkate alınarak ve
Y = {0, 1} ayrık uzay olmak üzere (bu topolojisini τY ile gösterelim), τ topolojisinin,
{χB −1 (U ) : B ∈ B, U ∈ τY }
tarafından üretilen topoloji olduğunu göstermek zor değildir. Bu gözlemin
vermiş olduğu motivasyonla aşağıdaki soruyu sorabiliriz:
X 6= ∅ bir küme, (Y, τY ) topolojik uzay ve I indeks küme olmak üzere her
i ∈ I için fi : X → Y bir fonksiyon olmak üzere, X üzerinde
{fi−1 (U ) : i ∈ I, U ∈ tY }
kümesi tarafından üretilen topolojilerin özellikleri nelerdir?
Bu bölümde bu sorunun bir kısmı yanıtlanacak ve çeştlendirilecektir. Daha
açık bir söylemle: Bir matematiksel ”uzay” verildiğinde, bu uzayın ”altuzayı,
bölüm uzayı, çarpım uzayını” tanımlamadan ve çalışmadan bazı şeyler hep eksik kalır! Bu nedenle, bir topolojik uzayın altuzayını, bölüm uzayını ve çarpım
uzayını tanımlamak bir yönüyle zorunluluktur. Bu bölümde bunu yapacağız.
2
1. Verilen Topoloji ve Fonksiyonlarla Yeni Topoloji Üretmek
1.1
Tanım Seviyesinde Süreklilik Kavramı
Iki topolojik uzay arasındaki ”topolojik benzerliklerin” ne olduğunu anlamanın
temel aygıtı sürekli fonksiyon kavramıdır. Iki topolojik uzay arasında tanımlı
süreklilik kavramı, Calculus seviyesinde verilen ∅ 6= A ⊂ R’den R’ye tanımlı
fonksiyonların sürekliğinin genellemesidir.
Bu kısımda sürekli fonksiyonların tanımı ve bir arakterizasyonu verilecek,
fakat detaylara girilmeyecektir. Buna karşın ileriki konularda bazı detaylar
verilecektir.
Notasyon hatırlatması yapalım: f : X → Y bir fonksiyon olmak üzere, her
A ⊂ X ve B ⊂ Y için
f (A) = {f (x) : x ∈ A} ve f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}
yazarız. (X, τX ) ve (Y, τY ) iki topolojik uzay ise,
f (τX ) = {f (U ) : U ∈ τX }
ve
f −1 (τX ) = {f −1 (U ) : U ∈ τY }
yazacağız.
Tanım 1.1. 1 (X, τX ) ve (X, τX ) iki topolojik uzay ve f : X → Y bır fonksiyon
olsun. x ∈ X için eğer
{f −1 (U ) : x ∈ U ∈ τY } ⊂ τX }
sağlanıyor ise f fonksiyonu x noktasında noktasıda sürekli denir.
f −1 (τY ) ⊂ τX
ise, f ’ye sürekli denir.
Aşağıki teorem süreklilikle ilgili en temel teoremlerden biridir.
Teorem 1.1. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y fonksiyonu verilsin.
Aşağıdakilerin denktir.
(i) f , her x ∈ X noktasında süreklidir.
(ii) f süreklidir.
1
∅ =
6 A ⊂ R’den R’ye tanımlı sürekli fonksiyonların tanımı, − δ terimiyle B. Bolzona
tarfından 1817 yılında verilmiştir. Süreklilik kavramı soyut düzeyde 1910 yılında Frechet
tarafından gözlemlenmesine karşın, bu konuda geniş ve sistematik bir tanımlama ve çalışma
1914 de Hausdorff tarafından yapılmıştır.
1.1. Tanım Seviyesinde Süreklilik Kavramı
3
(iii) K ⊂ Y kapalı ise f −1 (K) kapalıdır.
(iv) Her A ⊂ X için f (A) ⊂ f (A).
(v) Her A ⊂ X için (f (A))o ⊂ f (Ao ).
Kanıt:
(i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ (iii) ve (iv) ⇐⇒ (v)
olduğu bariz. (iii) =⇒ (iv): A ⊂ X verilsin. A ⊂ f −1 (f (A)) ve f −1 (f (A))
kapalı olduğundan
A ⊂ f −1 (f (A)),
ve buradan da
f (A) ⊂ f (f −1 (f (A))) ⊂ f (A)
elde edilir. Yani (iv) gerçekleşir.
(iv) =⇒ (iii): K ⊂ X kapalı olsun.
f (f −1 (K)) ⊂ f (f −1 (K)) ⊂ K = K
olduğundan, f −1 (K) ⊂ f −1 (K) elde edilir. Bu bize f −1 (K)’nın kapalı olduğunu
söyler, yani (iii) gerçekleşr.
Iki kume arasında birebir ve örten fonksiyon var ise, bu iki kümeye ”eşdeğer”
olarak bakabiliriz. Yine, iki grup arasında bir grup izomorfizma var ise bu iki
grup eşdeğerdir. Iki topolojik uzayı ne zaman ”eşdeğer” olarak görebiliz? Bu
sorunun yanıtı aşağıdaki tanımdadır.
Tanım 1.2. X ve Y iki topolojik uzay olmak üzere, birebir, öten, kendisi ve
ters fonksiyonu sürekli olan f : X → Y fonksiyonuna homeomorfizma denir.
Aralarında homeomorfizma olan iki topolojik uzaya topolojik eşyapılı (ya
da homeomorfik uzaylar denir.
Alıştırmalar
1.1. X 6= ∅ olsun. τ1 ve τ2 , X üzerinde iki topoloji ve i : (X, τ1 ) → (X, τ2 ) fonksiyonu
i(x) = x olarak tanımlansın. Aşağıdakilirin denkliğini gösteriniz.
(i) f süreklidir.
(i) τ1 , τ2 ’den daha incedir, yani, τ1 ⊂ τ2 dir.
Ayrıca i’nin bir homeomorfizma olması için gerekli ve yeterli koşulun τ1 = τ2 olması
gerektiğini gösteriniz.
1.2. |X| > 1 olmak üzere, X kümesi üzerinde τ1 en ince topoloji ve τ2 en kalın topoloji
olsun. i(x) = x olarak tanımlanan fonksiyonunun sürekli birebir ve örten olmasına karşın
homeomorfizma olmadığını gösteriniz.
4
1. Verilen Topoloji ve Fonksiyonlarla Yeni Topoloji Üretmek
1.3. X, Y ve Z topolojik uzay ve f : X → Y , g : Y → Z sürekli fonksiyonlar olsunlar.
g ◦ f : X → Z fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.
1.4. τ , X üzerinde en kalın topoloji ve Y bir topolojik uzay olsun. X’den Y ’ye tanımlı sürekli
her fonksiyonun sabit olduğunu gösteriniz.
1.5. Y bir topolojik uzay ve ∅ 6= X kümesi verilsin. X üzerine nasıl bir topoloji konmalıd ki,
X’den Y ’ye tanımlı her fonksiyon sürekli olsun?
1.6. (Calculus anlamında sürekliliğe göre) (0, 1)’de R’ye tanımlı birebir, örten kendisi ve tersi
sürekli fonksiyonun varlığını gösteriniz. En ince topolojilerden farklı hangi tür topolojiler
altında (0, 1) ve R topolojik uzayları topolojik eşyapılıdır?
1.7. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y fonksiyonu verilsin. Aşağıdakilerin denkliğini
kanıtlayınız.
(i) f süreklidir.
(ii) B ⊂ Y için f −1 (B) ⊂ f −1 (B).
(iii) B ⊂ Y için f −1 (B o ) ⊂ f −1 (B o ).
Kanıt: (i) =⇒ (ii): B ⊂ Y verilsin.
f (f −1 (B)) ⊂ f (f −1 (B)) ⊂ B
olmasından istenilen elde edilir.
(ii) =⇒ (iii): B ⊂ Y için
Bo = Y \ Y \ B
olması dikkate alınarak istenilen elde edilir.
(iii) =⇒ (i): U ⊂ Y açık olsun.
f −1 (U ) = f −1 (U o ) ⊂ (f −1 (U ))o ⊂ (f −1 (U ))
olmasından, f −1 (U ) açıktır.
1.8. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y sürekli ve örten olsun. A ⊂ X yoğun ise,
f (A)’nın yoğun olduğunu gösteriniz.
1.9. (X, τX ) ve (Y, τY ) iki topolojik uzay ve f : X → Y bir fonksiyon olsun. f (τX ) ⊂ τY
ise, f ’ye açık fonksiyon denir. Benzer biçimde kapalı her K ⊂ X için f (K) kapalı
ise, f ’ye kapalı fonksiyon2 denir. Kapalı, açık ve sürekli fonksiyonların birinin diğerini
gerektireceği/gerektirmeyeceği durumlarını tartışınız.
2
Kapalı fonksiyonlar kavramı Hurewicz (1926) ve Alexandroff (1927) tarafından verilmiştır.