Untitled - Pegem.net

advertisement
Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu
KPSS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI KİTAP
ISBN 978-605-318-091-3
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
© Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ
SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir
kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da
kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi
Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”
27.Baskı: Temmuz 2015, Ankara
Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu
Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti
İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A
Yenimahalle/ANKARA
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 13987
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.net
E-ileti: pegem@pegem.net
SUNU
Değerli Adaylar;
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde
önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır.
Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;
GEOMETRİ
- Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar,
- Çokgenler ve Dörtgenler,
- Çember ve Daire,
- Analitik Geometri ve
- Katı Cisimler
bölümlerinden oluşmaktadır.
Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve
anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir.
Her ünitenin sonunda,
- çıkmış sorular ve
- cevaplı testlere;
yer verilmiştir.
Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi sınav komisyonuna teşekkürü bir
borç biliriz.
Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da
arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Kerem Köker - Kenan Osmanoğlu
İÇİNDEKİLER
1. BÖLÜM
GEOMETRİK KAVRAMLAR VE
DOĞRUDA AÇILAR....................................................1
Geometrik Kavramlar................................................2
Tanımsız Kavramlar...................................................2
Açılar..........................................................................2
Açının Ölçüsü............................................................2
Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler..........................2
Açı Ölçü Birimleri......................................................2
Derecenin Alt Birimleri..............................................3
Açı Çeşitleri................................................................3
Dar Açı........................................................................3
Dik Açı........................................................................3
Geniş Açı....................................................................3
Doğru Açı...................................................................3
Tam Açı.......................................................................3
Komşu Açılar.............................................................3
Açıortay......................................................................3
Tümler Açılar..............................................................4
Bütünler Açılar...........................................................4
Ters Açılar..................................................................5
Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile
Yaptığı Açılar..............................................................5
Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen
İle Meydana Getirdiği Açılar.....................................5
Kenarları Paralel Açılar.............................................7
Kenarları Dik Açılar...................................................7
Üçgenler.....................................................................10
Üçgen Çeşitleri..........................................................10
Ağırlık Merkezi...........................................................25
Kenarortay Bağıntıları...............................................27
Özel Üçgenler............................................................29
İkizkenar Üçgen.........................................................29
Eşkenar Üçgen..........................................................31
Üçgende Alan.............................................................35
Üçgende Benzerlik....................................................40
Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı................................40
Tales Teoremi.............................................................42
Temel Orantı Teoremi................................................42
Çapraz Tales Teoremi................................................43
Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı......................44
Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı..................45
Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları..............................48
Üçgen Eşitsizliği........................................................48
Çıkmış Sorular...........................................................53
Cevaplı Test - 1 .........................................................56
Cevaplı Test - 2 .........................................................58
Cevaplı Test - 3 .........................................................60
Cevaplı Test - 4 .........................................................62
Cevaplı Test - 5 .........................................................64
Cevaplı Test - 6 .........................................................66
Cevaplı Test - 7 .........................................................68
Cevaplı Test - 8 .........................................................70
Cevaplı Test - 9 .........................................................72
Cevaplı Test - 10 .......................................................74
Cevaplı Test - 11 ........................................................76
Cevaplı Test - 12 .......................................................78
Cevaplı Test - 13 .......................................................80
Açılarına Göre Üçgenler...........................................10
Kenarlarına Göre Üçgenler.......................................10
Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar...................11
Yükseklik....................................................................11
Açıortay......................................................................11
Kenarortay.................................................................11
Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler............................12
Dik Üçgen...................................................................16
Pisagor Teoremi.........................................................16
Öklid Bağıntıları.........................................................17
Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler........................18
Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler............................19
Üçgende Açıortay Teoremleri...................................21
İç Açıortay Teoremi...................................................22
Dış Açıortay Teoremi.................................................23
Üçgende Kenarortay Teoremleri..............................25
2. BÖLÜM
ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER..............................83
Çokgenler...................................................................84
Dışbükey ve İçbükey Çokgenler..............................84
Düzgün Çokgen.........................................................85
Dörtgenler..................................................................90
Dörtgenlerde Alan.....................................................91
Paralelkenar...............................................................93
Paralelkenarda Alan..................................................94
Paralelkenarın Alan Özellikleri.................................94
Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler..............96
Eşkenar Dörtgen........................................................97
Dikdörtgen .................................................................98
Kare............................................................................100
4. BÖLÜM
Yamuk – Deltoid.........................................................102
ANALİTİK GEOMETRİ................................................147
İkizkenar Yamuk.........................................................105
Noktanın Analitik İncelenmesi..................................148
Dik Yamuk..................................................................107
Analitik Düzlem..........................................................148
Deltoid........................................................................107
İki Nokta Arasındaki Uzaklık.....................................149
Çıkmış Sorular...........................................................108
Doğrusal Noktalar.....................................................150
Cevaplı Test - 1 .........................................................110
Doğrusal Olmayan Noktalar.....................................152
Cevaplı Test - 2 .........................................................112
Doğrunun Analitik İncelenmesi................................155
Cevaplı Test - 3 .........................................................114
Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi................................155
Cevaplı Test - 4 .........................................................116
Doğrunun Grafiğinin Çizimi......................................157
Cevaplı Test - 5 .........................................................118
Doğrunun Denklemleri..............................................158
Özel Doğrular.............................................................160
3. BÖLÜM
ÇEMBER VE DAİRE...................................................121
Çemberde Açı............................................................122
Çemberde Yardımcı Elemanlar.................................122
Çemberde Yay ve Açı Özellikleri..............................123
Merkez Açı..................................................................123
Çevre Açı....................................................................124
Teğet Kiriş Açı............................................................125
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları...................160
Doğru Demeti.............................................................162
Simetriler....................................................................165
Noktanın Simetriği.....................................................165
Doğrunun Simetriği...................................................168
Eşitsizlikler.................................................................170
Çıkmış Sorular...........................................................172
Cevaplı Test................................................................173
İç Açı...........................................................................125
Dış Açı........................................................................125
5. BÖLÜM
Çemberde Kiriş Yay Özellikleri.................................127
KATI CİSİMLER..........................................................175
Kirişler Dörtgeni........................................................127
Prizma.........................................................................176
Çemberde Uzunluk....................................................128
Dikdörtgenler Prizması.............................................177
Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti.................128
Küp..............................................................................179
Kuvvet Ekseni............................................................130
Silindir........................................................................179
İki Çemberin Ortak Teğetleri.....................................131
Dönel Silindir.............................................................180
İki Çemberin Birbirine Göre Durumları....................133
Piramit........................................................................182
Üçgenin Çemberleri..................................................133
Düzgün Piramit..........................................................182
Üçgenin İç Teğet Çemberi.........................................133
Kesik Piramit..............................................................183
Üçgenin Dış Teğet Çemberi......................................134
Koni.............................................................................183
Teğetler Dörtgeni.......................................................134
Küre............................................................................185
Dairede Alan...............................................................135
Çıkmış Sorular...........................................................186
Dairenin Alanı ve Çevresi.........................................135
Cevaplı Testler - 1 .....................................................187
Daire Diliminin Alanı..................................................135
Cevaplı Testler - 2 .....................................................189
Çember Yayının Uzunluğu........................................135
Daire Kesmesinin Alanı.............................................135
Daire Halkasının Alanı...............................................136
Çemberde Benzerlik..................................................137
Çıkmış Sorular...........................................................139
Cevaplı Test - 1 .........................................................140
Cevaplı Test - 2 .........................................................142
Cevaplı Test - 3 .........................................................144
2015
PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR
1.
6 5 4 5
: c − : m işleminin sonucu kaçtır?
5 2 2 6
A) –12
B) –6
C) 6
D) 12
5.
E) 24
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap
Sayfa 169 / 5. soru
10 ! - 9 !
8! + 7!
işleminin sonucu kaçtır?
A) 64
B) 65
C) 68
D) 70
E) 72
Modüler Soru Bankası Sayfa 117 / Soru 4
2.
d1 +
2
1
n| - 2
3
3
işleminin sonucu kaçtır?
A) −5
B) −1
C) 1
D) 3
E) 5
Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test
Test 12 / Soru 1
6.
ab
8c
x
––––––––
268
• • •
+
––––––––
5628
A) 17
3.
Yanda verilen çarpma işleminde ab ile
8c iki basamaklı doğal sayılardır.
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
Modüler Soru Bankası Sayfa 64 / Soru 16
2 93 - 2 92
2 94
işleminin sonucu kaçtır?
A)
1
1
1
1
1
B) C) D) E)
5
4
2
3
6
Modüler Soru Bankası Sayfa 174 / Soru 17
4.
7.
12! - 24 $ 10!
10! + 5 $ 9!
işleminin sonucu kaçtır?
A) 84
B) 72
C) 70
D) 64
E) 60
xyz
23
• • • •
+ 1158
KLLKM
x
A) 11
Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19
32. soru
Yanda verilen çarpma işlemine göre,
K + L + M toplamı kaçtır?
B) 12
C) 13
D) 14
Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test
Test 6 / Soru 5
1
E) 15
2015
PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR
8.
x < 0 < y olmak üzere, x - y + x - y
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) −2xB) −y
C) y
D) 2y
12. e
E) 2x
Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test
Test 15 / Soru 1
3 3x + 4
2 2x + 1
=e o
o
3
2
olduğuna göre, x kaçtır?
A) -
3
2
B) – 1
C) -
1
1
D) 5
2
E) 1
Modüler Soru Bankası Sayfa 177 / Soru 6
9.
y < 0 < x < 2 olmak üzere,
y − 1 + x − 5 + y + 2x − −3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y - 1 C) y - 3
B) x + 3 D) x + y + 1
E) x - y + 3
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap
Sayfa 193 / 3. soru
x
13.  1  = 4 5
 32 
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
10. − x 2 y 2 0 olduğuna göre,
B) 3
C) 4
D) – 3
E) – 2
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası
Sayfa 179 / Soru 8
−x + x − y − y + x
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) - x
B) 2y - x
D) y
C) 2y + x
E) 3y - 2x
Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 14
33. soru
11. x < y olmak üzere,
I.
II.
x+z 1 y+z
2
14. Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu
2
x 1y
1
1
2
III.
x
y
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
A) Yalnız I
D) I ve II
B) Yalnız II
 x  x2
+ 2x + 15
f  =
3 9
Buna göre, f(a) = 6 ise a kaçtır?
C) Yalnız III
A) -4B) -3
E) I, II ve III
C) -2
D) 2
E) 3
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası
Sayfa 213 / Soru 1
Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test
Test 14 / Soru 2
2
2015
PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR
15.
1020m
A
B
18. - 20. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız.
A dan dakikadaki hızı 10 metre olan hareketli, B
den dakikadaki hızı 20 metre olan bir kuş aynı anda
karşılıklı olarak harekete başlıyor. Kuş hareketliyle
karşılaşıp, tekrar B ye dönüyor ve hiç durmadan
tekrar A dan hareket eden hareketliye doğru uçuyor
ve karşılaşınca durmadan tekrar B ye dönüyor.
Pamuk
◦
74
Diğer
Kuş bu hareketine A dan hareket eden hareketli
B ye varıncaya kadar devam ettiğine göre, bu
süre içinde kuş toplam kaç metre yol almıştır?
A) 4020
B) 3960 C) 2840
D) 2420
Mısır
◦
100
Naranciye
◦
100
◦
150
Naranciye
◦
◦
70
40
Greyfurt Limon
◦
60
Buğday
E) 2040
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap
Sayfa 388 / 20. soru
Bir bölgedeki tarım arazisinin ne kadarının hangi ürün
için kullanıldığını gösteren daire grafik aşağıdadır.
Narenciye ürünlerinin çeşitlerini göstermek için ayrıca
başka bir daire grafik çizilmiştir.
18. Bu bölgedeki pamuk, narenciye, buğday ve mısır
dışında kalan diğer ürünler için kullanılan arazi
tüm ürünler için kullanılan arazinin yüzde kaçıdır?
A) 6
16. Bir sınıftaki 20 öğrencinin 1. sınav sonuçlarının
ortalaması 4,5 dir. 2. sınavda 4 öğrenci notunu 2
puan, 8 öğrenci 1 puan yükseltirken diğerleri 1,5 puan
düşürmektedir.
Buna göre, son sınavın ortalaması kaçtır?
A) 5
B) 4,9
C) 4,8
D) 4,7
B) 8
C) 10
D) 12
E) 15
E) 4,6
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap
Sayfa 306 / 14. soru
19. Bu bölgede mandalina için kulanılan arazi 200 dönümse mısır için kullanılan arazi kaç dönümdür?
A) 900
17. A torbasında 5 beyaz ve 7 kırmızı, B torbasında 10
beyaz ve 5 kırmızı top vardır.
4
9
B)
17
36
C)
1
2
D)
5
9
E)
C) 800
D) 720
E) 648
20. Bu bölgede greyfurt için kullanılan arazi limon
için kullanılan araziden 150 dönüm fazlaysa buğday için kullanılan arazi kaç dönümdür?
A ve B torbalarından sırasıyla birer top çekildiğinde iki topun renginin aynı olma olasılığı kaçtır?
A)
B) 840
7
12
A) 1000
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası
Sayfa 222 / Soru 18
B) 1080
D) 1120
C) 1100
E) 1150
Modüler Soru Bankası Sayfa 410 / Soru 7-9
3
2015
PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR
21. - 23. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız.
C
satış sayısının
A1
E
D
23. C markasının satış sayısının
50°
75°
120° A
35°
80°
75°
A5 80°
45°
60°
A4
B
I. Grafik
A2
A3
3
'i, D markasının
5
1
'ü yerine, B markası satılmış
3
olsaydı B markalı otomobilin bu beş marka
içindeki satış yüzdesi kaç olurdu?
A) 10
B) 15
C) 18
D) 20
E) 35
Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19
Soru 23-25
II. Grafik
I. grafik beş farklı otomobil firmasının yıl içerisindeki
satış sayısının sayısal dağılımını göstermektedir.
A1
E
D
C
50°
75°
120° A
35°
80°
75°
A5 80°
45°
60°
A4
B
I. Grafik
A2
A3
II. Grafik
24. A(2, 1) noktasının 3x – 4y + 3 = 0 doğrusuna göre
simetriği B olduğuna göre, |AB| kaç birimdir?
II. grafik ise A markalı otomobil firmasının beş farklı
modeline ait satış sayılarının dağılımı göstermektedir.
C) 2 2
B) 2
A) 1
D) 2 5 E) 3 5
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası
Sayfa 286 / Soru 9
21. Yıl içinde A1 modelinden 450 adet satıldığına göre,
C marka otomobilden kaç adet satılmıştır?
A) 560
B) 600
C) 610
D) 630
E) 700
25. ABCD dikdörtgen,
6AC@ + 6DE@ = "F , ,
AD = 20 cm,
DC = 15 cm ve
EC = 5 cm'dir.
Yukarıdaki verilenlere
T
göre, A ^ADF h kaç
cm2 dir?
22. A5 modeli A2 modelinden 80 adet fazla satıldığına
göre, B marka otomobilden kaç adet satılmıştır?
A) 840
B) 900
C) 960
D) 1080
A) 120
B) 100
A
4
D
15
F
B
C) 90
Geometri Yaprak Test 13 / Soru 8
E) 1120
20
E
D) 80
5
C
E) 60
Geometrİk Kavramlar ve
Doğruda Açılar
� GEOMETRİK KAVRAMLAR
� DOĞRUDA AÇILAR
Yı
2005
2
� ÜÇGENLER
2006
� ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ
-
� ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR
lla
So ra G
ru ö
A re Ç
na
liz ıkm
ler ış
i
2007
2
� ÜÇGENDE AÇILAR
� DİK ÜÇGENLER
2008
2
� ÜÇGENDE AÇIORTAY TEOREMLERİ
� ÜÇGENDE KENARORTAY TEOREMLERİ
2009
� ÜÇGENDE ALAN
1
� ÜÇGENDE BENZERLİK
2010
� ÜÇGENDE AÇI – KENAR BAĞINTILARI
1
2011
1
2012
1
2013
1
2014
2015
1
-
“... Evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri
öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır;
harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek
sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.”
Galıleo
GEOMETRİK KAVRAMLAR
AÇILAR
Tanımsız Kavramlar
Başlangıç
Nokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kavramlardır.
aynı olan iki ışının bir-
Nokta
Yani;
Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir.
Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta
büyük harfle gösterilir.
oluşan açı BAC ya da
noktaları
B

A
[ AB ∪ [ AC =
leşimine “Açı” denir.
6AB ve 6AC
ışınlarının birleşimi ile A
C
CAB açısıdır.
%
%
BAC açısı BAC ya da CAB açısı ile gösterilir.
Örneğin;
A
A noktası
B
B noktası
Doğru
İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.
A
B
d
Açının Ölçüsü
6AB ve 6AC
ışınları arasında
B
kalan bölgeye At ’nın ölçüsü denir. Her At ’na 0 ile 180 arasında
bir tek reel sayı karşılık gelir. Bu
α
Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğrusu
veya AB diye sembolize edilebilir.
reel sayıya BAC açısının (ya da A
Doğru Parçası
Yani BAC açısının ölçüsü α dır.
iki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşim kümesine doğru parçası denir.
ve m (BAC) = m(At ) = α veya
A
B
doğru parçası 6AB@ sembolü ile gösterilir.
6CD@ " CD doğru parçası
CD " CD doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir.
Işın
Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza giden
noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.
A
B
d
6AB " AB ışını diye okunur.
Yarı Doğru
6AB ışınından başlangıç noktası yani A noktasının çıkartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı
doğrusu denir.
A
2
PEGEM AKADEMİ
GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR
B
d
@AB " AB ışını diye okunur.
Düzlem
Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve
aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluşturduğu kümeye düzlem denir.
C
CAB açısının) ölçüsü denir.
%
%
s ( BAC ) = s(At ) = α ile gösterilir.
Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.
Yani; m (At ) = m(Bt ) & A ile B açýlarý eş açılardır.
Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. Bu bölgeler
B
I. Açının kendisi
I.
II. Açının iç bölgesi
III. Açının dış bölgesi
II.
α
A
III.
C
Açı Ölçü Birimleri
Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde
ölçü birimi olarak derece kullanılır. 20 o ,40 o ,... şeklinde
gösterilir.
Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle
verebiliriz,
D: Derece
G: Grad
R: Radyan olmak üzere
D
G
R
=
=
bağıntısı vardır.
180 200 π
3
Örnek
Not
Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile oluşan açı 360 o , 400 Grad ve 2π
Radyandır.
C
_
1 o " Bir derece bb 1 o = 60'
1' " Bir dakika ` 1' = 60''
b o
1'' " Bir saniye a1 = 3600'' dýr.
A) 10
B) 12
3α
C) 15
2α
O
B
D) 18
E) 20
Çözüm:
A, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı
gereği 180 o lik açı meydana getirirler.
AÇI ÇEŞİTLERİ
Yani; 3α + 7α + 2α = 180 o dir.
B
Dar Açı
Ölçüsü 0 o ile 90 o arasında olan
açılara dar açı denir.
& 12α = 180 o
& α = 15 o bulunur.
α
A
C
%
Ölçüsü 90 o olan açıya dik açı denir.
Yani; α = 90 o + α dik açýdýr.
Komşu Açılar
Köşeleri ve birer kenarı ortak olan C
iç bölgelerinin kesişimleri boş
küme olan açılara komşu açılar
denir.
B
Dik Açı
%
Yani; COB
açıdır.
α
A
C
B
O
ile BOA komşu iki
A
AÇIORTAY
Açıyı iki eşit açıya ayıran ışına açıortay denir.
Geniş Açı
%
%
Yani; m ( COB ) = m ( BOA ) dır.
%
6OB ye COA nın açıortayı denir.
Ölçüsü 90 ile 180 arasında B
olan açılara geniş açı denir.
o
D
7α
A
Yukarıdaki verilenlere göre
α kaç derecedir?
Derecenin Alt Birimleri
Yani;
0 o < a < 90 o + α dar açýdýr.
A, O, B noktaları doğrusal,
%
%
m ( DOB ) = 2α , m ( COD ) = 7α
%
ve m ( AOC ) = 3α
o
α
Yani;
90 o < a < 180 o + α geniþ açýdýr.
A
C
6OC ile 6OA ye açıortayın kolları (kenarları) denir.
C
B
O
A
Örnek
Doğru Açı
Ölçüsü 180 o olan açıya doğru açı denir.
α =180°
C
Yani;
α = 180 o + α doðru açýdýr.
A
D
A, O, B noktaları doğruB
sal 6OC ile 6OF açıortay
%
m ( DOE ) = 80 o
E
80°
C
O
A
F
B
%
Yukarıdaki verilenlere göre m ( COF ) kaç derecedir?
A) 100
Tam Açı
Ölçüsü 360 o olan açıya
tam açı denir.
Yani;
α = 360 o + α tam açýdýr.
α =360°
A
B
B) 110
C) 120
D) 130
E) 140
4
Çözüm:
TÜMLER AÇILAR
A, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana gelen
açıların ölçüleri toplamı 180 o
D
E
dir.
F
%
%
α 80° β
C
m ( AOC ) = m ( COD ) = α ,
β
α
%
%
O
A
B
m ( EOF ) = m ( FOB ) = β
Ölçüleri toplamı 90 o olan iki açıya
tümler iki açı denir.
B
Yani α ile β bulundukları açıların
ölçüleri olmak üzere
dersek
α + β = 90 o + a ile β tümler iki açıdır.
2α + 2β + 80 o = 180 o & 2a + 2b = 100 o & a + b = 50 o
α’ nın tümleri 90 o - a
%
%
m ( COF ) = α + β + 80 o & m(COF) = 130 o bulunur.
nın tümleri 90 o - b dır.
C
α
β
O
A
BÜTÜNLER AÇILAR
Örnek
Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54 o dir.
Ölçüleri toplamı 180 o olan iki
açıya bütünler açılar denir.
Buna göre bu iki açının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
Yani; α ile β bulundukları
açıların ölçüleri olmak üzere
A) 100
α + β = 180 o + α ile β bütünler iki açıdır.
B) 104
C) 106
D) 108
E) 110
Çözüm:
%
%
BOC ile COA komşu iki açıdır. 6OD ile 6OE açıortaydır.
%
%
%
m ( DOE ) = 54 o verilmiş m ( BOD ) = m ( DOC ) = α ,
%
%
O
A
α
B
α’ nın bütünleri 180 o - a
β’ nın bütünleri 180 o - b dır.
%
m ( COE ) = m ( EOA ) = β dersek m ( DOE ) = α + β = 54 o
dir.
%
C
β
Örnek
Bir açının 4 katının 5 o fazlası aynı açının tümlerine
eşit olduğuna göre açının bütünleri kaç derecedir?
%
Buradan m ( BOC ) + m ( COA ) = 2α + 2β
A) 157
& 2 ( α + β ) = 108 o bulunur.
S
o
54
B) 159
C) 161
D) 163
E) 165
Çözüm:
Açı
α Not
Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın,
açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.
6OD açıortay, 6OB ile 6OA açıortayın kolları olmak üzere
B
L
6CK@ = 6OB , 6DL@ = 6OB ,
6CE = 6OA ve 6DF@ = 6OA
çizilirse
=
=
CK
CE , DL
DF ve
=
KO
FO dur.
=
EO
, LO
K
O
D
Tümleri
90 o - a dır.
Denklem kurulursa;
4α + 5 o = 90 o - α dýr.
5α = 85 o & α = 17 o bulunur.
O halde açının bütünleri
180 o - α = 180 o - 17 o = 163 o bulunur.
C
E
F A
Örnek
Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4,
kalan 10 o dir.
Buna göre küçük açı kaç derecedir?
A) 32
B) 34
C) 36
D) 38
E) 40
5
Çözüm:
(ii) İç ters açılar
Bütünler iki açı
d1 // d2 ise
α ile β olsun
ct ile xt ve dt ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri
O halde α + β = 180 o dir.
birbirine eşittir.
Verilen denklem yazılacak olursa
Yani; c = x ve d = y dir.
α
−
β
4
⇒ α = 4β + 10°dir.
(iii) Dış ters açılar
10°
d1 // d2 ise
Buradan α = 4β + 10 o denklemi
at ile zt ve bt ile tt dış ters açılardır.
α + β = 180 o denkleminde yerine yazılacak olursa
Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
4β + 10 o + b = 180 o & 5b = 170 o
Yani; a = z ve b = t dir.
& β = 34 o
& α = 146 o dýr.
(iv) Karşı durumlu açılar
O halde küçük açı β = 34° bulunur.
d1 // d2 ise
ct ile yt ve dt ile xt karşı durumlu iki açıdır. Karşı durumlu
açıların ölçüleri toplamı 180 o dir.
TERS AÇILAR
Kesişen iki doğrunun oluşturduğu
d1
b
açılardan birbirine komşu olmayan
c
açılara ters açılar denir.
Yani; c + y = 180 o ve d + x = 180 o dir.
a
Not
d
Yani; Kesişen d1 ve d2 doğrula-
d2
rında at ile ct , bt ile dt açıları ters
Karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.
Yani; d1 // d2 6AC ile 6BC
d3
A
açıortay & 6AC = 6BC dir.
açılardır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a = c ve b = d dir.
d1
C
d2
B
PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESENLE
YAPTIĞI AÇILAR
d1 // d2 , a, b, c, d, x, y, z, t bulun-
dukları açıların ölçüleridir.
b
a
c
d
y
x
z
t
d1
d2
(i) Yöndeş açılar
d1 // d2 ise
at ile xt , bt ile yt , dt ile tt , ct ile zt yöndeş açılardır. Yöndeş
açıların ölçüleri birbirine eşittir.
=
Yani;
a x=
, b y=
, c z=
, d t dir.
PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİRDEN ÇOK
KESEN İLE MEYDANA GETİRDİĞİ AÇILAR
(i) d1 // d2 ; d3 + d 4 = "B ,
α
d1
β
B
α , δ , β bulundukları açıların
ölçüleri olmak üzere α + δ = β
dır.
d3
A
δ
C
A
(ii) d1 // d2 ;
α , β, δ bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere
α + β + δ = 360 o dir.
Not
α
B
d2
d4
d1
β
δ
C
Paralel doğrular n doğruyla kesilirse meydana gelen aynı yönlü açıların ölçüleri toplamı n : 180 o dir.
d2
6
(iii) d1 // d2 ise şekildeki açılar ardışık zıt yönlü açılardır.
Aynı yöndeki ardışık açıların
α
ölçüleri toplamı ile bu açılara
göre ters yönde olan ardışık
β
aynı yönlü açıların ölçülerinin
δ
toplamları birbirine eşittir.
d1
x
y
d2
Yani; α , β , δ , x, y bulundukları açıların ölçüleri olduğuna
göre α + β + δ = x + y dir.
Örnek
d1 // d2 6AF@ = 6CF@ ,
B
A
6AB // 6CD , 6EC@ = 6CD ,
α
E
140°
verilenlere
göre
C
m ( BAE ) = α kaç derecedir?
B) 40
d1
F E 80°
3α
3β
d2
D
C
C) 50
D) 60
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
Çözüm:
Paralel doğrular arasında oluşan aynı yöne bakan açıların ölçüleri toplamı, zıt yönlü açıların ölçüleri toplamına
eşit olduğundan
%
m ( AEC ) = 140 o
A) 30
5β
Yukarıdaki verilenlere göre α + β kaç derecedir?
Örnek
%
B
3α
%
%
m ( BAF ) = m ( FCD ) = 3α ,
%
m ( ABE ) = 5β ,
%
m ( EDC ) = 3β ve
%
m ( BED ) = 80 o
A) 5
Yukarıdaki
A
D
3α + 3α = 90 o & 6a = 90 o & a = 15 o
E) 70
5β + 3β = 8β = 80 o & β = 10 o dir .
O halde α + β = 15 o + 10 o = 25 o bulunur.
Çözüm:
Şekilde 6AB // 6CD olduğuna göre sağ tarafa bakan açıların ölçüleri toplamı sol tarafa bakan açıların ölçüleri
toplamına eşit olacağından α + 90 o = 140 o & a = 50 o
bulunur.
Örnek
E
6CD // 6AB
%
55°
m ( EAB ) = 65 o,
C
%
m ( AEC ) = 55 o
65°
Yukarıdaki verilenlere göre
%
A
m ( ECD ) = α kaç derecedir?
Örnek
6AB // 6CD , a, b, c, d, e bulun-
dukları açıların ölçüleridir.
Yukarıdaki verilenlere göre
B
A
E
F
G
a + b + c + d + e kaç derece-
b
c
d
B) 450
C) 540
B) 110
C) 120
D
B
D) 130
E) 140
a
e
Çözüm:
C
D
dir?
A) 360
A) 100
α
D) 630
E
K
65°
E) 720
55°
F
α =120°
C
D
65°
A
Çözüm:
6AB // 6CD dir. Paralel doğrular 6AE@ , 6EF@ , 6FG@ , 6GC@
ile kesildiğine göre doğru parçası sayısı 4 dür.
o
o
O halde a + b + c + d + e = 4 : 180 = 720 bulunur.
B
E noktasından KF // 6CD // 6AB olacak biçimde KF çizilir%
%
=
=
se m
( KEA ) m
( EAB ) 65 o (iç ters açıların eşitliği) ve
%
%
=
=
m
( KEC ) m
( ECD ) 120 o dir. (iç ters açıların eşitliği)
O halde α = 120 o bulunur.
7
KENARLARI PARALEL AÇILAR
E
6AB // 6CD ve 6AK@ // 6EC@ olduğundan BAK ile ECD kenarlarından biri aynı diğer kenarı ters yönde paralel açılardır.
α
O halde
%
(i) Kenarları aynı yönde paralel açılar:
B
6AB // 6DE ve 6DF // 6AC ise yön-
deş açıların eşitliğinden
%
Çözüm:
α
%
D
A
m ( BAC ) = m ( EDF ) = α dır.
F
α
%
%
%
=
=
m
( BAK ) m
( ECD ) 35 o dir.
FAH üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı yazılırsa
C
35 o + α + 90 o = 180 o & a = 55 o bulunur.
(ii) Kenarları ters yönden
paralel açılar:
B
6AB // 6CD ve 6CB // 6AD ise
yöndeş ve iç ters açıların eşitliklerinden dolayı;
%
%
m ( BCD ) = m ( BAD ) = α dır.
A
α
Örnek
(iii) Kenarlarından biri aynı
diğeri ters yönde paralel
açılar:
6AB // 6CD , 6KE@ = 6AB ,
α
α
C
A
6KF = 6AC ve m ( FKE ) = 50 o
%
D
F
B
α
6AB // 6EF ve 6ED // 6AC ise
yöndeş ve karşı durumlu açı
A
tanımlarından
D
β
A) 50
B) 55
C) 60
%
%
D
%
%
CAB ile ACD karşı durumlu iki açı olduğundan
B
α
K
L
%
üzere α = β dır.
A
C
E
β
α
A
E
α
H
E
Yukarıdaki verilenlere göre
%
m ( AFH ) = α kaç derecedir?
C
F B
D
E) 65
B) 50
C) 60
Açı
Tümleri
Bütünleri
α
o−
180 o − α
90
α
E) 80
Bütünleri tümlerinin 2 katından 50 o fazla ise
180 o - a = 180 o - 2a + 50 o
2a − a = 50° & a = 50 o bulunur.
C
D) 70
fazla olan açı
Çözüm:
(180 o - α) = 2(90 o - a) + 50 o
K
35°
D) 55
A) 40
D
L
A
Örnek
Bütünleri tümlerinin 2 katından 50 o
kaç derecedir?
B
K
Örnek
C) 45
%
β
F
(ii)
B) 35
%
m ( CAB ) + m ( ACD ) = 180 o
130 o + α = 180 o & a = 50 o bulunur.
m ( EDK ) = α , m ( BAC ) = β olmak
A) 25
%
m ( CAB ) + 50 o = 180 o & m(CAB) = 130 o bulunur.
(i) 6DE = 6AC ve 6DK = 6AB ise
%
E) 70
O halde m ( CAB ) + m ( FKE ) = 180 o dir.
KENARLARI DİK AÇILAR
6FH@ = 6AK@ ve m ( ECD ) = 35 o
D) 65
%
%
CAB ile FKE kenarları dik iki açıdır.
%
6AK@ // 6EC@ , 6AB // 6CD ,
D
Çözüm:
C
dir.
6AB = 6DF ve 6AC = 6DE
%
%
ise m ( BAC ) = α , m ( FDE ) = β
olmak üzere α + β = 180 o dir.
K
α
E
α
%
%
m ( DEF ) + m ( BAC ) = α + β = 180 o
%
50°
F
Yukarıdaki verilenlere göre
C
%
m ( ACD ) = α kaç derecedir?
B
E
8
%
%
%
%
=
m=
( CAK ) m
( KAB ) a
Örnek
6AB // 6CD , 6AF@ = 6CF@ ,
%
%
m ( BAE ) = m ( FCE ),
F
%
%
m ( EAB ) = m ( ECD )
=
m=
( EDK ) m
( KDF ) b dersek
B
A
α
E
C
B) 45
C) 50
D) 60
A
6AB // 6DE olduğundan
%
α
a
6AC // 6DF ,
m ( AEC ) = α kaç derecedir?
A) 30
C
O halde a + b = 90 o dir.
D
Yukarıdaki verilenlere göre
K
2 (a + b) = 180 o dir.
a
B
b
E
F
b
D
%
%
%
m ( CAK ) + m ( FDK ) = m ( AKD )
E) 75
dir. O halde
a + b = α dır.
α = 90 o bulunur.
Çözüm:
Paralel doğrular arasındaki aynı yöne bakan açıların ölçüleri toplamı zıt yöne
bakan açıların ölçüleri top-
lamına
eşit
olduğundan C
%
%
%
m ( BAE ) + m ( ECD ) = m ( AEC )
%
%
%
ve m ( BAF ) + m ( FCD ) = m ( AFC ) dir.
%
%
B
A
%
a
b
Fα
a
b
E
Örnek
D
E
6AB // 6CD , 6FP@ ile 6KP@
%
=
=
=
=
m
( BAE ) m
( FCE ) a, m
( EAB ) m
( ECD ) b dersek
F
%
açıortay, m ( BAE ) = 160 o,
%
m ( AEF ) = 150 o ve
%
m ( FPK ) = 50 o dir.
B
A
150°
160°
P
50°
α
K
C
D
a + b = α ve 2a + 2b = 90 bulunur.
%
Yukarıdaki verilenlere göre m ( KCD ) = α kaç derece-
& a + b = 45 o = a bulunur.
dir?
o
A) 150
C
6AK@ ile 6DK@ açıortay
Yukarıdaki
verilenlere
göre
A
α
D) 135
B
C) 90
D
E
D) 120
E) 135
olduğundan
%
aynı
%
E
bakan BAE , AEF ,
% % %
F
EFK , FKC, KCD açılarının öl-
yöne
F
m ( AKD ) = α kaç derecedir?
B) 75
6AB // 6CD
K
6AB // 6DE , 6AC // 6DF ,
A) 60
C) 140
E) 130
Çözüm:
Örnek
%
B) 145
çüleri toplamı 720 o dir.
∆
FPK de iç açıların ölçüleri toplamı yazıla%
B
A
150°
160°
P
50°
α
K
C
%
D
%
cak olursa m ( PFK ) + m ( FKP ) + m ( FPK ) = 180 o
%
%
%
%
m ( PFK ) + m ( FKP ) + 50 o = 180 o dir.
Çözüm:
m ( PFK ) + m ( FKP ) = 130 o
%
%
CAB ile EDF bir kenarları aynı, diğer kenarları zıt yönlü
Buradan 160 o + 150 o + 2(m(PFK) + m(FKP)) + a = 720 o
paralel açılar olduğundan ölçüleri toplamı 180 o dir.
%
%
Yani; m ( CAB ) + m ( EDF ) = 180 o dir.
%
%
160 o + 150 + 260 o + α = 720 o & a = 150 o bulunur.
9
Çözüm:
Örnek
B
6AB // 6CD // 6EF
%
D
%
F
m ( BAK ) = 120 o
m ( FEK ) = 150 o ve
%
6AB ile 6CD doğrusal uzatılırsa ters açıların eşitliğinden
%
%
m ( FAB ) = m ( TAE ) = α + 5°
%
%
m ( ECH ) = m ( DCK ) = 2α + 10 o
A
120°
C
α
E
%
150°
m ( EKC ) = m ( AKC )
K
%
Yukarıdaki verilenlere göre m ( DCK ) = α kaç derecedir?
A) 115
B) 120
C) 125
D) 130
B
α + 5°
F
T
A
α + 5°
E
120°
bulunur.
2α + 10°
2α + 10° C
K
D
BT // DH olduğundan
%
%
%
m ( TAE ) + m ( ECH ) = m ( FEK )
H
& α + 5 o + 2α + 10 o = 120 o & 3α + 15 o = 120 o & 3α = 105 dir.
E) 135
Ohalde α = 35 o dir.
%
m (FAB) = α + 5 o = 40 o bulunur.
Çözüm:
6AB // 6CD // 6EF // d çizilirse
B
%
% %
%
FEK ile EKL , BAK ile AKL ,
%
%
DCK ile CKL karşı durumlu
açılar olduğundan ölçüleri
o
toplamı 180 dir.
A
120o
D
α=135
F
d
o
C
15°
15°
150o
L
30°
Örnek
K
Buradan
%
%
m ( FEK ) + m ( EKL ) = 180 o
%
& 150 + m(EKL) = 180 o
%
& m ( EKL ) = 30 o
%
%
%
m ( BAK ) + m ( AKL ) = 180 o
& 120 o + m(AKL) = 180 o
%
& m ( AKL ) = 60 o
%
%
%
%
m ( AKL ) = m ( EKL ) + 2m ( CKE ) & 60 o = 30 o + 2m(CKE)
%
& 30 o = 2m (CKE)
%
& m (CKE) = 15 o
%
o
%
%
Buradan
%
m ( DCK ) + m ( CKL ) = 180 o
&
&
%
m ( DCK ) + 45 o = 180 o
%
m ( DCK ) = 135 o bulunur.
B
6AB // 6CD m ( FEK ) = 120 o,
%
A) 60
B) 65
α + 5°
B) 40
%
C) 45
D) 50
2α + 10°
%
%
C
K
E) 55
K
E) 80
L
E
70°
110°
A
B
α
35°
F
55°
C
%
%
A
120°
%
m ( DCK ) = 2α + 10 o
D
D) 75
D
m ( LEF ) + m ( FCD ) = m ( EFC ) & m ( LEF ) + 55 o = 90 o
F
%
göre
C
A
B
C) 70
%
%
m ( KEA ) + m ( EAB ) = 180 o
%
m ( KEA ) + 110 o = 180 o
%
& m ( KEA ) = 70 o dir.
m ( FAB ) = α + 5 o,
Yukarıdaki
verilenlere
%
m ( FAB ) kaç derecedir?
F
55°
110°
Yukarıdaki
verilenlere
%
göre m ( AEF ) = α kaç derecedir?
KL // 6CD olduğundan
Örnek
A) 35
%
m ( FCD ) = 55 o
çizilirse
KL // 6CD // 6AB
%
%
KEA ile EAB karşı durumlu iki açı olduğundan
ölçüleri toplamı 180 o dir.
%
m ( CKL ) = 15 o + 30 o = 45 o
α
%
m ( EAB ) = 110 o ve
Çözüm:
O halde m ( CKL ) = m ( CKE ) + m ( EKL )
%
E
6AB // 6CD , 6EF@ = 6CF@ ,
& m ( LEF ) = 35 o dir .
E
K, E, L noktaları doğrusal olduğundan
%
%
%
m ( KEA ) + m ( AEF ) + m ( LEF ) = 180 o
70 o + α + 35 o = 180 o & α = 75 o bulunur .
D
ÜÇGENLER
10
PEGEM AKADEMİ
ÜÇGENDE AÇILAR
(iii) Geniş açılı üçgen
Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşimi ile oluşan geometrik şekle üçgen denir.
∆
A
6AB@ , 6BC@ , 6AC@ = ABC
∆
ABC " ABC üçgeni diye okunur.
narlarıdır.
C
B
A
α
genin iç açıları, αl , βl , δl üçgenin dış açılarıdır.
uzunluklarına üçgenin kenar
α
B
C
Kenarlarına Göre Üçgenler
ABC üçgeninde α , β , δ üç-
=
BC a=
, AC b, AB = c
A
Yani; m (Bt ) = α > 90 o ise
∆
ABC geniş açılı üçgendir.
∆
A, B, C noktaları ABC nin köşeleri
ve 6AB@ , 6BC@ , 6AC@ üçgenin ke-
Herhangi bir iç açısının ölçüsü 90 o dan büyük olan
üçgenlere geniş açılı üçgen
denir.
β′
α′
c
b
Yani; ABC üçgeninde
b
β
δ
a
A
Bir üçgeninin bütün kenar uzunlukları birbirinden farklı ise ABC
çeşitkenar üçgendir.
c
B
(i) Çeşitkenar üçgen
BC = a,
δ′
C
a
B
AC = b,
C
AB = c
olmak üzere
uzunlukları denir.
AB ! BC ! AC (a ! b ! c)
ise ABC çeşitkenar üçgendir.
Not
Üçgenin iç bölgesinde kalan açılara iç açılar, üçgenin dış bölgesinde kalan ve iç açıların bütünleri olan
açılara dış açılar denir.
(ii) İkizkenar üçgen
α + αl = 180 o, β + βl = 180 o, δ + δl = 180 o,
eşit ise üçgene ikizkenar üçgen denir.
Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları birbirine
Yani; AB = AC ise ABC üçgeni ikizkenar üçgendir.
6BC@ ' na “taban”, eşit kenarların
ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ
taban ile yaptıkları açılara “taban
A
Açılarına Göre Üçgenler
açıları” ve köşesi A noktası olan
açıya “tepe açısı” denir.
α
(i) Dar açılı üçgen
İkizkenar üçgende taban açıları
eşittir. Bu ifadenin terside doğruB
dur.
İç açılarından her birinin ölçüsü
90 o den küçük olan üçgenlere dar
açılı üçgenler denir. Yani
α < 90
o
β
δ
%
C
B
A
Eşkenar üçgenin iç açılarının
ölçüleri birbirine eşit ve 60 o
dir.
(ii) Dik açılı üçgen
Herhangi bir açısının ölçüsü 90 o olan
dir. 6AC@ ' na hipotenüs denir.
AC dir.
Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgene eşkenar
üçgen denir.
δ < 90 o
üçgenlere dik açılı üçgen denir.
∆
Yani; m (Bt ) = 90 o ise ABC dik üçgen-
%
=
O=
halde m ( ABC ) m
( ACB ) + AB
C
(iii) Eşkenar üçgen
β < 90 o
∆
ABC dar açılı üçgendir.
A
B
C
= CA ise B
Yani; =
AB
BC
t ) = 60 o
t
t
=
=
m (A) m (B) m (C
dir.
A
60°
60°
Buradan ABC üçgeni eşkenar üçgendir.
60°
C
Download